BAB VIII APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI
8.1
Pengantar Di bab ini akan dipelajari mengenai aplikasi hitung integral dalam bidang
ekonomi, yaitu mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya). Seperti mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, fungsi biaya total dari biaya marginal. marginal. Mencari fungsi konsumsi konsumsi dari fungsi konsumsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal dan fungsi kapital dari fungsi investasi. investasi. Penentuan fungsi asal dari fungsi marginalnya marginalnya yang di kemukakan kemukakan di atas merupakan aplikasi integral tak tentu dalam bidang ekonomi. Di samping itu bab ini akan di pelajari juga konsumen surplus dan produsen surplus yang merupakan aplikasi integral tertentu dalam bidang ekonomi.Tujuan bab ini . setalah mempelajari bab ini peserta didik (mahasiswa) di harapkan mampu menerapkan hitung integral dalam bidang. 8.2 8.2
Apli Aplika kasi si Inte Integr gral al Tak Tak Ten Tentu tu Dala Dalam m Bid Bidan angg Eko Ekono nomi mi Pada Pada umum umumnya nya aplika aplikasi si di sini sini berka berkait itan an denga dengann menca mencari ri fungs fungsi-f i-fung ungsi si
ekonomi ekonomiyang yang merupaka merupakann fungsi fungsi primiti primitiff (fungsi (fungsi asal) asal) dari fungsi fungsi margina marginalnya lnya.. Mencari fungsi biaya total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi. Fungsi Biaya Total (C)
Fungsi Fungsi biaya biaya total total merupak merupakan an integral integral dari biaya biaya margina marginalnya lnya,, dan sebaliknya biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. C=∫ MC dq
Fungsi Penerimaan Total (R)
Fung Fungsi si pene peneri rima maan an tota totall meru merupa paka kann inte integr gral al dari dari pene peneri rima maan an marginalnya, marginalnya, dan sebaliknya sebaliknya penerimaan penerimaan marginal marginal merupakan merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. R=∫ MC dq
Fungsi Konsumsi (C)
Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC), dan sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi. C=∫ MPC dy
Fungsi Tabungan (S)
Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS), dan sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan. S=∫ MPS dy
Fungsi Model (K)
Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan integral dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi bersih merupakan turunan pertama dari fungsi kapital. K t=∫ I(t) dt Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi marginalnya, di bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat membedakan konsumsi (C), biaya total (C) dengan tetapan/konstanta integrasi (C), khusus dalam integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka tetapan integrasi di simbolkan dengan K. Contoh 8.1
Biaya Marginal di tunjukkan oleh MC=150-80q+10q2. Biaya tetapnya adalah 134. Carilah fungsi biaya totalnya, fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya variabelnya. Penyelesaian
Fungsi biaya total, C = ∫ MC dq
= (150 - 80q + 10q2)dq
(K = Konstanta Integrasi) Bila q = 0 dimasukkan ke dalam fungsi C = f(q) tersebut, didapat biaya tetap (FC) sebagai berikut :
134 = K = FC Jadi, fungsi biaya totalnya adalah :
Fungsi biaya rata-ratanya
Fungsi biaya variabel VC = C – FC
Contoh 8.2
Penerimaan marginal di tunjukkan oleh MR = 20 – 4q (q = kuantitas barang) Tentukanlah :
(a) Fungsi penerimaan total (b) Fungsi permintaan Penyelesaian (a) Fungsi penerimaan total
R
= ∫ MR dq = ∫ (20 – 4q) dq = 20q – 2q2 + C
Bila q = 0, maka R = 0. Selanjutnya nilai C (konstanta Integrasi) dicari dengan memasukkan q = 0 dan R = 0 ke dalam persamaandi atas akan di dapat nilai C sebagai berikut : R = 20 q – 2q2 + C 0 = 20 (0) – 2 (0)2 + C C=0 Jadi, fungsi penerimaan totalnya adala : R = f(q) = 20q – 2q2 (b) Fungsi permintaaan
R = q.p
→
Jadi, fungsi permintaannya adalah q =
Contoh 8-3
Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah 0,8. Bila pendapatan nol (y = 0) maka besarnya konsumsi adalah 50. Tentukanlah besar konsumsinya. Penyelesaian
C = ∫ MPC dy = ∫ 0,8 dy = ∫ 0,8 y + K Selanjutnya di cari terlebih dahulu nilai K (Konstanta Integrasi) degan memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 50, ke dalam persamaan di atas akan di dapat K sebagai berikut : C = 0,8 y + K 50 = 0,8 (0) + K K = 50 Jadi, fungsi konsumsinya C = f(y) = 0,8 y + K = 0,8 y + 50 Contoh 8-4
Hasrat
marginal
untuk
konsumsi
(MPC)
adalah
MPC
. Apabila pendapatan nol (y = 0), konsumsinya sebesar 10. Tentukanlah fungsi konsumsinya C = f(y). Penyelesaian Fungsi konsumsinya C = ∫ MPC dy
=
Selanjutnya di cari terlebih dahulu ilai (K=Konstanta Integrasi) dengan memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 10 ke dalam persamaan di atasdi dapat K sebagai berikut :
Jadi, fungsi konsumsinya, C = f (y)
Contoh 8-5
Hasrat marginal untuk menabung, MPS = 0,25 Bila pendapatan nasional 100, terjadi tabungan negatif sebesar 10. Tentukanlah fungsi tabungan, S = f(y) dan tentukanlah pula fungsi konsumsi C = f(y). Penyelesaian
MPS = 0,25 S = ∫ MPS dy = ∫ (0,25) dy = 0,25y + K Selanjutnya di cari terlebih dahulu nila K (konstanta Integrasi) dengan memasukkan y = 100 dan S = -10 ke dalam persamaan di atas di dapat K sebagai berikut : S
= 0,25y + K
-10
= 0,25 (100) + K
-10
= 25 + K
K
= -35
Jadi, fungsi tabungannya S
= f (y) = 0,25y + K = 0,25y - 35 = -35 + 0,25y
Fungsi konsumsinya
Y
=C+S
C
=y–S = y – (-35 + 0,25y) = y + 35 – o,25y = 35 + 0,75y
Jadi, fungsi konsumsinya, C
= f (y) = 35+ 0,75y
Contoh 8- 6 Tingkat investasi bersih, l = 20 t2/5 dan stok kapital (modal) pada awal tahun, t = 0 adalah 75 . Tentukanlah fungsi kapitalnya Penyelesaian
l(t)
= 20 t2/5
K t
= ∫ l(t) dt = 20 ∫ t2/5 dt
Selanjutnyadicari
terlebih
dahulu
nilai
C(konstantaintegrasi)
dengan
memasukkan nilai t = 0 dan K t = 75, kedalam persamaan diatas didapat nilai C sebagai berikut :
75 = C
Jadi fungsi kapitalnya K t = f(t)
Contoh 8 – 7
Tingkat investasi bersih adalah l = 50 t 2/3 dan stok kapital pada tahun pertama ( t = 1) adalah 150.carilah fungsi kapitalya. Selanjutnya berapakah besar kapital pada tahun ke empat. Penyelesaian
I = 50 t2/3 K t
= ∫I(t) dt =
∫(50t2/3) dt = 50 ∫ t2/3 dt
Dicari terlebih dahulu nilai C (konstanta integrasi) dengan memasukkan
t=1
dan K t = 150 ke dalam persamaan di atas, didapat nilai C sebagai berikut : K t 150 = 30 (1)
5/3
+C
150 = 30(1) + C C = 120 Jadi, fungsi kapitalnya K t = f(t)
Besarnya capital pada tahun keempat ( t = 4)
K t
Contoh 8 – 8
Biaya marginal untuk memproduksi sejenis barang MC = 3q2 – 24q + 45 Jika untuk memproduksi 1 unit barang tersebut diperlukan biaya 44 tentukanlah : (a) Fungsi biaya totalnya (b) Besar biaya total, biaya rata-rata serta biaya marginal pada saat output 2 unit Penyelesaian
(a) Fungsi
biaya total, → C = ∫ (MC) dq = ∫ (3q2 – 24q + 45) dq = q3 – 12q2 + 45q + K
SELANJUTNYA
NILAI
K (K ONSTANTA I NTEGRASI)
DAHULU DENGAN MEMASUKKAN Q PERSAMAAN DI ATAS DI DAPAT
DICARI TERLEBIH
= 1 DAN C (BIAYA) = 44 KE DALAM
:
C = Q3 – 12Q2 + 45Q + K 44= (1)3 – 12(1)2 + 45(1) + K K = 44 – 34 = 10 JADI FUNGSI BIAYA TOTALNYA
C = Q3 – 12Q2 + 45Q + K = Q3 – 12Q2 + 45Q + 10 (b) Besarnya biaya total, bila q = 2
C = q3 – 12q2 + 45q + 10 = (2)3 – 12(2)2 + 45(2) + 10 = 60 Besarnya biaya rata-rata, bila q = 2
Besarnya biaya marginal, bila q = 2 MC = 3q2- 24q +45 = 3(2)2 – 24(2) + 45
=9 Contoh 8-9
Seorang monopolis memiliki fungsi MR = 16 – 5Q MC = 4Q – 2 FC = 10 q = kuantitas output dan p = harga per unit output. Apabila si monopolis menghendaki keuntungan yang maksimum, (a) Berapa unitkah sebaiknya ia berproduksi dan dengan harga berapa tiap output unit di jual. (b) Berapa besar keuntungan yang akan di peroleh si monopolis Penyelesaian MR = 16 – 5q R” = -5 R = ∫ MR dq = ∫ (16 – 5q) dq = 16q – 5/2q2 + K = -5/2 q2 + 16q + K MC = 4q – 2 C” = 4 C
= ∫ MC.dq = ∫ (4q – 2) dq = 2q2 – 2q + K
Bila q = 0, maka C = FC = 10. Selanjutnya nilai K (Konstanta Integrasi) di cari terlebih dahulu dengan memasukkan q = 0, C = 10 ke dalam persamaan di atas, di dapat : C = 2q2 – 2q + K 10 = 2(0)2 – 2(0) + K 10 = k Jadi, C = 2q2- 2q + K = 2q2- 2q + 10
Bila q = 0, maka R = 0, selanjutnya nila K (Konstanta Integrasi) di cari terlebih dahulu dengan memasukkan q = 0, R = 0 ke dalam persamaan di atas, di dapat : R = 16q – 5/2 q2 + K 0
= 16 (0) – 5/2(0)2 + K
K =0 Jadi, R = 16q – 5/2q2 +0 = -5/2q2 + 16 q Besarnya profit/laba,
Laba tersebut akan maksimum bila memenuhi dua syarat : 1) MR = MC
→
16q – 5q = 4q – 2 9q = 18 q=2
2) R” < C” pada q = 2)
→
Besarnya laba maksimum tersebut,
Besarnya harga per unit output (p)
R” = -5 < C” = 4 (maksimum
Jadi, a). untuk mendapatkan laba yang maksimum, sebaiknya si monopolis berproduksi sebanyak 2 unit, dengan harga jual per unit 11 b). keuntungan maksimum yang akan diperoleh sebesar 8 Contoh 8 – 10
Fungsi MPS suatu masyarakat adalah
Bila pada tingkat pendapatan masyarakat nol (y = 0), maka tabungannya minus 10 ditanyakan : a). fungsi savingnya b). fungsi MPC –nya c). fungsi konsumsinya d). kalau pendapatan masyarakat tersebut 100, hitunglah besarnya MPC dan tingkat konsumsi masyarakat tersebut.
Penyelesaian (a).
Fungsi savingnya S
= ∫MPS dy
Dicari terlebih dahulu nilai K (konstanta integrasi) dengan memasukkan y = 0 dan S = -10, kedalam persamaan diatas didapat nilai K sebagai berikut :
Jadi, fungsi savingnya adalah :
(b). fungsi MPC –nys MPC + MPS = 1 MPC = 1 – MPS
(C). Fungsi konsumsi C = ∫ MPC dy
Terlebih Dahulu dicari C(konsumsi). Nillai C ini di dapat dengan memasukkan Y = 0 dan S = -10 kedalam persamaan berikut : Y=C+S 0 = C – 10 C = 10 barulah kemudian dicari nilai K (konstanta integrasi), dengan memasukkan C = 10 dan Y = 0 kedalam persamaan (*) didapat,
(c)
GAMBAR GRAFIKNYA f d : q = 9 p2 q 9 p 0
0 5 3 2
fs : q = p2 + 2p - 3 q 0 p 1
5 12 2 3
q (0,9)
fs fd Ps
0 (1,0)
Cs
3
Soal-soal Latihan 8.1
biaya marginal ditunjukkan oleh MC = 108 – 45q + 3q2 biaya tetapnya adalah 300 Tetukalah: (a) fungsi biaya totalnya (b) fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya variabel
8.2
penerimaan marginal ditunjukkan oleh MR = 200 -20q – 15q2 ( q = kualitas barang ) Tentukanlah: (a) fungsi penerimaan total da fungsi penerimaan rata-rata. (b) Penerimaan total dan harga tiap unit barang aabila barang yang terjual sebayak 4 unit
8.3
bila hasrat marginal untuk konsumsi, MPC = 0,75 dan bila endaatan nol, aka besarannya konsumsi adalah 40 Tantukanlah: (a) fungsi knsumsinya (b) besarnya konsumsi bila besarnya endapatan 100
8.4
Hasrat marginal untuk menabung, MPS = 0,6 Bila pedapatan nasional 200, terjadi tabungan negatif sebesar 30 Tentukanah: (a) fungsi tabungan , S = f(y) (b) fungsi konsumsi , C = f(y) (c) besar tabungan da konsumsi asing-asing bila edapata nasional 400
8.5
tingkat investasi bersih , I = 10 t3/4 dan stok kaital ada awal tahun (t = 0) adalah 60 tentukanlah: (a) fungsi kapitalnya (b) besarnya kapital pada tahun kelima
8.6
biaya marginal untuk emproduksi suatu barang, C = 35 – 12q + q2 bila memproduksi 1 unit barang tersebut dielukan biaya 50, tentukanlah: (a) fungsi biaya total dan fungsi biayarata-rata (b) besarya biaya total dan biaya ratat-rata bila berroduksi sebanyak 2 unit
8.7 seorang mooolis memiliki fungsi MR = 32 – 8q MC =2q – 3
FC =20 Apabilasi monopolis menghendaki keuntungan yag maksimum (q = kuantitas output, p= harga per unit output) (a) berapa unit sebaiknya dia berproduksi dan dengan harga berapa tiyap unit output sebaiknya dijual
(b) berapa besar keuntungan yang akan diperoleh si monoolis (c) buatlah grafik C,R,MC,MR daam satu gambar 8.8 fungsi permintaan trhada suatu barang berbentuk, q = 15 – p bila p = harga tiyap unit barang dan q = kualitas unit barang. Tentukanlah surlus bila kuantitas keseimbanga pasar 5 dan buatlah grafiknya.
8.9 fungsi permintaan terhadap suatu barang berbentuk q = kualitas barang. Tentukanlah surlus konsumen bila tingkat harga keseimbangan pasar 2 dan buatlah grafiknya
8.10 fungsi penawaran terhadap sejenis barang berbentuk q = 2p – 8 bila p = harga tiap unit barang dan q = kuantitas barang. Tentukanlah produsen surplus, bila harga keseimbangan pasar 3. buatlah grafiknya.
11-13 fungsi penawaran terhadap suatu barang berbentuk q = p + 1/4p2 P = harga tiap unit barang dan q = kuantitas barang Tentukanlah produsen surplus, bila kuantitas keseimbangan pasar 3. buatlah grafiknya.
11-14 tentukanlah konsumen surplus dan produsen surplus pada tingkat keseimbangan pasar, bagi sejenis barang yang memiliki fungsi permintaan dan fungsi penawaran sebagai berikut:
Fungsi permintaan
fungsi penawaran
(a) q = 45 – p
q = 0,5p – 3
(b) q = 96 -8p -2p2
q = 10p + 4p2
11.15 bila fungsi permintaan sejenis barang berbentuk, q = 18 – 2p2
p = harga per-unit barang dan q = kuantitas barang tentukanlah konsumen surplus, bila
(a) kuantitas keseimbangan pasar adalah 2 (b) harga per unit barang pada keseimbangan pasar adalah 1 11.16
dalam kondisi persaingan sempurna, kuantitas barang yang diminta pada hargaharga yang berlaku ditentukan oleh fungsi permintaan dan penawaran masingmasing sebagai berikut, q = 10 – p – p2 dan q = 3p2 -3p2 – 2 q = kuantitas barang dan p = harga per unit barang. Tentukanlah konsumen surplus pada produsen surplus pada titik keseimbangan pasar
11.17 seorang produsen mempunyai fungsi penawaran, q = 2p – 10 bila p = harga per unit barang dan q = kuantitas barang tentukanlah produsen surplus pada titik keseimbangan pasarE(7,4)
11.18 penerimaan/penjualan marginal sebuah perusahaan perdagangan ditunjukkan oleh MR = 2q + 20. bila kuantitas barang yang terjual mengalami kenaikan dari 5 unit menjadi 8 unit. Tentukanlah kenaikan penjualan yang diperoleh. q = kuantitas barang 11.19 marginal profit dari penjualan sejenis barang ditunjukkan oleh fungsi : MP = -5q +200. Q = kuantitas barang yang terjual dan MP = marginal profit(dalam ribuan rupiah).bila barang yang terjual sebanyak 100 unit, profitnya setengah juta rupiah. Tentukanlah fungsi profitnya. Referensi Budnick,S. Frank . applied matemathics for business, economics, and the sosial science. Ed ke -4, Singapore : Mcraw – Hill, 1993. Bab 19 Chiang,C . alpha fundamental methods of mathematical economics. Ed. Ke -3, new york : Mc Graw – Hill , 1984. Bab 13 Dowling, Edward T. matemathical for economists. Singapore : McGraw – Hill , 1980. Bab 17 Weber,jean E. mathematical analysis, Business and Economics applications. Ed. Ke -4. new york : harper & Rao, publisher, 1982. Bab 4
