BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sebelumnya kita telah mengenal dan menggunakan sistem koordinat dalam pelajaran matematika. Sistem koordinat yang sering dipakai adalah sistem koordinat kartesius atau kartesian. Sistem koordinat ini biasa dipakai untuk menggambarkan garis dalam sistem persamaan linier dan sistem persamaan kuadrat. Dalam fungsi juga menerapkan sistem koordinat untuk menggambarkan setiap pasangan terurut himpunan penyelesaiannya. Bangun datar dan bangun ruang juga mempergunakan sistem koordinat ini untuk menggambarkan bangun serta untuk menentukan turunan rumusnya. Dalam integral juga diperlukan sistem koordinat untuk menentukan bentuk dan menghitung luas maupun volume benda putar atau benda pejal. Sistem koordinat menjadi sangat penting dalam mempelajari matematika tingkat atas dan lanjut. Hampir setiap submaterinya menggunakan sistem koordinat. Oleh karena itu, dalam makalah ini kami menjelaskan mengenai materi sistem koordinat, khususnya sistem koordinat tiga dimensi. 1.2 Rumusan Masalah 1. Pengertian sistem koordinat tiga dimensi. 2. Grafik dalam ruang dimensi tiga. 3. Vektor dalam ruang dimensi tiga 1.3 Tujuan Untuk mengetahui dan mempelajari sistem koordinat tiga dimensi, mulai dari pengertian, kategori dan grafik serta vektor dalam ruang dimensi tiga.
1
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sejarah Singkat Sistem Koordinat Dua orang Perancis telah berjasa atas gagasan tentang sistem koordinat. Pierre de Fermat adalah seorang pengacara yang menggemari matematika. Pada tahun 1629, ia menulis sebuah makalah yang pada dasarnya menggunakan koordinat untuk mendeskripsikan titik – titik dan kurva – kurva. Rene Descartes adalah seorang ahli filsafat yang berpikir bahwa matematika dapat membuka kunci alam semesta. Ia menerbitkan La Geometrie pada tahun 1637. Buku itu sangat terkenal dan walaupun memang menekankan aljabar dalam memecahkan masalah – masalah geometri, orang hanya menjumpai suatu petunjuk tentang koordinat disana. Berdasarkan siapa yang mempunyai gagasan pertama kali, Fermat sepantasnya mendapat pengakuan yang utama. Akan tetapi, sejarah bisa menjadi hal yang membingungkan. Koordinat dikenal sebagai koordinat Cartesius, yang dinamakan menurut nama Rene Descartes. 2.2 Koordinat Cartesius Dalam sebuah bidang, gambarkanlah dua garis real, satu mendatar dan satu lainnya tegak, sedemikian sehingga keduanya berpotongan pada titik – titik nol dari kedua garis tersebut. Dua garis itu dinamakan sumbu – sumbu koordinat. Perpotongannya diberi tanda O dan disebut titik asal. Menurut perjanjian, garis yang mendatar dinamakan sumbu sumbu x dan garis yang tegak dinamakan sumbu y.Setengah bagian positif dari sumbu x adalah kekanan dan setengah bagian positif dari sumbu y adalah keatas. Sumbu – sumbu membagi bidang menjadi empat daerah, yang disebut kuadran – kuadran yang diberi tanda I, II, III, dan IV.
2
y
2 1
II
III
I x
-2 -1 O -1 1 -2
2
IV
Setiap titik pada bidang sekarang dapat dinyatakan dengan sepasang bilangan, yang dinamakan koordinat – koordinat Cartesiusnya. Jika garis – garis mendatar dan tegak yang melalui P masing – masing memotong sumbu x dan sumbu y di a dan b, maka P mempunyai koordinat ( a,b ). Kita sebut ( a,b ) sebagai pasangan berurutan bilangan – bilangan, karena akan berbeda jika urutannya dibalik. Bilangan pertam a dalah koodinat x atau absis dan bilangan kedua b adalah koordinat y atau ordinat. Sebaliknya, ambil sembarang pasangan terurut (a,b) bilangan – bilangan real. Garis tegak meelalui a pada sumbu x dan garis mendatar b pada sumbu y bertemu di titik P, koordinatnya adalah ( a,b ). -2 b .P(a,b) 1 x
O a
3
2
2.1 Koordinat Kartesius dalam Dimensi Tiga Dimensi tiga merupakan suatu konsep abstrak yang memiliki panjang, lebar, tinggi dan ruang. Oleh karena itu, dimensi tiga sering diterjemahkan sebagai geometri ruang. Koordinat cartesius tiga dimensi digunakan untuk menggambarkan suatu objek baik satu dimensi, dua dimensi maupun tiga dimensi. Dalam sistem koordinat kartesius, dimensi tiga digambarkan memalui tiga sumbu, yaitu sumbu ; x, y, z.
4
BAB III PEMBAHASAN 3.1 Pengertian Sistem Koordinat Tiga Dimensi Sistem koordinat tiga dimensi adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada ruang. Pada sistem koordinat tiga dimensi letak suatu titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat cartesius dan koordinat bola. 3.1.2 Koordinat Cartesius Untuk menyatakan posisi sebuah benda di dalam ruang, dibutuhkan suatu sistem koordinat yang memiliki pusat koordinat. Sistem koordinat yang paling umum adalah koordinat cartesius. Jika kita berbicara ruang dua dimensi, maka koordinat cartesius dua dimensi memiliki pusat di O dan dua sumbu koordinat yang saling tegak lurus, yaitu x dan y. Selannjutnya koordinat cartesius dua dimensi dapat diperluas menjadi cartesius tiga dimensi yang berpusat di O dan memiliki sumbu x, y, dan z.
O
Sistem koordinat cartesius dalam ruang tiga dimensi dapat digolongkan kedalam dua kategori yakni, sistem tangan kiri dan sistem tangan kanan. Menurut
5
kebiasaan yang baku dalam penggambaran sumbu koordinat cartesius, pada sistem tangan kanan sumbu y dan sumbu z terletak pada bidang kertas dengan arah positif masing – masing ke atas. Kemudian sumbu x tegak lurus kertas dengan arah positif menuju kita. Dinamakan tangan kanan karena jika jari – jari tangan kanan dikepalkan sehingga melengkung dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif, ibu jari akan mengarah ke sumbu z positif. Untuk sistem tangan kiri memiliki sumbu x dan sumbu z terletak pada bidang kertas dengan arah positif masing – masing ke kanan dank ke atas. Kemudian sumbu y tegak lurus kertas dengan arah positif menuju kita. Dinamakan tangan kiri karena jika jari – jari tangan kiri dikepalkan sehingga melengkung dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif, ibu jari akan mengarah ke sumbu z positif.
Sistem tangan kanan
Sistem tangan kiri
Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, bidang – bidang xy, xz dan yz, yang membagi ruang menjadi delapan oktan. Terhadap tiap titik P dalam ruang berpadanan suatu bilangan ganda tiga berurut ( x, y, z), yaitu koordinat cartesiusnya, yang mengukur jarak – jarak berarahnya dari tiga bidang itu.
6
Oktan-oktan I, II, III dan IV diatas bidang xy dan lainnnya dibawah bidang xy. Oktan-oktan V, VI, VII, VIII berturut-turut berada tepat dibawah oktan oktan I, II, III dan IV. Pada gambar berikut berturut-turut adalah contoh letak titik P (2,3,4) dan Q (4,-2,3)
x
NO
Titik P(x, y, z) pada :
Bilangan-bilangan
1
Oktan I
X>0
y>0
z>0
2
Oktan II
X<0
y>0
z>0
7
3
Oktan III
X<0
y<0
z>0
4
Oktan IV
X>0
y<0
z>0
5
Oktan V
X>0
y>0
z<0
6
Oktan VI
X<0
y>0
z<0
7
Oktan VII
X<0
y<0
z<0
8
Oktan VIII
X>0
y<0
z<0
3.1.2 Rumus Jarak dan Koordinat Bola Posisi suatu titik dalam ruang, selain didefinisikan dengan sistem cartesius tiga dimensi, dapat juga didefinisikan dalam sistem koordinat bola (prinsip dasarnya sama dengan koordinat polar, yaitu sudut dan jarak). Jarak dua titik dalam sitem koordinat ruang dimensi tiga menghasilkan rumus jarak dalam ruang dimensi tiga.
Keterangan : P1 ( x1, y1, z1) R (x2, y1, z1) P2 (x2, y2, z2) Q (x2, y2, z1)
P1P2 = {(x2-x1),(y2-y1),(z2-z1)} |P1P2| = QP2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )
= {(x2-x2),(y2-y2),(z2-z1)}
8
||QP2|| = (z2-z1) QR
= {(x2-x2),(y1-y2),(z1-z1)}
||QR|| = (y1-y2) P1R
= {(x2-x1),(y1-y1),(z1-z1)}
||QP2|| = (x2-x1) Jarak dua titik P( x1 , y1 , z1 ) dan Q ( x2 , y 2 , z 2 ) adalah |PQ | =
( x2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 )
2
Dari rumus jarak ke persamaan sebuah bola merupakan suatu langkah kecil. Bola adalah himpunan semua titik berjarak tetap ( jari – jari ) dari suatu titik tetap ( pusat ). Kenyataannya, jika (x, y, z) adalah titik pada bola dengan jari – jari r berpusat pada (h, k, l).
z
(x,y,z) r
(h, k, l) y
x
Persamaan baku bola :
(x – h)2+(y – k)2+(z – l)2= r2
9
3.2 Grafik dalam Ruang Dimensi Tiga Suatu hal wajar untuk pertama – tama memandang persamaan kuadrat karena hubungannya dengan rumus jarak. Namun, agaknya suatu persamaan linear dalam x, y, z yakni, persamaan berbentuk : A2 + B2 + C2 ≠ 0
Ax + By + Cz = D ,
Seharusnya masih lebih mudah untuk dianalisis. Memang akan ditunjukkan bahwa grafik persamaan linear merupakan bidang. Dengan menerima kenyataan ini, mari kita tinjau bagaimana kita dapat menggambar persamaan yang demikian. Jika suatu bidang memotong ketiga sumbu, yaitu kasus yang akan sering kali terjadi, kita mulai dengan mencari titik – titik potong ini, yakni, kita mencari perpotongan dengan sumbu x, y, dan z. ketiga titik ini menetukan bidang dan memungkinkan kita menggambar bidang koordinat, yang berupa garis – garis perpotongan bidang tersebut dengan bidang – bidang koordinat. Kemudian, dengan sedikit berseni, kita dapat mengarsir bidang tersebut. Misalkan diberikan persamaan 3x + 4y + 2z = 12, sketsakanlah grafiknya. z Bidang
3x + 4y + 2z = 12 jejak jejak y jejak x
10
Untuk menetukan perpotongan dengan sumbu x, tetapkan y dan z sama dengan nol dan selesaikan untuk x, diperoleh x=4. Titik yang berpadanan adalah (4,0,0). Secara serupa, perpotongan dengan sumbu y dan z adalah (0,3,0) dan (0,0,6). Lalu, tarik garis yang menghubungkan titik – titik ini untuk memperoleh jejak. Kemudian, arsir ( bagian oktan pertama ) bidang tersebut. 3.3 Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Perbedaan vektor pada bidang dan vektor dalam ruang hanyalah bahwa vektor dalam ruang sekarang vektor u mempunyai tiga komponen, yakni : u = ( u1, u2, u3) = u1i + u2j + u3k Di sini i, j, dan k adalah vektor – vektor satuan baku, disebut vektor – vektor basis, pada arah ketiga sumbu koordinat positif. Panjang u, dinotasikan dengan |u|, berasal dari rumus jarak dan diberikan sebagai |u| = √ z
u
i
z j
z
Vektor – vektor dalam ruang ditambahkan, dikalikan dengan skalar, dan dikurangkan sama seperti pada bidang, dan hukum – hukum aljabar yang dipenuhi sesuai dengan yang telah dipelajari sebelumnya. Hasil kali titik dari u = (u1, u2, u3 ) dan v = (v1, v2, v3) didefinisikan sebagai
11
u . v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 Dan mempunyai tafsiran geometri yang telah dinyatakan terdahulu, yakni : u . v = |u| |v| cos θ Dengan θ adalah sudut antara u dan v. Akibatnya, masih tetap benar bahwa dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali juga nol. 3.3.1 Perkalian Silang Dua Vektor ( Cross ) Perkalian silang dua vektor didefinisikan sebagai berikut. Jika u = (u1 , u 2 , u3 ) dan v = (v1 , v2 , v3 ) adalah vektor – vektor dalam ruang dimensi tiga, maka perkalian silang u x v adalaha vektor yang didefinisikan sebagai : u x v = (u 2 v3 u3 v2, u3 v1 u1v3 , u1v2 u 2 v1 ) Atau dalam notasi determinan : u uxv= 2 v2
u3 v3
,
u1 v1
u 3 u1 , v3 v1
u2 v2
Ada suatu perbedaan penting antara perkalian titik dan perkalian silang pada vektor. Hasil perkalian titik atau dot vektor merupakan suatu scalar sedangkan hasil dari perkalian silang atau cross vektor adalah komponen – komponen vektor baru. Beberapa teorema mengenai perkalian silang dua vektor. a) u . ( u x v ) = 0
( u x v orthogonal terhadap u )
b) v . ( u x v ) = 0
( u x v orthogonal terhadap v )
c) ‖
‖
‖ ‖ ‖ ‖ (
)
( identitas Langrange )
Sifat – sifat aritmetika utama dari perkalian silang ditampilkan pada teorema berikut.
12
a) u x v = - ( v x u ) b) u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w ) c) ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w ) d) k( u x v ) = ( ku ) x v = u x ( kv ) e) u x 0 = 0 x u = 0 f) u x u = 0 3.3.2 Vektor Posisi
Vektor posisi titik P adalah vektor yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis
Modulus / besar vektor posisi adalah :
3.3.3 Perbandingan Vektor
13
Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah
a dan b . Titik C
terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n, dan vektor posisi titik C dinyatakan dengan vektor c . Titik C terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n, dan vektor posisi titik C dinyatakan dengan vektor . Karena ruas garis berarah AC searah dengan ruas garis berarah CB, maka persamaan itu dapat dituliskan dalam bentuk persamaan vektor: n AC m CB
nc a m b c , ingat AC c a dan CB b c nc na mb mc nc mc mb na m nc mb na mb na c mn Misalkan vektor-vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah dan Titik C terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = m : n, maka vektor posisi C adalah ditentukan dengan rumus:
14
mb na c mn
3.4 Masalah dan Solusi 3.5.1
Carilah jarak antara titik – titik P(2, -3, 4) dan Q(-3, 2, -5). Solusi : )
|PQ| = √(
(
)
(
)
|PQ| = √ |PQ| = √ 3.5.2
Sketsakan grafik persamaan linear 2x + 3y = 6 dalam ruang dimensi tiga. Solusi : Perpotongan x dan y masing – masing adalah (3,0,0) dan (0,2,0) dan titik – titik ini menetukan jejak di bidang xy. Bidang ini tidak pernah memotong sumbu z(x dan y keduanya tidak nol) sehingga bidang ini sejajar sumbu z. Sketsa grafik : z
jejak
jejak
(0,2,0)
(3,0,0)
y
jejak
x
3.5.3
Cari sudut ABC jika A = (1,-1,3), B = (2,4,-6), dan C = (5,-3,2).
A(1, -2,3)
15
B(2,4,-6)
θ
C(5,-3,2)
Solusi : Pertama kita tentukan vektor – vektor u dan v ( berasal dari titik asal ), setara terhadap ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ . Ini dilakukan dengan cara mengurangkan koordinat – koordinat titik – titik pangkal dari titik – titik ujung, yakni : 〈
〉 〈
〉
Jadi, cos θ = |
( || |
)( ) ( √
〈
)(
) ( )( )
√
θ = 0,3894 ( sekitar 22,31o )
16
〉 〈
〉
BAB IV PENUTUP 4.1 Simpulan Koordinat cartesius dua dimensi dapat diperluas menjadi cartesius tiga dimensi yang berpusat di O dan memiliki sumbu x, y, dan z. OP adalah jarak titik P ke pusat O. Sistem koordinat cartesius dalam ruang tiga dimensi dapat digolongkan kedalam dua kategori yakni, sistem tangan kiri dan sistem tangan kanan. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, bidang – bidang xy, xz dan yz, yang membagi ruang menjadi delapan oktan. Terhadap tiap titik P dalam ruang berpadanan suatu bilangan ganda tiga berurut ( x, y, z), yaitu koordinat cartesiusnya. Perbedaan vektor pada bidang dan vektor dalam ruang hanyalah bahwa vektor dalam ruang sekarang vektor u mempunyai tiga komponen, yakni : u = ( u1, u2, u3) = u1i + u2j + u3k
17
DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard.2010.Dasar – Dasar Aljabar Linier Jilid Satu.Tangerang : Binarupa Aksara Purcell, Edwin J dan Dale Varberg.2010.Kalkulus Jilid Satu.Tangerang : Binarupa Aksara Purcell, Edwin J dan Dale Varberg.2010.Kalkulus Jilid Dua.Tangerang : Binarupa Aksara
18
