Aplikasi Integral 1 Luas Bidang

Bahan ajar Kalkulus Integral

2009

1. LUAS DAERAH BIDANG

Misalkan f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h1, h2, …, hn yang panjangnya ∆1x, ∆2x, …, ∆nx (anggap ∆1x = ∆2x = … = ∆nx), ambil sebarang titik x = xi pada masing-masing hi dan bentuk persegi panjang yang alasnya hi (jadi panjangnya ∆ix) dan tingginya f(xi).

Persegi panjang tersebut disebut sebagai persegi panjang pendekatan dengan luas = f(x.i) ∆ix. Sehingga jumlah luas n persegi panjang adalah :



   ∆



Luasan tersebut merupakan pendekatan dari luas daerah yang dibatasi oleh f(x), sumbu X, dan garis-garis x = a dan x = b. Jika ∆k x 0, maka banyaknya subinterval n  ∞, sehingga luas daerah tersebut adalah :









    lim   ∆    ∞

Misal : luas daerah yang dibatasi oleh garis ga ris y = x, sumbu X, x = 1 dan x = 3 adalah :

Writing by [email protected]‐ nformatika ‐ UMP

Page 1

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.








2009



      12 |  12 9  1  4 

Ada beberapa hal yang harus diketahui adalah : A. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≥ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah



     

B. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≤ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah



     








2009

C. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x) ≤ 0, x = a, x = b, dan sumbu X sama dengan penjumlahan luas masing-masing daerah. Misal pada gambar :

Maka



Luas = Luas I + Luas II + Luas III

Jadi













          Atau secara umum luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah



|    |  | 

D. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik g rafik x = f(y), garis-garis y = a, y = b, dan sumbu Y adalah :



   |  | 








2009

b

∫

Luas = L = f ( x) − g ( x) dx a

seperti tampak pada gambar berikut :

atau bila f(y) dan g(y) kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(y), g(y), garis y = a, dan y = b, adalah :

b

∫

Luas = L = f ( y ) − g ( y ) dy a

seperti tampak pada gambar berikut :








2009

Catatan Penting :

Untuk menghitung luas suatu daerah bidang dengan integral, secara umum bisa dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Buat gambar daerah yang dimaksud, juga persegi panjang pendekatannya dengan tebal ∆x (bila persegi panjang tegak / vertikal) atau ∆y (bila persegi panjang mendatar /

horizontal). 2. Tentukan luas persegi panjang pendekatan, tentukan batas kiri / kanan (untuk yang tegak) atau batas bawah / atas (untuk yang mendatar). Kemudian gunakan integral untuk menghitung jumlah luas persegi panjang tersebut yang banyaknya dibuat menjadi ∞.

Contoh pemakaian integral untuk menghitung luas daerah : 2

1. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x – 4, garis x = 0, x = 3, dan sumbu X adalah :

Jadi luas daerah tersebut adalah : 2

3








⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = − ⎜ x 3 − 4 x ⎟ 02 + ⎜ x 3 − 4 x ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠

2009

3 2

⎧⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎫ = − ⎨⎜ .8 − 4.2 ⎟ − 0⎬ + ⎨⎜ .27 − 4.3 ⎟ − ⎜ .8 − 4.2 ⎟⎬ ⎠ ⎭ ⎩⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎭ ⎩⎝ 3 ⎧ 8 ⎫ ⎧⎛ 27 ⎞ ⎛ 8 ⎞⎫ = − ⎨ − 8⎬ + ⎨⎜ − 12 ⎟ − ⎜ − 8 ⎟ ⎬ ⎩ 3 ⎭ ⎩⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎭ ⎛ 16 ⎞ ⎛ 9 ⎛ 16 ⎞ ⎞ = − ⎜ − ⎟ + ⎜⎜ − − ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎠ =

16 3

+

7 3

=

23 3

Jika dilakukan penghitungan nilai integral secara langsung, maka akan terjadi kesalahan yaitu 3

⎛ 1 ⎞ Luas = x 2 − 4 dx = ⎜ x 3 − 4 x ⎟ ⎝ 3 ⎠ 0

∫ (



)

3 0

⎛ 1 ⎞ = ⎜ .27 − 4.3 ⎟ − 0 = 9 − 12 = − 3 ⎝ 3 ⎠

(salah !!! tidak ada besar luasan yang bernilai negatif).

2

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x – 4 dan garis y = 3x. 2

Titik potong parabola f(x) = y = x – 4 dan garis lurus lurus g(x) = y = 3x adalah (4, 12) dan (-1, 3)* )

2

2

2

* y = x – 4 dipotongkan dengan garis y = 3x maka x – 4 = 3x atau x - 4 - 3x = 0. 2

Dengan menggunakan pencarian akar kuadrat dari persamaan kuadrat x – 4 - 3x = 0, diperoleh (x – (x – 4)(x + 1) = 0, berarti x = 4 atau x = -1. Untuk x = 4, maka y = 12, dan










Grafik dari kurva seperti berikut :

Sesuai dengan kondisi (E), maka dapat dihitung luas daerah sbb : 4

Luas =

4

∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ x

−1

−1

4

2

− 4 − 3 x dx = ∫ x 2 − 3 x − 4 dx −1

selanjutnya perlu diselidiki tanda-tanda dari persamaan kuadrat tersebut yaitu :

2009







Bahan ajar Kalkulus Integral 4

4

3 ⎛ 1 ⎞ Luas = − x − 3 x − 4 dx = − x 2 + 3 x + 4 dx = ⎜ − x 3 + x 2 + 4 x ⎟ 2 ⎝ 3 ⎠ −1 −1

∫ (

2

)

2009

∫

4 −1

3 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 2 = ⎜ − .4 3 + .4 2 + 4.4 ⎟ − ⎜ − .(− 1) + .(− 1) + 4.(− 1)⎟ 2 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 125 ⎛ 64 48 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 112 13 ⎞ = ⎜ − + + 16 ⎟ − ⎜ + − 4 ⎟ = ⎜ + ⎟ = 2 6 ⎠ 6 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 6

Sebagai catatan bahwa jika dilihat dari gambar, maka pada interval -1 ≤ x ≤ 4, kurva garis 2

terletak di atas kurva parabola yang berarti bahwa g(x) – f(x) bernilai positif atau 3x – (x – 4) positif, sehingga luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut bisa langsung dihitung menggunakan : 4

Luas =

∫ ( g ( x) − f ( x) ) dx = ∫ {3 x − ( x

−1

=

4

−1

4

2

4

− 4 )}dx = ∫ (3 x − x + 4 )dx = ∫ (− x 2 + 3 x + 4)dx 2

−1

−1

125 6

3. Luas daerah satu ruas sikloida x = t – sin t, y = 1 – cos t seperti ditunjukkan pada gambar berikut adalah :








2009

Sehingga 2π

∫

Luas = y dx t = 0

2π

=

∫ (1− cos t ) (1 − cos t ) dt

t = 0

2π

= ∫ (1 − cos t ) 2 dt t = 0

2π

=

∫ (1 − 2 cos t + cos

2

t ) dt

t = 0

2π

2π

= ∫ 1 dt − 2 ∫ cos t dt + t = 0

t =0

2 π

∫ cos

2

t dt

t = 0

2π

= t |

2π 0

−2 sin t |

2π 0

+ ∫ cos 2 t dt t = 0

2π

untuk menghitung nilai integral

∫ cos

t = 0

2

sin t, sehingga

2

2

t dt gunakan kesamaan fungsi trigonometri cos t = 1 -








2009

2π

∫ sin

2

t dt dihitung menggunakan kesamaan trigonometri (1 − cos x) = 2 sin 2

t = 0

2

demikian sin t = ½(1 - cos2t) sehingga 2π

∫

2π

sin t dt = 2

t =0

1

∫ 2 (1 − cos 2t ) dt

t = 0

2π

=

1

2π

=

1

=

∫

(1 − cos 2t ) dt 2 t =0

∫ 1dt − 2 ∫ cos 2t dt

2 t =0 1 2

2π

1

t |

2π 0

t = 0

−

1

2π

∫

cos 2t dt . 2 t = 0

Dengan substitusi u = 2t, maka du = 2 dt, sehingga 2π

2π

∫

cos 2tdt =

t =0

∫

cos u

t = 0

=

1

1 2

du

2π

∫

cos u du 2 t =0

1

2

1

2

1

2

x , dengan








3

= t |02 −2 sin t |02 π

π

2

1

+ sin 2t | 20

π

4

3

1

1

2

4

4

= .2π − (2 sin 2π − 2 sin 0) + ( sin 4π − sin 0) = 3π − 0 + 0 = 3π

Latihan : 2

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 4x – x dan sumbu X. Sebagai bantuan, grafik kurvanya adalah :

2009










2

2

2009

3. Hitung luas daerah antara y = 6x – x dan y = x – 2x. Grafik digambarkan seperti berikut :








2009

Luas daerah bisa dihitung dengan menghitung 4 kali luas pada kuadran pertama. Luas daerah di kuadran pertama adalah : 1

Luas1 =

∫ x 0

1

2

− x dx sehingga luas daerah keseluruhan adalah Luas = 4 ∫ x 2 − x 4 dx 4

0

Aplikasi Integral 1 Luas Bidang

Recommend Documents