INTEGRAL KALKULUS “
”
Application of Integral Calculus in Science
Lecture : Atmini Dhoruri, MS.
Created by : Sinta Aulia Devi Maharani 12315244021
International International Science Education Program Faculty of Mathematics and Natural Science State University of Yogyakarta 2014
1
PENERAPAN INTEGRAL KALKULUS DALAM SAINS Kalkulus adalah pelajaran tentang kebergantungan, gerakan, dan laju perubahan. Pada kebergantungan yang divisualkan sebagai fungsi y = f(x), gerakan x akan menghasilkan gerakan y yang lajunya bergantung dari x. Dalam kalkulus integral dipelajari tentang bagaimana menentukan kebergantungannya jika informasi laju perubahannya diberikan. Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari s uatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan. Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama. Kalkulus tersebut mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus integral. Kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Dan cabang-cabang dari kalkulus ini mempunyai banyak aplikasi baik dalam kehidupan sehari, dalam dunia pendidikan ataupun kesehatan. Aplikasi dari kalkulus integral dalam dunia sains meliputi perhitungan jarak, luas, volume, usaha, dan tekanan. Misalnya untuk menghitung suatu luas daerah. Prinsipnya kita harus membagi daerah tersebut menjadi beberapa bagian, dimana tiap bagian merupakan daerah diantara dua kurva.
Misal suatu daerah dibatasi oleh y = f(x) ≥ 0, x = a , x = b dan sumbu X. Maka luas daerah dihitung dengan integral tentu sebagai berikut :
L = a∫b f (x) dx Bila f(x) ≤ 0 maka integral dari f(x) pada selang [a,b ] akan bernilai negatif atau nol. Oleh karena itu luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x)≤ 0, garis x = a, x = b dan sumbu X, dituliskan sebagai berikut :
2
L = -a∫b f (x) dx Untuk daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi yang dinyatakan secara eksplisit dalam peubah y, yakni x = v(y), garis y = c, y = d dan sumbuY, maka luas daerah :
L= c∫d v (y) dy Untuk menghitung jarak yang ditempuh dengan lama waktu tert entu
Jarak = kecepatan x waktu Jika kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa dilakukan dengan perkalian, namun jika kecepatan berubah, maka diperlukan sebuah metode yang lebih canggih. Salah satu metode tersebut adalah memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak interval waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan total keseluruhan jarak yang didapat. Konsep dasarnya adalah, jika interval waktu sangat singkat, maka kecepatan dalam interval tersebut tidak berubah banyak. Namun, penjumlahan Riemann hanya memberikan nilai perkiraan. Kita harus mengambil sebuah limit untuk mengdapatkan hasil yang tepat.
Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f ( x), antara dua titik a dan b. Jika f(x) pada diagram di samping mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak yang ditempuh antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir. Untuk memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antar a dan b menjadi beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan
Δx.
Untuk
setiap segmel, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f ( x). Nilai tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah persegi panjangan dengan lebar
3
Δx dan
tinggi h memberikan nilai jarak
yang ditempuh di segmen tersebut. Dengan menjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan jarak tempuh antara a dan b. Nilai Δx yang lebih kecil akan memberikan perkiraan yang lebih baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil limit Δx mendekati nol.
Simbol dari integral adalah
, berupa S yang dipanjangkan (singkatan dari "sum"). Integral
tertentu ditulis sebagai
∫ () dan dibaca "Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x." Integral tak tentu, atau anti derivatif, ditulis: .∫ () Oleh karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y ' = 2 x (di mana C adalah konstanta), .∫
Untuk lebih kompleksnya, integral memiliki aplikasi dalam dunia pendidikan sains yaitu dalam bidang fisika arus dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam ruang. Hubungan integral dengan arus dan daya listrik yaitu berkataian dalam rumusnya dalam permukaan yang tertutup dan dalam ruangan. Dan disini kita akan membahasnya yaitu:
1. Arus Listrik dalam Permukaan Tertutup Arus yang mengalir dalam suatu permukaan tertutup dengan kerapatan arus J dapat ditentukan dengan perhitungan integral tertutup :
I = J/A
I = arus listrik dalam permukaan tertutup (A) J = kerapatan arus (A/m2) d A = komponen diferensial permukaan. 4
2. Perumusan daya listrik dalam ruang Dalam kasus umum, persamaan P = VI harus diganti dengan perhitungan yang lebih rumit, yaitu integral hasil kali vektor medan listri k dan medan magnet dalam ruang tertentu.
Selain itu, integral kalkulus dalam ilmu sains digunakan untuk mempelajari kecepatan tubuh saat jatuh, tingkat perubahan dalam reaksi kimia, atau tingkat peluruhan bahan radioaktif. memecahkan masalah seperti tingkat pertumbuhan koloni bakteri sebagai fungsi waktu dan dapat digunakan dalam bidang statistic dan probabilitas. Kalkulus dapat diterapkan untuk banyak masalah yang melibatkan gagasan jumlah ekstrim, seperti yang tercepat, paling lambat, paling banyak, atau paling sedikit. Dengan kalkulus sangatlah mungkin untuk menentukan seberapa tinggi proyektil dengan menemukan titik dimana perubahan atas ketinggian terhadap waktu, yaitu kecepatan sama dengan nol. Dasar kalkulus yang membedakannya dari cabang matematika lainnya dan merupakan sumber dari mana semua teori kalkulus dikembangkan, adalah teori limit fungsi dari variabel. Selain itu, integral memberikan kontribusi yang besar kepada bidang ilmu teknik dan sains, salah satu dari kontribusi integral adalah menghitung gaya dan usaha yang dilakukan oleh fluida pada sisi-sisi wadah, apabila bentuk wadah tidak datar maupun wadah yang asimetris atau tidak teratur. `
Dibawah ini merupakan beberapa contoh soal integral beserta jawaban yang
berhubungan dengan ipa. 1. Diketahui suatu mobil bergerak dengan persamaan kecepatan
,
dengan v dalam satuan meter per sekon dan t dalam satuan sekon. Tentukan perpindahan mobil setelah menempuh waktu t=3 sekon! Jawab:
Persamaan perpindahan dapat dicari dengan mengintegralkan persamaan kecepatan
∫ ∫( ) 5
Jadi, perpindahan mobil setelah menempuh waktu t=3 sekon adalah 30 meter. 2. Percepatan suatu benda dilukiskan dengan suatu persamaan
( )
Benda tersebut bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s dan bergerak ke ara h kanan. Berapakah kecepatan benda tersebut setelah 2 sekon? Jawab:
( ) Pertama-tama harus dicari persamaan yaitu:
∫ ( ) ( ) ()
Setelah itu substitusikan t=2, maka: ()
Jadi, kecepatan benda setelah 2 sekon adalah 21 m/s. 3. Sebuah cakram mempunyai jari-jari 10 cm digunakan dalam percobaan praktikum fisika. Pada saat pemutaran didapatkan percepatan dengan persamaan
dengan t
dalam sekon.Tentukan kecepatan sudut pada cakram setelah 2
sekon! Jawab: 6
R = 0,1 m
Rumus mencari kecepatan sudut ω adalah V = ω.R. Sedangkan kecepatan V dapat dicari dengan mengintegralkan persamaan percepatan a.
∫ ∫( ) () = 16 – 4 = 12
Sehingga, kita dapat mencari besar kecepatan sudut ω: ω =V/R = 12/0,1 = 120 rad/s Jadi, kecepatan sudut cakram setelah 2 sekon adalah 120 rad/s 4. Sebuah partikel bergerak pada bidang x-y. Posisi awal partikel adalah pada koordinat (2,4) m, dengan kecepatan partikel memenuhi persamaan⃗
( ) ⃗
dengan t dalam sekon.Tentukan: a. Persamaan vektor posisi partikel. b. Posisi partikel pada saat t=3 sekon. Jawab:
⃗ ( )⃗
, maka
Posisi awal (2,4) m, maka a. ⃗
dan .
dan
∫ ∫ 7
∫ ∫( ) Jadi, vektor posisi partikel adalah⃗
( ⃗ ) (
) ) .
b. Posisi partikel pada saat t=3 sekon:
) ( ) ⃗ ( ⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ⃗ ⃗ ⃗ Jadi, vektor posisi pada saat 3 sekon adalah⃗
(⃗ ⃗)
meter.
5. Vektor percepatan sebuah partikel bergerak dalam bidang xy diberikan oleh ⃗
( ) ⃗ ( ) ⃗
, dengan⃗ dalam meter per sekon kuadrat dan t
dalam sekon. Carilah posisi partikel sesaat! Jawab:
⃗ ( )⃗ ( ) ⃗ Pertama-tama integralkan vektor percepatan sehingga di dapat vektor kecepatan.
⃗ ∫⃗ ∫(( )⃗ ( )⃗) ( )⃗ ( ) ⃗ Vektor posisi dicari dari integral vektor kecepatan
⃗ ∫⃗ ∫(( )⃗ ( )⃗) ( )⃗ ( ) ⃗ Jadi, posisi partikel sesaat adalah⃗
( ) ⃗ ( ) ⃗ 8
6. Sebuah batu dilempar ke atas dengan kecepatan awal 128 ft/sec. Kita mengetahui bahwa percepatan batu itu sesuai dengan gravitasi dalam arah ke bawah.
a.
Tentukan fungsi kecepatan vertikal v(t) dan fungsi ketinggian s (t)
b.
Berapa tinggi yang dicapai batu itu?
c.
Berapa lama akan di ambil batu iu untuk sampai di tanah?
Jawab: a. Andaikan batu dilempar pada waktu t = 0 dan arah positif ke atas, maka v(0) = 128. Karena percepatan arahnya ke bawah, maka a(t) = -32 Dari v’(t) = a(t), maka v(t) =
∫
Karena v(0) = 128 = 32 (0) + C + 128 Maka v(t) = -32t + 128
Untuk menentukan s(t), ingat bahwa s’(t) = v(t) atau Sehingga s(t) = ∫ ()
= v(t)
( )
Untuk menghitung C, kita gunakan syarat awal bahwa pada waktu t=0 ketinggian objek itu adalah nol. Oleh karena itu, s (0)=0 sehingga C1 =0 dan s(t)=-16t + 128t adalah fungsi yang meberikan ketinggian objek itu pada sembarang waktu. b. Titik tertinggi dari pelayangan batu itu terjadi ketika v(t)=0. Maka, v(t)=-32t+128=0 <-> 32t=128 <-> t=4 Hitung fungsi jarak (jauh) yaitu: S (4)=-16(4)2 +128(4) = -256+512=256 Jadi, titik tertingginya adalah 256 ft. c. Ketika objek itu jatuh ke tanah, s(t)=0, sehingga: 9
16t(-t+8)=0 16t=0 <-> t=0 atau – t+8=0 <-> t=8 Objek itu dilempar pada waktu t=0 dan pada waktu t=8 detik objek itu kembali ke tanah. Jadi, lama pelayangan batu itu adalah 8 detik. 7. Percepatan suatu benda yang bergerak dapat dirumuskan a = 5t – 4. Pada saat t = 1 diperoleh jarak s = 2 dan kecepatannya pada t =2 a dalah 9 (a = Tentukan
rumus untuk s !
Jawab: a = 5t – 4 = 5t – 4
dv = 5t – 4 dt
∫ dv = ∫ 5t -4 dt v =∫ 5t -4 dt v=
– 4t + c
Saat t=2, v=9, maka: 9=
– 4.(2) + c
9 = 10 – 8 + c 9 = 2 + c <-> c = 7 maka v =
dan v = ).
– 4t + 7
– 4t + 7
10
ds =
– 4t + 7dt
∫ ∫ ∫ ∫ saat t = 1, s = 2, maka:
() ( ) () Jadi, s = ∫
8. Posisi awal mobil adalah pada koordint (2,0). Komponen kecepatan dinyatakan: Vx = 2t, Vy = 5 + 0,75 t 2 Tentukan: a.
Persamaan umum posisi mobil
b.
Posisi mobil saat t= 2s
Jawab: X0 = 2 dan y0 = 0 r= xi + yi
x= x0 + ∫
∫ ( ) ( ) = 2 + (t2 + C) – (02 + C) = 2 + t2
11
y = y0 + ∫
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ √ 9. Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan persamaan percepatan a(t)= -12t + 24 m/detik. Jika kecepatannya pada t = 0 adalah 20 m/detik. Tentukan persamaan kecepatan moleku ltersebut ! Penyelesaian: Percepatan molekul a(t) = -12t +24 Sehingga : v = dt v = dt v = -6t2 + 24t + C pada t=0, vo = 20 m/detik, maka 20 = 0 + 0 + C, C = 20 Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = -6t2 + 24t + 20 10. Sebuah muatan tertutup mencakup sebuah muatan netto sebesar
berada
pada pusat sebuah bola dengan jari-jari 10 cm. berapakah fluks listrik yang melalui permukaan bola ?
12
Penyelesaian Deskripsi fisika
q
Rencana solusi
∮ ⃗
Melaksanakan rencana
⁄
⁄
Evaluasi solusi ⁄
(tepat, rasional dan kompleks)
11. Sebuah silinder sangat panjang dengan radius 20 cm, panjang L. Hitunglah kuat medan listrik disuatu titik a yang berjarak 40 cm dari sumbu silinder, jika rapat muatan silinder sebesar
⁄?
Penyelesaian Visualisasi masalah
⁄
R
L
13
Deskripsi masalah
R
Rencana solusi
∮ ⃗
Integral permukaan tertutup dapat diuraikan menjadi
∮ ⃗ ∫ ⃗ ∫ ⃗ ∫ ⃗
∮ ⃗ ∫ ⃗ ∫ ⃗ Luas selubung selinder =
()()
dimana
Pelaksanaan rencana
14
( )
⁄
Penerapan integral semakin banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan terutama bidang sains biologi yang mempelajari tentang keluaran kardiak jantung. Pada gambar dibawah ini menunjukkan sistem kardiovaskular manusia. Darah kembali dari tubuh melalui pembuluh darah balik (vena), memasuki serambi kanan jantung, dan dipompa ke paru-paru melalui arteri pulmonari untuk oksigenasi. Darah kemudian mengalir kembali ke serambi kiri melalui vena pulmonari dan kemudian keluar ke seluruh tubuh melalui aorta. Laju aliran darah ke aorta atau volume darah yang dipompa jantung per satuan waktu disebut dengan keluaran kardiak atau curah jantung. Keluaran kardiak jantung dapat diukur dengan menggunakan metode pengenceran zat warna. Zat warna digunakan untuk mengukur keluaran kardiak. Zat warna yang disuntikkan ke dalam serambi kanan mengalir melalui jantung ke aorta. Alat pemeriksa yang dimasukkan kedalam aorta berfungsi untuk mengukur konsentrasi zat warna yang meninggalkan jantung pasa saat yang tersebar merata sepanjang selang waktu [0, T] hingga seluruh zat warna dikeluarkan. Misalkan c(t) adalah konsentrasi zat warna pada saat t. Jika kita bagi [0, T] atas selang bagian
dengan panjang ∆t yang sama, maka jumlah zat warna yang mengalir
melalui
titik
ukur
selama selang bagian dari t = ti-1 ke t = ti kurang lebih sama dengan (konsentrasi)(volume) = c(t1)(F ∆t) dengan F menyatakan laju aliran yang sedang kita coba tentukan. Jadi, jumlah total zat warna kurang lebih sama dengan
∑ ( 1) F ∆t = F ∑ ( 1) ∆t dan dengan mengambil n → ∞,
kita peroleh bahwa jumlah zat warna adalah
A = F ∫
15
()
Jadi keluaran kardiak adalah sebagai berikut:
∫ ()
Dimana jumlah zat warna A diketahui dan integral dapat dihampir dari pembacaan konsentrasi.
16
