Trigo 2

Compendio de Ciencias II- A

Trigonometría

CAPÍTULO

04 OBJETIVOS

• Reconocer Reconocer las razones razones trigonomé trigonométricas tricas tangent tangentee y cotangente. cotangente. • Aplicar estas razones razones para determinar determinar distancias distancias en un triángulo triángulo rectángulo rectángulo

MOTIVACIÓN ORIGEN DEL TÉRMINO TANGENTE

La relación entre la altura de un poste y la longitud de su sombra, existía en la mente de los antiguos matemáticos. Así para medir el paso del tiempo inventaron el reloj de sol de dos tipos: uno con la varilla vertical vertical de modo que su sombra se proyectará sobre una superficie horizontal; el otro tipo con su varilla inclinada y sujeta a una pared vertical, de modo que su sombra se proyectaba sobre la pared. No fue sino en el siglo X d.n.e. cuando los árabes árabes empezaron a estudiar estudiar longitudes análogas relacionados con el radio de una circunferencia.

Tangente

N

Tuvieron que pasar otros cinco siglos siglo s para que la palabra palab ra tangente se le asignará a una recta tal tal como la indicada indicada por TN (figura). La tangente a una circunferencia es la recta que la toca en un un solo punto (del latín: tango, que significa “toco”). Supongamos que TN es la parte de la tangente a la circunferencia; ON el radio y OT la prolongación de una recta en movimiento o radio rector. rector. En el siglo XVI los matemáticos empezaron a designar a TN como la tangente del ángulo TN. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Tenemos que:

2

A



b: hipotenusa

c: Cateto Opuesto

6

 B

a: cateto adyacente

C

Resolución: Tenemos que:

Entonces: *

Tangente de : tg 

cateto opue sto sto

2

cateto adyacente

C.O.

C.A.

*

Cotangente de de :

ctg 

Ejemplos: 1. Calcular tg si:

6

cateto opuesto

Sabemos que: tg 

C.O. C.A.

 tg 

SISTEMA HELICOIDAL



cateto cateto adyacente

2 6



1 3

59


1.

Trigonometría

Calcular tg si:

6.

Calcular N = tg + ctg 10

6

4



 12

Rpta.: ......................................................

Rpta.: ...................................................... 2.

7.

Calcular ctg si:

Calcular M = tg • ctg  5

4





12

Rpta.: ......................................................

8

Rpta.: ...................................................... 3.

8.

Calcular E = tg + ctg

Calcular tg si el perímetro del cuadrado ABCD es 16u. B

A

M

1





D

4

Rpta.: ......................................................

Rpta.: ...................................................... 4.

9.

Calcular P = 2•ctg

C

Calcular ctg si el perímetro del cuadrado ABCD es 24u. A

B

6



 12

Rpta.: ...................................................... 5.

Calcular

D

C

M

Rpta.: ......................................................

ctg

K  (tg)

10. De la figura. Calcular tg  + ctg si: 4



5



8



10

Rpta.: ......................................................

12

Rpta.: ......................................................

60

PASCUAL SACO OLIVEROS


Trigonometría

11. Calcular: tg

17. Calcular : ctg

a

4K

 

3 a

2K

Rpta.: ......................................................

Rpta.: ...................................................... tg

18. Calcular

12. Calcular ctg. Si:

2K + 3

ctg

Si:

a

5





2

8K + 12

Rpta.: ...................................................... 13. Pedro camina por una rampa dándose cuenta que

por cada 1,5cm que avanza en forma horizontal sube 1m. Calcular la tangente del ángulo que forma la rampa con la horizontal.

Rpta.: ...................................................... 19. Calcular tg si:

4K+4

Rpta.: ...................................................... 14. Carlos caminando por una rampa se dió cuenta,

que por cada 2m que sube, avanza 3,5m. en forma horizontal. Calcular la tangente del ángulo que forma la rampa con la horizontal. Rpta.: ...................................................... 15. Calcular tg•ctg. Si:

 K+1

Rpta.: ...................................................... 20. Caminando por una rampa José se da cuenta, que

por cada 1m. que sube, avanza horizontalmente 2m. Calcular la tangente del ángulo que forma la rampa con la horizontal. Rpta.: ......................................................

10

 3

Rpta.: ...................................................... 16. Calcular tg Si: 



Rpta.: ......................................................

SISTEMA HELICOIDAL

61


1.

Trigonometría

Calcule tg si:

4.

Calcular R = tg • tg

13



5

1





12

A) D) 2.

12

B)

5 5

E)

13

13

C)

12

5

A)

12

7

D)

1 2

4

B)

1

E)

11

C)

1 4

12

Calcular ctg:

5.

Calcule

M

tg ctg

Si:

4K

17 1





8K

A)

1

D) 3.

B)

2 5

E)

3

C)

2

A)

1

D)

12

8

B)

1 16

C)

8

5 12

E)

16

Calcular E = tg + ctg 1

5 2

 A) D)

62

50 7 1 8

B)

8

E)

11

C)

7 50



Trigonometría

CAPÍTULO

05 OBJETIVOS

• Reconocer las razones trigonométricas secante y cosecante. • Calcular los lados de un triángulo rectángulo usando correctamente las razones trigonométricas sec y sec.

MOTIVACIÓN

TEOREMA DE PITÁGORAS (Demostración del Matemático Hindú “BHASKARA”). Considerando el triángulo rectángulo ABC. Tomando la hipotenusa C como lado construyamos el cuadrado ABED (véase gráfico). Trazamos entonces DF AC, EG DF y CH GE. Luego hemos generado cuatro triángulos rectángulos congruentes. Por lo tanto, los lados correspondientes son iguales. D

E

H

c

b - a

G

b - a

c

C

Ahora bien, el área del cuadrado ABED es la suma de las áreas del cuadrado CFGH y de los cuatro triángulos; es decir: 1  2 c 2   b  a   4  ab  2 

 c 2  b 2  2ab  a 2  2ab

F

a

b

c2  a 2  b2

c

A

B

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Resolución:

Tenemos que:

Se tiene: 12 b: hipotenu sa

c: cateto opu esto

 a: cateto adyacente

Entonces:

8

Sabemos que: sen  

sec  

*

Secante de :

*

Cosecante de :

hipotenusa cateto adyacente

csc  

hipotenusa



C.A.

H C.A.

 sec  

12 8

 sec   3

2

cateto opuesto

Ejemplos: 1. Calcular sec si: 12

 8

SISTEMA HELICOIDAL

63


1.

Trigonometría

Calcular sec si:

6.

2 Calcular P= csc  + 1

10

1

6





3

2

Rpta.: ......................................................

Rpta.: ...................................................... 7.

2. Calcular csc. Si:

Calcular :

Q



csc  sec 

5

1

4





2

8

Rpta.: ...................................................... 3.

Rpta.: ......................................................

Calcular sec Si: 8.

Calcular

E

 sec 2   1

3 3

 2



Rpta.: ...................................................... 4.

Calcular csc Si:

5

Rpta.: ...................................................... 9.

csc 2  • csc 2 

Calcular



4 18



6

1



Rpta.: ...................................................... 5.

Rpta.: ......................................................

Calcular sec2:

2 2 10. Calcular : sec   csc 

1





 4

4

5

Rpta.: ......................................................

8

Rpta.: ...................................................... 64


Compendio de Ciencias II- A 2 11. Calcular : sec 

Trigonometría

Si ABCD es un cuadrado..

16. Calcular: P=csc • sec

1

 3

Rpta.: ...................................................... 17. Calcular E 

Rpta.: ...................................................... 2

12. Calcular csc  si:

csc  sec 

 2

1

4

Rpta.: ......................................................

 4

18. Calcular K  2 sec   1

Rpta.: ...................................................... 5

13. Calcular sec•csc.

3



2

Rpta.: ......................................................

 4

Rpta.: ......................................................

19. Calcular: K=csc•sec Si:

14. Calcular : sec•csc 2 1

2

2

 



Rpta.: ......................................................

3

Rpta.: ......................................................

20. Si ABCD es un cuadrado.

Calcular

D

csc 2 

C

15. Calcular sec  2

2





3 A

Rpta.: ......................................................

SISTEMA HELICOIDAL

B

Rpta.: ...................................................... 65


1.

Trigonometría

Calcule sec:

4.

Calcular P= sec • csc

15

9

1





A) D) 2.

5 4 3 5

B)

12

E)

7

3

C)

5

2

A)

15

D)

13

5

12

Calcular csc si:

5.

4

10

Calcular:

B)

10

E)

15

3

D) 3.

25 7

C)

5/4

5



24

25

5

sec 2 



A)

7

11

25

7

C)

2

25

B)

C)

24

E)

24 25

25

A)

2

B)

1/4

12

D)

2/5

E)

12/5

Calcular: csc•sec  15

 5

A)

3

B)

D)

5

E)

66

1 3

C)

20

11



Trigonometría

CAPÍTULO

06 OBJETIVOS

• •

Recordar al lector lo aprendido hasta el momento. Profundizar lo aprendido.

MOTIVACIÓN

Para el estudio de las razones trigonométricas es necesario conocer a los ángulo s, que son elementos geométricos que en nuestro curso tiene una serie de consideraciones especiales, por lo que se estudia previamente una teoría angular enfocada desde el punto de vista de la trigonometría que nos permitirá aprender la importancia del ángulo radian como unidad angular del sistema radial y el triángulo rectángulo que es un elemento muy importante dentro de la trigonometría, ya que en este triángulo podemos definir las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) que son muy utilizadas en los campos de la topografía, astronomía, física, etc.).

1.

Convertir 72° a radianes

5.

Calcular x si:

Rpta.: ...................................................... x

2.

Convertir

5 4

9

rad

a grados sexagesimales

Rpta.: ...................................................... 3.

Convertir los ángulos  y  a radianes:  = 27°  = 18°

12

Rpta.: ...................................................... 6.

Calcular x si:

Rpta.: ......................................................

41 x

4.

Convertir los ángulos  y  a grados sexagesimales:    rad

40

10





rad

8

Rpta.: ...................................................... 7.

Calcular x si:

Rpta.: ......................................................

13 5

5 3

x

Rpta.: ......................................................

SISTEMA HELICOIDAL

67

Compendio de Ciencias II- A 8.

Trigonometría

Calcular x si:

13. Calcular tg Si: 1 2

4 x

1

 16

3

Rpta.: ...................................................... 9.

Rpta.: ...................................................... 14. Calcular ctg

Calcular sen:

6

20 12

 12

 16

Rpta.: ......................................................

Rpta.: ......................................................

15. Calcular : P =3tg 

10. Calcular cos: 3

26 10

 18



Rpta.: ......................................................

24

Rpta.: ...................................................... 11. Calcular E=sen•cos 

16. Calcular tg

si ABCD en un cuadrado cuyo perímetro es 40u. A

C



2

 4

B

D

Rpta.: ......................................................

Rpta.: ......................................................

17. Calcular sec.

Si:

12. Calcular P=sen•cos  1 3

5





Rpta.: ......................................................

5

Rpta.: ...................................................... 68



Trigonometría

18. Calcular csc Si:

20. Calcular csc 2 

2

1 



3

3

Rpta.: ...................................................... 2

19. Calcular : sec  si:

5 3 

Rpta.: ......................................................

1.

A) D) 2.



Convertir

rad

9

10° 40°

4.

a grados sexagesimales B) E)

20° 50°

C)

Calcular : tg + ctg. Si:

30° 5 3

Calcular x si:  4 29

x

21

A) D) 3.

20 27

B) E)

23 24

C)

25

5.

A)

12

D)

15

25

Calcular :

2

C)

12

24 15

15 20

 14

C) E)

SISTEMA HELICOIDAL

sec

25

2

A)

3

E)

24

Calcular P=sen.cos

1

B)

3 2 3 6

B) D)

3



4 3 8

A)

7

B)

2

D)

6

E)

7

3 10

C)

7 2

6

69

Trigo 2

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