SEJARAH KALKULUS
FILSAFAT PENDIDIKAN MATEMATIKA
Oleh: IKHSA KHSAN N MAGRIB GRIBII
0907 09075 504
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH PASCA SARJANA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2009
I.
Definisi Kalkulus
Kalkulus mengkaji bagaimana sesuatu berubah, oleh karena itu kalkulus sering disebut juga dengan “matematika perubahan”, yaitu cabang matematika yang memfokuskan memfokuskan perhatian pada perubahan perubahan variabel yang diakibatkan diakibatkan oleh perubahan perubahan variabel variabel lainnya lainnya yang berkaitan. Berikut akan diuraikan diuraikan tentang tentang pengertian kalkulus menurut beberapa sumber. 1. Definisi Definisi kalkulus kalkulus menuru menurutt Kamus Besar Bahasa Bahasa Indones Indonesia ia adalah adalah : 1)
Pros Proses es penge engera rasa san n yan yang g tid tidak ak norm normal al pad pada tu tubuh, buh, sep seperti erti batu batu
ginjal. 2)
metode menghitung dengan memakai lambang-lambang
angka khusus. 3)
Enda Endap pan tid tidak norm normal al garam aram-g -gar aram am miner ineral al dalam alam tubu tubuh h.
2. Pengertian Pengertian kalkulu kalkuluss menurut menurut arti kata kata dalam kamus kamus InggrisInggris- Indone Indonesia sia John
N. N. Echo Echols ls & Hasa Hasan n Shad Shadil ilyy
mendefinis mendefinisikan ikan bahwa kalkulus kalkulus adalah
hitungan 3.
Kalkulus dala alam bahasa Lati atin ada adalah calculus , artinya "batu kecil"
untuk menghitung adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, turunan, integral, integral, dan deret takterhingga. takterhingga. 4.
Kalk Kalkul ulus us adala adalah h ilmu ilmu menge mengena naii peru peruba baha han, n, sebag sebagai aima mana na geometri
adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk untuk memeca memecahka hkan n persam persamaan aan serta serta aplika aplikasin sinya. ya. Kalkul Kalkulus us memili memiliki ki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, sains, ekonomi, ekonomi, dan teknik serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer .
(Wikipedia) 5.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus kalkulus diferensial diferensial dan
kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelaja Pelajaran ran kalkul kalkulus us adalah adalah pintu pintu gerban gerbang g menuju menuju pelaja pelajaran ran matema matematik tikaa lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. matematika.
(Wikipedia) 6.
Branch Branch of of mathem mathemat atic icss divide divided d into into parts, parts, dif diffe feren rentia tiall and int integr egral al,,
that that deals deals with with varia variabel bel quanti quantiti ties es,, used used to solve solve many many mathem mathemat atic ical al problem. Kalkulus adalah cabang dari matematika yang dibagi dalam dua bagian yaitu yaitu difere diferensi nsial al dan integr integral al yang yang membah membahas as kuanti kuantitas tas peubah peubah yang yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika.
(Oxford Learner’s Dictionary) 7.
Calculus is a word used to describe a system of rules of reasoning
that is used for doing a certain type of calculation. There are different types of calculus but the one that is ussualy meant when the word is used by itself is the infinitesimal calculus. (The Oxford Mathematics Studi Dictionary, Second Edition) 8.
Calcu Calculus lus is is the fie field ld of mat mathem hemat atic icss which which deal dealss with with differ different entati ation on
and integration of function an related concepts and aplication. Bagian dari matematika yang membahas diferensial dan integrasi fungsifungsi dan konsep-konsep yang berhubungan dengan aplikasi.
(Math Dictionary 4 th edition. edition. James / James) 9.
Hasi Hasill perjua perjuang ngan an intel intelek ektu tual al yang yang drama dramatic tic yang yang berla berlang ngsu sung ng sela selama ma
dua ribu lima ratus tahun.
Richard Courant Sehingga didapat bahwa pengertian kalkulus secara umum adalah : 10. 10.
Kalk Kalkul ulus us adal adalah ah sala salah h satu satu caba cabang ng dari dari mate matema mati tika ka yang yang sang sangat at
penti penting ng dan banyak banyak ditera diterapka pkan n secara secara luas luas pada pada cabang cabang-cab -cabang ang ilmu ilmu pen penge geta tahu huan an yang yang lain lain,, misa misaln lnya ya pada pada caba cabang ng sain sainss dan dan tekn teknol olog ogi, i, pertanian, kedokteran, perekonomian, dan sebagainya.
TOKOH-TOKOH DALAM PERKEMBANGAN KALKULUS
ZAMAN KUNO Antiphon
Eudoxus
Euclid
Melanjutkan metode Exhautions
Melanjutkan metode Exhautions
430 SM 408 SM – 335 SM
Metode Exhautions
Zeno
Archimedes
450 SM Paradoks Zeno
287 SM – 217 SM metode Exhautions
ZAMAN PERTENGAHAN
Kalkulus pada zaman pertengahan tidak mengalami perkembangan yang signifikan dan cenderung stagnan.
ZAMAN MODERN Luca Cavalireo
Cavalieri
1552 – 1618 Penentuan luas daerah
Keppler
1600an 1598 – 1647
Hukum Keppler
Metode Indivisible
Newton
Wallis
Fermat
1642 - 1727
1616 – 1703
1601 – 1665
Pengembang kalkulus
Aljabar Integral
Luas daerah yang dibatasi suatu kurva
Leibniz
Isac Burrow
Joseph Fourier
1646 – 1716
1630 – 1677 Metode garis singgung
Pengembang kalkulus Notasi-notasi kalkulus
Riemenn
Cauchy
1826 – 1866
1789 - 1857
Integral Riemann
Fungsi dan limit fungsi
Lebesque
Hermite
Gauss
1777 – 1855 Pengembang aplikasi integral dalam matematika dan
Otrowski
1822 – 1901 Integral lebesque
Pengembang kalkulus integral
Integral Otrowski
II. Kalkulus dan Perkembangannya Perkembangannya
Sejarah perkembangan kalkulus bisa diamati pada beberapa periode zaman, yaitu zam zaman an kun kuno o, zaman perten pertengahan gahan,, dan zaman moder modern n. Perkembang Perkembangan an kalkulus kalkulus integral integral mendahulu mendahuluii perkembanga perkembangan n kalkulus kalkulus diferensial. diferensial. Kalkulus Kalkulus diferensial muncul sebagai upaya untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan deng dengan an pene penent ntua uan n garis garis sing singgu gung ng pada pada suatu suatu kurv kurvaa dan dan pene penent ntua uan n nila nilaii
maksimum dan minimum suatu fungsi. Sedangkan kalkulus integral muncul sebagai upaya untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penentuan luas suatu daerah, volume dan panjang busur.
a.
Perke rkemba mbanga ngan Kal Kalkulus pada pada Zama Zaman n Kun Kuno o Pada Pada peri period odee zaman zaman kuno kuno,, bebe bebera rapa pa pemi pemiki kiran ran tent tentan ang g kalk kalkul ulus us
integ integra rall telah telah munc muncul ul,, tetap tetapii tida tidak k dike dikemb mban angk gkan an deng dengan an baik baik dan dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir Mesir (1800 (1800 SM) di mana mana orang orang Mesir Mesir menghi menghitun tung g volume volume dari dari piramid terpancung. Archimedes mengembang mengembangkan kan pemikiran pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang heuristik yang menyerupai kalkulus integral. integral. Berikut akan diuraikan tokoh-tokoh yang berperan dalam perkembangan kalkulus pada zaman kuno. Beberapa matematikawan Yunani yang dikenal meng mengem emba bang ngka kan n meto metode de pene penemu muan an luas luas daer daerah ah yang yang menj menjad adii dasa dasar r pen penem emua uan n kalk kalkul ulus us integ integral ral adala adalah h Anth Anthip ipon on,, Eudo Eudoxu xus, s, Eucl Euclid id,, dan dan Archimedes.
1.
Anthipon (4 (430 SM SM) Adalah
oran rang
yang ang
perta rtama
kali
memperkenalk alkan
“metode
exhaustions ”, yaitu penggunaan poligon sederhana yang telah diketahui luasny luasnya, a, yang yang kemudi kemudian an diguna digunakan kan
untuk untuk mengapro mengaproksi ksimas masii luas luas
daerah daerah yang yang lebih lebih komple kompleks. ks. Namun Namun,, Anthi Anthipon pon tidak tidak merumu merumuska skan n
metode ini secara tegas. Metode exhaustions ini secara lebih jelas dan logis dilakukan dan dikembangkan oleh Eudoxus .
2. Eudoxus (408 SM-335 SM).
Berikut contoh penerapan metode exhaustions oleh Eudoxus. A B C O
Gambar-1
Berdasa Berdasarka rkan n gambar gambar-1 -1 menuru menurutt Eudoxu Eudoxuss bahwa bahwa luas luas segi segi enam enam itu mendekati luas lingkaran. Karena luas segi enam itu dapat ditentukan maka luas lingkaran lingkaran dapat ditentukan ditentukan pula. Jika pada lingkaran dibuat segi-n beraturan, dengan n adalah bilangan yang sangat besar maka luas segi n tersebut akan semakin mendekati luas lingkaran. Dalam hal ini sebenarnya Eudoxus telah menggunakan suatu konsep yang saat ini kita kenal sebagai limit.
3.
Euclid Metode exhaustions
juga juga kemu kemudi dian an dike dikemb mban angk gkan an oleh oleh Eucli Euclid d
sebagaimana sebagaimana tertuang dalam bukunya yang berjudul berjudul The Elements Elements. Misalnya, proposisi 2 yang terdapat dalam buku 12 Euclid menyatakan
bahwa bahwa luas luas lingka lingkaran ran propor proporsio sional nal atau seband sebanding ing dengan dengan kuadra kuadratt diameternya. Apa yang dikemukakan Euclid tersebut sekarang ditu dituli lisk skan an dala dalam m pers persam amaa aan n
, teta tetapi pi para para mate matemat matik ikaw awan an
Yunani Yunani saat saat itu tidak tidak menggu menggunak nakan an persam persamaan aan aljaba aljabarr yang yang Euclid Euclid kemukakan.
4.
Arch Archim imed edes es (287 (287 SM-2 SM-217 17 SM) SM) Adalah Adalah matema matematika tikawan wan besar besar dan termasu termasuk k fisika fisikawan wan besar besar pada pada zaman zaman ters terseb ebut ut,, ia meng menggu guna naka kan n meto metode de exhaustions dan non umum. Archimedes Archimedes mengilustrasika mengilustrasikan n dengan dengan exhaustions secara lebih umum. menggunakan orthotome atau atau disebu disebutt juga juga sec secti tion on of righ rightt cone cone (gambar-2).
B
P Q Gambar-2
Archimedes mengkonstruksi suatu barisan takhingga yang dimulai dari
satu luas segitiga ABC yaitu
.
Archimedes Archimedes menyatakan menyatakan bahwa jumlah deret tersebut sama dengan A
. Ini adalah contoh pertama yang diketahui dalam sejarah terkait deng dengan an penj penjum umla laha han n deret deret takh takhin ingg gga. a. Hal Hal ini ini meng mengin indi dika kasi sikan kan
C
Archimedes telah menggunakan konsep yang saat ini dikenal sebagai kekonvergenan deret. Berdasarkan uraian diatas bahwa metode exhaustions merupakan ide yang kreatif yang mendasari perkembangan perkembangan kalkulus kalkulus integral integral modern. modern. Namun Namun demiki demikian, an, tanpa tanpa menggu menggunak nakan an konsep konsep ketakh ketakhing inggaa gaan n atau limit, limit, yang yang tidak tidak dimili dimiliki ki oleh oleh para para matemat matematika ikawan wan terseb tersebut ut akan akan sangat sulit bagi mereka untuk membuat metode exhaustions berlaku secara ketat dan umum.
5.
Zeno Zeno (490 490 SM SM - 420 420 SM) SM).. Sebagaimana yang telah dikemukakan di atas, konsep ketakhinggaan dan limit menjadi demikian demikian penting penting untuk mengembangka mengembangkan n metode metode dalam m pene penemu muan an luas luas suatu suatu daer daerah ah.. Salah Salah satu satu fils filsuf uf exhaustions dala Yunani Yunani yang yang pertam pertamaa kali kali mengem mengemuka ukakan kan konsep konsep ketakh ketakhing inggaa gaan n adalah adalah Zeno Zeno menuru menurunka nkan n parado paradox x yang yang tidak tidak dapat dapat dijela dijelaska skan n atau atau diseles diselesaik aikan an pada pada saat saat itu (Angli (Anglin, n, 1994). 1994). Parado Paradox x terseb tersebut ut adalah adalah misalk misalkan an seseor seseorang ang akan akan berjal berjalan an menuju menuju dindin dinding g yang yang berjar berjarak ak 2 mete meterr dari dari temp tempat atny nyaa berd berdir iri. i. Sebe Sebelu lum m oran orang g ters terseb ebut ut menc mencap apai ai dindin dinding, g, ia harus harus mencap mencapai ai perten pertengah gahann annya ya terlebi terlebih h dahulu dahulu yang yang berjarak 1 meter dari tempatnya berdiri. Untuk mencapai jarak 1 meter, ia juga harus terlebih dahulu mencapai jarak setengahnya pula, yang
berjarak
meter. Sebelum mencapai jarak tersebut ia pun harus terlebih
dahulu mencapai setengah jarak itu yaitu
meter, demikian seterusnya.
Jadi, seseorang harus melakukan proses sebanyak takhingga langkah untuk mencapai dinding tersebut, sehingga orang tersebut tidak akan per perna nah h menc mencap apai ai dind dindin ing g itu. itu. Deng Dengan an kata kata lain lain perg pergera eraka kan n atau atau perpindahan adalah sesuatu yang tidak mungkin terjadi. Jelas bahwa pandangan ini salah, karena kita dapat bergerak mencapai suatu tempat dengan jarak tertentu yang kita kehendaki. Kekeliruan itu baru dapat dijelaskan setelah dikenal konsep kekonvergenan suatu barisan atau deret. Jarak yang ditempuh orang itu untuk mencapai dinding dapat
ditu dituli lisk skan an seba sebaga gaii
. Juml Jumlah ah dere derett itu itu adal adalah ah
, yang sama dengan jarak orang tersebut ke dinding.
b.
Perk Perkem emba bang ngan an Kal Kalku kulu luss pada pada Zam Zaman an Per Perte teng ngah ahan an Pada zaman ini ilmu pengetahua pengetahuan n tidak ada suatu perkembanga perkembangan n yang
berarti. Perkembangan kalkulus pada zaman ini tidak ada perkembangan yang berarti sampai abad ke-16 saat para matematikawan tertarik dalam penyelesaian masalah, seperti penentuan pusat gravitasi.
c.
Perkembangan Kalkulus pada Zaman Modern
Berikut akan diuraikan tokoh-tokoh yang berperan dalam perkembangan kalkulus pada zaman modern.
1.
Luca Luca Vale Valeri rio o (15 (1552 52-1 -161 618) 8)
Mempublikasikan Dequadratura parabola di Roma pada tahun 1606 yang yang memb membah ahas as tent tentan ang g pene penent ntua uan n luas luas daer daerah ah.. Kepl Kepler er,, dala dalam m karyanya yang terkait dengan pergerakan planet, telah menemukan cara penentuan luas elips. Karya lain tentang integral oleh Galileo Galilei (1564-1642) yang menunjukan bahwa luas yang dibatasi oleh kurva kecepatan-waktu adalah sama dengan jarak tempuh. Kontribusi Kontribusi berarti terhadap terhadap perkembang perkembangan an integral integral pada abad ke-16 diberikan oleh matematikawan Cavalieri, Fermat, dan Wallis. Berikut akan diuraikan penemuan-penemuan mereka.
2.
Bona Bonave vent ntur ura a Caval Cavalie ieri ri (159 (15988-16 1647 47)) Bonave Bonaventu ntura ra Cavali Cavalieri eri adalah adalah seoran seorang g matemat matematika ikawan wan Italia Italia yang yang meng mengad adop opsi si ide ide Kepp Keppler ler dan dan Gali Galile leo. o. Ia meng mengem emuk ukak akan an kons konsep ep yang meny menyat atak akan an bahw bahwaa jika jika dua dua bang bangun un geom geometr etrii “indivisbles” yang mempunyai mempunyai tinggi tinggi sama, maka luas masing-masing masing-masing bangun tersebut tersebut akan sebanding dengan panjang alasnya. Dia menggunakan prinsip ini untuk menemukan luas segi empat dan lingkaran. Penjelasan Penjelasan metode metode “indivisbles” adalah adalah sebaga sebagaii beriku berikut. t. Jika Jika suatu suatu kurva kurva dapat dapat dibent dibentuk uk dari dari titik titik yang yang digerak digerakkan kan,, maka maka suatu suatu kurva kurva dapat dipandang sebagai jumlah atau kumpulan titik-titik tersebut. Deng Dengan an pemi pemiki kira ran n ini ini maka maka seti setiap ap kurv kurvaa dibe dibent ntuk uk dari dari seju sejuml mlah ah takbe takberh rhin ingg ggaa titi titik. k. Demik Demikia ian n juga juga suat suatu u daer daerah ah dapa dapatt dipa dipand ndan ang g sebaga sebagaii kumpul kumpulan an sejuml sejumlah ah takhin takhingga gga garis. garis. Sebena Sebenarny rnyaa Cavalie Cavalieri ri bukanlah orang pertama yang menggunakan gambar geometri terkait
5
konsep konsep infitisimal infitisimal karena Kepler telah melakukan melakukan hal ini sebelumny sebelumnya. a. Namun, Cavalieri merupakan orang pertama yang menggunakan ide itu untuk menghitung luas daerah.
5
Gambar-3
1
2
3
4
5
6
Berikut Berikut diberikan diberikan ilustrasi ilustrasi penggunaan penggunaan metode “indivisbles” untuk mene menent ntuk ukan an luas luas daera daerah h segi segiti tiga ga.. Berd Berdas asar arka kan n gamb gambar ar-3 -3 pers perseg egii panjang mempunyai alas 6 satuan dan tinggi 5 satuan, sehingga luasnya adalah 30 satuan luas. Akan diperoleh perbandingan luas sebagai berikut.
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan perbandigan untuk persegi panjang dengan ukuran berbeda misalnya:
Perhatikan bahwa total luas daerah persegi panjang - persegi panjang kecil/dalam selalu sama dengan setengah luas persegi panjang – persegi panja panjang ng besar/ besar/lua luar. r. Cavalie Cavalieri ri menggu menggunak nakan an formul formulaa beriku berikutt untuk untuk mengembangkan metodenya.
Dengan menggunakan rumus ini akan diperoleh:
Cavali Cavalieri eri juga juga mengem mengemban bangka gkan n metode metode ini untuk untuk menent menentuka ukan n luas luas daerah yang dibatasi oleh kurva, misalnya parabola
(gambar-4).
Misal banyaknya persegi panjang itu adalah m. Pada gambar-4 persegi panjang luar mempunyai panjang m+1 dan lebar (tinggi) m 2. Diperoleh perbandingan sebagai berikut.
y
Gambar-4
m +1
Selanj Selanjutn utnya, ya, Cavali Cavalieri eri menggu menggunak nakan an prinsi prinsip p “indivisibles” untuk memb membua uatt
lang langka kah h
pent pentin ing g
dala dalam m
perk perkem emba bang ngan an
kalk kalkul ulus us..
Ia
m^2
menyatakan bahwa jika m semakin besar, maka berapapun besarnya
tidak akan mempengaruhi hasil atau nilai perbandingan itu. Dalam
x
istilah
modern,
sesungguhnya
ia
sedang
menyatakan
Dari persamaan terkahir itu dapat pula diinterpretasikan bahwa jika per perse segi gi
panj panjan angg-pe pers rseg egii
panj panjan ang g
keci kecil/ l/da dala lam m
sema semaki kin n
bany banyak ak
(takhingga (takhingga), ), maka perbandinga perbandingan n luas persegi persegi panjang-pers panjang-persegi egi panjang panjang
dalam dalam dan luas persegi persegi panjan panjang g luar adalah . dalam hal ini, secara secara informal Cavalieri telah menggunakan konsep limit. Dari hal tersebut akan diperoleh ekspresi aljabar untuk menyatakan luas daerah di bawah parabola. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa luas persegi panjang luar luar adal adalah ah
. Deng Dengan an demi demiki kian an,, luas luas daer daerah ah di bawa bawah h
parabola parabola itu sama sama dengan dengan
yaitu
luas persegi persegi panjang panjang yang yang membatasin membatasinya, ya,
. Dengan Dengan teknik teknik itu, Cavalieri Cavalieri telah memberikan memberikan dasar bagi
perkembangan kalkulus integral.
3. John Wallis (1616 – 1703)
John Wallis Wallis menurunka menurunkan n suatu hukum aljabar aljabar integral, salah satunya satunya adalah fungsi berbentuk
(gambar-5)
y
10
Gambar-5
Luas Luasny nyaa adal adalah ah
. Perh Perhat atik ikan an gamb gambar ar di samp sampin ing. g. Secar Secaraa
umum, Wallis menyajikan hubungan anjabar antara fungsi dan luasnya, yaitu luas daerah di bawah fungsi
adalah
4. Pierre De Fermat (1601 – 1665)
Pierre De Fermat menggunakan metode yang unik dalam menentukan luas luas daer daerah ah yang yang diba dibata tasi si oleh oleh suatu suatu kurv kurva. a. Ferm Fermat at memb memberi erika kan n ilustr ilustrasi asi penent penentuan uan luas luas daerah daerah yang yang dibatas dibatasii oleh oleh kurva kurva (gambar-6).
y
y =x^ =x^(p/q) (p/ q) Gambar-6
Dalam hal ini ia menggunakan notasi e, 0
x e^4x
e^ e^3x
e^2x
e^x
. . . dst
Jumlah Jumlah luas luas seluru seluruh h perseg persegii panjan panjang g – perseg persegii panjan panjang g itu adalah adalah sebagai berikut.
yang sama dengan
Bent Bentu uk
yang
adal adalah ah dere derett
jumlahnya
,
sehingga
luas
daerah
itu
geom geomet etri ri
adalah
. Selanj Selanjutn utnya, ya, Fermat Fermat memisa memisalka lkan n e =
sebagai berikut.
Kemudi Kemudian an Fermat Fermat memisa memisalka lkan n E = 1, sehing sehingga ga karena
, maka
dan
harusslah lah sama sama den dengan gan 1. Deng Dengan an e haru
mens mensub ubst stit itus usik ikan an 1 untu untuk k E dala dalam m eksp ekspre resi si diat diatas as dipe dipero role leh h
Meskipun metode itu memberikan hasil yang sesuai untuk luas di bawah kurva, tetapi penentuan nilai E = 1 belum dapat dijelaskan secara rasional. Apa yang dikerjakan Fermat sesungguhnya adalah mengambil limit E mendekati 1 dan E mendekati 1 berarti e juga mendekati 1. Jika e mendekati 1, maka jumlah takhingga luas daerah di bawah kurva dapat ditentukan. Karean Kareanaa Willis Willis dan Fermat Fermat telah telah member memberika ikan n dasar dasar bagi bagi konsep konsep integral modern. Bahkan Lagrange menyebut Fermat sebagai penemu kalkulus.
5.
Newton da dan Le Leibniz Ketika Ketika membic membicarak arakan an konsep konsep kalkul kalkulus us terjad terjadii perdeb perdebatan atan siapak siapakah ah yang pertama kali mengembangkan kalkulus ? Leibniz (1646 – 1716) atau Newton (1642 – 1727). Leibniz adalah orang yang pertama kali mempublikasikan
pene enemuannya,
sementara ara
Newton
telah
mengh menghasi asilka lkan n karya karya tentan tentang g kalkul kalkulus us beberap beberapaa tahun tahun sebelu sebelumny mnya. a. Banyak Banyak orang orang yang yang memper mempertan tanyak yakan an apakah apakah Leibni Leibnizz telah telah meliha melihatt tulisan Newton terlebih dahulu sebelum ia mempublikasikan karyanya. Newto Newton n telah telah mengha menghasil silkan kan karyan karyanya ya tidak tidak lebih lebih dari dari tahun tahun 1666, 1666, sementara Leibniz tidak memulai kerjanya sampai tahun 1673. Leibniz meng mengun unju jung ngii Ingg Inggri riss pada pada tahu tahun n 1673 1673 dan dan pada pada tahu tahun n 1676 1676..
dimu dimung ngki kink nkan an ia meli meliha hatt bebe bebera rapa pa tuli tulisa san n Newt Newton on yang yang tida tidak k dipublikasi dipublikasikan. kan. Ia juga berkorespo berkorespondens ndensii dengan dengan beberapa beberapa ilmuwan ilmuwan Inggris danmungkin memperoleh akses terhadap tulisan Newton. Tidak diketahui secara pasti seberapa banyak hal itu mempengaruhi karya Leibniz. Perdebatan dan saling tuduh terjadi di antara murid – murid kedua mate matemat matik ikaw awan an
ters terseb ebut ut meng mengen enai ai siap siapaa yang yang tela telah h mela melaku kuka kan n
tindak tindakan an plagia plagiat. t. Perdeb Perdebata atan n itu telah telah mempun mempunyai yai pengar pengaruh uh pada pada menurunnya perkembangan matematika saat itu. Baru pada tahun 1820, kalk kalkul ulus us Leib Leibni nizia zian n dapa dapatt dite diterim rimaa di Ingg Inggri ris. s. Saat Saat ini, ini, mere mereka ka mengakui bahwa baik Newton maupun Leibniz secara independen telah mengembang mengembangkan kan dasar-dasar dasar-dasar kalkulus. kalkulus. Leibniz Leibniz yang memberi memberi nama kalkul kalkulus us untuk untuk disipl disiplin in ilmu ilmu terseb tersebut, ut, sement sementara ara Newton Newton member memberii nama dengan “ The Science of Fluents and Fluxions”. Pada tahun 1669, 1669, Newton Newton menyajikan menyajikan metode metode penentuan penentuan luas daerah di bawah suatu kurva dalam karyanya yang berjudul “ On the Analysis
of Equations Unlimited in the Number of Their Terms. Sayangnya pada saat itu karya tersebut tidak dipublikasikan, melainkan hanya diedarkan secara individual dan terbatas. Pada tahun 1670, Issac Burrow, dengan mengg mengguna unakan kan metode metode serupa serupa dengan dengan kalkul kalkulus, us, mengga menggamba mbarr garis garis singgung pada suatu kurva dan menentukan luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva.
Leibniz belajar banyak dalam perjalannya di Eropa ketika ia bertemu dengan Huygens di Paris pada tahun 1672. Ia juga bertemu dengan Hooke Hooke dan Boyle di London London pada tahun tahun 1673 1673 ketika ketika dia membel membelii beber beberapa apa buku buku matemat matematika ika,, termas termasuk uk karya karya Burrow Burrow.. Leibni Leibnizz juga juga melakukan korespondensi dengan Burrow. Ketika dia kembali ke Paris, Leibniz Leibniz mengerjakan mengerjakan beberapa karya yang memberikan memberikan dasar-dasar dasar-dasar yang berbeda dengan yang dihasilkan Newton. Leib Leibni nizz sang sangat at sada sadarr bahw bahwaa mene menemu muka kan n suatu suatu nota notasi si yang yang tepa tepatt merupakan merupakan hal yang penting penting dan mendasar mendasar dan ia mencurahka mencurahkan n waktu untuk untuk hal tersebu tersebut. t. Sement Sementara ara Newton Newton lebih lebih banyak banyak menuli menuliss untuk untuk dirinya sendiri. Ia lebih cenderung menggunakan notasi apa saja yang ia pikirkan pada saat itu. Notasi Leibniz
dan
Lebih
familiar digunakan dalam perkembangan kalkulus berikutnya. Notas Notasii “
diperk diperkena enalka lkan n oleh oleh Leibn Leibniz iz pada pada tahu tahun n 1675 1675 untu untuk k integ integral ral
yang yang merup merupaka akan n modifi modifikas kasii atau perpan perpanjan jangan gan bentuk bentuk huruf huruf S dan kependekan dari summa (dalam bahasa Latin berarti jumlah atau total). Sedangkan notasi modern untuk integral tertentu, dengan tanda batas bawah dan batas atas pertama kali diperkenalkan oleh Joseph Fourier sekitar tahun 1819 – 1820. New Newto ton n dan dan Leib Leibni nizz telah telah mele meleta takan kan dasa dasarr-da dasa sarr perk perkem emba bang ngan an kalkulus meskipun terdapat fakta bahwa diferensial dan integral telah ditemukan oleh Fermat, tetapi Newton dan Leibniz yang memberikan formulasi umum untuk konsep-konsep tersebut. Selain itu, tidak ada
orang sebelum mereka yang menjelaskan kemanfaatan kalkulus sebagai alat hitung matematika secara umum. Salah satu karya penting Newton dan Lebniz adalah teorema dasar kalkulus yang menyatakan terdapat keterhubungan antara proses integral dan diferensial.
6.
Perkemba Perkembangan ngan Kalkulus Kalkulus Integral Integral setelah setelah Newton-L Newton-Leibn eibniz iz Setelah Setelah Newton Newton dan Leibni Leibniz, z, kalkul kalkulus us integr integral al dikemb dikembang angkan kan oleh oleh banya banyak k matema matematik tikawa awan n dan ditunj ditunjuka ukan n banyak banyak aplika aplikasin sinya ya dalam dalam berbagai bidang. Berikut diuraikan beberapa perkembangan lebih lanjut tentang kalkulus.
Gauss (1777 – 1855) telah mengembangkan aplikasi integral dan fisika. Cauchy (1789 – 1857) mengembangkan integral untuk fungsi dengan doma domain in himp himpun unan an bila bilang ngan an komp komple leks ks.. Defi Defini nisi si
inte integr gral al
seca secara ra
matematis juga diberikan oleh Bernhard Riemann (1826 – 1866) . Ia mendas mendasark arkan an pada pada prosed prosedur ur limit limit yang yang mengap mengaprok roksim simasi asikan kan luas luas daerah yang dibatasi oleh kurva liniear dengan membagi daerah itu menjadi beberapa bagian yang berupa persegipanjang. Pada awal abad 19, konsep yang lebih kompleks kompleks tentang integral mulai muncul. muncul. Suatu integral integral garis didefinisika didefinisikan n untuk fungsi dengan dua variabel atau tiga variab variabel el dan interv interval al integr integrasi asi
digant digantika ikan n dengan dengan suatu suatu kurva kurva
tertentu yang menghubungkan dua titik pada bidang atau ruang. Dalam integral permukaan, kurva digantikan dengan sebidang permukaan pada ruang dimensi tiga. Generalisasi dari integral ini pertama kali muncul dari dari kebutu kebutuhan han dalam dalam fisika fisika dan memain memainkan kan peran peran pentin penting g dalam dalam
formulasi hukum-hukum fisika, seperti dalam bidang elektromagnetik. Konsep modern integral didasarkan pada teori matematika abstrak yang dikena dikenall dengan dengan integr integral al Lebesq Lebesque ue yang yang dikemb dikembang angkan kan oleh oleh Henri Henri Lebesque. Integral ini memperumum dari integral Riemenn. Hermite mengemban bangka gkan n kalkul kalkulus us integr integral al Untuk Untuk fungsi fungsi (182 (1822 2 – 1901 1901)) mengem rasional. Pada tahun 1940 Ostrowski memperluas hal itu untuk integral yang melibatkan fungsi logaritma. Kemamp Kemampuan uan untuk untuk menent menentuka ukan n integr integral al tertent tertentu u menjad menjadii semaki semakin n meni mening ngka katt
sete setela lah h
dike dikemb mban angk gkan an
prog program ram
Mathematica
yang
dikenalkan pertama kali pada 1988. Program itu memungkinkan untuk menentukan integral suatu fungsi dengan lebih akurat.
III.
Aplikasi Kalkulus
Kalkulus sangat bermanfaat dalam pengembangan berbagai bidang. Berikut diberikan beberapa contoh penerapan kalkulus 1.
Prediksi cuaca Meteorologi modern merupakan cabang ilmu yang mengawinkan fisika dan matematika. Salah satu fokus bahasan meteorologi adalah prediksi perubahan cuaca. Penelitian yang dilakukan dalam bidang ini terkait dengan pemanasan global, lubang pada lapisan ozon, dan pola cuaca di plane planett lain. lain. Pada Pada tahun tahun 1904 1904 ahli ahli meteor meteorolo ology gy Norweg Norwegia, ia, Wilhel Wilhelm m Bjer Bjerkn knes es (186 (18622-19 1951 51)) meny menyat atak akan an bahw bahwaa kead keadan an atmo atmosf sfer er dapa dapatt
dipred diprediks iksii dengan dengan memperh memperhatik atikan an
variab variabel el waktu waktu yang yang meliba melibatkan tkan
persamaan hidrodinamik menggunakan metode kalkulus.
2.
Pemamfatan data US Federal Bureau Investigation (FBI) telah mengumpulkan sidik jari sejak tahun 1924 dan saat ini telah terkumpul sebanyak 30 juta sidik jari yang yang harus harus disimp disimpan an secara secara digita digitall dalam dalam memori memori komput komputer. er. Untuk Untuk mengorganis mengorganisasi asi dan sekaligus sekaligus menghemat menghemat penyimpana penyimpanan n data tersebut tersebut digunakan metode pemampatan yang didasarkan pada Wavelets yang menggunakan ide-ide kalkulus. Metode ini dapat memampatkan data dengan perbandingan 26:1 dari data semula.
3.
Bidang Ekonomi Kalkulus yang berhubungan dengan bidang ekonomi adalah dalam hal Elas Elasti tisi sitas tas perm permin intaa taan, n, yang yang ditu ditunj njuk ukka kan n deng dengan an sebe sebera rapa pa besa besar r kepekaan kepekaan perubahan perubahan jumlah jumlah permintaan permintaan barang terhadap poerubahan poerubahan harga. harga. Semaki Semakin n besar besar permin permintaan taan barang barang,, maka maka harga harga suatu suatu barang barang tersebut akan turun, begitu juga sebaliknya, semakin langka permintaan barang, maka harga barang tersebut cenderung tinggi/naik. Permintaan pada sebuah barang dapat dikatakan stagnan/inelastis bila permintaan terhada terhadap p suatu suatu barang barang tidak tidak mempen mempengar garuhi uhi terhada terhadap p harga harga barang barang tersebut.
4.
Kalk Kalkul ulus us dari dari bida bidang ng fisi fisika ka,,
kita mengenalnya dengan kecapatan dan percepatan. Kecapatan adalah turuna turunan n posis posisii benda benda terhada terhadap p waktu, waktu, sedang sedangkan kan percep percepata atan n adalah adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua benda terhadap waktu. ds
V= dt dv
a= dt
5.
Bidang ang Astronomi
Dalam Dalam bida bidang ng astro astrono nomi mi ini, ini, kalk kalkul ulus us erat erat hubu hubung ngan anny nyaa deng dengan an gravitasi, dimana tenaga yang diradiasikan oleh sistem bumi-matahari ( power radiated by the earth- sun system), jika dua massa M1 dan M2 dalam orbit keplerian terpisah dalam jarak R, tenaga yang dikeluarka atau dihasilkan atau diradiasikan oleh sistem ini adalah : 32G4 (M1M2)2 (M1+M2) ≈ 27 M1/M2 ( v/c) 5 Ekin, 1/T
P = dE/dt = 5.C5
R 5
Dimana : G = Gravitasi konstan dan Ekin, 1 , T dan v adalah energy kinetik, perode waktu da velocity dari massa pertama
( makalah presentasi Mahasiswa UPI Angkatan 2008) 6.
Bidang Biologi Dalam bidang biologi, kalkulus sangat berkaitan erat dengan dengan tingkat tingkat pertumbuh pertumbuhan an dalam suatu populasi, yaitu ( Makalah Makalah Persentasi Persentasi Filsafat Pendidikan Matematika, mahasiswa angkatan 2008) :
dP/dt = k P, dimana k adalah tingkat produktifitas, ratio yang konstan dari tingkat pertumbuhan pada populasi. P = Po e kt, Dimana Dimana Po adalah adalah popula populasi si pada pada waktu waktu ditelit diteliti,d i,dipa ipanda ndang ng sebaga sebagaii t=0 Pada tahun 1960 Heinz Von Foester, Patricia Mora & Larry Amiot memp memperk erken enalk alkan an
mode modell
pert pertum umbu buha han n
koali koalisi si
dima dimana na
ting tingka katt
produktifitas tidak konsta tetapi adalah sama dengan kPr , dimana pangk pangkat at r adalah adalah positi positip p dan kecil. kecil. Karena Karena tingka tingkatt produk produktifi tifitas tas adalah rasio dP/dt dP/dt = to P, model persamaan persamaan differensialnya adalah dP/dt = k Pr+1 .
IV.
Penutup Tulisan ini mungkin belum menggambarkan perkembangan kalkulus secara secara menyel menyeluru uruh, h, masih masih banyak banyak konstr konstribu ibusi si matemat matematika ikawan wan lain lain yang yang belum disajikan baik karena keterbatasan sumber yang didapat penyusun ataupun karena tidak tercatat dalam sejarah yang tertuliskan pada buku-buku yang berkaitan dengan materi yang dibahas. Oleh karena itu, kritik dan saran kami harapkan guna perbaikan makalah selanjutnya.
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg Kamus Inggris- Indonesia John N. Echols & Hasan Shadily Kamus Besar Bahasa Indonesia Wikipedia
