Tugas matematika ekologi
MODEL DISKRIT DARI TIGA MODEL MANGSA PEMANGSA
YUSRIANTO
P3500216004
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS HASANUDIN
MAKASSAR
MODEL DISKRIT DARI TIGA SPESIAES SISTEM MANGSA PEMANGSA
Makalah ini meneliti ekosistem dengan dua spesies mangsa dan premangsa. Persamaan model merupakan tiga set persamaan diferensial coupled non linier orde pertama. Semua titik ekuilibrium positif yang mungkin terjadi pada model dihitung dan kriteria untuk stabilitas semua keadaan ekuilibrium yang terbentuk. Simulasi dilakukan untuk menggambarkan hasil teoritis dan mendapatkan wawasan lebih jauh tentang perilaku sistem.
A. Pendahuluan Ekosistem dicirikan oleh interaksi antara spesies dan lingkungan alam yang berbeda. Beberapa interaksi ekologis penting adalah Persaingan, Mutualisme dan Predasi. Persamaan pemangsa lotka Volterra adalah pemangsa ditemukan secara independen oleh Alfred Lotka dan oleh Vito Volterra pada tahun 1925-26. Pada tahun 1926, Volterra merancang sebuah model untuk menggambarkan evolusi predator dan populasi ikan mangsa di Laut Adriatik setelah Perang Dunia Pertama (saat memancing dibatasi). Ekologi populasi biasanya berfokus pada spesies atau pasangan spesies tertentu dalam jaringan interaksi spesies untuk memahami variasi kelimpahannya. Beberapa makalah muncul pada model 2-D dari dinamika pemangsa predator. Karena analisis sistem non linier bila n > 2 (jumlah spesies) jauh lebih sulit, hanya suatu Jumlah pekerjaan terbatas tersedia di 'Three Species Models' B. Peneliatan yang relevan Ada sejumlah besar literatur tentang model predator pemangsa, lihat [3,5]. Pemangsa klasik Lotka – Volterra Persamaan mangsa memprediksi siklus netral dengan periode yang ditentukan oleh parameter dan amplitudo yang ditetapkan oleh kondisi awal. Kemudian, banyak penulis mempelajari pengaruh interaksi pemangsa mangsa dengan mengenalkan ekspresi pertumbuhan logistik, respon fungsional dan efek Allee [2]. Hal itu menunjukkan bahwa beberapa persamaan differensial nonlinear yang paling sederhana menggambarkan pertumbuhan populasi biologis dengan generasi non overlapping dapat menunjukkan kompleks yang luar biasa dan Perilaku dinamis yang kaya yang melibatkan stabilitas, adanya siklus batas, bifurkasi dan kekacauan [1,2,4,8,9]. Dalam makalah ini, kami menyelidiki sifat stabilitas kesetimbangan sistem yang menggambarkan interaksi di antara tiga spesies dengan menggunakan sutu model diskrit.
C. Persamaan Model Kami prihatin dengan persamaan persamaan linier orde pertama berikut yang memodelkan interaksi antara dua mangsa dan satu predator X ( n+1 ) = ax ( n ) ( 1-x ( n )) – bx (n ) z ( n ) y ( n+1 ) = cy ( n ) ( 1-y ( n )) – dy (n ) z ( n ) z ( n+1 ) = z ( n ) ( 1-e ) + bx (n ) z ( n ) + dy (n ) z ( n ) dimana parameter a, b, c, d dan e tidak negatif. Populasi mangsa (x (n), y (n)) mengikuti pertumbuhan model logistik. Tingkat predasi sebanding dengan tingkat di mana predator dan mangsa bertemu. Sistem Persamaan ini tidak dapat dipecahkan secara analitis, namun beberapa informasi tentang perilaku solusinya dapat diperoleh melalui analisis kualitatif. Analisis matematis model ini sering digunakan untuk penilaian stabilitas keseimbangan. D. Adanya keseimbangan sistem dan sebuah lemma Kami tertarik pada analisis titik ekuilibrium karena membantu kita untuk memahami sistem dinamika dalam investigasi. Sistem (1) memiliki titik ekuilibrium berikut yaitu E0 ( 0,0,0 ) ( kepunahan semua 1
1
1
1
−1
spesies ) E1 ( 0 , 1- , 0 ) E2 ( 1- , 0, 0 ) E3 ( 1- , , 1- , 0 ) E4 ( 0,
) E5 (
2
,0 ,
−1
) E6
2
Titik ekuilibrium pertama E0 sesuai dengan kepunahan spesies dalam sistem eko dimana E1 dan E2 adalah titik ekuilibrium aksial yang sesuai dengan situasi di mana dua spesies menjadi punah. Keseimbangan titik E3, E4 dan E5 sesuai dengan kepunahan spesies. Titik ekivalen E6 adalah titik ekuilibrium interior yang membentuk koeksistensi semua spesies dalam sistem. Lemma berikut bermanfaat dalam pembahasan sifat stabilitas titik ekuilibrium dari (1) Lemma 1. Biarkan [yang bisa ditemukan di (3)]
jadilah persamaan karakteristik untuk matriks. Kemudian kita memiliki: • Jika setiap akar persamaan (2) memiliki nilai absolut kurang dari satu, maka titik ekuilibrium sistem
(1) adalah titik asimtotik stabil dan ekuilibrium lokal disebut wastafel.
E. Stabilitas titik equilibrium dan studi numerik Pada bagian ini, kami memberikan contoh dan simulasi numerik yang membantu kami menganalisis sifat stabilitas sistem (1) dengan plot waktu graphing untuk x (n), y (n), z (n) dan diagram fasa. Kami mempertimbangkan rentang parameter disediakan oleh analisis yang disajikan dalam proposisi berikut. Contohnya menjelaskan dinamika kompleks dari sistem. Analisis stabilitas lokal model dapat dilakukan dengan menghitung Jacobian yang sesuai dengan masing-masing titik ekuilibrium dan menemukan nilai eigen dari matriks Jacobian. Matriks Jacobian J untuk sistem (1) memiliki bentuk
Persamaan karakteistik dapat dimasukkan dalam persmaan
Dalil 1 : titik equilibrium adalah wastafel jika |a|< 1 , |c| < 1 dan 0 < e < 2
Bukti : matriks jacobian untuk equilibrium trivial adalah J ( ) =
Nialai eigen dari matriks J ( ) adalah wastafel jika |a| < 1 , |c| < 1
bukti lemma 1 , kita lihat bahwa adalah
Dalil 2 : titik equilibrium 1 adalah wastafel jika |a| < 1 , 1 < c < 3 dan d <
−1
Bukti : dari persamaan 3 , matriks jacobian 1 diberikan oleh
Nilai yang diberikan oleh matriks J ( 1 ) adalah
Titik axial equilibrium 1 adalah wastafel jika |a| < 1 , 1 < c < 3 dan d <
−1
Dalil 3 : titik equilibrium 2 adalah wastafel jika , 1 < a < 3, |c| < 1 dan b <
Bukti : matriks jacobian untuk 2 diperoleh dari
Niali eigen matriks J (2 ) adalah Titik axial equilibrium 2 adalah wastafel jika 1 < a < 3, |c| < 1 dan b <
−1
−1
Dalil 4 : : titik equilibrium 3 adalah wastafel jika, 1 < a < 3, 1 < c < 3 dan e >
(−1)+(−1)
Bukti : matriks jacobian untuk 3 adalah
Nilai eigen matriks J (3 ) adalah Dari lemma 1 kita lihat bahwa 3 adalah wastafel jika 1 < a < 3, 1 < c < 3 dan e >
Dalil 5 : titik equilibrium 4 adalah wastafel jika
Bukti : dari persamaan 3 matrik jacobian untuk 4 diberikan oleh
(−1)+(−1)
Nilai eigen matriks j (4 ) adalah
dan
dilihat dari lemma 1, kita pandang 4 adalah wastafel jika
Dalil 6 : titik equilibrium 5 adalah wastafel jika
Bukti : komputasi dari matriks jakobian 5 menghasilkan
Nilai eigen matriks J (5 ) adalah
dan
Dilihat dari lemma 1, kita ketahui bahwa 5 adalah wastafel jika
Matriks jakobian untuk titik equilibrium interior dari sistem (1) adalah :
