Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Statistik
DISUSUN OLEH : KELOMPOK VII
DISUSUN OLEH :
1. 06101011006 MUHAMMAD FURQON 2. 06101011020 EVELINA ASTRA PATRIOT 3. 06101011037 RENY
DOSEN PENGAMPUH: Drs. IMRON HUSAINI, M.Pd. LENI MARLINA, S.Pd., M.Si.
KATA PENGANTAR Dengan menghaturkan puji dan syukur ke hadirat Allah Swt, penyusun telah dapat menyelesaikan makalah Fisika Modern yang berjudul Statistik tatistik F erm i “
- Dirac tepat waktu. ” ”
Tujuan utama penyusunan makalah ini adalah selain untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Fisika Statistik, juga untuk membantu para pembaca khususnya mahasiswa yang nantinya akan menjadi calon pendidik agar lebih mengetahui tentang statistik untuk fungsi distribusi distr ibusi fermi-dirac. Dengan demikian, diharapkan para calon pendidik dapat melaksanakan tugasnya dengan sebaik mungkin untuk menyongsong menyongsong masa depan peserta pesert a didiknya sebagai generasi muda yang akan menjadi motor pengerak pembangunan bangsa di masa yang akan datang. Dalam penyusunan makalah ini penyusun mengucapkan terima kasih kepada Dosen Pengasuh Mata Kuliah Fisika Modern, Bapak Drs. Imron Husaini, M.Pd., Ibu Leni Marlina, S.Pd., M.Si. dan kedua orangtua kami yang senantiasa memberikan dukungan dan nasihatnya, serta teman-teman Pendidikan Fisika Angkatan 2010 yang selalu memberikan dukungan serta semangatnya dalam penyusunan makalah makalah ini. Meskipun telah berusaha dengan segenap kemampuan, namun penyusun menyadari bahwa makalah ini masih belum sempurna. Oleh karena itu, segala tegur sapa, kritik, serta saran yang diberikan pembaca akan penyusun terima dengan kelapangan hati guna perbaikan pada masa yang akan datang. Akhir kata, penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca.
Palembang, Mei 2013
Penyusun
Fisika Statistik
Page 2
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL................................... JUDUL............................................................... ................................................ .................................1 .............1 KATA PENGANTAR............. PENGANTAR............................... ...................................... ........................................ ..........................................2 ......................2 DAFTAR IS. ...................................... .......................................................... ................................... ................................... ..................................3 ..............3 SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)................................................ (SAP)..........................................................4 ..........4 BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang.............................. Belakang.................................................. ................................................. ...........................................5 ..............5
1.2
Rumusan Masalah........................ Masalah............................................ ........................................ ............................................7 ........................7
1.3
Tujuan Penulisan......................................... Penulisan.......................................................... ................................... ................................8 ..............8
1.4
Manfaat Penulisan............................. Penulisan............................................ ................................... ........................................ ........................ ....8 8
BAB II ISI 2.1
Distribusi Fermi - Dirac........................................... Dirac............................................................. ....................................9 ..................9
2.2
Konfigurasi Fermion........................................ Fermion............................................................ ..........................................13 ......................13
2.3
Energi Fermi..................................... Fermi................................................................ ................................................... ...............................20 .......20
2.4
Temperatur Fermi dan Gas Fermi...................................................... Fermi..............................................................23 ........23
2.5
Contoh Soal beserta Penyelesaiannya................. Penyelesaiannya...................................... .......................................29 ..................29
BAB III PENUTUP 3.1
Kesimpulan................................................................................................34
3.2
Saran...........................................................................................................34
DAFTAR PUSTAKA.................................... PUSTAKA........................................................ ...................................... ....................................35 ..................35
Fisika Statistik
Page 3
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)
1.
2.
Identitas Mata Kuliah Mata Kuliah
: Fisika Statistik
Kode Mata Kuliah/Sks
: GFI 10349/3 SKS
Fakultas/Jurusan,Prodi
: FKIP/PMIPA, Prodi Pendidikan Fisika
Semester
: Genap 2012/2013
Tempat
: Indralaya
Dosen Pengasuh
: Drs. Imron Husaini, M.Pd./Leni Marlina, M.Si.
Tujuan Mata Kuliah
: Memberikan wawasan kepada mahasiswa untuk memahami tentang statistik fungsi fermi-dirac.
3.
Standar Kompetensi
: Memiliki wawasan dan pengetahuan tentang statistik fungsi fermi-dirac
4.
Kompetensi Dasar
:
Memiliki wawasan dan pengetahuan tentang statistik fungsi fermi-dirac
5.
Indikator
: 1. Menjelaskan distribusi energi fermi. 2. Menjelaskan konsep temperatur Fermi dan gas elektron
6.
Materi Pembelajaran
:
7.
Kegiatan Pembelajaran :
Statistik Fermi Dirac Pertemuan Ke-7 (2 x 50 menit)
Kegiatan awal (10 menit) 1.
Salam pembuka, mengecek kehadiran mahasiswa.
2.
Dosen melakukan tanya jawab mengenai tugas yang diberikan, kelompok yang presentasi harus duduk di depan.
3.
Dosen menyampaikan indikator yang harus dicapai mahasiswa.
Fisika Statistik
Page 4
4.
Dosen memberikan arahan tentang tata tertib dalam bert anya dan disikusi
Kegiatan inti (75 menit) 5.
Presentasi Kelompok 6
6.
Penjelasan Ensambel Mikrokanonik
7.
Penjelasan Ensambel Kanonik
8.
Penjelasan Aplikasi Pada Suseptibilitas Bahan Magnet
9.
Energi Rata Rata Gas Ideal
Penutup (15 menit) 10. Dosen menyampaikan intisari dari isi materi ajar yang dipresentasikan oleh kelompok penyaji. 11. Dosen memberikan catatan perbaikan pada materi ajar dan untuk dijillid oleh kelompok penyaji.
Penilaian 12. Penilaian Presentasi Kelompok 14. 13. Penulisan Tugas (Lembar Kriteria Tugas). 14. Penilaian Kognitif (Tanya Jawab Antar Kelompok dan Antar Individu) 15. Penilaian Afektif (Lembar Pengamatan) 16. Penilaian Psikomotorik ( Lembar Pengamatan) 17. Alat Yang Digunakan : Laptop, Projektor, Papan Tulis, Alat Tulis 18. Sumber belajar
: Buku-Buku Fisika Universitas dan Fisika Statistik, Mahasiswa, Internet
19. Media
: Pemrograman Materi Ajar dengan Program Microsoft Power Point dan Microsoft Word
20. Penilaian
: Teknik Penyajian (Lembar Pengamatan) Penguasaan Materi (Lembar Pengamatan) Penilaian Kognitif (Tes Tertulis, Tes Lisan) Penilaian Afektif (Lembar Pengamatan) Penilaian Psikomotorik (Lembar Pengamatan)
Fisika Statistik
Page 5
21. Sumber Pembelajaran
:
Internet/E-Book
Inderalaya, Mei 2013
Mengetahui, Kaprodi Pendidikan Fisika
Taufiq, S.Pd., M.Pd.
Fisika Statistik
Dosen Pengasuh I
Dosen Pengasuh II
Drs. Imron Husaini, M.Pd.
Leni Marlina, M.Si.
Page 6
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Fisika statistik adalah ilmu yang mempelajari tentang sifat atau perilaku sistem yang terdiri dari banyak partikel. Generalisasi perilaku partikel merupakan ciri pokok dari pendekatan statistik. Sampai saat ini pendekatan statistik cukup memadai untuk merepresentasikan keadaan sistem dan perilaku partikel penyusunnya. Oleh karena itu perlu disusun cara memahami keadaan suatu sistem dan perilaku partikel pada sistem partikel yang memenuhi hukum-hukum fisika klasik maupun fisika modern. Pada bagian awal dalam kuliah ini menerangkan tentang dasar-dasar statistik dan fungsi distribusi partikel sebagai pengetahuan dasar dalam memahami penerapan statistik pada sistem partikel. Sistem yang tersusun oleh partikel partikel tidak identik (terbedakan) dan mematuhi hukum-hukum fisika klasik dapat didekati dengan statistik klasik Maxwell-Boltzmann. Sedangkan pada sistem yang tersusun oleh partikel-partikel identik (tidak terbedakan), hukumhukum fisika klasik tidak cukup memadai untuk merepresentasikan keadaan sistem dan hanya dapat diterangkan dengan hukum-hukum fisika kuantum. Sistem semacam ini dapat didekati dengan statistik modern, yaitu statistik Fermi-Dirac dan Bose-Einstein. Statistik Fermi-Dirac sangat tepat untuk menerangkan perilaku partikel-partikel identik yang memenuhi larangan Pauli, sedangkan statistik BoseEinstein sangat tepat untuk menerangkan perilaku partikel-partikel identik yang tidak memenuhi larangan Pauli. Fisika Statistik ini adalah mata kuliah wajib program studi pendidikan fisika. Materi yang akan disajikan mengacu pada kurikulum dan pengalaman mengajar fisika statistik. Topik-topik yang disajikan dalam pembelajaran disesuaikan dengan kemampuan hamasiswa dan kurikulum. Materi fisika yang akan disajikan menekankan pada pemahaman konsep dasar dan pengembangannya. Disamping itu akan dibahas juga cara menyajikan materi disertai dengan terapannya dalam kehidupan sehari-hari, terutama pada materi-materi yang dianggap sulit untuk diajarkan kepada mahasiswa. Mengingat begitu pentingnya Fisika Statistik bagi mahasiswa FKIP Fisika, maka mahasiswa diharapkan dapat mengetahui dan memahami materi ajar Fisika Statistik yang meliputi Pengantar Metode Statstik, Karakteristik Makroskopik dan Kesetimbangan, Deskripsi Statistik Sistem Partikel, Entropi dan Temperatur,
Fisika Statistik
Page 7
Ensambel dan Sistem Interaktif, Statistik Maxwell-Boltzmann, Aplikasi Statistik Maxwell-Boltzmann, Statistik Bose-Einstein, Aplikasi Statistik Bose-Einstein, Statistik Fermi-Dirac, serta Aplikasi Statistik Fermi-Dirac. Dalam hal ini akan membahas mengenai Ensambel dan Sistem Interaktif yang terdiri dari Ensambel Mikrokanonik, Ensambel Kanonik, Aplikasi pada Suseptibilitas Bahan Magnet dan Energi Rata-Rata Gas Ideal. 1.2 Rumusan Masalah Beberapa rumusan masalah dalam makalah ini diantaranya: 1) Apa definisi Statistik Fermi-Dirac? 2) Apa definisi tentang energi Fermi ? 3) Bagaimanakah perumusan temperatur Fermi dan gas elektron? 1.3 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan dalam penyusunan makalah diantaranya: 1) Penulis dapat menjelaskan tentang statistik Fermi-Dirac 2) Penulis dapat menjelaskan tantang energi Fermi 3) Penulis dapat menjelaskan perumusan temperatur Fermi dan gas elektron 1.4 Manfaat Penulisan
Adapun manfaat penulisan makalah ini adalah sebagai berikut: 1) Manfaat untuk mahasiswa Penulis melakukan penulisan makalah ini diharapkan dapat bermanfaat bagi para mahasiswa, diantaranya dapat dijadikan sebagai salah satu solusi yang bisa menjembatani permasalahan yang dialami mahasiswa mengenai statistik distribusi Fermi - Dirac sehingga nantinya dapat mengurangi kesalahpahaman dalam penafsiran materi Fisika Statistik. 2) Manfaat untuk penulis Manfaat untuk penulis yaitu memperluas wawasan dan pengetahuan tentang Fisika Statistik, terutama statistik distribusi fungsi Fermi-Dirac serta sebagai bahan acuan dalam pembuatan makalah selanjutnya. 3) Manfaat untuk penulis selanjutnya Manfaat penulisan makalah ini untuk penulis selanjutnya adalah dapat digunakan sebagai contoh dalam pembuatan makalah yang akan datang.
Fisika Statistik
Page 8
BAB II ISI 2.1
DISTRIBUSI FERMI – DIRAC
Distribusi fermi-Dirac ini adalah distribusi yang mematuhi asas larangan pauli seperti partikel-partikel berspin pecahan setengah (1/2, 3/2, ....) contohnya elektron atau nukleon, yang disebut dengan fermion, dan fungsi distribusi yang berlaku bagi sistem fermion ini adalah distribusi Fermi-Dirac : f FD E
1
Ae
E / kT
(1)
1
untuk distribusi Fermi-Dirac, A sangat bergantung pada T, dan ketergantungannya
ini
biasanya
menghampiri
bentuk
eksponensial
sehingga dapat ditulis sebagai berikut : A e
E F / kT
(2)
dengan demikian, fungsi distribusi Fermi-Dirac menjadi f FD E
1 e
( E E F ) / kT
(3)
1
EF disebut energi Fermi. (Walaupun energi Fermi sendiri bergantung pada suhu, ketergantungannya cukup lemah sehingga E F dapat kita perlakukan sebagai sebuah tetapan). Marilah kita lihat secara kualitatif perbedaan antara
f BE
dan
f FD
pada suhu rendah. Untuk distribusi Bose-Einstein, pada limit T rendah, dengan menganggap sementara A = 1, faktor eksponensial menjadi besar untuk E yang besar; karena itu,
f BE 0
untuk keadaan dengan energi
yang besar. Satu-satunya tingkat energi yang memiliki peluang besar untuk ditempati adalah keadaan yang memiliki E 0 ; karena faktor eksponensial menghampiri 1, sehingga penyebut f menjadi sangat kecil, dan dengan demikian
f BE
. Jadi, bila T kecil, semua partikel dalam
sistem berebut menempati keadaan energi yang terendah. Efek ini dikenal
Fisika Statistik
Page 9
sebagai “pengembunan” (condensation). Kelak akan kita lihat bagaimana efek ini memberikan akibat-akibat tidak terduga yang cukup menarik perhatian. Efek “pengembunan” ini tidak mungkin terjadi pada sistem T = 0 sistem elektron, karena sebagaimana telah kita ketahui, fermion, seperti
elektron-elektron dalam
sebuah atom, misalnya tidak semuanya
menempati keadaan energi terendah, berapapun rendahnya suhu. Marilah kita lihat bagaimana distribusi Fermi-Dirac mencegah terjadinya hal ini. Faktor eksponensial dalam penyebut
f FD
adalah e ( E E
F
) / kT
. Untuk E > E F,
ceritanya sangat berbeda, karena E – EF negatif, sehingga untuk T yang kecil, faktor e ( E E
F
) / kT
menuju nol, dan
f FD 1
. Dengan demikian,
probabilitas populasi hanyalah satu fermion per satu keadaan kuantum, sesuai dengan yang disyaratkan oleh asas Pauli. Jadi, pada suhu yang rendah sekalipun, sistem fermion tidak “mengembun” ke tingkat energi yang terendah. Pada
EF
E
0
1
f FD Gambar ... Pengisian berbagai tingkat energi elektron menurut distribusi Fermi-Dirac pada T = 0
Misalkan suatu assembly tertutup dan mengandung sejumlah N fermion yang tak saling berinteraksi, dengan energi total
E .
Seperti pada
pembahasan statistik sebelumnya, konfigurasi assembly dapat dinyatakan dalam bentuk distribusi sistem pada sejumlah pita energi. Tiap pita
Fisika Statistik
Page 10
mengandung sejumlah g s keadaan dengan energi yang berada dalam interval
dan s d s . Konfigurasi assembly ditandai oleh nilai
s
n s
yang
menyatakan jumlah sistem yang dapat ditempatkan pada berbagai nilai
s
.
Karena assemblynya tertutup, maka jumlah total sistem dan energi total haruslah memenuhi syarat
n
n s N
s
s
s
E
s
Seperti halnya dengan boson, pertukaran dua fermion tidak akan menghasilkan susunan yang baru karena partikelnya identik (tak dapat dibedakan). Selanjutnya jira terdapat w s cara menyusun pita energi
s
n s
sistem diantara
yang memiliki g s keadaan, maka jumlah total konfigurasi
adalah W
w s
s
yang tentu saja W tak lain adalah robot konfigurasi. Oleh karena fermion memenuhi larangan Pauli, maka jumlah yang dapat ditempatkan pada suatu keadaan hanya dapat bernilai 0 atau 1. Jika sejumlah
n s
sistem telah ditempatkan dalam g s keadaan, maka terdapat
g s n s dari
g s
keadaan yang masih kosong. Maka banyaknya cara
mengisi adalah g s !
w s
Untuk
menggambarkan
n s ! g s n s !
proses
pengisian
ini,
gambar
berikut
memperlihatkan 3 sistem (digambarkan dengan titik) pada 5 keadaan (digambarkan dengan kotak). Hasil menunjukkan bahwa terdapat 10 cara, nilai ini sesuai jika kita menggunakan rumus 5.3 Bobot konfigurasi secara keseluruhan diperoleh dengan mengalikan masing-masing jumlah susunan yang mungkin, yakni W
s
Fisika Statistik
g s ! n s ! g s ns !
Page 11
Oleh karena g s dan
n s
cukup besar, maka kita dapat menggunakan pendekatan
Stirling
lo g W
lo g
s
g s ! ns ! g s ns !
= g s
lo g g s n s lo g ns
gs
ns
lo g g s
ns
Mengikuti metode sebelumnya, syarat yang harus dipenuhi adalah
s
log W s n s
d n s 0
Nilai yang ada dalam tanda kurung haruslah bernilai nol untuk setiap harga
s
manapun log W n s
s 0
Dari persamaan 5.5
log W n s
g n s lo g s n s
g s n s s 0 n s
lo g
g s n s
Nilai
n s
e x p s 1
yang bersesuaian dengan konfigurasi yang memiliki peluang t erbesar n s
g s e x p s 1
Persamaan di atas disebut distribusi Fermi-Dirac untuk assembly fermion.
Fisika Statistik
Page 12
Bentuk 1 / exp s secara umum dikenal dengan nama fungsi Fermi dan umumnya ditulis dalam bentuk f
1 e xp F / k T 1
Persamaan di atas diperoleh dengan melakukan substituís 1 / kT dan F / k T
. F dalam persamaan di atas disebut energi Fermi. Jika rapat keadaan
dengan energi berada di antara
dan d , maka jumlah sistem yang berada
dalam interval energi tersebut adalah n d f g d
2.2
KONFIGURASI FERMION
Salah satu sifat yang dimiliki fermion adalah terpenuhinya prinsip ekslusi Pauli. Tidak boleh lebih dari satu fermion memiliki keadaan kuantum yang sama. Satu keadaan hanya boleh kosong atau hanya ditempati oleh satu fermion. Konsekuensi dari prinsip eksklusi Pauli adalah jumlah fermion harus lebih sedikit atau sama dengan jumlah keadaan. Ini berbeda dengan sistem klasik atau boson di mana tidak ada pembatasan jumlah partikel yang menempati keadaan tertentu. Berapa pun jumlah keadaan yang tersedia, maka keadaan tersebut dapat menampung partikel klasik maupun boson yang jumlahnya berapa pun. Untuk menurunkan fungsi distribusi Fermi-Dirac kita pun akan memulai dengan membagi keadaan-keadaan atas kelompok-kelopok sebagai berikut : Kelopok-1 mengandung g 1 keadaan dengan energi rata-rata E 1 Kelopok-2 mengandung g 2 keadaan dengan energi rata-rata E 2. . . Kelopok-s mengandung g s keadaan dengan energi rata-rata E s
Fisika Statistik
Page 13
. . . Kelopok-M mengandung g M keadaan dengan energi rata-rata Mg ME
Jumlah sistem yang menempati masing-masing keadaan misalkan n1 sistem menempati keadaan-1 n2 sistem menempati keadaan-2 . . . n s sistem menempati keadaan-s . . . n M sistem menempati keadaan-M Karena satu keadaan maksimum menampung satu sistem maka harus terpenuhi n1
g 1, n2 g 2, … , n s g s, n M
g M .
Selanjutnya kita akan menentukan berapa cara menyusun n1 sistem pada g 1 keadaan,
n2 sistem pada g 2 keadaan, …, n M sistem pada g M keadaan. Tinjau
kelompok-1. Di sini ada
keadaan dan menampung
sistem. Kembali kita
menganalogikan keadaan sebagai kursi dan sitem sebagai benda yang akan ditempatkan pada kursi-kursi tersebut, seperti diilustr asikan pada Gbr. 6.1.
Fisika Statistik
Page 14
Gambar : Contoh
penyusunan fermion
analog dengan penyusunan kursi. Sebagian kursi
ditempeli benda (keadaan yang diisi fermion) dan sebagian kursi kosong (keadaan yang tidak ditempati fermion).
Untuk menentukan jumlah cara menempatkan benda pada kursi-kursi tersebut, kita tempelkan benda pada kursi-kursi tesebut. Pada satu kursi hanya boleh ditempelkan satu benda. Penempelan ini menjamin bahwa tidak boleh lebih dari satu benda berada pada satu lursi. Akibatnya kita dapatkan : Ada Ada
buah kursi yang ditempeli benda buah kursi yang kosong.
Kemudian kita melakukan permutasi semua kursi yang ada baik yang kosong maupun yang ditempeli benda, karena benda sudah menempel pada kursi maka permutasi tidak memungkinkan munculnya satu kursi yang menampung lebih dari satu benda. Jumlah kursi yang dipermutasi adalah
menghasilkan jumlah permutasi sebanyak kursi kosong tidak terbedakan dan
cara. tetapi, karena
kursi sehingga
buah
buah kursi yang ditempeli benda juga tidak
dapat dibedakan maka jumlah permutasi
Fisika Statistik
buah kursi harus dibagi dengan
Page 15
permutasi
buah kursi kosong, tidak terbedakan dan
buah kursi yang
ditempeli benda untuk mendapatkan penyusunan yang berbeda. Jadi, jumlah penyusunan yang berbeda hanyalah
(6.1)
Dengan cara yang sama kita dapatkan jumlah cara penyusunan
pada
sistem
keadaan adalah
(6.2) Begitu seterusnya. Akhirnya, jumlah total cara penyusunan secara bersama – sama
sistem pada
keadaan,
keadaan adalah
x
sistem pada
x…x
keadaan,…,
Selanjutnya kita perlu menentukan berapa cara membawa
sistem pada
sistem dari
luar untuk didistribusikan ke dalam keadaan – keadaan di dalam assembli. Seperti yang kit bahas pada assembli boson, untuk partikel tak terbedakan jumlah cara tersebut adalah
. Akhirnya, jumlah cara penyusunan fermion untuk
konfigurasi di atas adalah
atau dalam notasi logaritma
(
umlah total sistem dalam assembli dan energi total assembli masing – masing adalah
Fisika Statistik
Page 16
dan
ntuk sistem terisolasi di mana tidak terjadi pertukaran partikel
maupun energi antara assembli dan lingkungan maka jumlah partikel selalu konstan dan energi total juga konstan. Dengan demikian bentuk diferensial dari N dan U adalah
(
(
Konfigur asi M aksimum Konfigurasi memaksimalkan
dengan
atau
probabilitas
maksimum
diperoleh
dengan
dengan memperhatikan konstrain pada persamaan
(6.5) dan (6.6). Sebelum ke arah itu kita coba sederhanakan
pada persamaan
(6.4)
Selanjutnya kita gunakan pendekatan Stirling untuk menyederhanakan faktorial, yaitu
Dengan demikian bentuk
dapat diaproksimasi sebagai berikut.
(
Selanjutnya, ambil diferensial ke dua ruas persamaan (6.7)
Fisika Statistik
Page 17
(
Mari kita hitung satu per satu suku dalam persamaan (6.8) i. ii.
iii.
Dari hasil di atas maka bentuk
dapat ditulis dalam bentuk lebih sederhana
sebagai berikut.
(
Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan mencari
solusi untuk persamaan
Agar persamaan (6.10) selalu nol untuk variasi
, atau
(
yang sembarang maka harus
terpenuhi
Fisika Statistik
Page 18
yang memberikan ungkapan untuk
sebagai
(
Berlaku juga pada fungsi distribusi fermion bahwa parameter
memenuhi
. Dengan parameter ini maka kita dapat menulis persamaan (6.11)
secara lebih eksplisit sebagai
(
Persamaan (6.12) merupakan bentuk umum fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk fermion.
Tabel 1 Fungsi Distribusi Statistik Tipe Distribusi
Sifat-sifat
Maxwell-
Partikel identik
Boltzmann
yang
Fungsi F MB E A
E
contoh Semua Gas
kT
dapat
dibedakan Bose-Einstein
Partikel identik yang tak dapat
He cair (spin 0)
1
F BE ( E )
E
e
kT
1
Foton (spin 1)
dibedakan berspin bulat Fermi-Dirac
Partikel identik yang tak dapat dibedakan
Elektron (spin ½)
1
F FD
E E F
e
kT
1
Proton nertron
berspin tengahan.
Fisika Statistik
Page 19
2.3
ENERGI FERMI
Energi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada suhu T = 0 K (pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion (elektron adalah fermion). Fermion adalah sistem partikel dengan fungsi gelombang yang saling bertumpangan, yang memiliki spin setengah bilangan bulat-ganjil (
..........).
Fermion memenuhi prinsip ekslusi Pauli, dan fungsi
gelombang sistem fermion berubah tanda terhadap pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombang semacam ini disebut antisimetrik. Hanya satu fermion yang diperbolehkan terdapat pada keadaan kuantum tertentu dari sistem tersebut. a. Sistem dua partikel yang terbedakan Terdapat dua partikel, partikel 1 dan 2, yang berada dalam keadaan a dan keadaan b. Jika kedua partikel tersebut terbedakan, maka terdapat dua kemungkinan terisinya keadaan yang diperoleh oleh fungsi gelombang :
Untuk fermion, kemungkinan untuk mendapatkan kedua partikel tersebut dalam keadaan yang sama (misal pada keadaan a) ada lah:
Jadi, dalam sistem fermion, kehadiran partikel dalam keadaan kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam keadaan itu ( hal ini terjadi karena untuk fermion berlaku prinsip ekslusi Pauli).
b. Sistem dua partikel tak terbedakan Jika terdapat partikel yang tidak dapat dibedakan, maka posisi masing-
Fisika Statistik
Page 20
masing partikel tidak dapat ditentukan, dan fungsi gelombangnya harus merupakan kombinasi dari peluang yang sama.
dan
, untuk mencerminkan
Untuk fermion, fungsi gelombang anti simetriknya adalah :
diperlukan untuk menormalisasi fungsi gelombang tersebut.
Faktor
Penentuan Besarnya Energi Fermi
Bayangkan sebuah elektron bebas bergerak dalam sebuah sumur potensial (daerah yang membatasi gerak elektron, dimana daerah tersebut memiliki energi potensial tak hingga kedalamannya
), yang lebarnya L dan
. Asumsikan bahwa pada daerah 0 – L energi
potensialnya sama dengan 0. Jika partikel tidak memiliki energi potensial, maka persamaan eigen valuenya ( P.S ) adalah:
Untuk 1 dimensi Besarnya harga P.S :
adalah
=
dimana pada elektron bebas: V ( x) = 0
=
...................................(1)
Dan solusinya adalah : Asin kx + Bcos kx
Fisika Statistik
Page 21
Agar
=
= 0 maka besarnya x haruslah sama
dengan 0. Untuk x = 0, maka :
= Asin k0 + Bcos k0
s
dan
cos 0 = 1, agar
= 0 maka B = 0
...............................................(2)
Jika persamaan (2) disubtitusikan ke dalam persamaan (1), maka didapat:
=
bila k = bila k =
Karena
=
..............k(1)
= 0, maka :
→ A sin kL
sin kL → kL n
k=
..........................................................k(2)
Bila persamaan k(1) disubtitusikan ke dalam persamaan k(2), maka:
= → L a. Untuk harga n terkecil n = 1→ L =
Panjang gelombang yang diperoleh kecil (minimum) b. Untuk harga n terbesar n = 3→ L =
panjang gelombang yang diperoleh besar (maksimum)
Fisika Statistik
Page 22
Bila
pada n =
maka jumlah tingkat energi yang terisi ”penuh” oleh elektron
dimana N adalah jumlah elektron dan angka 2 menunjukan spin
elektron (spin up dan spin down), sebesar :
Energi tersebut dinamakan energi Fermi, yaitu tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada suhu T = 0 K (pada keadaan dasar, yang elektronnya terisi penuh). Jika suhu T = 0 K , maka: 1.
Elektron akan mampu bertransisi (loncat) ke tingkat energi yang lebih tinggi.
2.
Sedangkan elektron yang lainnya, pada waktu yang bersamaan, tidak dapat bertransisi ke tingkat energi yang lebih tinggi, hal ini terjadi dikarenakan berlakunya prinsip ekslusi Pauli. Dari persamaan-persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa semakin banyak gelombang yang terbentuk, maka akan semakin tinggi tingkat energinya.
2.4
TEMPERATUR FERMI DAN GAS FERMI-DIRAC
Sebelum membahas lebih jauh perilaku gas yang dibentuk oleh fermion, kita akan menéela fungís Fermi dengan fokus pada energi Fermi F
. Fungsi Fermi pada temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar
berikut. Ketika temperatur mutlak T 0, suku F 0 / kT memiliki dua nilai yang mungkin. (i) Untuk F 0 , F 0 / k T dan (ii) Untuk F 0 , F 0 / k T Maka fungsi Fermi dapat memiliki dua harga yakni untuk F 0 , f
Fisika Statistik
1 e
1
0 dan
Page 23
untuk F 0 , f
1 e
1
1
Hal ini menunjukkan bahwa pada temperatur mutlak nol, peluang bahwa keadaan dengan energi F 0 terisi sama dengan satu, dengan kata lain semua keadaan terisi. Sebaliknya bahwa semua keadaan dengan energi F 0 kosong. Bentuk fungsi Fermi untuk temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut.
f
1
0
F 0
Sifat fungsi f dapat dijelaskan secara sederhana sebagai berikut. Pada temperatur mutlak nol, fermion menduduki keadaan dengan energi yang paling rendah. Oleh karena hanya satu fermion yang dapat menduduki satu keadaan, maka keadaan dengan energi paling rendah semuanya terisi sampai semua fermion berada dalam tingkatan energi tersebut.
Singkatnya dapat dikatakan
bahwa tingkatan energi Fermi adalah tingkatan energi tertinggi yang diduduki oleh fermion pada temperatur mutlak nol, keadaan dengan tingkatan energi di atasnya tidak terisi. Nilai F 0 dapat dicari dari persamaan 5.11 dengan menggunakan syarat bahwa
n
s
s
Fisika Statistik
n d
N
0
Page 24
Oleh karena bentuk fungsi Fermi pada T 0 K, n g untuk F ( 0 ) , ketika n 0 untuk F ( 0 ) syarat di atas dapat ditulis menjadi E F ( 0 )
n d N
0
Karena fermion merupakan sistem kuantum maka bentuk fungsi rapat keadaan g
dapat diambil dari persamaan 4.12 oleh karena momentum sudut spin
fermion memungkinkan lebih dari satu keadaan untuk setiap tingkatan energi. Dengan penerapan yang lebih luas ini, misalnya dalam kasus elektron, kita dapat memandang bahwa bilangan kuantum spin magnetiknya dapat berharga
1 2
1 2
dan
. Jadi memungkinkan dua keadaan untuk tiap tingkatan energi
g
2m
3 2
V 4
2 h
1 2
dalam sebuah ruang V . Persamaan 5.13b menjadi F ( 0 )
0
3 2
2m V 4 2 d N h 1 2
2
3 N F 0 2 m 8 V h
2/3
Secara sederhana kita dapat menghubungkan besaran di atas dengan energi termal k T
dengan mendefenisikan temperatur Fermi T F melalui hubungan kT F F 0
Dalam tabel berikut disajikan nilai F 0 dan T F untuk berbagai gas Fermi-Dirac ; gas fermion yang dibentuk oleh atom isotop Helium
3 2
H pada
tekanan standar
dan juga gas elektron dalam logam alkali lithium dan natrium
Fisika Statistik
Page 25
Tabel 1. Energi dan temperatur Fermi
Gas
F 0 eV
T( K )
0,94 x 10 -
10
Gas elektron dlm lithium
4,7
54.000
Gas elektron dalam natrium
2.1
24.000
Helium
Untuk gas molekuler yang mengandung fermion, temperatur Ferminya relatif rendah dibandingkan temperatur kamar normal.
GAS EL EKTRON
Dari tabel 1 nampak bahwa untuk gas elektron temperatur Ferminya relatif tinggi, diperkirakan bahwa kenaikan temperatur T dari temperatur mutlak ke nilai di sekitar temperatur kamar hanya akan berpengaruh pada elektron-elektron dengan energi yang dekat dengan energi Fermi. Hal ini ditunjukkan pada gambar berikut dengan asumís bahwa k T
F
dan nilai fungsi Fermi diberikan untuk berbagai
harga khusus (yang lebih mudah dihitung).
F kT
F
F kT
Fisika Statistik
f
f
f
1 e
1
1 1
0
e 1
1 e1
0,73 0,5
0,27
Page 26
f (ε)
ε ε F - kT ε F ε F + kT
Distribusi jumlah elektron ke seluruh tingkatan energi merupakan perkalian antara fungsi distribusi dengan rapat keadaan n d f g d
Bentuk grafik n dapat dilihat pada gambar berikut.
n
g(ε ~ ε1/2
T=0
T>0
Sifat-sifat gas elektron pada temperatur mutlak nol dapat dihitung dari distribusi integral dengan mengambil batas integral dari 0 sampai F 0 . Contoh energi rata-rata elektron pada T 0 adalah :
n d
0
n d 0
sehingga f 1 untuk F dan f 0 untuk F ,
Fisika Statistik
Page 27
F ( 0 )
0
g
d
0
g d
3 5
F 0
0
nilai g diambil dari persamaan 5.14 Untuk mencari bagaimana perilaku gas elektron apabila temperatur mutlak dinaikkan (di atas nol), maka pertama perlu dicari energi Fermi sebagai fungsi temperatur. Dengan menggunakan persamaan 5.11 serta syarat kekekalan
n d N 0
f g d
Maka
N
0
Oleh karena itu kita hanya perlu mencari nilai energi Fermi sebagai batas atas integral. Pendekatan yang dapat diambil adalah T
T F
.
Tingkatan energi Fermi sebagai fungsi temperatur dapat dinyatakan dengan
2 2 T F 0 1 1 2 T F
F
Untuk T F
2
T 3 0 .0 0 0 K , nilai pada temperatur kamar kira-kira sama 1 2 T F
2
dengan 8 x 10 -5. Energi rata-rata elektron pada temperatur T diperoleh dengan menghitung
nilai integral
f g d
untuk memperoleh
0
3 T 2 2 F 0 5 T F 4
Panas jenis pada volume constan satu mol gas elektro n diperoleh dari
Fisika Statistik
Page 28
C v
Dengan temperatur Fermi T F
N A T
3 0 .0 0 0 K
2
2
R T T F
pada temperatur kamar nilai panas jenis
Kira-kira 0,05 R.
2.5
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA
1. Hitunglah energi Fermi E F dari logam Natrium
Pemecahan : Karena setiap atom natrium menyumbangkan satu elektron valensi, maka jumlah elektron per satuan volume, N/V, sama dengan jumlah atom natrium per volume. Nilai ini dapat ditentukan dari kerapat an atom natrium dan massa atom natrium : N V
Jumlah atom per volume
6 , 02
3
0 , 971 g / cm
10
23
N A M
atom / mol
23 , 0 g / mol
2 , 54 10
22
cm
2 , 54 10
28
m
E F
3
3
2
3 N 2 m 8 V h
2
hc 2 mc
2
2 3
3
2 , 54 10 8
1240
2 0 , 511
eV .nm 6
28
m
3
2
10 eV
2 , 09 10
18
2 3
9 m 2 10 m nm
2
3 ,15 eV
Fisika Statistik
Page 29
2. Suatu metal mempunyai energi Fermi E F = 4,0 eV dan suhu T = 400 K. Hitung cacah elektron bebas persatuan energi n(E) untuk (a) E = E F + kT (b) E = EF – kT Pemecahan : Untuk E E F n E F
C 2
1 / 2
1/2
C 2 n E F E F
E F
Dari persamaan n E dE dE
CE
1/ 2
E E F / kT
e
1
1
n E 2 E F E F n E E E / kT e 1 2
F
a) sehingga untuk E = E F + kT 1
n E F kT
2 E F kT / E F 2 n E F e
E F kT E F / kT
dengan
1
T
kT 1, 38 10
23
=
J / K 400 K 1, 6 10
19
400 J / eV
1
K
0 , 034 eV
E F 4 , 0 eV 1
n 4 , 034 eV
2 E F kT / E F 2 n E F e 1
n 4 , 034 eV 0 , 54 n 4 , 0 eV
b) untuk E = E F – kT 1
n E F kT
2 ( E F kT ) / E F 2 n E F e
1
1 1
n 3 , 966 eV
2 3 ,966
n 3 , 966 eV
1,5 n 4 , 0
eV
15 molekul helium
masing-masing menpunyai spin total
3.
/ 4 , 0 2 n 4 , 0 eV
pada bidang potensial L x L. Tentukan a. energi Fermi b. energi total system
dan berada
Penyelesaian :
Fisika Statistik
Page 30
a.
merupakan contoh fermion karena menmpunyai spin tengahan,
atau
. Tingkat energi diberikan oleh pers.(2.14) untuk L z = Ly = L
Setiap titik (m,n) ditempati dua molekul yaknin dengan spin up dan spindown. 15 berturut menempati dan berenergi sebagai berikut : N0 1 2 3 4 5 6 7 8
m 1 1 2 2 1 3 2 3
n 1 2 1 2 3 1 3 2
E/E 0 2 5 5 8 10 10 13 13
Dengan demikian energi Fermi yakni energi tertinggi adalah 13E 0
Salah satu dari keadaan no.7 dan no.8 ditempati satu molekul lainnya dua.
dan
b. Energi total system 15 E = 2(2+5+5+8+10+10+13+13)E 0 + 3 x 13 E0 = 119 E0
4.
21
3
4,2 x 10 elektron berada di dalam kotak bervolume 1 cm . Hitung : a. Besar vector gelombang Fermi b. Energi Fermi system c. Energi dan vector gelombang Fermi jika electron diganti proton. Penyelesaian : a. Dari pers.(6.52) diperoleh
Maka
Fisika Statistik
Page 31
P = Dan panjang vector gelombang Fermi F
b. Energi Fermi
c. Bila electron diganti proton massa proton kira-kira 1836 massa elect ron m p = 1836 me
5. System gas electron bebas di dalam logam pad atemperat ur nol mempunyai kerapatan N = 10 22 elektron/cm3. Tentukan potensial kimia dari electron konduksi di dalam logam tersebut. Penyelesain : Dari rapat keadaan
Maka
6.
Bintang neutron Reaksi di dalam bintang neutron adalah p + e + , MeV→n Hitung :
Fisika Statistik
Page 32
a. Kerapatan minimum electron bebas b. Kerapatan minimum bintang neutron agar reaksi di atas dapat berlangsung Penyelesaian : a. Menggunakan per.(6.7)
Reaksi berlangsung jika
b. Rapat massa minimum bintang neutron
Fisika Statistik
Page 33
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Berdasarkan uraian-uraian yang telah dijabarkan oleh penulis di atas dapat
disimpulkan bahwa: 1.
Elektron atau fermion dalam sebuah atom memiliki tingkatantingkatan energi yang dapat diserap atau dipancarkan. Elektron ini memenuhi prinsip eksklusi Pauli, yang menyebutkan bahwa tidak ada elektron yang memiliki bilangan kuantum yang sama, kehadiran partikel dalam keadaan kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam keadaan itu. Peluang elektron untuk menempati tingkat energi tertentu (loncat ke tingkat energi tertentu) dapat dinyatakan melalu distribusi Fermi-Diract, yang memiliki persamaan :
2. Temperatur Fermi pada T
=
0 K adalah :
3. Energi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada suhu T = 0 K (pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion (elektron adalah fermion). 3.2 Saran
Setelah membahas dan mengkaji tentang statistik Fermi-Dirac ini adapun beberapa saran yang ingin disampaikan penulis dari pembahasan materi ini yaitu dengan untuk bisa memahami perkembangan statistik FermiDirac maka kita harus menggunakan banyak referensi. Sehingga, semakin banyak referensi yang kita baca, maka pemahaman mengenai materi tersebut akan semakin bertambah.
Fisika Statistik
Page 34
