trigonometria .pdf

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO-PREFACULTATIVO DOCENTE: Ing. Cipriano Quispe AUXILIAR: Univ. Ariel Homero Chávez Aguilar

ANGULOS NOTABLES (°) Rad sen cos

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 𝛑 𝛑 𝛑 𝛑 𝟑𝛑 𝟎 𝛑 𝟐𝛑 𝟔 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐

0

√𝟑 𝟐

1

tan

0

ctg

±∞

sec

√𝟑 𝟑 √𝟑

𝟐√𝟑 𝟑

1

csc ±∞

𝐬𝐞𝐧 𝛉 = 𝐜𝐨𝐬 𝛉 = 𝐭𝐚𝐧 𝛉 =

𝟐

𝐚 𝐜

𝐛 𝐜 𝐚 𝐛

√𝟐 𝟐 √𝟐 𝟐 1 1 √𝟐 √𝟐

√𝟑 𝟐 𝟏 𝟐

√𝟑 √𝟑 𝟑 2

𝟐√𝟑 𝟑

1

0

−1

0

0

−1

0

1

±∞

0

±∞

0

0

±∞

0

±∞

0

−1

±∞

1

1

±∞

−1

±∞

triángulo rectángulo 𝐜 𝐜𝐬𝐜 𝛉 = 𝐚 c 𝐜 a 𝐬𝐞𝐜 𝛉 = 𝐛 𝐜𝐭𝐠 𝛉 =

𝐚 𝐛

b

𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝛂 = 𝟏 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝛂 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝛂 𝐜𝐭𝐠 𝟐 𝛂 + 𝟏 = 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝛂

𝐜𝐨𝐬(𝛂 + 𝛃) = 𝐜𝐨𝐬𝛂 ∗ 𝐜𝐨𝐬𝛃 − 𝐬𝐞𝐧𝛃 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬(𝛂 − 𝛃) = 𝐜𝐨𝐬𝛂 ∗ 𝐜𝐨𝐬𝛃 + 𝐬𝐞𝐧𝛃 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐭𝐚𝐧(𝛂 + 𝛃) = 𝐭𝐚𝐧(𝛂 − 𝛃) =

𝐭𝐚𝐧𝛂 + 𝐭𝐚𝐧𝛃 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝛂 ∗ 𝐭𝐚𝐧𝛃 𝐭𝐚𝐧𝛂 − 𝐭𝐚𝐧𝛃 𝟏 + 𝐭𝐚𝐧𝛂 ∗ 𝐭𝐚𝐧𝛃

Identidades del Angulo doble y triple 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝛃) = 𝟐𝐬𝐞𝐧𝛃 ∗ 𝐜𝐨𝐬𝛃

𝐬𝐞𝐧(𝟑𝛃) = 𝟑𝐬𝐞𝐧𝛃 − 𝟒𝐬𝐞𝐧𝟑 𝛃 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝛃) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝛃 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛃

𝐜𝐨𝐬(𝟑𝛃) = 𝟒𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝛃 − 𝟑𝐜𝐨𝐬𝛃 𝟐𝐭𝐚𝐧𝛃 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜷 𝟑𝐭𝐚𝐧𝛃 − 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝜷 𝐭𝐚𝐧(𝟑𝛃) = 𝟏 − 𝟑𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜷 𝐭𝐚𝐧(𝟐𝛃) =

Identidad del ángulo mitad Ө

Identidades reciprocas 𝐬𝐞𝐧 𝛂 𝟏 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝛂 = 𝐜𝐬𝐜 𝛂 = 𝐬𝐞𝐜 𝛂 = 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧 𝛂 𝐜𝐨𝐬 𝛂 identidades pitagóricas

identidad para la suma y diferencia de ángulos 𝐬𝐞𝐧(𝛂 + 𝛃) = 𝐬𝐞𝐧𝛂 ∗ 𝐜𝐨𝐬𝛃 + 𝐬𝐞𝐧𝛃 ∗ 𝐜𝐨𝐬𝛂 𝐬𝐞𝐧(𝛂 − 𝛃) = 𝐬𝐞𝐧𝛂 ∗ 𝐜𝐨𝐬𝛃 − 𝐬𝐞𝐧𝛃 ∗ 𝐜𝐨𝐬𝛂

𝛃 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝛃 𝐬𝐞𝐧𝟐 � � = 𝟐 𝟐

𝛃 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝛃 𝐭𝐚𝐧𝟐 � � = 𝟐 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝛃 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛃 =

𝐬𝐞𝐧𝟑 𝛃 =

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛃 𝟐

𝟑𝐬𝐞𝐧𝛃 − 𝐬𝐞𝐧𝟑𝛃 𝟒

𝛃 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝛃 𝐜𝐨𝐬 𝟐 � � = 𝟐 𝟐

𝐭𝐚𝐧𝟐 𝛃 =

𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝛃 =

𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝛃 =

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛃 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛃

𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛃 𝟐

𝟑𝐜𝐨𝐬𝛃 + 𝐜𝐨𝐬𝟑𝛃 𝟒

Paridad (hachi) 𝐬𝐞𝐧 (−𝛂) = −𝐬𝐞𝐧(𝛂) 𝐜𝐨𝐬 (−𝛂) = 𝐜𝐨𝐬(𝛂) 𝐭𝐚𝐧 (−𝛂) = −𝐭𝐚𝐧(𝛂)

Ariel Homero Chavez Aguilar

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO-PREFACULTATIVO DOCENTE: Ing. Cipriano Quispe AUXILIAR: Univ. Ariel Homero Chávez Aguilar

Ángulos complementarios y suplementarios 𝛂 + 𝛃 = 𝟗𝟎° 𝛂 + 𝛃 = 𝟏𝟖𝟎° 𝐬𝐞𝐧 𝛂 = 𝐬𝐞𝐧(𝟗𝟎° − 𝛃) 𝐬𝐞𝐧 𝛂 = 𝐬𝐞𝐧(𝟏𝟖𝟎° − 𝛃) 𝐬𝐞𝐧 𝛂 = 𝐜𝐨𝐬 𝛃 𝐬𝐞𝐧 𝛂 = 𝐬𝐞𝐧 𝛃 𝐜𝐨𝐬 𝛂 = 𝐬𝐞𝐧 𝛃 𝐜𝐨𝐬 𝛂 = −𝐜𝐨𝐬 𝛃 𝐭𝐚𝐧 𝛂 = 𝐜𝐭𝐠 𝛃 𝐭𝐚𝐧 𝛂 = −𝐜𝐭𝐠 𝛃 Transformaciones a producto 𝐀+𝐁 𝐀−𝐁 𝐬𝐞𝐧𝐀 + 𝐬𝐞𝐧𝐁 = 𝟐𝐬𝐞𝐧 � � 𝐜𝐨𝐬 � � 𝟐 𝟐 𝐀+𝐁 𝐀−𝐁 𝐬𝐞𝐧𝐀 − 𝐬𝐞𝐧𝐁 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 � � 𝐬𝐞𝐧 � � 𝟐 𝟐 𝐀+𝐁 𝐀−𝐁 𝐜𝐨𝐬𝐀 + 𝐜𝐨𝐬𝐁 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 � � 𝐜𝐨𝐬 � � 𝟐 𝟐 𝐀+𝐁 𝐀−𝐁 𝐜𝐨𝐬𝐀 − 𝐜𝐨𝐬𝐁 = −𝟐𝐬𝐞𝐧 � � 𝐬𝐞𝐧 � � 𝟐 𝟐

Transformaciones a suma y diferencia 𝟏 [𝐬𝐞𝐧(𝐀 + 𝐁) + 𝐬𝐞𝐧(𝐀 − 𝐁)] 𝟐 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝐀 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝐁 = [𝐬𝐞𝐧(𝐀 + 𝐁) − 𝐬𝐞𝐧(𝐀 − 𝐁)] 𝟐 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝐀 ∗ 𝐜𝐨𝐬𝐁 = [𝐜𝐨𝐬(𝐀 + 𝐁) + 𝐜𝐨𝐬(𝐀 − 𝐁)] 𝟐 𝟏 𝐬𝐞𝐧𝐀 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝐁 = − [𝐜𝐨𝐬(𝐀 + 𝐁) − 𝐜𝐨𝐬(𝐀 − 𝐁)] 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐀 ∗ 𝐜𝐨𝐬𝐁 =

𝐒𝐢: 𝐒𝐢: 𝐒𝐢:

Funciones inversas 𝟏 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜(𝛂) = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 � � 𝛂 𝟏 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜(𝛂) = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 � � 𝛂 𝟏 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝛂) = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐭𝐠 � � 𝛂 𝐬𝐞𝐧(𝛂) = 𝐚 → 𝛂 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝐚) 𝐜𝐨𝐬(𝛂) = 𝐛 → 𝛂 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝐛) 𝐭𝐚𝐧(𝛂) = 𝐜 → 𝛂 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝐜) 𝐭𝐚𝐧[𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝛂)] = 𝛂

Triángulo oblicuángulo Ley de senos 𝐀 𝐁 = 𝐬𝐞𝐧 𝛉 𝐬𝐞𝐧 β 𝐁 𝐂 = 𝐬𝐞𝐧 β 𝐬𝐞𝐧 ∅ 𝐀 𝐂 = 𝐬𝐞𝐧 𝛉 𝐬𝐞𝐧 ∅

ᵝ

A

ɸ

C

Ө

B

Ley de cosenos

𝟐

𝟐

𝐀 = 𝐁 + 𝐂 𝟐 − 𝟐 ∗ 𝐁 ∗ 𝐂 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝐁𝟐 = 𝐀𝟐 + 𝐂 𝟐 − 𝟐 ∗ 𝐀 ∗ 𝐂 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝛃 𝐂 𝟐 = 𝐀𝟐 + 𝐁𝟐 − 𝟐 ∗ 𝐀 ∗ 𝐁 ∗ 𝐜𝐨𝐬 ∅

Ecuación Trigon.

Valor principal

Soluciones generales

𝐬𝐞𝐧 𝛂 = 𝐗

𝛂 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐗

𝛂 = 𝐤𝛑 + (−𝟏)𝐤 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐗

𝐭𝐚𝐧 𝛄 = 𝐙

𝛄 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐙

𝛄 = 𝐤𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐙

𝐜𝐨𝐬 𝛃 = 𝐘

𝛃 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐘

𝛃 = 𝟐𝐤𝛑 ± 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐘

Casos notables

𝐬𝐞𝐧 𝛂 = ±𝟏

𝛂 = 𝟐𝐤𝛑 ±

𝐜𝐨𝐬 𝛄 = 𝟎

𝛄 = 𝐤𝛑 +

𝐬𝐞𝐧 𝛃 = 𝟎

𝛃 = 𝐤𝛑

𝛑 𝟐

𝛑 𝟐 ∅ = 𝟐𝐤𝛑

𝐜𝐨𝐬 ∅ = 𝟏

Formas de reducción casos notables

𝐱

𝐬𝐞𝐧 𝐱

𝐜𝐨𝐬 𝐱

𝐭𝐚𝐧 𝐱

𝐜𝐨𝐬 𝛂

−𝐬𝐞𝐧 𝛂

−𝐜𝐭𝐠 𝛂

−𝐬𝐞𝐧 𝛂

−𝐜𝐨𝐬 𝛂

𝛑 −𝜶 𝟐

𝐜𝐨𝐬 𝛂

𝛑−𝜶

𝐬𝐞𝐧 𝛂

𝛑 +𝜶 𝟐 𝛑+𝜶

𝟐𝛑 − 𝜶

−𝐬𝐞𝐧 𝛂

𝐬𝐞𝐧 𝛂

𝐜𝐭𝐠 𝛂

−𝐜𝐨𝐬 𝛂

−𝐭𝐚𝐧 𝛂

𝐜𝐨𝐬 𝛂

−𝐭𝐚𝐧 𝛂1

𝐭𝐚𝐧 𝛂

Ariel Homero Chavez Aguilar