APLIKASI INTEGRAL
1. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h1, h2, …, hn yang panjangnya Δ1x, Δ2x, …, Δnx (anggap Δ1x = Δ2x = … = Δnx), ambil sembarang titik x = xi pada masing-masing hi dan bentuk persegi panjang yang alasnya hi (jadi panjangnya Δix) dan tingginya f(xi).
Persegi panjang tersebut disebut sebagai persegi panjang pendekatan dengan luas = f(x.i) Δix Sehingga jumlah luas n persegi panjang adalah : ∑ Luasan tersebut merupakan pendekatan dari luas daerah yang dibatasi oleh f(x), sumbu X, dan garis-garis x = a dan x = b. Jika Δkx subinterval n
0, maka banyaknya
∞, sehingga luas daerah tersebut adalah : ∑
∫
Misal : luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x, sumbu X, x = 1 dan x = 3 adalah :
{
∫
}
Ada beberapa hal yang harus diketahui adalah : a. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≥ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah ∫
b. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≤ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah ∫
c. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x) ≤ 0, x = a, x = b, dan sumbu X sama dengan penjumlahan luas masing-masing daerah. Misal pada gambar :
Maka
Luas = Luas I + Luas II + Luas III
Jadi ∫
∫
∫
Atau secara umum luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah ∫ d. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik x = f(y), garis-garis y = a, y = b, dan sumbu Y adalah : ∫ e. Kalau fungsi f(x) dan g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, secara umum berlaku bahwa luas daerah yang dibatasi oleh f(x) dan g(x), garis x = a serta x = b adalah :
∫ seperti tampak pada gambar berikut :
atau bila f(y) dan g(y) kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(y), g(y), garis y = a, dan y = b, adalah : ∫ Seperti tampak pada gambar berikut :
Catatan Penting : Untuk menghitung luas suatu daerah bidang dengan integral, secara umum bisa dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Buat gambar daerah yang dimaksud, juga persegi panjang pendekatannya dengan tebal Δx (bila persegi panjang tegak / vertikal) atau Δy (bila persegi panjang mendatar / horizontal). 2. Tentukan luas persegi panjang pendekatan, tentukan batas kiri / kanan (untuk yang tegak) atau batas bawah / atas (untuk yang mendatar). Kemudian gunakan integral untuk menghitung jumlah luas persegi panjang tersebut yang banyaknya dibuat menjadi ∞.
Contoh pemakaian integral untuk menghitung luas daerah : 1) Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4, garis x = 0, x = 3, dan sumbu X adalah :
Jadi luas daerah tersebut adalah : ∫
∫
(
)
(
{(
)
}
) {(
{
}
{(
)
(
)
(
)
) (
(
)}
)}
Jika dilakukan penghitungan nilai integral secara langsung, maka akan terjadi kesalahan yaitu ∫
(
)
(
)
(salah !!! tidak ada besar luasan yang bernilai negatif). 2) Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4 dan garis y = 3x. Titik potong parabola f(x) = y = x2 – 4 dan garis lurus g(x) = y = 3x adalah (4, 12) dan (-1, -3)* *) y = x2 – 4 dipotongkan dengan garis y = 3x maka x2 – 4 = 3x atau x2 - 4 3x = 0. Dengan menggunakan pencarian akar kuadrat dari persamaan kuadrat x2 – 4 - 3x = 0, diperoleh (x – 4)(x + 1) = 0, berarti x = 4 atau x = -1. Untuk x = 4, maka y = 12, dan untuk x = -1, maka y = -3. Sehingga diperoleh pasangan titik potong kedua kurva yaitu (4, 12) dan (-1, -3). Grafik dari kurva seperti berikut :
Sesuai dengan kondisi (E), maka dapat dihitung luas daerah sbb : ∫
∫
∫
Selanjutnya perlu diselidiki tanda-tanda dari persamaan kuadrat tersebut yaitu: x2 - 3x - 4 = (x – 4)(x + 1). +++---+++ -1
4
Jadi pada interval -1 ≤ x ≤ 4, x2 - 3x – 4 ≤ 0 sehingga penghitungan luas dilakukan dengan menegasikan nilai integrand-nya sbb : ∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
(
) )
(
)
Sebagai catatan bahwa jika dilihat dari gambar, maka pada interval -1 ≤ x ≤ 4, kurva garis terletak di atas kurva parabola yang berarti bahwa g(x) – f(x) bernilai positif atau 3x – (x2 – 4) positif, sehingga luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut bisa langsung dihitung menggunakan : ∫
}
∫{
∫
∫
3) Luas daerah satu ruas sikloida x = t – sin t, y = 1 – cos t seperti ditunjukkan pada gambar berikut adalah :
Luas satu ruas dapat diambil misalnya untuk t = 0 sampai 2π. Karena x = t – sin t, maka dx = dt – cos t dt = (1 – cos t) dt. Sehingga ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ untuk menghitung nilai integral ∫ trigonometri cos2t = 1 - sin2t, sehingga ∫
∫
gunakan kesamaan fungsi
∫
∫
∫ dihitung menggunakan kesamaan trigonometri (1− cos ) = 2sin2
∫
½ x , dengan demikian sin2t = ½(1 – cos2t) sehingga ∫
∫
∫
∫
∫
∫ Dengan substitusi u = 2t, maka du = 2 dt, sehingga ∫
∫
∫
Jadi ∫
2. VOLUME BENDA PUTAR Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu.
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1.
Metode cakram
2.
Metode cincin
3.
Metode kulit tabung
1. Metode Cakram Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotongmotongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
Bentuk cakram di bawah dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V = r2h atau V = f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V = f(x)2 x V = lim f(x)2 x a
v [ f ( x)]2 dx 0
Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b]. Misal pusat cakram ( xo,0 ) dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan : A( xo ) = π f2 (xo). Oleh karena itu, volume benda putar :
∫
[
]
Sedangkan bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar : ∫ [
]
Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x) ≥ 0 , y = g(x) ≥ 0 { f(x) ≥ g(x) untuk setiap x є [a,b] }, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume: ∫
[
]
[
]
Bila daerah yang dibatasi oleh x = w(y) ≥ 0 , x = v(y) ≥ 0 { w(y) ≥ v(y) untuk setiap y є [ c,d ] }, y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume: ∫
[
]
[
]
Contoh : 1) Hitung Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = x2 dan y2 = 8x diputar mengelilingi a. Sumbu X. b. Sumbu Y Jawab : Kedua kurva berpotongan di (0,2) dan (2,4) a. Pada selang [0,2],√
. Volume benda putar =
∫[ √
]
b. Pada selang [0,4],√ ∫ [(√ )
. Volume benda putar =
( ) ]
2) Hitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = 2 - x2 , y = -x dan sumbu Y, bila diputar mengelilingi garis y = -2 Jawab : Kedua kurva berpotongan di (-1,1) dan (-2,2). Pada selang [-1,0] berlaku 2 – x2 -x. jarak kurva y = 2-x2 dan y = -x terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat dipandang sebgai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah (4-x2) dan (2-x). oleh karena itu, volume benda putar : ∫[
]
3) Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab : Langkah penyelesaian: a. Gambarlah daerahnya
y x2 1
b. Buat sebuah partisi
y x2 1
c. Tentukan ukuran dan bentuk partisi
d. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. V = r2h V = (x2 + 1)2 x V = (x2 + 1)2 x V = lim (x2 + 1)2 x ∫
∫
[ (
] )
4) Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab : Langkah penyelesaian: a. Gambarlah daerahnya
y x2
b. Buatlah sebuah partisi
y x2
c. Tentukan ukuran dan bentuk partisi
d. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. V = r2h V = (y)2 y
V = y y V = lim y y ∫
∫
[ (
] )
2. Metode Cincin Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotongmotongnya yang potongannya berbentuk cincin. Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di bawah, yaitu V= (R2 – r2)h
Contoh : Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab : Langkah penyelesaian: a. Gambarlah daerahnya
y x2
b. Buat sebuah partisi
c. Tentukan ukuran dan bentuk partisi
d. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. V = (R2 – r2) h V = [ (2x)2 – (x2)2 ] x V = (4x2 – x4) x V = (4x2 – x4) x V = lim (4x2 – x4) x ∫
[ ( (
3. Metode Kulit Tabung
] ) )
Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar di bawah.
Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x, dan tinggi tabung h = f(x).oleh karena itu volume benda putar :
∫ Misalkan daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x) {f(x)
g(x), x
[a,b]
}, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y. maka volume benda putar : ∫
[
]
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x = w(y), x =0, y =c dan v = d diputar mengelilingi sumbu X. maka volume : ∫ Sedangkan untuk daerha yang dibatasi oleh x = w(y), x =v(y) {w(y) y
v(y),
[c,d]} , y =c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. maka volume benda
putar: ∫
[
]
Contoh : 1) Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabola y = 2 - x2 dan di atas parabola y = x2 diputar mengelilingi sumbu Y. Jawab : Kedua parabola berpotongan di (-1,1) dan (1,1). Pada selang [0,1]. 2-x2 x2. Bila digunakan metode kulit tabung volume: ∫ [
]
2) Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y = 1 - x2 , sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1 Jawab :
Missal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda pejal, (1-x2) dan jari-jari (jarak x terhadap sumbu putar / garis x -1), (1+x). oleh karena itu, volume benda putar : ∫ 3) Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab : Langkah penyelesaian: a. Gambarlah daerahnya
y x2
b. Buatlah sebuah partisi
c. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
d. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. V = 2rhx V = 2(x)(x2)x V = 2x3x V = lim 2x3x ∫
[
]
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.
V = (R2 – r2)y V = (4 - x2)y V = (4 – y)y V = lim (4 – y)y ∫
[
]
