Trigo 3º 2014

AÑOS

D E G R A N D ES É X IT O S

S a n ta R 20 o sa 14 SÍNTESIS HISTÓRICA DE TRIGONOMETRÍA

LA

A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran 102

desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.

La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable, pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo. ORIGEN Desde el punto de vista etimológico la trigonometría trató de la “Resolución de Triángulos”,

S a n ta R 20 o sa 14

lo cual quiere decir que dados ciertos elementos convenientes de un triángulo se deben hallar sus elementos restantes.

En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir

en el devenir del tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramienta fundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía.

Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre

todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo llegar tan lejos.

UBICACIÓN HISTÓRICA DE SU ORIGEN

La época que al nacimiento de la trigonometría se quiera atribuir depende en realidad de

la aceptación que a dicho término se le dé, vale decir, de la amplitud que a su significado se le quiere encontrar.

Así, tomada en su estricto significado etimológico de “medida de los triángulos”, la

encontramos ya en las lejanas épocas de los babilonios, los egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes de nuestra era.

Si la consideramos a la trigonometría como ese capítulo de la 7Astronomía, donde ciertas

funciones del ángulo eran ya conocidas y empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco allá por el año 140 a.C.

Pero la trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa ciencia analítica

que es ahora, solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII, después que el gran matemático Vieta perfeccionara admirablemente el simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidar esta ciencia.

Históricamente fueron los geómetras y astrónomos griegos quienes, entre los años 180 y

125 a.J.C. encontraron los principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometría y los aplicaron a los problemas astronómicos.

Según Theon, de Alejandría, entre los citados astrónomos griegos, es a Hiparco,

especialmente, a quien se le puede considerar como el verdadero creador de la trigonometría (Padre de la Trigonometría), pues sobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su almagesto, una tabla de valores de las razones trigonométricas, para ser usados en los cálculos astronómicos. Para resolver los triángulos rectángulos, los griegos procedían así: calculaban los lados aplicando el Teorema de Pitágoras, y los ángulos mediante un Teorema de Ptolomeo; la resolución de triángulos cualesquiera la hacían descomponiendo en triángulos rectángulos 102

(trazando altura).

Es a Regiomontano (1436 – 1476), al que se debe el renacimiento de la trigonometría, pues fue él quien, valiéndose de traducciones del griego, escribió un notable tratado de trigonometría rectilínea y esférica, que puede considerarse como el primer tratado de trigonometría europea. Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas de la trigonometría esférica.


Viete (1540 – 1603), no era matemático de profesión, sino jurisconsulto que se ocupaba como abogado de asuntos de estado, pero su amor por la ciencia matemática fue tan grande que dedicaba la mayor parte del tiempo necesario para su descanso al estudio y a la investigación matemática. De posición económica desahogado, su espíritu noble y generoso lo llevó a proteger económicamente aun a sus contrarios científicos.

Como contribución a la trigonometría, en 1579 estableció las fórmulas que determinan las

funciones trigonométricas de múltiplos de un ángulo, cuando se conocen las funciones trigonométricas del mismo, y por primera vez en occidente expone los métodos que permiten resolver triángulos planos o esféricos aplicando las 6 funciones trigonométricas, pues Regiomontano solo utilizaba el seno.

Neper (1550 – 1617), con la creación de los logaritmos, abrevió notablemente los

cálculos trigonométricos, aunque en realidad su nombre en la historia de la trigonometría se destaca por las analogías que llevan su nombre, así como por la conocida regla del pentágono de Neper, de tanta aplicación en la Resolución de Triángulos Esféricos.

Es sólo en el siglo XVII que la trigonometría comienza a formar su carácter analítico, y es

Euler (1707 – 1783) el primero que en realidad hace progresar dicha ama de la matemática en este nuevo aspecto analítico, hasta darle forma que conserva actualmente.

NICOLÁS COPÉRNICO (1473 – 1543) 102


Nicolás Copérnico fue un médico y astrónomo que cambió la idea del lugar que

ocupaba la Tierra en el Universo. En su famosa obra De Revolutionibus Orbium Coelestium (“De las revoluciones de las esferas celestes”), proponía que la Tierra giraba diariamente sobre su propio eje y que, a la vez da una vuelta completa alrededor del Sol, en una órbita que tardaba un año en recorrer. Esto se oponía a la antigua idea de que el Universo giraba alrededor de la Tierra. También fijó métodos para calcular el tamaño del Sistema Solar y los movimientos de los planetas. De todas maneras, los científicos todavía tardaron un siglo en probar sus ideas y aceptarlas plenamente.

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

1. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS En trigonometría se consideran ángulos de cualquier valor, por lo que se hace necesario aplicar el concepto de ángulo, supongamos un rayo AB, con origen en A en la figura siguiente:

AC habremos generado un ángulo trigonométrico tal como se muestra.

Si AB empieza a girar; en el sentido de la flecha curva, hasta la posición

En trigonometría, describiremos como se consideran los ángulos de 102

cualquier valor, por lo que se hace aplicar el siguiente concepto.

OBSERVACIONES: Tener en cuenta un ángulo medido en sistema diferentes son equivalentes () y no iguales (=) Así: 45º  En grados Sexagesimales  50g  En grados Centesimales

 rad 4

Sistema Sexagesimal Unidad: grado Sexagesimal (º) 1 Vuelta  360º


2. ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS Los ángulos generados en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj se consideran en trigonometría positivos y si generamos ángulos en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj se consideran negativos. Angulo Positivo

 En radianes

Angulo Negativo

Ejm.: Graficar 120º

Además: 1º  60’ (1 grado Sexagesimal equivale a 60 minutos sexagesimales) 1º  60” (1 minuto Sexagesimal equivale a 60 segundos sexagesimales) 1º  3600” (1 grado Sexagesimal equivale a 3600 segundos sexagesimales)

Sistema de Centesimal Unidad: grado Centesimal (g) 12 1 Vuelta  400g Además: 1g  100m (1 grado Centesimal equivale a 100 minutos centesimales) 1m  100s (1 minuto Centesimal equivale a 100 segundos centesimales) 1g 10000s (1 grado Sexagesimal equivale a 10000 segundos centesimales)

Sistema Radial Unidad: 1 radián (1 rad)

Ejm.: Graficar –230º

A0B: Sector circular

3. SISTEMA DE MEDIDA

Un ángulo  puede ser medido en diferentes sistemas, los más conocidos son sexagesimales, centesimales y radiales. Así: 

S. Sexagesimal S. Centesimal

S. Radial Ejm.:

45º  50g 

L

=

=

.

Además: 1 vuelta  2rad

1 vuelta  rad 2 1 2 rad vuelta  n n

Relación Importante: Si el ángulo es una vuelta completa se cumple: 3620º  400‘  2rad 102

 rad 4

Condición

Además si a simplificamos:

Simplificando: ...180º  200g  rad .

180º



200g

le

...9º  10g .

PROBLEMAS PARA LA CLASE 8.

Si 31,12g  agbm.

Hallar a + b 9.

Hallar x, siendo º  g, º  2x + 15 


1. Convertir: a) 50g a grado sexagesimal b) c) 36º a grado centesimal d)

 rad a grado sexagesimal 5

e)

f) 20g a radianes g) h) 80º a radianes i)

 rad a centesimales 10

j)

2. Hallar el valor de “P”

p 

3.

m

100 gº

10.

Hallar el valor de “x”

Hallar “Q”

3 rad  60º 8 Q  200 m  1 g

11.

En un , sus lados están en P.A. de

razón 20º.

Hallar el mayor ángulo

12.

Hallar x, siendo º  2g, siendo: º  x

+ 15  g = 80

13.

Hallar “”

4  250 g 

Hallar el valor de “M”

 M  27 º  rad  40 g 3

4.

 = 70 g

14.

 rad 9

Si 27,55º  aºb’.

Hallar a + b

15.

Señale el menor ángulo A  B  70º

A B 

 rad 10

BLOQUE II

5.

Hallar “x”

1. Convertir 80g a radianes a)

b) c)

6.

Hallar el valor de “”

d) e)

 3  3 5  4 7  3 8  2 5 2

2. Hallar “P”

P  7.

Hallar “R”

R 

A) 1 D) 2

B) 3 E) 5

C) 4

3. Hallar “M” 102

20 g  / 4 rad  120' 100 m

300 m 1º  g 60' 1

M  50 g 

 rad  5º 18

A) 50º D) 5º

B) 20º E) 60º

D) 80º

E) 100º

7. Si 47,25º  aºb'; Hallar a + b A) 62 B) 15 D) 25 E) 72

C) 55º

4. Hallar “x”

C) 47


8. Si º  x + 30º  g = 60 Hallar “x”; Además º   g A) 84 B) 24 C) 30 D) 50 E) 90 9. Señale el mayor ángulo

A) 84º D) 80º

B) 42º E) 100º

C) 20º

A + B = 60º

5. Hallar “”

A–B=

A) 20º D) 60º

B) 12º E) 120º

 rad 9

A) 80º D) 20º 10. Hallar :

C) 40º

Si 5 

6. En un  los ángulos están en P.A. de razón 30º. Hallar el mayor ángulo A) 30º B) 60º C) 90º

B) 60º E) 10º

C) 40º

 rad  20 g 10

A) 8g D) 8º

B) 40g E) 12º

C) 12g

CLAVES

1. 2. 3. 4. 5.

E C A B E

6. C 7. A 8. B 9. A 10. C

SECTOR CIRCULAR

Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia

De la figura se obtiene: A0B Sector Circular

LONGITUD DE ARCO (l) Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia, se calcula mediante el 102

producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia.

2 rad.  rad.

Resolviendo se obtiene: S 

lr 2 Ejemplo:

S 

S 

r2 2

también:

l2 2


Deducción.– Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura siguiente:

Circular  r2 S

Teniendo en cuenta el significado geométrico de 1rad. se tiene: Longitud de Arco Ángulo Central l  rad. r 1 rad. De donde se obtiene . l =  . r . Donde: l : longitud de arco  : número de radianes del ángulo central

r : radio de la circunferencia Ejemplo:

Del gráfico mostrado, calcular el área del sector A0B. Solución:

0: centro.

 S = 6 cm2 rad 3 rad  62 S  . 3 2 NUMERO DE VUELTAS (nv) El número de vueltas que da una rueda de radio “r” al desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante el cociente de la longitud que describe el centro de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la rueda).  = 60º .

 180 º



Del gráfico mostrado, calcular la longitud de arco (l), siendo 0: centro. Solución: l =  . r Convirtiendo =30º  = 30º en rad

30º .

πrad π  rad 180º 6

 . 18 6 l = 3 cm l=

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S) El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos.

Deducción.–

Comparando (por regla de tres simple) Área de un Sector Ángulo Central

En esta figura el número de vueltas que da la rueda de radio (r) al desplazarse desde “A” hasta “B” se calcula:

nv 

lc 2r

(lc : longitud descrita por el centro de la rueda). (perímetro de la rueda). Ejemplo: ¿Cuántas vueltas da la rueda de 4cm de diámetro?

102

Solución: r = 2cm

lC = 80 . 100cm nV =

80  100cm 2 2cm

nV = 2000 vueltas


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Hallar “L” siendo A0B un Sector Circular

7. Hallar el Área del Sector Circular A0B

2. Hallar “l” siendo A0B un Sector Circular (considerar  = 22/7)

8. Hallar “S” si A0B es un Sector Circular

3. Encontrar el radio de una circunferencia tal que un arco de 15 m de longitud, subtiende un ángulo central de 3 rad.

9. Calcular la longitud de un arco en una circunferencia cuyo radio mide 20 cm y el ángulo central que subtiende mide 90g.

4. Hallar el Área del Sector Circular A0B

10. Si A0B y C0D son Sectores Circulares. Hallar: L1 + L2 + L3

5. Dada la circunferencia de 24 m de radio. Encontrar la longitud del arco subtendido por un ángulo central de 2/3 radianes

11. En la figura mostrada calcular el valor del radio del sector A0B, sabiendo que: L = 2cm

6. Hallar “R” siendo A0B un Sector Circular

102

12. Hallar “L” sabiendo que A0D es un Sector Circular:

A) 2m D) 7m

B) 4m E) 6m

C) 5m

2. Hallar “L”, siendo A0B un Sector Circular


13. Siendo “0” centro de la circunferencia. Hallar “S1 + S2”

A) 21 B) 22 C) 20 D) 31 E) 41 3. Hallar el área del Sector Circular A0B

14. En el esquema mostrado COD es un Sector

Circular. Determine el área de la región sombreada.

A) 15m2 B) 12m2 C) 30m2 D) 20m2 E) 10m2 4. Determine el valor de “L 1 + L2 + L3”, si A0B y C0D son Sectores Circulares

15. De la figura mostrada, hallar “X”, si  =

1 rad. 4 A0B es un Sector Circular

A)  B) 5 C) 10 D) 14 E) 16 5. De la figura mostrada, calcular el valor del radio el Sector Circular A0B, sabiendo que L = 8 cm.

16. Del gráfico. Hallar el área sombreada. Si AC = 4, EDA y C0B son Sectores Circulares

A) 30cm D) 48cm

BLOQUE II

B) 35cm C) 40cm E) 52cm

6. Hallar “L”, sabiendo que A0D es un Sector Circular

1. Determine el valor del radio del Sector Circular A0B

A) 4 D) 5

B) 7 E) 3

C) 10 102

7. Siendo “0 centro de la circunferencia hallar “S1 + S2”

A) 2,52 B) 3,22 C) 2,552 D) 2,252 E) 1,52 9. En el Sector Circular A0B.

1 rad. 5


Hallar “2x” si:  =

68 45

B)

13 D) 45

E)

A)

37 13

C)



13

A) 39l B) 7l C) 27l D) 19l E) 32l 10. Siendo A0B un Sector Circular, determine el valor de “S”

10 9

8. Determine el área de la región sombreada, siendo A0B Sector Circular

A) 22 D) 72

B) 62 E) 52

C) 42

CLAVES

1. 2. 3. 4. 5.

C B A E D

6. C 7. A 8. D 9. A 10. B

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

TRIÁNGULO RECTÁNGULO Se llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos es recto (90º), además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos. En la figura mostrada:

c : hipotenusa a  b : catetos    : son ángulos agudos

102

Además en el triángulo rectángulo se cumple:  Los ángulos agudos suman 90º .  +  = 90º . 

Teorema de Pitágoras

hipotenusa c  cateto opuesto al ángulo θ b

Ejemplo: Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo  en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.


. a2 + b2 = c2 .

csc θ 



Resolución

La hipotenusa siempre es mayor que los catetos . c>ab .

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.

Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de  del modo siguiente:

senθ 

cos θ 

tgθ 

cateto opuesto al angulo θ b  hipotenusa c

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos: (8)2 + (15)2 = x2  289 = x2  x = 17 Luego

sen 

8 17

ctg 

15 8

cos  

15 17

sec  

17 15

csc  

17 8

tg 

8 15

Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53º Las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.

cateto adyacente al ángulo θ a  hipotenusa c

cateto opuesto al ángulo θ b  cateto adyacente al ángulo θ a

ctgθ 

catetoadyacente al ángulo θ a  cateto opuesto al ángulo θ b

sec θ 

hipotenusa c  cateto adyacene al ángulo θ a

De los triángulos anteriores se obtiene: 102

30º

37º

45º

53º

60º

sen

1 2

3 5

2 2

4 5

3 2

cos

3 2

4 5

2 2

3 5

1 2

tg

3 3

3 4

1

4 3

3

ctg

3

4 3

1

3 4

3 3

Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que: sen  Luego:

B'C ' AB '

BC B 'C '  AB AB '


Ángulo R.T.

sec

2 3 3

5 4

2

5 3

2

csc

2

5 3

2

5 4

2 3 3

OBSERVACIÓN: LOS VALORES DE

Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Siendo  un ángulo agudo se cumple:

1  sen . csc   1 sen 1 sec   cos  . sec  1 cos 

csc  

LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN

ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura.

ctg 

1  tg .ctg  1 tg

Ejemplo: Si

sen 

3 4  csc   4 3

1  sec   5 5 5 3 ctg   tg  3 5 3 2 csc    sen  2 3

cos  

Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que:

sen 

BC AB

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos

ángulos

agudos

se

llaman

complementarios si su sima es un ángulo recto.

102

En la figura se muestra:  y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)

OBSERVACIÓN: RECORDEMOS QUE

EN LOS VÉRTICES DE LOS TRIÁNGULOS

SIEMPRE SE COLOCAN LETRAS MAYÚSCULAS Y A LOS LADOS QUE SE

OPONEN

SE

COLOCAN

MINÚSCULAS POR DECIR:

Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b

SI

SUS

RESPECTIVAS

LETRAS

EN UNO DE LOS VÉRTICES DEL

TRIÁNGULO COLOCAMOS LA LETRA COLOCAREMOS SU MINÚSCULA “A”.

“A”,

EN SU LADO OPUESTO

como  y al ángulo opuesto al cateto a como 


en consecuencia:

sen 

b  cos  ; c

cos  

a  sen c

b  ctg ; a a ctg   tg b

tg 

c  csc ; a c csc   sec b sec 

Debido a estas relaciones las razones: 

seno y coseno



tangente y cotangente



secante y cosecante

Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra

Ejemplos: sen40º = cos50º tg80º = ctg10º cos62º = sen28º

sec20º = csc70º ctg3º = tg87º csc24º = sec66º

Ejercicio: si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º <  < 24º, halle  Resolución Por lo anterior se tiene: (40º + ) + (10º + ) = 90º 2 = 40º   = 20º

102



1. Hallar las 6 Razones Trigonométricas del ángulo “A” de un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”. Sabiendo que: a = 6; c = 8

12. En la figura, calcular tg

2. Hallar las 6 Razones Trigonométricas del ángulo “C” de un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”. Sabiendo que: a = 5; c = 13 3. Si se cumple que: tg(2x + 5) . ctg 21 = 1. Hallar el valor de “x”

4. Si sen(15x – 31) . csc(3x – 25º) = 1. Hallar el valor de “x” 1 5. Si cos (a  b  20 )  . sec ( 6a  b  60 ) Hallar el valor de Sen (a + 14º) 6. Siendo: ctg( + 10º) = tg( + 40º). Hallar “”

7. Si sen(2 + 10) = cos ( + 50º). Hallar tg(3) 8. Si sec( + 40) = csc( + 20º). Hallar sen(35º + )

1 . 3 Hallar ctg

9. Si sen =

10. Dado:

13. Calcular “E”. Sabiendo que: E = sen230 + tg260 + tg445º 14. Hallar “x”, siendo: ctg4x60º = sec445º . tg37º

15. Calcular “x”.

Si: sen(2x–70º) = (“x” es agudo)

1 . 2

BLOQUE II 1. Siendo el triángulo rectángulo ABC recto en “B”, además: a = 1; c = 4. Hallar “ 17 . cos A ” A) 1 D) 5

B) 3 E) 7

C) 4

2. Si 4sen = 3. Hallar “csc” A) 1/4 D) 2/3

B) 4/3 E) 3/5

C) 1/2

3. Si tg(xº + 20º) x ctg50º = 1. Hallar “x”

Hallar: 4cos

11. Si sen = 0,333... Hallar “M”, M = sec  + tg

A) 30 D) 25

B) 40 E) 37

C) 50

102

4. Si cos42º =

1 . sec x  15 

Hallar ctg2(x + 3) A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

D) 12

E) 13

8. Calcular: E = sen245º . tg45º . tg 37º

C) 3

A) 1

B) 4/3

D) 5/2

E) 3/8

C) 3/4


5. Si: sec(x + 10º) = csc40º. Hallar tg(5º + x) A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

9. Hallar “x”.

1 6. Si sen= . 5 Hallar 6 . ctg A) 1 D) 6

B) 2 E) 12

x Siendo: csc 45º 

A) –1 B) –2 D) 2 E) 3 10. Calcular “x” (agudo)

C) 3

60 . 61 Calcular: E = sec + tg

Si cos(2x – 50) =

7. Si sen =

A) 9

B) 10

1 csc 30º

A) 30º D) 70º

C) 11

B) 60º E) 28º

C) 1

3 2

C) 40º

CLAVES

1. C

6. E

2. B

7. C

3. A

8. E

4. C

9. B

5. B

10. C

102

S a n ta R 20 o sa 14 PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS

ESTUDIO DEL TRIÁNGULO PITAGÓRICO Todo triángulo pitagórico tiene sus lados expresados por números enteros positivos. Dichos lados tiene la siguiente forma: Siendo: “m” y “n” números enteros positivos.

Además

. m > n .

OBSERVACIÓN: SI ELEGIMOS VALORES DE “M” Y “N” (NÚMEROS PRIMOS ENTEROS ENTRE SÍ) TAL QUE (M + N) RESULTE UN NÚMERO IMPAR, SE OBTIENEN TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS TAMBIÉN SON NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ.

EJEMPLO: CUANDO: M = 5 Y N = 2

OBSERVACIÓN: CUANDO LOS VALORES

DE

“M”


“N” (NO

Y

SON PRIMOS ENTRE SÍ) O

CUYA SUMA DE M Y N SEA UN NÚMERO PAR SE OBTIENE TRIÁNGULOS

PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS ESTÁ EXPRESADA POR NÚMEROS QUE TIENEN UN DIVISOR COMÚN.



CASO PARTICULAR: CUANDO SE TIENE DOS NÚMEROS ENTEROS (M Y N), PERO CONSECUTIVOS, ENTONCES SE CUMPLIRÁ:

m

k 1 2

n  Y

k 1 2 ; SIENDO: K = # IMPAR.

Luego:

102

EJEMPLO: CUANDO: K = 11


EJEMPLO: CUANDO: K = 5

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES O NOTABLES Razones Trigonométricas del Ángulo de 45º Sean los catetos del triángulo rectángulo ABC: . AB = BC = L . Por el teorema de Pitágoras: AC2 = AB2 + BC2 AC2 = L2 + L2 = 2 L2 AC =

 . AC =

2L2 =

L2

2

2L .

Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º L 1 2 2 2 2     2 sen 45º =  csc 45º = 2 2 L 2 2 2 2 2 2 L 1 2     2 cos 45º =  sec 45º = 2 2 L 2 2 2 tg 45º =

L 1  1 L 1

 ctg 45º =

Razones Trigonométricas del Ángulo de 30º y 60º Para hallar las razones trigonométricas de 30º y 60º, construimos un triángulo equilátero, veamos: En el triángulo rectángulo BHC; calculamos BH, por el teorema de Pitágoras BC2 = BH2 + HC2

L L = BH +   2 2

2

2

1 1 1

L2 = BH2 + 3 L2 4

3 L2 4

L2 4

L2

 L2 –

4

= BH2 

= BH2

= BH  .

L2

3

4

3 L  BH 2

 .

Luego calculamos las razones trigonométricas de 30º y 60º en el BHC

102

S a n ta R 20 o sa 14 Razones Trigonométricas del Ángulo de 37º y 53º

sen 37º cos 37º

tg 37º

ctg 37º

sec 37º csc 37º

3 . 5 4 =. . 5 3 =. . 4 4 =. . 3 5 =. . 4 5 =. . 3 =.

sen 53º = cos 53º = tg 53º =

ctg 53º =

sec 53º = csc 53º =

Razones Trigonométricas del Ángulo de 16º y 74º

4 5 3 5 4 3 3 4 5 3 5 4

102

sen 16º cos 16º tg 16º

24 25 7 cos 74º = 25 24 tg 74º = 7 7 ctg 74º = 24 25 sec 74º = 7 25 csc 74º = 24 sen 74º =


ctg 16º

7 . 25 24 =. . 25 7 =. . 24 24 =. . 7 25 =. . 24 25 =. . 7 =.

sec 16º csc 16º

Razones Trigonométricas de 15 y 75º Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 15º y 75º tomamos como referencia el 45 46 triángulo rectángulo notable de 30º y 60º, luego prolongamos (como se muestra en la figura), hasta obtener un isósceles EBC, siendo: EB = BC = 2.

En el triángulo rectángulo EAC: Calculamos el valor de “x” por medio del teorema de Pitágoras:

. EC2 = EA2 + AC2 . 2 x 2  2  3    1 2 2

x 2  4  4 3  3 1

x2 84 3 x 

84 3

Aplicamos radicales dobles

. x  6 2 .

Luego, calculamos las razones trigonométricas de 15º y 75º

102


Razones Trigonométricas de 22º30’ y 67º30’ Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 22º30’ y 67º 30’ tomamos como referencia el triángulo rectángulo notable de 45º, luego procedemos de igual manera que el caso anterior.

En el triángulo rectángulo EBA: Calculamos el valor de “x” por medio del teorema de Pitágoras

EA2 = EB2 + BA2 x2 =



2 1

x2 = 2+2



2

+ (1)2

2 +1+1=4+2

 x  22  2   2 2  2



2 =2 2

2



Luego, calculamos las razones trigonométricas

sen 22º30’ = cos 22º30’ =



1

2 2 2

2



2 1

2 2



=.

2 2 . 2

sen 67º30’=

2 2 2



=.

2 2 . 2

cos 67º30’=

2 2 2

tg 22º30’ =

1 = . 2 1. 2 1

tg 67º30’= 2  1

ctg 22º30’ =

2 1 = . 2 1. 1

ctg 67º30’= 2  1

sec 22º30’ =

2

2 2

csc 22º30’ = . 2



=. 2



2 2 .





2 2 .

sec 67º30’= 2 csc 67º30’=

2





2 2 2 2



 102

OBSERVACIÓN: HACIENDO USO DE

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, TAMBIÉN PODEMOS

CALCULAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UNO DE SUS DOS ÁNGULOS AGUDOS, VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:

Ejemplos:


1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”), donde a = 8 y b = 15. Calcular: “tg

A ” 2

Resolución

En el triangulo rectángulo BCA: Calculamos AB por medio del teorema de Pitágoras:

AB2 = BC2 + AC2  AB2 = 82 + 152 = 64 + 225

AB2 = 289  AB =

289

  . AB = 17

.

Luego en el triángulo rectángulo DCB: Calculamos: “tg 

A ” 2

tg 8º 

8 1  A  BC   . tg    . 2

DC

2. Haciendo uso del triángulo notable 16º y 74º. Calcular “tg 8” En el triángulo rectángulo BCP

32

4



. tg 8º 

BC 7  PC 49

1 7

.

CASOS DE RACIONALIZACIÓN QUE DEBE TENERSE EN CUENTA

1er Caso: Denominador Monomio Para racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador un monomio, se multiplican los dos términos de la fracción por el radical del mismo índice que el del denominador, y que multiplicador por el radical que se desea eliminar y de como producto una cantidad racional. Ejemplos: a.

4  3

4 3 4 3 4 3 4 3    3 3 . 3 3.3 9

b.

3  2

3 2 3 2 3 2 3 2    2 2 . 2 2.2 4

102

5  3

c.

5 .

3

3 .

3

5.3



a a b  b b

 .

15  9



3.3

15 3

Esta fórmula sólo se cumple, cuando el denominador es raíz cuadrada.

.

2do Caso: Denominador Binomio Para racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador un binomio de la forma: a  b se multiplican los dos términos de la fracción por la expresión conjugada a  b del denominador y luego se simplifican los resultados.






Ejemplos: a.









 52 3 52 3   2 2 3 2 3 2 3 22  3















5 52 3  52 3  4  3 2 3 2  5 2

b.





















2 2 5 2 2 5 2    5  2 3 5 2

3 2  3 2

c.

 

3 2 3 2

 







2 5 2 2 5 2  2 2 5 2 5 2 5  2







  3  2  3  2

3 2  3 2



2

2

2

2



3 2 3 . 2  2  3  2



2

3  2 32 6 2 52 6    52 6 1 1 3 2

.



an m a  n2 m n m



6

5

B) E) 

5

b p  q  b  p q p  q

C)



14 3 

.

14



D) 2 14

E) 14  2 14

C) 2

6

3. Luego de racionalizar:

1 2 3.

3

9

Dar el denominador

2. Racionalizar:

10 7 2 7 3 2 A) 3  2 14

;

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Reducir: 1 1 Q    3 2 3 5 2 A) D)



A) 2 B) 3 C) 6 D) 9 E) 18 4. Hallar el valor equivalente de:

B) 14  2 14 102

6  12 3 3

E 

A) 0,5

6

2

3

2

3

2



6

D)

3 1

2

3

6 3 4 9 .36

A) 1 B) 2 D) –1 E) –2 10. Racionalizando:

C) 0


C) E)



B)

E 

1 6 3 2 1 2. 5 8

5. Dar racionalizar lo siguiente 4

A)

4

2

8 1 4 2 8

B)

C)

2

0,54 2 E) 2 2

D)

0,5 2

6. Luego de racionalizar y reducir:

5 75  45

Resulta una cantidad denominador es:

3

1 4 3 2 A)

A)

1

3

2 2 3 4 D) 2

9. Calcular:

2 2

32 C) 2 3 2 E) 2 B)

3

4 2  3 22

D)

3

4 23 2

E)

3

4 2 3 2

2 1 b  2 1 ;

a 

2 1 2 1

Dar el valor de: E = a3b – ab3

D) 0 E) –2 8. Hallar el equivalente, con denominador racionalizado, de:

A)

2 2 23 4

B)

12. Si:

B) 2 3 C) 2

6

4 3 2

3

C) 30

2 3

6

3

C)

2 3 3  3 1 3

P 

cuyo

A) 29 B) 39 C) 49 D) 59 E) 69 11. Señalar el factor racionalizante de:

El denominador resulta:

A) 5 B) 6 D) 3 E) 1 7. Racionalizar:

negativa

2 2

A)  24 2 B) 2 3 C)  4 2 D)  6 2 E)  24 3 13. Proporcionar el equivalente de:

1 2  3 1 2  3 A) C) E)

3

2

2 1

B) D)

3

2

2 1

3 1

102

CLAVES

8. C

2. C

9. C


1. B

3. E

10. C

4. D

11. C

5. B

12. A

6. B

13. A

7. E

PITÁGORAS (580 A.C. – 500 A.C.)

102


Las ideas del matemático y filósofo griego Pitágoras contribuyeron al desarrollo de las matemáticas modernas y de la filosofía occidental. Su objetivo era explicar todos los fenómenos naturales en términos matemáticos. Pitágoras es conocido especialmente por su fórmula acerca de las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo. Sin embargo, otros muchos conceptos y anotaciones (como las progresiones aritméticas y geométricas y los números cuadrados) fundamentales para las modernas matemáticas están basados en las ideas pitagóricas. Tanto él como sus seguidores descubrieron las matemáticas de los armónicos que forman la base de la música occidental.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo. En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da: I. Las longitudes de dos lados. II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. 102

1. Conociendo las longitudes de los lados: Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.


Resolución  Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras: (1)2 + (2)2 = x2  x2 = 5 x= 5

 Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.

Por decir: tg =

2.

1   = 26º30’ (aproximadamente) 2

como:  +  = 90º   = 63º30’ Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto.

A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo incógnitas x, y 

Cálculo de x:



Cálculo de y:



En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

x = cos  x = a cos a y = sen  y = a sen a

Conclusión:

B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo incógnitas x, y 

Cálculo de x:



Cálculo de y:



En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

x = ctg  x = a ctg a y = csc  y = a csc a

CONCLUSIÓN:

102


A. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo Análogamente a los triángulos rectángulos anteriores

Ejemplos:







Aplicaciones

1. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto C en un borde del río y visualizando un punto A situado en el otro borde. Después de girar un ángulo de 90º en C, se desplaza 200 m hacia el punto B, aquí mide el ángulo  y encuentra que es de 20º. ¿Cuál es el ancho del río?

Resolución Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que usamos la relación tg =

102

b a

Reemplazando: tg 20 º 

b 200

 b = 200tg20º  el ancho del río es (200 tg20º) m


2. Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ángulo de 22º con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre la cometa y el suelo (sen22º = 0,374) Resolución Graficando, tenemos por condición al problema Sea h la altura a la cual se encuentra la cometa, a partir de la figura vemos que:

h

= sen22º 12  h = 12 sen 22º h = 12(0,374) = 4,488 h = 4,488 m

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR (S)

El área de cualquier región triangular está dada por el semi producto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados. Así tenemos: Del gráfico:

S 

1 a b sen 2

Demostración:

Por geometría S, se calcula así

S 

b .h (h: altura relativa del lado b 2

En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por resolución de triángulo que: h = a sen

Luego:

S 

b . asen ; (ba = ab) 2

S 

1 ab sen 2 102

Ejemplo: Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm; Ac = 6 cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37º Resolución


Graficando tenemos Nos piden: S

1 (5cm) (6cm) sen 37º 2 3 1 S  (5cm) (6cm) 5 2

De la figura: S 

 S = 9 cm2

OBSERVACIÓN:

A ) EN

TRIGONOMETRÍA, LOS OPERADORES NO TIENEN SIGNIFICADO

POR

SÍ

SOLO,

ALGEBRAICAS

NI

CON

TAMPOCO

ELLAS,

PUEDE

DE

REALIZAR

MANERA

QUE,

OPERACIONES

ES

ABSURDO,

CONSIDERAR LAS OPERACIONES

sen  sen 

 (ABSURDO) ;

sen  α   sen  β   sen  α  β               Absurdo

B) SE

HA DEMOSTRADO QUE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON

NÚMEROS, LUEGO CON ELLOS SE PUEDE OPERAR ASÍ:

I)

5

SEC

SEC

–2

SEC

+2

= 4 SEC

II)

cos    1   3   sen  . sen  2  sen   sen  = 3 COS + 2

C) TENGA

N

CUIDADO CON LA EQUIVALENCIA SEN X

= (SENX)N;

LA

PRIMERA SE UTILIZA CONTINUAMENTE PERO LA SEGUNDA NO; PORQUE CORRE EL RIESGO DE CONCLUIR QUE:

(SENX)N = SENNXN 

Y ESTO ES INCORRECTO

102

S a n ta R 20 o sa 14 EN LA ANTENA SE PUEDE OBSERVAR

1. Hallar “x”

LA APLICACIÓN DE ÁNGULOS VERTICALES


Rpta. 5

2. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. 2/3

5. Hallar BM en función de “m y ”

Rpta. msen . tg 3. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. m(ctg - tg) 4. Hallar “sen”

Rpta. mtg . sec

6. Hallar “x” en función de “m y ”

102

Rpta. 1,2

12. Siendo cos = 0,25. Hallar “x”


Rpta. mcos . csc 7. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. msen . sec 8. Hallar “x” en función de m,  y 

Rpta. 1,25

13. Siendo: sen = 0,2  tg = 3. Hallar “x”

Rpta. mtg . tg 9. Hallar csc

Rpta. 2,4 14. Siendo: cos = 0,1  ctg = 2. Hallar “x”

Rpta. 1

15. Calcular “tg”

Rpta. 3/2 10. Hallar x

Rpta. 2/7

102

Rpta. msen . sec 11. Si sen = 0,3. Hallar x

16. Hallar el valor de “x”. Si: sen = 0,6 ctg = 2

Rpta. 28 18. Hallar “x”


Rpta. 10 17. Hallar “x”

Rpta.

24 3


1. Hallar “x” Si: sen = 0,2

A) 1 B) 2 D) 1,5 E) 2,5 2. Hallar “x” Si: sec = 2

C) 3

A) 11 B) 13 D) 9 E) 14 3. Hallar BM

C) 7

A) 13 B) 14 D) 16 E) 17 4. Hallar “x”

C) 15

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 5. Hallar el valor de “x”. Si: cos = 0,8 ctg = 2

102

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/16 D) 1/3 E) 1/5 9. Hallar “x”. Si: sen = 0,3333...... tg = 2

C) 8,4


A) 10 B) 5,6 D) 14 E) 70 6. Hallar “x”

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 10. Hallar el valor de “x” Si: cos = 0,25  ctg = 3

A) 66 B) 56 D) 70 E) 24 7. Hallar “x”

C) 32

A) 7,25 B) 4,15 C) 225 D) 1,25 E) 5,25 11. Hallar “x”. Si.  = 53º

A) 8,75 B) 2,25 D) 6,75 E) 2,75 12. Hallar “x”.

A) 1/ 3 B) 2 3 3 /2 E) 1/2 D)

C) 5,25

C) 2/ 3

3

8. Hallar “sen”

A) 45 3 B) 17 3 C) 19 3 D) 56 3 E) 32 3 13. Calcular tg

102

A) 3/4 D) 11/5

B) 2/5 E) 3/7

C) 3/10


CLAVES

1. A

8. E

2. E

9. A

3. D

10. D

4. B

11. B

5. C

12. D

6. D

13. C

7. B

102

ÁNGULOS VERTICALES INTRODUCCIÓN Debido a que en nuestra vida cotidiana


indicamos la posición de los objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión

para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en

observación. Así como también ángulos que nos permitan

visualizar

determinado

punto

del

objeto en consideración. A

continuación

: Ángulo de observación

Ángulos de Depresión

Es aquel ángulo formado por la línea

enunciaremos

algunos

puntos que consideramos importantes para el

horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

desarrollo del tema:

Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada.

Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.

Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.

Línea Visual: Llamada también línea de mira, es

aquella línea recta imaginaria que une el ojo del

: Ángulo de depresión

OBSERVACIÓN: AL ÁNGULO FORMADO

POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO

DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.

observador con el objeto a observarse. ÁNGULOS VERTICALES

Son aquellos ángulos contenidos en un plano

vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del

: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN

observador.

Los ángulos verticales pueden ser:

Ángulos de Elevación

Es el ángulo formado por la línea horizontal

y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.


1. A 150m de la base de una torre se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 53º calcular la altura de la torre Rpta. 200m 2. Desde un punto “A” situado a 30 m del pie de un edificio, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 30º. Calcular la distancia del punto A hacia la parte superior. 102

Rpta. 20 3 m

Rpta. 7,5m 10. Un niño ubicado a 40m del pie del árbol, observa la parte superior con un ángulo de elevación de 45º y la copa del árbol, con un ángulo de observación de 8. determinar la longitud de la copa de dicho árbol.


3 metros de altura 3. Una persona de observa la parte superior de una torre de 5 3 de altura, con un ángulo de elevación de 60º. ¿Cuánto tendrá que retroceder para que el nuevo ángulo de elevación mida 30º? Rpta. 8m

9. Un alumno Reinocielino camina del pie del colegio 10m y observa lo alto del edificio (colegio) con un ángulo de elevación de 37º. Determinar la altura del edificio.

4. Una persona de 2 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 30º y la parte superior con un ángulo de elevación de 60º. Calcular la altura del poste.

Rpta. 8m 5. Desde la parte superior de una torre se observan dos piedras en el suelo con ángulos de depresión de 37º y 53º si la altura de la torre es de 12m y las piedras están en línea recta y a un mismo lado de la base de la torre, calcular la distancia entre las piedras.

Rpta. 7m 6. Una antena de radio está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto a 12 m de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación a la punta de la antena y a la parte superior del edificio son 53º y 37º respectivamente. Calcular la altura de la antena

Rpta. 7m 7. Una bandera está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto de la superficie, se observa la parte superior del edificio y la punta de la bandera con los ángulos de elevación 47º y 68º respectivamente. Determinar el ángulo de visibilidad. Rpta. 21º 8. Desde lo alto de un faro de 60m de altura, se observa un bote con un ángulo de depresión de 37º. Si el bote recorre linealmente 35m hacia la torre. ¿Cuál es el nuevo ángulo de elevación?

11. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 15º acercándose 36m hacia el edificio, el nuevo ángulo de elevación es el doble del anterior. Calcular la altura del edificio Rpta. 18 m

12. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación “” acercándose 5m hacia el poste el nuevo ángulo de elevación es el complemento de “”. Si el poste mide 6m, calcular “Tg” Rpta. 2/3

13. Desde la base y la parte superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60º y 30º respectivamente. Si la torre mide 24m; entonces la altura del edificio es: Rpta. 36m

14. Dos ciudades A y B se encuentran separados por un camino recto, que mide 2 3  1 km; desde un avión que vuela la línea que separa ambas ciudades, se les observa con ángulos de depresión de 30º y 45º. ¿A que altura es´ta volando el avión?





Rpta. 2 km

102

Rpta. 53º

Rpta. 10 m

15. Desde un punto en el suelo, situado entre dos muros de 3 y 4 3 metros se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 30º y 60º respectivamente. Calcular la distancia entre los puntos más altos de los muros.

son 45º y 37º respectivamente. Calcular la altura de la antena. A) 4m B) 2m C) 5m D) 3m E) 7m 6. Desde lo alto de un faro de 12m de altura se observa un bote con un ángulo de

Rpta. 10


depresión de 37º. Si el bote recorre


1. A 12m de la base de una torre se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 45º. Calcular la altura de la torre. A) 11m B) 12m C) 13m D) 10m E) 5m 2. Desde un punto “M” situado a 36 m del pie de un edificio, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la distancia del punto “M” hacia la parte superior A) 27m D) 45m

B) 30m E) 51m

C) 39m

3. Una niña de 3 metros de altura observa la parte superior de una torre de 7 3 de altura, con un ángulo de elevación de 60º ¿Cuánto tendría que retroceder para que el nuevo ángulo de elevación mida 30º? A) 10m B) 11m C) 12m D) 13m E) 15m 4. Una persona de 1,5 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de

depresión de 37º y la parte superior con

un ángulo de elevación de 45º. Calcular la altura del poste.

A) 1m B) 1,5 C) 3m D) 3,5m E) 4m 5. Una antena de telecomunicaciones, está

sobre un edificio. Desde un punto a 16m de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio

linealmente 4m hacia la torre ¿Cuál es el nuevo ángulo de elevación para ver lo alto del faro?

A) 30º D) 53º

B) 37º E) 60º

C) 45º

7. Una mujer está sobre una peña. Desde un punto de la superficie se observa la parte superior de la peña y la parte más alta de la mujer con ángulos de elevación de 17º y 25º

respectivamente.

Determinar

el

ángulo de visibilidad.

A) 10º B) 9º C) 11º D) 7º E) 8º 8. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de º. Acercándose 5m hacia el poste, el nuevo ángulo de elevación es 2. Si el poste mide 4m. Calcular la “tg” A) 1/2 D) 3

B) 2 E) 4/5

C) 1

9. Desde la base y la pare superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 53º y 45º respectivamente. Si la torre mide 7m. Hallar la altura del edificio. A) 12m D) 28m

B) 24m E) 21m

C) 7m

10. Desde un punto en el suelo, situado entre dos muros, de 6 y 8 m de altura, se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 37º y 53º respectivamente. Calcular la distancia entre los puntos más altos de los muros 102

B) 10 2 E) 8 2

C) 15 2


A) 5 2 D) 6 2

102


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

Conceptos Previos

Nota: A la intersección de rectas se le denomina “origen” de coordenadas.

Recta Numérica

Es una recta dirigida en la cual se han señalado

 Coordenada de un punto: A cada uno de los

dos sentidos; uno positivo y otro negativo. En

puntos del plano cartesiano se le asocia un par

donde además a cada punto de esta se le a

ordenado. El cual se representará de la

asignado tan sólo un número real. Veamos un

siguiente manera:

gráfico:

P (a;b) en donde:

C

H a c ia e l

-

...

-3

-2

B

0

-1

0

A

1

H a c ia e l

+

3 2

3 ...

b  Ordenada del punto “P”

 Al punto “0” se le asigna el valor 0 (se le denomina ORIGEN)

 Al

punto

3



“A”

3 : Re al

se

a  Abscisa del punto “P”

Observemos gráficamente:

 Así se representa el punto P(a,b) en el plano

le

asigna

el

valor

cartesiano.



Y

 Al punto “B” se le asigna el valor -1.

P (a ;b )

b

 Al punto “C” se le asigna el valor -.

X

a

Plano Cartesiano: Es aquel que se forma por la intersección de 2 rectas numéricas perpendiculares entre sí en sus orígenes. Y

( H a c ia e l + )

Segundo C u a d ra n te ( IIC )

( H a c ia e l )

Te rc e r C u a d ra n te ( IIIC )

( E je d e O r d e n a d a s )

P r im e r C u a d ra n te ( IC )

0

C u a r to C u a d r a n te ( IV C )

Veamos un ejemplo de Aplicación: Ubique los cartesiano.

( E je d e A b s c is a s )

X ( H a c ia e l + )

siguientes

a) P (3;2)

b) Q (-2;1)

c) R (-1;3)

d) S (4;2)

puntos

en

el

plano

Resolución: ( H a c ia e l )

Q ( -2 ;1 )

R (-1 ;-3 )

-1 -2 -3

3

4 S (4 ;-2 )

102

-2 -1

P (3 ;2 )

2 1

Calculamos rp: Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a cualquiera del plano cartesiano se

rp 

  42

  3 2

rp 

16  9

Ejm.: Sea el punto P (a;b) del I.C.:

rp 

25  5

S a n ta R 20 o sa 14 representa de la siguiente manera:

Calculamos rR:

Y

rp 

P(a;b)

b

r

0

X

a

  12

   3 2

rp 

1 9

rp 

10

Angulo en Posición Normal: Es un ángulo trigonométrico inscrito en el plano cartesiano y que tiene las siguientes particularidades:

 Así se representa el radio vector (r) del punto P (a,b).

 Su vértice es el origen de coordenadas.  Su lado inicial se encuentra en el semieje

Calculemos su valor:

positivo de las abscisas.

Y

 Su lado final se encuentra en cualquier parte del plano, el cual indicará a que cuadrante

P (a ;b )

b

r

0

pertenece dicho ángulo.

X

a

Analicemos Gráficamente

Y

Lado F in a l de

IC

IIC

Por el teorema de Pitágoras calculemos “r”. r 2  a2  b2  r 

a2  b2

E je p o s i t i v o d e l a s a b s c i s a s ( la d o i n ic i a l d e t o d o á n g u lo e n p o s i c ió n n o r m a l)

X

O

 Veamos un ejemplo de aplicación

 Calcular el radio vector de los puntos P (-4; 3)

Lado F in a l de 

IIIC



IV C

y R (1; -3).

Resolución:

 Ya que el lado final de  se encuentra en el IIC,

- Ubicamos los puntos P (-4; 3) y R ( 1; -3) en el Y

plano: P (-4 ;3 )

 Ya que el lado final de  se encuentra en el IIIC, entonces  pertenece al IIIC.

3

rP X

1 0

-3

rR

Nota Importante: 102

-4

entonces  pertenece al IIC.

R ( 1 ;- 3 )

¿Cuáles de los ángulos no son ángulos en posición normal?

Nota: Pero es más práctico y recomendable trabajar con  y  por ser de menor magnitud.

Y

Ángulos Coterminales: Dos o más ángulo en

q n

POSICIÓN m

X

O

NORMAL

COTERMINALE,

se

cuando

sus

denomina lados

finales


coinciden. Además la diferencia de los ángulos debe dar como resultado un número entero de

p

vueltas o revoluciones.

Rpta.: “R y p no son ángulos en posición normal”

porque su lado inicial no es el semieje positivo de las abscisas mientras que m y q “si son ángulos

Veámoslo gráficamente:

 Para ángulos coterminales. Y

en posición normal”.



Ejemplo de Aplicación:

X

Trace en posición normal un ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto P (3; -4).

Resolución:

De inmediato se nos viene a la mente 2

En la figura se observa:  y  poseen el mismo

posibilidades:

lado terminal.

Y

Además:

 =  + 1 vuelta  -  = 1 vuelta

3

X



Entonces  y  son COTERMINALES. En General: Si X e Y son COTER-MINALES

-4

P (3 ;-4 )

entonces X – Y = R (vueltas) = R (2rad) = n (360 º).

También son coterminales: Y

 y  son ángulos en posición normal para el

punto P (3; -4). Pero …¿son los únicos? … La

X

respuesta es NO, cada uno de los puntos del



plano cartesiano poseen infinitos ángulos en posición estándar. A continuación explicaremos el porque de esto

Ambos con orientación negativa. Y

cuando conozcamos los ángulos coterminales. n

m

102

X

coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano. Nota: “Los ángulos cuadrantales no pertenecen a Uno con orientación positiva y otro con

ningún cuadrante”

orientación negativa. - Éstos ángulos son de la forma:


“Para todos los casos se cumple la misma regla”

n x 90º ó R x

Nota: Si 2 ángulos son coterminales entonces tendrán los mismos valores para sus razones trigonométricas.

Es

decir

si



y



son

coterminales:

Sen + Sen

Sec = Sec

Cos = cos

Ctg = Ctg

Tg = Tg

Csc = Csc

Rad (n : Entero) 2

Ejm.:

n (# Entero)

   1 ( 1)90 ó ( 1) rad   90 º ó  rad 2 2  0  ( 0 )90 ó ( 0 ) rad  2

 1 ( 1)90 ó ( 1) rad  2

Nota Importante:

Cambio de la orientación de un ángulo

0º ó  0 rad

90 º ó 

 rad 2

 Sea el ángulo trigonométrico “”.

  2  ( 2 )90 ó ( 2 ) rad  180 º ó  rad 2 2

Y

Y

-

 3 3  ( 3 )90 ó ( 3 ) rad  270 º ó  rad 2 2

X

X

O

O

Observamos que para modificar la orientación de un ángulo lo que se hace es anteponerle un signo

(-) y se le cambia el sentido a la “flecha” que

 4  ( 4 )90 ó ( 4 ) rad  360 º ó  2rad 2

representa la orientación del ángulo.

De igual manera se realiza el cambio de

Valores de las Razones Trigonométricas de

orientación para un ángulo negativo ().

Ángulos Cuadrantales

Y

Y

X

X

O

O



( - )

Ángulos Cuadrantales: Un ángulo en posición

Sen

0 0

90 1

180 0

270 -1

360 0

Cos

1

0

-1

0

1

Tg

0

ND

0

ND

0

Ctg

ND

0

ND

0

ND

Sec

1

ND

-1

ND

1

Csc

ND

1

ND

-1

ND

ND: No definido

normal es cuadrantal, cuando su lado final 102

Razones Trigonométricas de un Ángulo en Posición Normal: Sea “” un ángulo en posición normal y P (a,b) un punto que pertenece a su lado final. Calculamos: Definimos las razones trigonométricas de “” de la siguiente manera:

r 

 42 

4  16

20  2 5


r 

  2 2

Y

P(a;b)

r

Calculamos Sen y Cos

b

Ordenada de P 4 2   Radio Vector 2 5 5

Cos 

Abscisade de P 2 1   Radio Vector 2 5 5

X

a

O

Donde r 

Sen 

Reemplazamos

a2  b2

 2  1     3(2  1) A  3 5     5 5    

ordenada de P b Sen   Radio Vector r

Cos 

abscisa de P a  Radio Vector r

A = 9 Rpta.

Tg

Ordenada de P a  Radio Vector r

Signos de las Razones Trigonométricas (R.T.) Presentamos a continuación los respectivos signos de las razones trigonométricas para cada cuadrante en el siguiente cuadro:



Ctg 

Abscisa de P a  Ordenada de P b

Sec 

Radio Vector r  Abscisa de P a

Y

Sen y (+ C sc Las dem ás R .T . S o n (- )

Radio Vector r Csc   Ordenada de P b

Ejm. de Aplicación:

Siendo P (-2; 4) un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición normal . Calcular:

)

Tg y (+ ) C tg Las dem ás R .T . S o n (-)

T o d a s la s R .T . S o n p o s it i v a s

X

C os y (+ ) Sec Las dem ás R .T . S o n (-)

Para recordar:

A  3 5  Sen  Cos 

Primer Cuadrante  P  Positivos todas R.T.

Segundo Cuadrante  S  Seno y su Co-Razón (Csc) son (+)

Resolución:

Tercer Cuadrante  T  Tangente y su Co – Razón (Ctg) son (+)

Y

P (-2 ;4 )

Cuarto Cuadrante  C  Coseno y su Co-Razón (Sec) son (+)

4 PROBLEMAS PARA LA CLASE

r



01. Si el punto P (-12;5) pertenece al lado final del

X

O

102

-2

ángulo en posición normal “”. Hallar Sen.

Rpta.:

Rpta.: 08. Si Sen = -1/3, además: Cos > 0. Hallar el

02. Siendo P (-5;6) un punto perteneciente al lado final de un ángulo en posición normal . Calcular: E 

61Cos  10 Tg

valor de N

2  Sec   Tg 

Rpta.:

Rpta.:


09. Si Tg = 3. Calcular x

03. Si Cot = -6/8; y sabiendo que   IVC.

Y

Hallar:

R = Sen - Cos Rpta.:

X

04. De la figura calcular el valor de: 13  sen  Cos 

0

(X -1 ; 4 x -1 )

Rpta.:

Y

10. Si el punto P (-2,3) pertenece al lado final del ángulo “” (en posición normal tal que (90º <

X

0

(-3 ;-2 )

 < 180º). Calcular el valor de:

E

Rpta.:

05. Hallar el signo de cada producto: I. Sen190º: Cos(190º)

Sen  Cos Tg  Ctg

Rpta.:

11. Del gráfico calcular “Tg”. Si: OABC es un

II. Tg160º: Sec(200º)

cuadrado:

III. Cos120º: Sec (200º)

Y

Rpta.:

B

06. Calcular: Cos.Cos. Y

( - 2 ;1 )

A

X

O



X

O

Rpta.:

( - 1 ;- 2 )

12. En la figura mostrada; Hallar el valor de:

Rpta.:

07. Del gráfico, Hallar: 29 Cos 

R

13 Cos

  n 2  1 Cos    

 m2  Sen m  

Y

P (-1 ;m )



Y



X

0

X P ( - 3 ;- 2 )

O Q ( 2 ;-5 )

102

17. Si Rpta.:

1 1

13. Si se cumple:

5  13Cos

1

Csc2 - 9 = 0

Hallar M = Tg - Sec

Además: Cos < 0 y

Además ( IV C)

Sen > 0. Determinar el valor 2Cos  3 Tg

Rpta.:


4Sen 

M

18. Hallar Tg

Rpta.:

Y

P

(2 a ; -b )

14. Si  



180º ; 270º

X

Determine el signo de

0

    Sen  45º  . Tg  50º  2  3  P 2    Sec  20º  5  

(-a ;0 )

Rpta.:

19. Del gráfico calcular: 3sec2 - Tg

Rpta.:

Y

15. Del gráfico calcular: Tg + Tg

Siendo 0BCD un cuadrado Y

(-5 ; -3 )

B

0



X



X

O

(4 ;-2 )

O

D

Rpta.:

20. Si: 712tgx + 5 = 1; (x  II C)

Calcular A = Senx – Cosx

C

Rpta.:

Rpta.:

16. De la figura calcular


Sen  3Cos Sen  3Cos

E

01. A que cuadrante pertenece el ángulo  si:

Y

Cos < 0  Tg > 0

P

(-a ;2 a )

X



0 (

Rpta.:

Q 3 a ;-a )

a) I C

b) 2 C

d) IV C

e) V C

c) III C

02. De la figura, calcular el valor de:

(-2 ;1 )

5Cscθ  Ctgθ Y

102

 X

O

07. Siendo  y  Ángulos trigonométricos calcular:       sen   cos   s e n      2   2 

b) 9

d) 7

e) 5

c) 3 X


a) 1

03. Si el punto P (-1; -7) pertenece al lado final



del ángulo en posición normal “”, calcular:

a) 0

sen Tg . Sec

a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

04. Si  y φ son dos ángulos coterminales. Además Tg. Calcular P = Csc + Cosφ

d)

17 17

c)

b)  21 17

21 17

d)

21 17 27

 21 17 e) 17

05. Si sen2a=

2

e)

c) 2

 2

08. Si   IV C además:

8

a)

b) -1



ta g 

 sec 45



 2 ta g   3

Calcular: Sec - Tg a) 1/3

b) 2

d)-2

e) 0

c) -3

09. Del gráfico calcular “Tg φ” Y

1 y Cosa < Cos90 9

37

Calcular el menor valor de:

M  Csca  3 2 cos a

a) -7

b) -1

d) 2

e) 3

c) 1

06. Del gráfico mostrado calcular:

sen sec 

K 

X

 0

a) -4/7

b) -3/7

d) 7/3

e) -7/3

c) -7/4

10. De la figura calcular el valor de: Ctg - Csc

Y

Y

P (1 ;2 )

0

X

X

1 -2 a

(2 a ;1 + a )

a)  1 d) 5

1 5

b)

2 5

2 e) 5

c)

3 5

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

102

11. Sabiendo que: ( II C) 4Sen2 - 13sen + 3 = 0. Calcular el valor de: M = 

1 ctg . 15

a) -3

b) 1

d) 4

e) 2

c) -2

14. Calcular

cos M = Ctg + Csc2 - 3Tg a) -1/2

b) -1/3

d) -1/5

e) -1/6

c) -1/4

Y

0


X

2  2 Además 90º <  < 180º

12. Si (Sen)Sen =

a) 91 - 2 a

b) 8

d) 12

e) 11

c) 10

(2 a ;1 + a )

15. Simplificar

Indicar un valor de la Ctg. a) 

3

b) 

5 5

c)



15

d)

N = (a2+b2) sec + (a-b)2 sen3  2 2 2

1  e) -1 2

13. Si   II C y Cos = -0,8 Hallar: D = Sec + Tg

2

.

2

(a +b ) sec + (a-b) cos 

a) 1

b) -1

d) -2

e) 4

c) 2

102


REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

La conservación de una razón trigonométrica

1. Reducir al primer cuadrante:

(R.T) de un ángulo cualquiera en otra razón

a) Cos 150º

b) Tg 200º

equivalente de un ángulo del primer cuadrante se

c) Sen 320º

d) Sec 115º

llama: ”reducción al primer cuadrante”

e) Csc 240º

f) Ctg 345º

También reducir al primer cuadrante un ángulo

Resolución:

significa encontrar los valores de las RT de

1a. Cos 150º = Cos (180º - 30º) = -Cos 30º

cualquier ángulo en forma directa mediante reglas

“El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir

practicas

(150º) pertenece al II C, en el cual el coseno es

las

cuales

mencionaremos

a

continuación recordando antes que:

negativo”

- Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno.

1b. Tg 200º = Tg (180º + 120º) = + Tg 20º.

- Para

la

Tangente:

Su

Co-Razón

es

la

Cotangente.

- Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante.

“El signo (+) se debe a que el ángulo a reducir

(200) pertenece al III C, en el cual la tangente es positiva”.

I Regla: “Para ángulos positivos menores a una

vuelta.

1c. Sen 320º = Sen (270º + 50º) = -Cos 50º “El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir

   R . T  9 0      c o  r t     2 7 0  

(320º) pertenece al IV C, en donde e seno es

   R .T  1 8 0       R T   3 0 6  

seno porque se trabajo con 270º”.

negativo y se cambia a coseno (Co-razón del

1d. Sec 115º = Sec (90º + 25º) = - Csc (25º)

¡Importante!

Ojo: También se pudo haber resuelto de la

- El signo + ó – del segundo miembro depende

siguiente manera:

del cuadrante al cual pertenece el “ángulo a reducir”. -  se considera un ángulo agudo. Ejemplos de Aplicación:

Sec 115º = Sec(180º - 65º) = - Sec (25º) “Ambas respuestas son correctas, por ser éstas equivalentes” - Csc 25º = - Sec 65º Csc 25º = Sec 65º 102

Ya que:

Tg1240° = Tg160° = Tg(180° - 20°) = -Tg20°

sen  Cos ta g   C tg  sec   C sc

III Regla: para ángulos negativos: Para todo ángulo , se cumple:

Donde:

s e n   ta g    C tg    C s c   C o s() S e c()

 y  suman 90º

sen  ta g   C tg  C sc C os S ec


Nota: A éste par de ángulos se les denomina

     

“Ángulo Complementarios”.

e)Csc 240º = Csc (180º + 60º) = - Csc (60º) ó Csc 240º = Csc (270º - 30º) = - Sec (30º)

Nota:

f) Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) = - Tg (75º) ó Ct 345º = Ctg (360º - 15º) = - Ctg 15º

Observamos que para el coseno y secante el signo “desaparece” es decir, solo trabajamos con el valor positivo. Veamos ejemplos:

II Regla: “Para ángulos positivos mayores de una

Ejemplo de Aplicación

vuelta.

R . T  3 6 0   1 5    R . T    n  

Nota: Se eliminan los múltiplos de 360º.

3. Reducir al primer cuadrante: A) cos(-130°)

B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°)

D( Csc(-2140°)

Ejemplos de Aplicación

2. Reducir al primer cuadrante: a) Sen (548º)

b) Cos (987º)

Resolución:

3a) cos(-30°) = cos(30°)

c) Tg (1240º

Resolución

3b) Sec(-274°) = sec(274°) = Sec(270° + 4°) = Csc4° ó

2a) Sen548° = sen(1 × 360° + 188°) = sen188° Luego:

Sec(274°) = sec(360°-86°) = sec86°

3c) Ctg(-1120) = -Ctg(1120°) = -Ctg(3×360°+ 40°)

Sen548° = sen188 = sen(180° + 8°) = -sen8°

Ctg(-1120°) = -Ctg(40°)

ó

sen548° = sen188° = sen(270 - 72°) = -cos72°

2b) Cos987° = cos(2 × 360° + 267) = cos267°

3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) = -Csc(5×306° + 340°) Csc(-2140°) = -Csc(340°) =

-Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º] = Sec 70º

Luego:

Cos987º = cos267° = cos (180° + 87°) = -cos87°

- Csc(340º) = - Csc (360º - 20º) = -[-Csc(20º)] = Csc 20º

ó

cos987° = cos267° = cos(270° - 3) = -sen3° 2c) Tg1240 =Tg(3 × 360° + 160°) = Tg160° Luego:

102

Tg1240° = Tg160°.Tg(90° + 70°) = -ctg70° ó

Nota Importante: Todo el capítulo “Reducción al 1er Cuadrante” se desarrolló trabajando netamente en el sistema sexagesimal la cual también se pudo haber trabajando en el Sistema Radian incluyendo todos los casos reglas y aplicaciones propuestas.

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar la siguiente expresión: s e n 3 6 0  x   c o s 2 7 0  x  s e n 1 8 0   x 

08. Reducir la expresión

tg   x  c o s x     ta g  x  c o s 2   x 

P 



Rpta.:


Rpta.:

09. Hallar E:

02. Hallar el valor de P:

s e c 6 0   2 c o s 1 8 0   x   ta g 2 2 5  s e n   x  2 

E 

P  3 s e n 1 5 0  2 ta g (  1 3 5  )  C s c (  9 0  )

Rpta.:



Rpta.:

03. Al simplificar la expresión se obtiene

t g  3 6 0   x  s e n 1 8 0   x  c o s  9 0   x  M    c tg 9 0  x  sen  x  sen x Rpta.:

10. Simplificar U 

s e n  1 2 0   c o s 2 1 0  s e c 3 0 0  ta g 1 3 5   s e c 2 2 5   s e c 3 1 5 

Rpta.:

04.

Simplificar

t a g  5 4 0   a . C t g  3 6 0   a  E: c o s 1 8 0   a   2 s e n  9 0   a  Rpta.:

05. Hallar el valor de Q:

  s e n    x . t a g   x   2  M  C g t  2   x . s e n  2   x



Rpta.:

Q  a  b ta g 2 2 5  2 a s e n  2 7 0   a  b  c o s 1 8 0 

Rpta.:

06. Hallar X en la siguiente expresión: 2 c o s 3 6 0  3 ta g 1 3 5  c tg 2 2 5  3 C tg 2 1 7 2 s e n 6 3 0 

11. Hallar el valor de M

12. Relacionar según corresponda. I.

s e n   x



II.

  cos  x 2 

b. – Tg x

III.

ta g   x

c. Sen (-x)

a. Sen x



3 tg x

Rpta.:

07. Marcar V o F en cada proposición:

A) I-a; II-b; III-c B) I-b; II-a; III-c

C) I-c; II-a; III-b

I : sen110° = sen70°

D) I-c; II-b; III-a

II : cos200° = cos20

E) I-a; II-c; III-b

III: Tg300° = -ctg30° IV: sen618° = sen 78°

13. Calcular Sen(5x). Si:

V : sec(-310°) = -Csc40°

102

  2  sen  x  cos  3x 3   3 

20. Calcular x y E  SenX  Tg    SenY  Tg   2 2

Rpta.:

Si x + y = 2

14. Calcular A:

2 sen600 3

Rpta.:

S a n ta R 20 o sa 14 A  s e c 6 9 0 


01. Reducir y calcular E.

Rpta.:

15. Calcular P

E = Sen150º.Cos120º

+ Sec150º.Csc120º

P = sen140° + cos20° + sen220° + Cos160° + sen150°

Rpta.:

a) 19/12

b) -19/12

c) 4/3

d) -3/4

e) – 3/2

16. Reducir

 3  Tg(   x ).Cos  x  2  M  3  Sen(360  x ).Cot  x 2  

Rpta.:

17. Si x + y = 180. Calcular

x Tg  2Senx 2 B  Seny  y Ctg  2

Rpta.:

02. Hallar el valor de:

s e n 1 4 0  ta g 3 2 0   c o s 2 3 0  c tg 1 3 0 

M 

a) 1

b) – 1

d) -2

e) 0

c) 2

03. Calcular:  c tg    c tg  

   2    ta g     2       ta g   2   2

a) -2

b) 1

d) -1

e) 2

 

18. Calcular

C = 5Tg1485 + 4Cos2100 Cos120

c) 0

04. Simplificar:

Rpta.:

M 

19. Dado un triángulo ABC, calcular:



s e n 1 8 0   x  c o s  9 0  x  s e n  x  senx



ta g 3 6 0  x  c tg 9 0  x 

A= Sen (A+B) - Tg(B+C) Sen C

a) -3

b) -1

d) 1

e) 3

c) 0

102

Rpta.:

TgA

05. Cuántas de las siguientes preposiciones son verdaderas.

P   c o s 1 8 0   C t g 4 2 5 . s e n 4 5 0  . t a g 7 8 5 

a) -1 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

10. Calcular del valor de

I. s e n    x   s e n x I I. c o s  2   x   c o s   x  3  I I I. C t g   x   tg x  2    IV . s e c   x    C s c x 2 

s e n 1 5 0  c o s  1 2 0   tg 4 9 5 

d) 1 e) 2


a) -2 b) -1 c) 0

a) Ninguna b) 1 d) 3

11. Afirmar si es (V) o (F) I. senx + sen(-x) = 0

c) 2

II. cosx + cos(-x) = 0

e) Todas

III. Tgx + tg(-x) = 0

06. Sabiendo que:

  senx  cosx    6

Determine:

d)

4 3 3

b) VFV c) VFF

d) FFV

e) FFF

12. Dado un triángulo ABC

Tgx + Ctgx a) 2 3

a) VVV

Simplificar:

b) 4 3 e)

c)

3 3

E 

2 c o s A  B c o s c 



 3 s e c A  B  C



3

a) -1

b) 2

d) -2

e) 5

c) 1

07. Reducir la expresión:

13. Resolver

s e n  9 0    . c o s 1 8 0     M  t g 1 8 0    . c o s 1 8 0    

H 

. tg 3 6 0    . c o s 3 6 0   

a) 1

b) -1

d) 2

e) 0

c) -2

a  1 c o s 5 4 0  a  1s e n 6 3 0  b  1  c o s 1 2 6 0  b  1 s e n 4 5 0  a) 1

b) -1

d) b

e) a/b

c) a

14. Simplificar

08. Hallar 2senx Si:

s e n 3 8 0  . c o s   4 0  . t g  3 0 0    s e c 3 5 0  . C t g  8 2 0  . s e c   1 2 0   s e n 8 0 .s e n 2 0  . s e n 1 8 0   x s e c 4 0  .C tg 1 0 0 



A = s e n (3 0 + x ) + c o s (8 0 -x ) + s e n 1 9 0   x   c o s  2 4 0   x a) 2senx

b) 2cosx

c) -2senx

d) -2cosx e) 0



15. Calcular a) 1

b)

3 2

d) -1

e)

3

A  2 s e n 3 3 0  4 s e c 2 4 0   2 ta g 1 3 5  102

09. Calcular el valor de:

c) -2

d) 11 b) 12

c) 9


a) 13

e) 10

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Definición:

Para un mejor entendimiento de las definiciones posteriores

La

circunferencia

circunferencia

trigonométrica

inscrita

en

un

es

una

sistema

se

enuncian

las

siguientes

denominaciones a los puntos:

de

coordenadas rectangulares a la cual hemos

A (1;0)

 Origen de Arcos

denominado

B (0;1)

 Origen de Complementos

C (-1;0)

 Origen de Suplementos

P1 y P2

 Extremos de Suplementos

plano

cartesiano.

Tiene

como

características principales:

- El valor de su radio es la unidad (R = 1)

Arco en Posición Normal:

- Su

centro

coincide4

con

el

origen

de

coordenadas del plano cartesiano.

Es aquel arco cuyo extremo inicial es el origen de arcos de la C.T. y su extremo final cualquier punto sobre la C.T. (es aquel que indica el cuadrante al

Veamosla gráficamente

cual pertenece dicho arco.

Y

B (0 ;1 )

M e d id a d e l A r c o P o s it iv o

P1

Observación: El ángulo central correspondiente a un arco en Posición normal o estándar, tiene

(-1 ;0 ) C

igual medida en radianes que la medida del arco.

ra d

0

ra d

P2

M e d id a d e l A r c o P o s itiv o

Veamos Ejms.:

Nota: Todos y cada uno de los puntos que

pertenecen a la circunferencia trigonométrica

Y

B

(C.T.) cumplen la ecuación siguiente:

P

2

2

x +y =1



rad

C 0

Donde: X  Abscisa del Punto Y  Ordenada del Punto

T

rad

A X



Se observa que:

AT  

102

AP  

5  5   II C   6  6 

M: Extremo del arco

N : Extremo del arco 4  4  III C Además: “” y “” son arcos en posición normal o estándar tales que:

Q: Extremo del arco -1   1 IV C  Razones Trigonométricas de Arco en Posición


Normal o Standar:

 es (+) y   al I C

Son

 es (-) y   al III C

numéricamente

iguales

a

las

razones

trigonométricas de su respectivo ángulo central en la C.T. Es decir:

Nota: Importante:

Del gráfico: Éstos extremos servirán como

R.T. (arco) = R.T. (ángulo central)

referencia para ubicar aproximadamente otros arcos en la C.T.

Luego entonces:

Y  = 1,57 B 2

Y

0

3,14 = 

0

C

X

A 2 = 6,28

P ( X 0 ;Y 0) 

1

R

ad

X

3 = 4,71 2

Ejemplos de Aplicación: Ubique

gráficamente

en

la

circunferencia

trigonométrica los extremos de los arcos (en

Sea P(xo, yo) (P I C) que pertenece a la C.T. y

posición standar):

también al lado final del ángulo en posición

5  / 6; 4;  1

normal o standar .

Resolución

- Para que los arcos se encuentren en posición

Calculemos las R.T. del ángulo .

estándar en la C.T. éstos tendrán su posición inicial en el punto A(1,0). Y

5/6 M

C

B

5 rad 6

0

X

4

Q

y  y   s e n r a d  1

cos 

X  X   C o s  r a d  1

Tg 

A

1rad N

sen 

1

C tg   Sec 

Y  T g ra d X  X

Y

 C tg r a d 

 

1

X



 S e c  ra d



o

102

Y

P(Cos ;Sen)

C sc 

1

Y

B

 C s c ra d 

X

o

P’ (-cos  ;-sen) C.T.

Observación Vemos que: Para hallar Coordenadas Ortogonales:

Yo = Sen  Xo = Cos


Y

Por lo tanto

P (-S e n

;C o s

)

P (C o s

;S e n

)

El punto P también se representa de la siguiente manera:

0

P (xo, yo) = P (cos; sen)

X

C .T.

De la observación

Coordenadas del extremo de arco: Nota Importante:

Líneas Trigonométricas

- Ya que P y Q  a la C.T. entonces cumplen la ecuación X2 + y2 = 1

Son segmentos de recta dirigidos, los cuales nos representan en la circunferencia trigonométrica, el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o número.

* Para P: Cos2 + Sen2 = 1

Las principales Líneas Trigonométricas son:

Para Q : Cos2 + Sen2 = 1

- Línea SENO

Se concluye que “para todo arco la suma de los

- Línea COSENO

cuadrados de su seno y coseno dará la unidad”

- Línea TANGENTE

- Línea COTANGENTE

Algunos alcances importantes:

- Línea COSECANTE

Para hallar coordenadas opuestas:

- Línea SECANTE

Las líneas trigonométricas auxiliares son:

Y

P’ (cos

; sen) 

- Línea COVERSO. - Línea VERSO.

X

- Línea EX-SECANTE

0

C.T.

P’ (cos

Nota Importante:

; -sen)

- Si el segmento de Recta está dirigido hacia la derecha ó hacia arriba entonces el valor

Para hallar coordenadas simétricas 





numérico 



de

la

línea

trigonométrica

correspondiente será positivo.

102









- Si el segmento de recta está dirigido hacia la izquierda o hacia abajo entonces el valor

Como en el Ejm. El segmento RP esta dirigido hacia la derecha entonces el coseno es positivo.

numérico de la línea trigonométrica correspondiente será negativo.

Línea Tangente

Veamos y analicemos sus representaciones:

Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A(1;0). Se mide desde el origen e arcos y termina en la intersección de la

Se representa mediante la perpendicular trazada

tangente geométrica con el radio prolongado de la

desde el extremo del arco, hacia el diámetro

C.T. que pasa por el extremo del arco. Apunta

horizontal (Eje X) (apuntando hacia el extremo del

hacia la intersección.


Línea Seno:

arco).

Y

Y

C .T .

P



1

 rad

0

A ( 1 ,0 )

A

Q

X

0

 QP

representa al coseno del

Arco Trigonométrico .

Q

En el gráfico:

 AQ

Se observa que

Nota:

Como en el Ejm. el segmento está dirigido hacia

X



P

C .T .

En el gráfico:

Se observa que

 ra d

representa a la tangente

del Arco Trigonométrico .

la derecha entonces el coseno es positivo.

Nota:

Línea Coseno:

Como en el ejemplo el segmento

Se representa por la perpendicular trazada desde

el extremo del arco, hacia el diámetro vertical (Eje Y) apuntando hacia el extremo del arco.

está dirigido,

hacia abajo entonces la tangente es negativa. Línea Cotangente

Es una porción de la tangente geométrica que

Y

P

R

pasa por el origen de complementos B(0;1), se



empieza a medir desde el origen de complemento y termina en la intersección de la tangente

 ra d

0

 AQ

X

mencionada con el radio prolongado de la C.T. que pasa por el extremo del arco, Apunta hacia

C .T .

En el gráfico: Se observa que RP representa al coseno del Arco

dicha intersección. T a n g e n te G e o m é t r ic a

T

Trigonométrico .

P

Nota:

 

rad

0 102

C .T .

intersección del diámetro prolongado mencionado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco apunta hacia la intersección. En el gráfico: Se observa que

Y

 BT

B (0 ;1 )

representa a la cotangente

del arco trigonométrico .

0


 ra d

Nota: Como en el ejemplo, el segmento

 BT

está dirigido hacia la izquierda entonces la cotangente es negativa.

C .T .



P

t a n g e n te g e o m é tr ic a

M

En el gráfico:

Se observa que

 OM

representa a la cosecante


Línea Secante:

Es una porción del diámetro prolongado que pasa por el origen de arcos A(1;0) y que se mide desde el centro de la C.T. hasta la intersección del


 OM

diámetro prolongado con la tangente geométrica

está dirigido hacia abajo entonces la cosecante

trazada por el extremo del arco. Apunta hacia la

es negativa.

intersección.

Línea Auxiliar verso o seno verso:

Y

ta n g e n t e g e o m é tric a

P

«Es lo que le falta al coseno de un arco para valer la unidad» se mide a partir de origen de arcos



A(1; 0), hasta el pie de la perpendicular trazada

 ra d

0

desde el extremo del arco, al diámetro horizontal

A

del (Eje X) . apunta hacia el origen de arcos es decir « el verso jamás es negativo».

C .T.

Y

P

En el gráfico:

Se observa que

 OR

representa a la secante del

 ra d

0

arco trigonométrico .




 OR

está dirigido hacia la derecha entonces la secante es positiva.

C .T .

En el gráfico:

Se observa que

 NA , representa al verso del arco

trigonométrico . Línea Cosecante: Es una parte del diámetro prolongado que pasa

Cumple la fórmula

por el origen del complemento B(0; 1), y que se

Verso() = 1 - Cos

mide desde el centro de la C.T. hasta la 102

Línea Auxiliar Coverso o Coseno Verso: «Es lo que le falta al seno para valer la unidad» el coverso se mide a partir de origen de

Se observa que

 AR

representa a la Ex-Secante


complementos B(0; 1), hasta el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco a

Cumple la Fórmula:

diámetro vertical de la C.T. (Eje Y). Apunta hacia

ExSec() = Sec - 1


el origen de complementos « el coverso jamás es negativo»


B(0;1) Y



01. Indicar verdadero (V) o (F) I. sen230° > sen310°

L

P

II. cos65° < cos 290°

rad

0

III. cos15° > sen15°

X

Rpta.:

02. En la C.T. se tiene que:

90º < X1 < X2 < 135º, cual de las siguientes

En el gráfico: Se

observa

proposiciones es falsa.

 LB

que

representa

al arco

I. s e n x 1  s e n x 2 I I. C t g x 2  s e n x 2 I I I. C s c x 2  s e n x

2

trigonométrico .

Rpta.:

Cumple la Fórmula:

03. Calcular

Coverso() = 1 - Seno

 BQ

en la C.T.:

Línea Auxiliar Ex-Secante

“«Es el exceso del al; secante a partir de la

unidad ». Se mide a partir del origen de arcos A(1; 0), hasta el punto donde termina la secante de

ese arco. Apunta hacia el punto donde termina la

Rpta.:

04. En el gráfico calcular PT :

secante.

Y

P







R

En el gráfico:

A(1;0)

X

Rpta.: 5. Determinar las coordenadas de P: 102

Rpta.:

10. En la C.T. hallar el valor de la región


sombreada.

Rpta.:

06. Indicar si es V o F. I. s e n 1   s e n 1 I I. c o s 2   c o s 2 I I I. t a g 3   t a g 3 IV . s e c 4   s e c 4

Rpta.:

07. De la figura:

Rpta.:

11. En la circunferencia trigonométrica mostrada.

xy Calcular xy

Cos 

2 y OM = MB. Calcular el área de la 3

región triangular OMP.

Rpta.:

Rpta.:

08. Al

ordenar

en

forma

descendente

los

siguientes valores Tg50º; Tg100º, Tg180º, Tg200º, Tg290º. El cuarto término es:

12. En la C.T. mostrada calcular Tg + Tg + Sex

Rpta.:

09. En la figura hallar: PQ



Rpta.: 13. Hallar el área de la región sombreada: 

102

Hallar el área de la región triangular PBQ Rpta.: 17. Calcular el área de la Región sombreada




Rpta.:

14. En el gráfico. Calcular RQ:

Rpta.:



18. Si II <  <  < II

Señale las proposiciones verdaderas. I. Tg < Tg

II. Tg . Ctg < 0 III. Ctg < Ctg Rpta.:

Rpta.:

15. Indicar en la circunferencia trigonométrica, la

19. En la C.T. mostrada. Hallar el área de la región sombreada.

expresión falsa.



Rpta.:

a) OM  Sec b) ON  Cos 2 

20. Indicar los signos de cada expresión:

c) NQ  Sen 2  d) NH  Sen.Cos e) AH  Csc 2 

A : Tg1.Tg2

B: Ctg2.Ctg3 C: Ctg1:Tg3

Rpta.:

Rpta.:

16.

PROBLEMAS PARA LA CASA 

01. Indicar verdadero (V) o Falso (F) lo incorrecto. I. Sen50º - Cos70º > 0 II. Tg50º - Tg200º > 0 102

III. Ctg89º + Ctg350º > 0

02. Si

  X1  X2  3

2

. Indicar si es (V) o (F)

si es falso.

a) Sen

b) cos

I. s e n x 1  s e n x 2 I I. c o s x 1  c o s x 2 I I I. s e n x 1  s e n x 2

d) 2cos

e)

c) 2sen


1 sen 2

06. De la C.T. que se muestra calcular BQ :

a) VFV

b) VFF

d) FVF

e) VVV

c) VVF

03. Hallar las coordenadas de P

a)

1,2

b)

1,5

d)

2,1

e)

2,4

c)

1,8

07. Calcular el área de la región triangular ABC

a) (1; Tg)

b) (1; -Tg)

c) (-1; Tg)

d) (1; Ctg)



e) (1; -Ctg)

04. En la C.T. hallar: NP

a)

1 2

d) 

b)

1 1 Ctg c) Ctg 2 2

1 Tg e) Tg  Ctg 2

08. En la circunferencia trigonométrica halle Tg + Ctg. Si CP = 2x + 1 y OP = 4x + 1

a) csc.ctg

b) cos.tg

c) sen.ctg

d) cos.csc



e) sec.tg 05. Calcular el área de la región sombreada. a) 4/3

b) 13/12

102

d) 12/13 e) 25/3

c)25/2

12. I. Si:  <   Tg < Tg 09. Halla el área de la región sombreada.

II. Si:  >   Tg > Tg III. Si:  <   Ctg < Tg Indique V o F b) VVV

d) FFV

e) FFF

c) VFV


a) VFF

a) 3Cos

b) Cos

d) 2cos

e)

Cos 2

c)

13. Calcular el área de la región sombreada.

Sen 2

P

10. En la figura se muestra la cuarta parte de la

BE  AF C.T. a que es igual CD

B



C

D

E

a) sec

b) Tg

c) Tg2

d) Csc2 e) Sen2

14. Sabiendo que: 90º < X 135º, indicar el

O

A

F

valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

a) Sen - Cos b) Cos-Sen c) Tg

d) Cos

e) Sen

I. Senx > Tg x

II. Cosx < Tg x

11. Hallar el área de la región sombreada de la C.T. mostrada.

III. Senx + Cosx > Tgx a) VVV

b) VFV

d) VVF

e) FVV

c) VFF



15. En la C.T. mostrada

90º <  < 135º. Si a, b y c son líneas geométricas

indicar

respectivamente

los

signos de a + b, a + c, b + c.

a) Cos

sen  cos  2 Cos e) 2 c)

b)

sen 2

d) sen 

102

a) (-) (-) (+)

b) (-) (+) (-)

c) (-) (-) (-)

d) (+) (+) (+)


e) (+) (+) (-)

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Este capitulo es muy extenso y muy importante a

su vez por que va a servir como base para

capítulos posteriores, esta considerado como

clave dentro de la trigonometría, y definitivamente tendremos que demostrar las razones por las cuales se les considera de gran importancia en el desarrollo de la asignatura.

2

3      5

2

4   1 5

9 16 25    1 25 25 25

Identidades Fundamentales:

Las identidades trigonométricas fundamentales, sirven de base par la demostración de otras identidades mas complejas se clasifican en:

Obs:

- La Igualdad (x - 2)(x + 2) = 0; Es cierto si solamente si; cuando x = 2 ó x = -2

A este tipo de igualdad se le denomina

“Ecuación Condi-cional”

- En cambio la igualdad (x – 2)

  

(x + 2)  x² -9,

cumple para todo valor de “x”

1.- Por cociente 2.- Reciprocas 3.- PiTgóricas

Para obtener dichas identidades, hacemos uso de la circunferencia trigonométrica.

A este tipo de igualdad se le denomina “Identidad”

1. Identidades por Cociente: Y

- Recordar que no existe la división entre cero

C .T .

- Para indicar una identidad, se utiliza el símbolo ““ que se lee: “Idéntico a”

1

0

Definición:

T

X

Una Identidad Trigonométrica es una igualdad que contienen expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible del ángulo:

Por Ejemplo: La Identidad ‘sen² + cos² =

Sabemos que PT = | Sen|

OT = |Cos| , (en el ejemplo ambos (+) ya que   I C. y en el triángulo Rec. POT: Tg =

1", Comprobemos la valides de la Identidad: Tg  =

| Sen | Sen  | Cos | Cos

102

Para = 37°  Sen²37+ cos²37 = 1

PT OT

Sen Cos

 Tg =

Y

Demostrado

B

De la misma manera se demuestra: Cot =

C .T .

P

1

Cos Sen

0

T

A

X


En Resumen: Las identidades por cociente son:

Tg 

Sen Cos

y Cot 

Cos Sen

Se observa que:

PT = |Cos| y también: OT = |sen| y en el

1 Tg = Ctg

A

Recordemos que: P = P (cos; sen) es decir: triángulo rec. POT: por el teorema de Pitágoras.

continuación

veremos

las

identidades

recíprocas

(OP)2 = (OT)2 + (PT)2

12 = (|Sen|)2 + (|Cos|)2

1 = Sen2 + Cos2 … (I)

2. Identidades Recíprocas: Y

Demostrado

C .T .

P

Con la identidad (I), demostramos también:

1

1 + Tg2 = Sec2 y 1 + Cot2

0

T

X

= Csc2

De la siguiente manera

Sabemos que PT = | Sen| y también OT = |

Sen2 + Cos2 =1

Cos|

Luego: En el triangulo POT, se observa: 1 1 1   PT | Sen | Sen

Csc = y

1 1 1   Sec = OT | Cos | Cos

(sen y cos (+) ya que   Ic)

1 sen

1

y sec   cos

Las identidades recíprocas son: 1 Csc

2 2 2  Sen   Sen   1         Sen   Sen   Sen 

Finalmente:

De las identidades por división:

 Cos 

Y de la identidad por cociente:

1  Csc Sen

En resumen:

Sen 

Sen 2   Cos 2  1  2 Sen  Sen 2 

Cos  Ctg Sen

Por lo tanto:

 C sc 

Dividimos ambos miembros entre (Sen2):

1 1  Tg  Sec C tg 

Reemplazamos: (1)2 + (Ctg)2 = (Csc)2 ∴ 1 + Ctg2 = Csc2

3. Identidades Pitagóricas: 102

De similar manera se demuestra: 1 + Tg 2 = Sec2 De similar manera se demuestra:

cos A cos A   2 sec A 1  senA 1  senA

Resolución Utilizamos artificios:

1 + Tg2 = Sec2

CosA 1  s e n A . 1  s e n A 1  s e n A



cos A 1  s e n A . 1  s e n A 1  s e n A

 

 2 sec A

Luego se tendría


En resumen las identidades pitagóricas son:

 

- Sen2 + Cos2 = 1 - 1 + Tg2 = Sec2

- 1 + Ctg  = Csc  2

2

Algunas Identidades Auxiliares

 Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen2 Cos2  Tg + Ctg = Sec.Csc  Sen6 + Cos6 = 1 – 3Sen2.Cos2

 Sec2 + Csc2 = Sec2 . Csc2

c o s A 1  s e n A 1  s e n ² A 



c o s A 1  s e n A co s ²A





c o s A 1  s e n A 1  s e n ² A 



c o s A 1  s e n A co s ²A



 2 sec A



 2 sec A

1  senA  1  senA  2 sec A cos A 2  2 sec A cos A

2 s e c A  2 s e c A . (Demostrado)

c) Simplificaciones:

Lo que se busca es una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales

y/o

auxiliares.

Utilizar

transforma-ciones algebraicas.

Los ejercicios sobre identidades son de 4

Ejms.

tipos:

1) Simplificar:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2

a) Demostraciones:

Para demostrar una identidad, implica que el primer miembro o viceversa ó que cada miembro

Resolución:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2

por separado se pueda reducir a una misma

 (2cos² - 2(2cos²)(1) + 1 + 4sen² Cos²

forma.

 4cos²cos² - 4cos² + 1 + 4sen²cos²

Ejm:

 4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1

- Demostrar que : Csc - Ctg . Cos = Sen

 4cos² [(cos² + sen²) - 1] + 1  4cos² [1 - 1] + 1

Resolución:

Csc - Ctg . cos = sen

1  Cos   Cos  Sen Sen  Sen 

1  c o s ² s e n ²   sen sen sen

Sen = Sen. Demostrado b) Demostrar que:

4cos²(0) + 1 = 1

2) Simplificar:

(1 - cosx) (Cscx + Ctgx)

Resolución: Cosx   1   (1-Cosx)   Senx Senx   (1-Cosx)

 1  Cosx 

 1  Cos 2 x



Sen x x  Senx Senx

102

Senx

Senx

Senx.Cscx = 1 Cosx.secx = 1

d) Condicionales: Si la condición es complicada debemos simplificarla y así llegar a una expresión que pueda ser la pedida o que nos permita hallar lo que nos piden. Si la condición es sencilla se

Sen²x + cos²x = 1 Sec²x - Tg²x = 1 Csc²x - Ctg²x = 1 Ejm.:


procede a encontrar la expresión pedida.

1. Eliminar “” de:

Ejms.

Csc = m + n …(1)

a) Si Sen + Csc = a.

Ctg = m – n …(2)

Calcular el valor de E = Sen2 + Csc2

Resolución:

Resolución

Csc = n + n

Si: sen + Csc = a (Elevemos al cuadrado)

Ctg = m – n

(Elevamos ambas expresiones al cuadrado)

(Sen + Csc = a²

Sen² + 2(Sen)(Csc + Csc² = a²

Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-)

Sen² + 2 + Csc² = a²

Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2

Sen² + Csc² = a² - 2

- Ctg 1Csc = 4mn

2

E = a² - 2

2  m2  2mn  n2 - (m2 - 2mn  n2 )

2. Eliminar “” de:

aCos  bSen  Sec.Ctg...( 1)

b) Si: senx - cosx = m . Hallar el valor de:

aSen  bCos  KSec...( 2 )

D = 1 -2senxcosx

Resolución:

De la expresión 1

Resolución

senx - cosx = m (elevemos al cuadrado) (Senx cosx)² = m²

sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m²

aCos  bSen  Sec .Ctg 

 Sen(aCos  bSen) 

Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m²

1 Cos . Cos Sen

1 (Sen) Sen 

(xSen)

1 - 2senxcosx = m²

D = m²

e) Eliminación del Ángulo:

aSenCos - bSen2 = 1 …(3)

De la expresión 2

Estos ejercicios consisten en que a partir de

ciertas relaciones trigonométricas debemos hallar relaciones algebraicas en la cual no aparezca el ángulo. Nos ayudaremos de identidades como por Ejem.

aSen  bCos  kSec  

Cos(aSen  bSen) 

k Cos

k (Cos) Cos

(XCos)

Tgx.Ctgx = 1 102

aSenCos - bCos2 = K …(4)

= 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]  (1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)

Restamos (4) menos (3) aSenCos  bCos 2   k aSenCos  bSen 2   1

(1 ± cos) ………...(Demostrado)

()

2 2 b(Cos       Sen   )  k - 1 1



01. Demostrar las siguientes identidades:

b=x -1

K=b+1

a) (Csc + Ctg)² =

Recomendación: Cuando

en

un

problema

de

b)

c o s ²x s e n ²x   cos x  senx 1  senx 1  cos x

c)

1  ta g   s e c  s e c   ta g 

identidades

trigonométricas estés frente a esta expresión:

E = (senx ± cosx) y se te pide “senx.cosx”, se

1  cos 1  cos

recomienda que eleves al cuadrado ambos miembros para obtener:

02. Simplificar las siguientes expresiones:

E² = (senx ± cosx)² = sen² ± 2senxcosx - cos²x

a) P 

c o s ³x s e n x  s e n ³x

b) R 

c o s ³x  sencos 1  sen

E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx E² = 1 ± 2 SenxCosx

Lo que se pide

Identidad Importante: (1 ± sen ± cos)² =

2 (1± sen)(1± cos)

 s e c   ta g    1  s e n   c) T   1  s e n ² 

03. Eliminar el ángulo en las siguientes expresiones:

a) x = 3sen ....(1)

Demostración: Recordemos

y = 2cos.......(2)

(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+bc+ac)

b) x = cos...................(1)

(1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² + (±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+

(±sen)(±cos)]

y = cos² - sen²......(2)

c) 1 + Ctg = n.............(1) sen =

= 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) + 1(±cos) +

m

…........(2)

(±sen)(±cos) Agrupamos nuevamente

04. Si: Secx - Tgx = 0,75 Entonces el valor de:

2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) + (±sen)(±cos)]

Secx + Tgx , es:

= 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen)(±cos)] Rpta.:

102

= 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 + (±sen))]

12. Simplificar la expresión 05. Si cos + sec = 3

E 

Calcular el valor de:

s e n 4x  s e n ²x c o s ²x  c o s 4 x s e n 6x  s e n ²x c o s ²x  c o s 6 x

Rpta.:

sec² - sen² Rpta.:

13. Simplificar la siguiente expresión:


06. Si Sen - Cos = Tg30° N  c o s ³x 


1  s e n ²x  s e n 4x  s e n 6x

Rpta.:

Sen4 + Cos4 Rpta.:

14. Si a = senx; b = tg, encontrar el valor de:

07. Si 1 + Tgx = asecx y

R =(1 - a²)(1 + b²)

1 - Tgx = bsecx calcular

Rpta.:

a² + b²

Rpta.:

15. Eliminar  a partir de:

08. Simplificar: A 

Sen + cos = b  1 .... (I)

s e c ²x  C s c ²x  c o s x C s c x

Tg + Ctg =

Tal que (0 < x < /2)

1 ..............(II) a

Rpta.:

Rpta.:

16. Señale cuales son identidades:

09. Reducir:

P  s e n ²x  c o s ²x

s e n 4 x



 cos4x  cos8x

10. Simplificar la expresión: M 

1  Senx  Tgx  Secx 1  C o s x  C tg x  C s c x

Rpta.

11. Dado:

b a  ta g x C tg x Hallar:

T 

T g ²x  C tg ²x S e c ²x  C s c ²x

Rpta.:

I.

sen 1  cos   2C sc 1  cos sen

II.

sen 1  cos   2C sc 1  cos  sen

III.

sen 1 cos   2Ctg 1 cos sen

Rpta.:

17. Simplificar la expresión: L 

s e n x .ta g x  c o s x C tg x 1  sec x  C scx ta g x  C tg x

Rpta.:

18. Reducir la expresión: M 

ta g x

1 

senx  cos x  s e n x  C t g x  c o s x



Rpta.:

102

19. Calcular “cosx”, si se tienen la siguiente

n = sen - cos ..........(II)

expresión c) Psec²x + Tg²x = 1 Secx + Tgx = a

Csc²x + qCtg²x = q

Rpta.:

A) ab = 1; m² + n² = 1;


pq = 0

20. Hallar “m”para que la siguiente igualdad sea

B) ab = -1; m² + n² = 4; pq = 1

una identidad:

C) ab = 0; m² + n² = 1; pq = 1

D) ab = 1; m² + n² = 1; pq = -1

s e n ³x

 c o s ³ x  t a g x  C t g x   s e n x s e c x  c o s x 

E) ab = -1; m² + n² = 0; pq = 1

m  C scx

Rpta.:

04. Simplificar:


01. Demostrar ;las siguientes identidades: a) (Ctg + Csc)2 

1  s e n ² 1  c o s ² 1  ta g ²   1  c s c ² 1  s e c ² 1  C tg ²

a) 2

1  cos 1  cos

b) Tg²

d) Csc²

 (1- Cscx)²

b) (cosx - Ctgx)² + (senx - 1)² c) (1 - Cos²) (1+ Tg2)

N 

c) sec²

e) Ctg²

05. Si X  I C, simplificar:

 Tg²

A 

1  2senx cos x  senx

A) 2senx + cosx

02. Simplificar las siguientes expresiones:

B) 2senx – cosx c) 2cosx + senx D) 2cosx - senx

a) Tgx(1-Ctg²x) + Ctgx(1 - Tg²x)

b)

E) cosx

Tgx C tg x  1  T a g x 1  C tg x S e n ²x  T g ²x

06. Simplifique la siguiente expresión:

c) C o s ² x  C t g ² x









R  1 6 s e n 6x  c o s 6 x  2 4 s e n 4x  c o s 4 x  1 0 s e n ²x  c o s ²x

4

A) 1, 0, Tg x B) 0, 1, Tg6x

C) -1, 0, Tg6x D) 0, -1, Tg6x

el

A) 0

B) 1

D) 2

E) -2

C) -1

07. Si Tgx + Ctgx = 3 2 .

E) 0, -1, Tg6x

03. Eliminar



ángulo

en

expresiones:

las

siguientes

Calcule el valor de:

Y 

a) asenx - cosx = 1........(I) bsenx + cosx = 1........(II)

a) 6

b) 9

d) 18

e) 36

c) 12

08. Simplificar la siguiente expresión:

102

b) m = sen + cos..........(I)

sec x Cscx  cosx senx

k 

c o s 4 a  2 s e n 2a  s e n 4a s e n a  c o s a 2  s e n a  c o s a

a) 1/2

2

b) 1/4 c) 2/3

S e n ²x .C tg x S e c ²x  S e n ²x  T g ²x

a) a

b) b

c) ab

d) a/b

e) b/a

1 , calcular el valor de la 3


d) 2/5 e) 1/5

D 

09. Si se cumple la siguiente identidad: Tg3x 

siguiente expresión:

3 T g x  T g ³x 1  3 T g ²x

P = secx + Cscx

calcular el valor de:

N 

13. Si senx + cosx =

3 C tg 1 0  C tg ³1 0 1  3 C tg ²1 0

A) Tg120° B) Tg240° C) Tg360° D) Tg60° E) Tg30°

a) 1/4

b) -1/4 c) 3/4

d) -3/4

e) 5/4

14. En la siguiente identidad 1  Tgx  Secx  T g nx 1  C tg x  C s c x

10. Encontrar el valor de “n”de tal manera que se

Halle el valor de “n”

cumpla:

(Senx + cosx)(Tgx + Ctgx) = n + Cscx

a) Secx b) Ssenx

a) 0

b) 1

d) -1

e) -2

c) Cosx

d) Cscx e) Tgx

15. Reducir la siguiente expresión:

11. Simplificar: V 

c) 2

R  1  s e n x  c o s x

s e n x  c o s x 2  s e n x  c o s x 2 ta g x  C tg x 2  ta g x  C tg x 2

tal que X  I C

a) 4

b) 2

a)

2 Senx

d) 1/4

e) 1/2

c)

2 Tgx

c) 1

b)



1  cos x 1  senx

2 Cosx

d) Senx

e) Cosx

12. Si: asenx = bcosx Halle el valor de:

102


SUMA Y RESTA DE DOS ANGULOS

En el presente capítulo realizaremos el estudio de las

razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su vez están constituidas por la suma o resta de otros

2 ángulos. Iniciaremos el estudio del presente

capitulo con la demostración de las principales Identidades para ángulos compuestos que son:

En el

MSR  SM = RMCos = Cos.Sen;

(RM = Sen)

 Reemplazando

Sen (+) = Sen Cos

+ Cos.Sen …….. Demostrado

* Sen( + ) = SenCos + CosSen * Cos( + ) = CosCos-SenSen

También observamos:

Demostración:

Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR)

A partir del grafico:

En el

B

Y

(OR = Cos)

M

En el

1

OQR  OQ = ORCos = Cos.Cos;

S

R

MSR  SR = MRSen = Sen.Sen;

(MR = Sen)

Reemplazamos:



P

Q

A

X

Se observa:

 Cos(+) = CosOC.Cos - Sen.Sen ....... (Demostrado)

Sen ( + ) = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR)

Procedemos ahora a obtener la Tg(+) de la siguiente manera:

En el

OQR  QR = ORSen = Sen.Cos;

(OR = Cos); (OR = Cos)

Sabemos que: Tg(+) = 102

s e n     s e n  c o s   c o s  s e n   c o s     c o s  c o s   s e n  s e n 

 s e n      s e n  c o s   c o s  s e n 

Demostrado

Dividimos a la expresión por (Cos.Cos)

* Cos(-) = Cos(+())  Cos(+(-)) = Cos . Cos(-)

Tg(+) =    

Cos

c o s  c o s  s e n   c o s  c o s  c o s  c o s  s e n s e n   c o s  c o s  c o s 

- SenSen(-)


sen cos c o s c o s

- Sen

 c o s      c o s  c o s   s e n  s e n 

Simplificando obtendremos: Tg(+) =

sen sen  Tg  Tg cos cos  sen sen 1  T g  .T g  1 . cos cos

 Tg(+) =

Tg + Tg 1  T g  .T g 

(Demostrado)

* Tg(-) =Tg(+(-))

   t a g  ta g   ta g     Tg( +(-)) = 1  ta g  ta g         ta g 

(Demostrado)

Tg(-) =

Tomaremos en cuenta para las demás razones

Tg  Tg 1  Tg.Tg

trigonométricas que:

1 T g     1 S e c      C o s     1 C s c      S e n     C tg     

(Demostrado)

De igual manera tomar en cuenta que: C tg     

Identidades Trigonométricas para la Diferencia

1 T g    

S e c     

1 C o s    

C s c     

1 S e n    

de Ángulos:

Algunas Propiedades de Importancia

Usando las Identidades para la suma de ángulos

(ya demostrados), deducimos las identidades

* Sen(-).Sen(-) = Sen² - Sen²

para la diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio.

* Tg

+

Tg

+

Tg(+).Tg.Tg

=

Tg(+) * Sen(+) = sen(+(-)) * Si:  +  +  = 180° ⇒ Tg  + Tg + Tg =  Sen(+(-)) =

Tg . Tg . Tg

s e n  c o s     c o s  s e n           cos

sen

102

* Si:  +  +  = 90° ⇒ Tg . Tg + Tg .

Ordenamos convenientemente:

Tg + Tg. Tg = 1 Tg + Tg + Tg( + ).TgTg = Tg( + ) Demostrado Demostremos las propiedades c) Si: “ +  +  = 180° Tg + Tg + Tg = Tg Tg Tg”


a) “sen(+). sen(-) = Sen² - sen²” Sabemos que:

Sabemos que:

+  +  = 180°  +  = 180° - 

Sen(+) = Sencos + cossen ..(I)

Sen(-) = sencos - cossen ..(II)

Tomamos tangente a ambos miembros:

Multiplicamos Miembro a miembro:

Tg( + ) = Tg(180° - )

sen( + ).sen( - ) = sen² - cos² - cos² sen²

Tga  Tgb = -Tg 1  T g a.T g b

 Tg + Tg = -Tg (1 - TgTg)

Reemplazamos:

Tg + Tg = -Tg + Tg.Tg.Tg

Cos² = 1 - sen

Cos² = 1 - sen²

Ordenamos convenientemente:

sen( + ) sen(-) = sen²(1 - sen²) - (1 -

Tg + Tg + Tg = Tg Tg Tg (Demostrado)

sen²)sen²

= sen² - sen².sen² - [sen² - sen².sen²]

= sen² - sen².sen² - sen² + sen².sen²

d) Si: “ +  +  = 90° Tg. Tg + Tg. Tg + Tg. Tg = 1"

sen(+).sen(-)=sen²- sen² ......................(Demostrado)

Sabemos que:

 +  +  = 90°   +  = 90° - 

b) “Tg + Tg + Tg(+). TgTg = Tg(+)”

Tomamos tangente a ambos miembros:

Sabemos que:

Tg(+) =

Tga  T gb 1  T g a.T g b

Tg( + ) = Tg(90° - ) Tg   Tg

1

 1  Tg  Tg  Ctg  Tg

Multiplicamos (1-Tg.Tg) a ambos miembros:  Tg (Tg + Tg) = 1 - Tg.Tg Tga  Tgb

(1 - Tg.Tg)Tg(+) = 1  T g a . T g b (1 - Tg.Tg) Tg(+) -TgTg.Tg(+) = Tg + Tg

Tg .Tg + Tg.Tg = 1 - Tg.Tg Ordenamos convenientemente: 102

Tg.Tg+Tg.Tg+Tg.Tg =1

3

2

(Demostrado) 2x

3

B 30º

PROBLEMAS PARA LA CLASE Rpta.: Simplificar la siguiente expresión

8. En un triángulo ABC las tangentes de los


1.

m

Cos (120º  a )  Sen(150º  a ) Sen(60º 2)  Cos (30º  a )

Rpta.:

2.

ángulos A y B valen 2 y 3, Calcular el ángulo “C”:

Rpta.:

Si Sen(x+y) = 0,8 Cosy + 0,6Seny

9. Determinar el valor de la siguiente expresión

Calcular Tgx:

trígono-métrica.

Rpta.:

3.

R = Ctg ( -  + ). Si


Tga  Tgb Tga  Tgb M   Tg ( a  b) Tg ( a  b)

Reducir la siguiente expresión:

R 

3  Tgβ  3 5

Rpta.:

10. Calcular el valor de la siguiente expresión:

Rpta.:

4.

Tg(α  β  θ).

Tg 220º Tg160º  3 Tg 40º Tg 20º Tg 250º Tg 50º  3Tg160º Tg 50º

N 

Cos 4º Cos10 º   Cos 24º Cos 28º Cos 28º.Cos 38º



Cos14º Cos 38º.Cos 24º

Rpta.:

Rpta.:

5.

Calcular “Tg” ABCD: (Cuadrado)

B

11. Si las raíces de la ecuación X 2 + Px + 9 = 0 son Tg y Tg. Calcular el valor de:

C

Sec(   ) Csc (   )

F 



Rpta.:

53º

Rpta.:

6.

A

D

12. Calcular Tg (ABCD: Cuadrado). B

C

A

D

Calcular el valor “” si se cumple que:

1  Tg 2 3Tg 2 5  Tg 2 5  Tg 2 3

Además ( IC) Rpta.: 7. En la figura adjunta determinar el valor de “x”.

Rpta.: 13. Si sabemos que: 102

Tg(3a - 3b) = 3  Tg (3a + 3b) = 5 Rpta.:

Determinar el valor de: Tg6.

20. En la figura que se muestra, los triángulos

Rpta.:

ABC

14. Si sabemos que:

y

AOB

son

rectos

en

B

y

D

respectivamente. Si AB = 4 y BD = DC.

K(Sen100+Sen10) =

2 (Sen65+

3 Sen25)

Determinar el valor de K.

Encontrar el valor de la Tg.


C

Rpta.:

15. De la figura determinar el valor de

221

D

12

Sen



30

A

5

B

Rpta.:

14


Rpta.:

16. Calcular el valor de la expresión siguiente:

1. Determinare

el

valor

de

la

siguiente

expresión:

M = Cos345º + Cos15º - Tg165º

M  Sec323º Sec17º 

Rpta.:

25 17. Si CtgCtg = 1 y además = CscCs, 2

a) 1

b) 2

2Tg 28Tg17

c) 3

d)

2 e)

3

2. Simplificar la siguiente expresión

calcular el valor de [Sec(-)

Sen3 2

.

F 

Rpta.:

18. En la figura adjunta, PM es mediana y = /6. Calcular Tg:

+ 

a) 2

Cos 25º  3Cos 65º Sen10º  Sen80º

b)

3 c) 1

d)

2 e) 2 2

3. En el gráfico adjunto determinar Ctg: 4

T



5

M



P

8

a)

Q

Rpta.:

2

16 13

13 12

b)

13 16

e)

3 16

c)

13 10

d)

19. Simplificar la siguiente expresión: R 

Ctg 36 º Tg144º Tg 54 º Tg162 º Tg 36 º

4. Determinar el valor de: F = Tg66.Ctg57-Ctg24Ctg33 102

a) 2

b)

3 c) 1

d) -1

a) Sen70º b) Cos70º

e) -2

c) 2Sen70º d) 2Cos70º

5. Si sabemos que:

e) 2Sen50º

Tg2 – Tg2 + 2Tg2 Tg2 = 2 y además Tg( - ) = 3.

11. Determinar el valor de:

Determinar el valor de Tg (+).


J = Tg35º+Cot80º+Cto55º.Tg10º

a) 6

b)

3 2

c)

2 3

d)

2 5

5 2

e)

a) 3

6. En la figura PQRS es un trapecio isósceles, QRTV es un cuadrado y además PR = PS

b) 2

c) 1

e) – 1

12. Hallar el valor de la siguiente expresión:

Hallar Tg .

Q  Sen

R

Q

d) 0



a) 1

b) ½

7π 29π .Cos 12 12 c) ¼

d) 1/8 e) 1/16

13. Si Tg(+) = 33. Calcular el valor de Tg2 .

P

V

a)

3

T

b)

7

4

3

Si Tg = 3.

S

c)

3

d)

3

3

4

e)

1 7

a) 62/91 b) 60/91 c) 61/91 d) 63/91 d) 64/91

14. Si a – b =

a) 3

M  Tg 20º.Tg 48º  Tg 20º.Tg 22º Tg 22º.Tg 48º

b)

5

2

c) 2|

d)

3

2

e) 1

9. Reducir la siguiente expresión:

N 

a) 1

( Senx  Cosx)( Seny  Cosy ) Sen( x  y )  Cos( x  y ) b) 2

3

calcular el valor de:

B  (Sena  Cosb)2  (Senb  Cosa)2

7. Calcular el valor de M:

a) 3

π

2

3

b) 1

c) 21 3

e) -3

15. Calcular el valor de la Tg en el gráfico siguiente:

4

c) Senx d) Cosx e) Tgx

2



10. Reducir la siguiente expresión trigonométrica:

A

6 m

d)

3Cos 370  Sen170

a) 1

b) ½

c) 2

d) 1/3 e) 3

102


R. T. DE UN ÁNGULO DOBLE Sen2  2Sen Cos

1  Tg2

Cos2  Cos 2   Sen 2 Cos2  2Cos 2  1

2

Cos2  1  2Sen 2 

Tg2 

2Tg

1  Tg2 

1  Tg2

Del cual obtenemos:

Sen2 

Ejemplos:    

Sen80° = 2Sen40°Cos40° 2Sen3xCos3x = Sen6x Cos72° = Cos236° – Sen236° Cos10x = 2Cos25x – 1



Cos5x = 1 – 2Sen2

  

5x 2   2Cos2 – 1 = Cos 8 4 1 – 2Sen225° = Cos50° 2Tg15

1  Tg215

 Tg30

TRIÁNGULO RECTÁNGULO DEL ÁNGULO DOBLE Si consideramos a 2 (agudo), en forma práctica se tiene:

2Tg

Cos2 

2Tg

1  Tg2 

1  Tg2 

1  Tg2 

Ejemplos: 

Sen18° =



Cos8x =

2Tg9

1  Tg2 9

1  Tg2 4 x

1  Tg2 4 x

OTRAS IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE: 2Sen2  1  Cos2 2Sen2  1  Cos2

Cot  Tg  2Csc 2 Cot  Tg  2Cot 2

102

3 1  Cos4 4 4 5 3 Sen 6   Cos6    Cos4 8 8 Sen 4   Cos 4  

Ejemplos: -

M

1  Sen40  Cos40 1  Sen40  Cos40

Rpta.:

4

2Sen 3x = 1 – Cos 6x   2Cos2 = 1 + Cos 18 9 1 – Cos60° = 2Sen230° 1 + Cos74° = 2Cos237° Cot15° + Tg15° = 2Csc30° Cot3x – Tg3x = 2Cot6x

4) Simplificar:


-

3) Simplificar la expresión:

-

3 1 Sen 15° + Cos 15° =  Cos60° 4 4  5 3    Cos Sen6 + Cos6 = 8 8 8 8 2 4

P  Cos 2 x  4Sen3

x x Cos 2 2 2

Rpta.:

5) Reducir:

4

IDENTIDADES DEL ARCO MITAD

  2  Cos   2  Tg   2 Sen

1  Cos 2 1  Cos 2 1  Cos 1  Cos

NOTA: El signo del segundo miembro se elige  según el cuadrante del arco   y de la 2 razón trigonométrica que le afecta. Otras Identidades del Arco Mitad Tg

  Csc  Cot 2

Cot

  Csc  Cot 2

(1  Sec 2)Tg 

2 Cot  Tg 

Rpta.:

6) Reducir:

R

1  Cos2x  Sen2x 1  Cos2x  Sen2x

Rpta.:

7) Si: Sen6x+Cos6x = m + nCos4x Calcular:

P 

mn mn

Rpta.:

8) Reducir:

      M  Cos2      Cos2     2 12     

2

Rpta.:

9) Reducir:

  (Secx  Cscx ) Cos x   4 

Rpta.:


1) Siendo: Senx – Cosx =

  1 ; ; x . 4 2 5

Calcular: Cos2x Rpta.: 2) Si Sen20° = a, hallar el equivalente de: Cos2140° + Cos240° – 2 en términos de a. Rpta.:

10) Reducir:

M = 8SenxCosxCos2xCos4x

Rpta.: 11) Reducir: P

(Senx  Cosx )2  1 (Cosx  Senx )(Cos  Senx )

Rpta.: 102

12) Reducir:

Sen(5  x )  5 x  M  2Sen   2 2  5 x   Cos   2  2

PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Reducir: R 

Rpta.: a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3


13) Reducir:

Sen6 Sen3Sen(90  3)

P

Cos 4 x  Sen 4 x  Tg2x 2SenxCosx

2) Si: Sen  Cos 

1 3

Hallar: Sen2

Rpta.:

a) -4/9 d) -5/9

14) Simplificar:

b) -3/9 e) N.A.

c) -8/9

P = (Secx – Cosx)(Cscx – Senx)

3) Si: Sen(  45) 

Rpta.:

Calcular: Sen2

15) Simplificar:

Cos 3 x Sen2x Sec 2x Sen 3 x P     Senx Cos2x Csc 2x Cosx Rpta.: 16) Sabiendo que: Cos 

a) 5/8 d) 8/9

b) 6/8 e) 9/8

1+Sen2 + Cos2 = ACosCos(B – )

3Sen  x

3Sen2 ?

a)

Rpta.:

d)

17) Reducir:

Sen2 2Sen

c)

2

a) 1/7 d) 1/16

18) Si: Sen2x = Cos2x

Cos4x

3 2

c)

2



7

b) 3/7 e) 1/4

Cos

2 7

Cos

3 7

c) 1/8

6) Señale el mayor valor que puede tomar: S = TgxCos2x + CotxSen2x

Rpta.: 19) Reducir:

a) 1 d) 4

E = (1 – 6Tg2a + Tg4a)Cos4a

*

Rpta.:

Sen  Cos  m n

Reducir: E = mSen2 + nCos2

b) 2 e) 5

c) 3

En los siguientes ejercicios, señalar verdadero (V) o falso (F), según corresponda

7) Senx + Cosx = n  Sen2x = n2 – 1 a) F

b) V

8) Cos4x – Sen4x = Cos2x 102

Rpta.:

5

2 6

E  Cos

Rpta.:

20) Si:

2

b)

2

5) Calcular:

M

Calcular:

c) 7/8

4) Calcular: A . B, si:

¿A qué es igual: Cos2 

3 4

a) V

13) De la ecuación:

b) F

Tg2 

9) Cot18° – Tg18° = 2Cot2x

Calcular: Csc22

 x = 18° b) V

a) F 10) Reducir:

5 Tg  1  0

a) 4

Sen2x(1  Tg x ) 4

b)

4 9

e)

3 4

c)

4 5

8


d)

5

a)

Tg 2 x Tg2x

b)

2Tgx

c)

Tg2 2 x

4

7

14) Siendo 2x e y las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Calcular: 2Cos2x – Seny

Tgx

a) 1 d) -1

2Tg 2 2 x Tg3 x

d)

b) 2 e) 0

15) Del gráfico mostrado, hallar Cot, sabiendo que: AH  2 , HC  3

2Tg 2 x

11) Sabiendo que:

B

Sen6x + Cos6x = A + BCos4x Sen4x + Cos4x = C + DCos4x Calcular: a) 0 d) 3

c) 3



A D C B

P

b) 1 e) 4

c) 2

45°

A

12) Del gráfico, hallar: Tgx

a) 5 d) 8

A

H

b) 6

C

c) 7 e) 9

D

6

3x

2

x

C

B

a)

3

b)

d)

2

e)

3

2 7

c)

3

3

102

S a n ta R 20 o sa 14 R. T. DE UN ÁNGULO TRIPLE

Sen3 x  3Senx  4Sen 3 x Cos3 x  4Cos3 x  3Cosx 3Tgx  Tg3 x Tg3 x  1  3Tg 2 x

Fórmulas Especiales:

Sen18 

Fórmulas de Degradación:

4Sen3 x  3Senx  Sen3 x 4Cos3 x  3Cosx  Cosx

Propiedades:

4SenxSen( 60  x )Sen(60  x )  Sen3 x 4CosxCos( 60  x )Cos( 60  x )  Cos3 x TgxTg(60  x )Tg(60  x )  Tg3 x

Observación:

5 1 4

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Simplificar:

Sen3 x  Senx(2Cos2 x  1) Cos3 x  Cosx(2Cos2x  1)  2Cos2x  1  Tg3 x  Tgx   2Cos2x  1 

5 1 Cos36  4

Sen  Sen3

Sen 2  Cos2 

Rpta.:

2) Simplificar:

R = 36Sen3x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x Rpta.:

3) Reducir:

Sen3 xCos3 x  Cos3 xSen3 x Sen4 x

Rpta.: 4) Calcular el valor de:

102

K 

B

Tg50  Tg40 Tg10

6

Rpta.: 5) Reducir:

M

P = (4Cos211° – 1)Sen11°Cos33°

2 

2


Rpta.: 6) Reducir:

A

Sen3 x  SenxSen2 2x Senx  Sen2xCosx

K 

Rpta.:

13) Simplificar:

Rpta.:

M

7) Reducir:

x x x  A  Cos  3Cos Sec 2 2 6 6  

C

Sen80Sen40Csc 2 30 Sen20

Rpta.:

14) Reducir:

Rpta.:

K

3Sen3 20  Cos3 20 

8) Si se cumple:

Sen( 60  x ) 

1 3

Rpta.: 15) Hallar A y B, de la siguiente identidad: SenAx = 3Senx –Bsen3x

Rpta.:

Rpta.:

9) Reducir:

M = Cos10° – 2Sen10°Cos70°

16) Simplificar:

M

Rpta.:

   Tg x  2 12  

10) Siendo:

Calcular: Cot3x

Cos66 Cos 4Cos56Cos64

Rpta.:

12) Del gráfico, calcular la longitud de AB

Sena(2Cosa  1) a Cos3  2

Rpta.:

17) Simplificar:

Rpta.: 11) Simplificar:

P 

1 4

Cos3   Cos3 Sen3   Sen3  Cos Sen

Rpta.:

18) Si:

Tg3 = x + 1 ; Tg = 2

Calcular: el valor de x. Rpta.: 19) Hallar el valor de: M = 8Cos340° – 6Cos40° + 1 Rpta.: 102

20) Hallar el valor de k en:

7) Calcular: P = 8Cos320° – 6Cos20°

Cot18° = kCot36° Rpta.:


a) 0

b) 2

1 c) 2

d) 1

1 3

e)

8) Simplificar:


1) Simplificar: 3

3

Q 

3

R = 36Sen x + 12Sen 3x + 4Sen 9x + Sen27x a) 27Senx c) 30Senx e) N.A.

b) 40Senx d) 21Senx

2) Calcular el valor de: M = Cos5°Cos55°Sen25°

6 a) 4 2 c) 4 6 2 e) 4

b)

6 2 16

d)

6 2 4

b)

3Cot 3 10

c)

3 Tg3 10

3 Tg3 10 3 e) N.A.

9) Si: Cosx + Cosy + Coz = 0 Calcular:

b)

2 c)

3 d)

5) Hallar el valor de: E = Sen9° + Cos9°

10  2 10  2 b) 4 4 10  2 10  2 c) d) 2 2 e) N.A.

7 e)

a) 6 c) -12

Senx 

b) 12 d) -6 e) 9

n 1 2 e) n + 1 c)

11

d)

1 (n  1) 2

11) Calcular:

M

a)

6) Si:

Cos3 x  Cos3 y  Cos3z  0 CosxCosyCosz

10) Si: Sen3x = nSenx Hallar: Cos2x n 1 a) n – 1 b) 3

b) 1/4 d) 1/8

4) Reducir: E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1 5

3 Cot 3 10 3

d)

3) Indicar el valor de M . N en la siguiente identidad: SenxCos2x = MSenx + NSen3x

a)

1  3Tg210

a)

P 

a) 1/2 c) 1/16 e) 2/19

3Cot 2 10  1

a) 1/4 c) 2/5

Cos3 20  Cos3 40 Cos20  Cos40

b) 2/4 d) ¾

e) 3/7

2 , 3

Calcular: Sen3x a) c)

22 3 22

27

102

e) N.A.

27 20 23 d) 5 b)

12) Reducir:

A  4Sen a) Senx c) 2Senx

x  x    2  x  Sen Sen  3 3    3  b) Cos 2x d) Sen 3

1 2

b)

1 1 c) 8 7

d)

1 1 e) 3 4

14) Simplificar: Y = Sen3Csc – Cos3Sec a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

15) Hallar el valor de k, en la siguiente, igualdad: KTgx  Tg3 x


Senx e) 3

a)

Tg3 x 

13) Calcular: B = Cos20° + Cos40°Cos80°

a) 0

b) 1

1  KTg2 x

c) 2

d) 3

e) 4

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

NOCIONES PREVIAS

Concepto de Función: Dados dos conjuntos numéricos A y B, diferentes del vacío, se llama función al conjunto de pares ordenados (x ; y) tales que para cada x  A, existe uno y sólo un elemento y  B. Dominio de una Función: Es el conjunto conformado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que define a la función, y se denota por: Domf = {x  A / (x ; y)  f}

Rango de una Función: Es el conjunto conformado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que definen la función, y se denota por:

       

C o n ju n to d e C o ta s In fe rio re s

-1

1

        C o n ju n t o d e C o t a s S u p e r io r e s

FUNCIÓN PAR

Una función f es par si:

f(  x )  f( x ) ; x ,  x  Domf

Ejemplo de funciones pares:   = =

y = f(x) = x2 – 1, probando : f(-x) = (-x)2 – 1 2 x -1 f(x)

Graficando:

Observación:

Ranf = {y  B / (x ; y)  f}

El gráfico de una función par es simétrica al eje y

A la notación y = f (x) se el llama regla de correspondencia; y se lee: “y igual a f de x”.

Función Acotada Se dice que una funciones f, es acotada, si  M  R. tal que: |f (x)|  M ;  x  Domf Ejemplo: La función f(x) = Senx es acotada, ya que |Senx|  1,  x  R (M = 1)

y

x -1

1 -1 102

Una función f es decreciente en un intervalo I de su dominio, si para todo par de número x 1 y x2 de dicho intervalo se cumple que:

FUNCIÓN IMPAR Una función f es impar si:

x1  x 2  f( x1 )  f( x 2 )

f(  x )   f( x ) ; x ,  x  Domf

Ejemplo: La función: y = x2 – 1, es decreciente  x  - ; 0


Ejemplos de funciones impares: 

y = f(x) = x3, probando: f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)

Graficando:

FUNCIÓN PERIÓDICA Una función f es periódica, si existe un número real T  0; tal que para cualquier x de su dominio se cumple:

y

f( x  T )  f( x ) ; x , x  T  Domf

x

0

FUNCIÓN CRECIENTE Una función f es creciente en un intervalo I de su dominio, si para todo par de números x1 y x2 de dicho intervalo se cumple que:

Observación:

El número T se denomina periodo principal, si es positivo y mínimo entre todos los periodos positivos.

Ejemplo:

Sea: f(x) = Senx  f(x + T) = Sen(x + t) Luego; Sen(x + T) = Senx SenxCosT + CosxSenT = Senx Hacemos: CosT = 1  SenT = 0  T = 2k ; k  Z+  T = 2 ; 4 ; 6 ; …  El periodo principal de la función: y = Senx es 2.

x1  x 2  f( x1 )  f( x 2 )

Ejemplo: La función y = x2 – 1, es creciente  x  0 ;  FUNCIÓN DECRECIENTE

ESTUDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIÓN SENO

f = {(x ; y)  R2 / y = Senx ; x  R}

y

y = S e n x ( S e n o id e )

1

0

-1



x

2

3

2

2

Luego: Ranf = [-1 ; 1], es decir: -1  Sen 1, periodo de f es 2 FUNCIÓN COSENO

f = {(x ; y)  R2 / y = Cosx ; x  R}

102

y

y = C osx 1 

0

x 3

2


-1

2

2

Luego: Ranf = [-1 ; 1], es decir: -1  Cos  1, periodo de f es 2 FUNCIÓN TANGENTE   f = {(x ; y)  R2 / y = Tgx ; x  R – (2n  1)  ; n  Z} 2   y = T g x ( ta n g e n t o id e )

y

x

 

0

2



3

2

2

Luego: Ranf = R Periodo de f es 

FUNCIÓN COTANGENTE

f = {(x ; y)  R2 / y = Cotx ; x  R – {n} ; n  Z}

y = C o tx ( c o ta n g e n to id e )

y

x

0



2

3

2

2

Luego: Ranf = R Periodo de f es  FUNCIÓN SECANTE

102

y 1 x 0



2

3

2

2


-1

y = S e c x ( S e c a n t o id e )

Luego: Ranf = R – -1 ; 1 Periodo de f: 2 FUNCIÓN COSECANTE

f = {(x ; y)  R2 / y = Cscx ; x  R – {n} ; n  Z} y = C s c x ( c o s e c a n to id e )

y

1

x

0

-1



2

3

2

2

Luego: Ranf = R – -1 ; 1 Periodo de f: 2

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1)

Hallar el dominio de la función: f( x )  Cosx 

2)

f( x ) 

Senx  1 ; (k  Z )

Dada la función: f(x) = Cos2x – 2Cosx

Hallar su rango

Sen2x Tgx

Halle su dominio y su rango

* Hallar el periodo de las siguientes funciones:

7)

f(x) = 2Sen3x + 1

8)

g( x )  1  Tg

x

3

3)

Hallar el máximo, valor de: f(x) = Senx(Senx – 6) + 4

9)

h(x) = 2Cos4x – 3

4)

Hallar el rango de la función:

10)

Hallar el rango de la siguiente función:

11)

 f( x )  2  4Csc 2   3 La función: f(x) = Csc2x ; tiene como

f( x ) 

5)

3

2  Cosx

Hallar el dominio y rango de la función f definida por:

f( x )  Tgx  6)

Dada la función:

dominio el intervalo:

8

;

2 8

. Determinar

su rango

Cosx Senx

5

12)

Hallar el rango de la siguiente función: f(x) = Senx + CotxCosx – 1

102

13)

Halla el rango de la siguiente función, si su    ;  dominio es:   3  4 h(x) = Tg2x + 2x + 2Secx + 2

14)

f(x) = 2|Cosx| + 3 ;  x  R b) 3 ; 5 d) 3 ; 6

a) [3 ; 5] c) 2 ; 5} e) 3 ; 7

Hallar el periodo de la siguiente función:

f( x )  15)

Si:

 2x   3Cos   1 7  3

f(Senx) = Cosx

x 0;

6) Si:

 2

a

y Senx  2  1

Determine el conjunto de valores de “a”


Evaluar: f(Cos3480°)

16)

Hallar el dominio y rango de la función: f( x ) | Tgx |  | Cotx |

17)

Hallar el periodo de:

18)

g( x )  Cos( Cosx )

Halle el rango de la función: F(x) = Cot2x + Tg2x  5 Si: 24  x  24

19)

Hallar el dominio de la siguiente función: Cosx  Cos3 x f( x )  Senx  Sen3 x

20)

g( x )

Hallar el periodo de la siguiente función: Cosx  1  Senx

a) 1 < a < 3 c) 2 < a < 3 e) N.A.

7) Hallar el rango de f si:  2 7    ; 6   3 a)





 1;

Rpta.:

2) Hallar el dominio de la función g:

3   g( x )  3Tg 4 x  ;nZ 2  

Rpta.:

3) Hallar el rango de la función f: f(x) = Sec22x + |2Sec2x| +

|Cot2x – Csc2x|

1 1

1 3



1

 1; d)  2 

el

rango

  2 3x Cos 2  Cos2x   f( x )   2Cos2x  1

a)

1  Senx   5  ; x   ;  2  Senx 2 2 

f () = Cos ;

; b)  3 2

8) Hallar


f( x ) 

1 1 ; 2 3

c)   e) N.A.

x

1) Hallar el rango de f, si:

b) 2 < a < 4 d) 1 < a < 4

b) c)

d) e)

de: para

  ; 4 3



1 ; 4

2 2 4



1 ; 2

2 2



1 ;0 4



1 ; 8

2 2 4



1 ; 4

2 6 6

9) Hallar el rango de la siguiente función: f(x) = |Senx + Cosx| + |Senx - Cosx| a) [0 ; 2 ] c) [0 ; 2] e) N.A.

b) [ 2 ; 2] d) [0; 2 2 ]

10) Hallar el periodo de la siguiente función: f(x) = (Tgx + Cotx)Sen2x

Rpta.:

4) Hallar el rango de la función: f( x ) 

3 | Secx |;

2 7 Si: 3  x  6 Rpta.: 5) Hallar el rango de la siguiente función:

a)  c) /2



b) /3 d) 2

e) 4

11) Señalar el valor máximo de: f(x) = Tg(Senx + Cosx) a) Tg 2

b) Tg1 102

c) 2 e) 1

d)

14) Halle el dominio de la función:

3

f( x ) 

12) Halle el dominio de la siguiente función: g(x) = Sec(Cosx) a) Z

+

b) R

b) c)

 ;kZ 2  4k ; ( 4k  1) ;kZ 2  3k ; (3k  1) ;kZ 2 2k ; ( 2k  1)


n c) R  2 ; n  Z n d) R  3 ; n  Z e) N.A.

a)

Secx  Cscx

15) Halle el periodo de:

13) Del problema anterior, indicar el rango. a) 1 ; Cos2 c) 1 ; Sec1 e) 1 ; Sec1

h( x ) 

b) 1;Sen2 d) 1;Cos2

  2Tg 3 x    1 8  



a) 



b) 3 c) 4

  d) 6 e) 8

GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Uno de los conceptos más importantes en la trigonometría es el de “curva senoidal”. Esta curva se presenta en diversas partes de las ciencias matemáticas y ciencias naturales (Física). Esta curva es la grafica de la función: y = Asen (BX + C), siendo A, B y C constantes.

Y Iniciaremos el presente capítulo comparando las gráficas de: y = SenX A y = ASenX y=AS enX 1

y= S enX



2



X

-1

-A

Ambas gráficas se encuentran superpuestas sobre los mismos ejes y con las mismas escalas.

π

Como todos sabemos, el máximo valor que puede tener Sen X es 1, y se da para: x = 2  2Kπ; K  Z . Análogamente, el máximo valor de A Senx es A. La constante “A” recibe el nombre de AMPLITUD DE LA CURVA SENO (curva senoidal) El periodo (T) de: y = SenX; y = Asen X es T = 2  Ahora, vamos a comparar las graficas de: y = Sen X y = Sen BX Analizando:

102

2 Si BX  0  x  0, y si Bx  2  x  B Y

2 Por lo tanto, vemos que el periodo de y = Sen BX es T  B ver figura. y= S e nBX 1 y= SenX X 2




-1

2 B

Y Ahora veamos como seria la grafica de y = ASenBX, como base la grafica anterior. y = A S teniendo e nB X A 1

y =SenX



X

2

-1

-A

2 B

Analicemos ahora la gráfica de: y = Sen(x + c). Cuando x + C = 0  x = - C Cuando x + C= 2  x = 2 -C

Entonces, la gráfica que se muestra a continuación es por tanto, una curva senoidal desplazada a ala izquierda en C.

Y

y = S e n (x + C )

1

y=Senx 

-C

X

2

-1

La constante C se llama CAMBIO DE FASE O ÁNGULO DE FASE. Luego, en la curva: y = Sen (BX + C), vemos que:

C B Cuando BX + C = 2  x = (2 - C)/B Cuando BX + C = 0  x =

Por eso decimos que el cambio de fase venga dado por el número

C B

(ver figura)

102

Y y = S e n (B x + c )

1

y=Senx 

-C /B

2

X


-1

Por último, representamos a la curva senoidal más general:

y  ASen(BX  C)

Donde:

Amplitud  A Periodo 

2π B

Cambio de fase 

C B

Y

A

y = S e n (B x + c ) y=S enx

1

1

-C /B

-1



2



X

-A

Nota: De manera análoga se procede para la construcción de la grafica de la función y = ACos (BX + C), que es una curva cosenoidal. Reglas para la Construcción de Gráficas de Funciones

Desplazamiento Vertical.

Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función desplazar la gráfica de f a lo largo del eje de ordenadas:  

y = f(x) + C es necesario

Si C > 0  la gráfica va hacia arriba en C Si C < 0  la gráfica va hacia abajo en C

Ejemplo:

102

Y 3 y=2+Senx 2 1 y= S enx





0

2

3 2

X




-1

2

Desplazamiento Horizontal

Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la grafica de la función grafica de f a lo largo del eje de abscisas.  

y = f(x-c) es necesario desplazar a la

Si C > 0  La grafica se mueve hacia la derecha. Si C > 0  La grafica se mueve hacia la izquierda.

Ejemplo:

Y

y =SenX

1

 4

0

 2



y = S e n (x -  ) 4

 2



X

 4

-1

Opuesto de una Función.

Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función forma simétrica a la gráfica de f con respecto al eje de abscisas.

y = -f(x), se debe reflejar en

Y

y = -C o s x

y= C osx

1

 2





X

-1

Valor Absoluto de una Función

Si tenemos la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = f(x)no debemos cambiar los tramos de la grafica de f que están por encima del eje x y debemos reflejar simétricamente a los tramos de la gráfica de f que están por debajo del eje X. Ejemplo:

102

Y y= /C osx / 1

0

 2



 2

y=C osx


-1

X



y

6


1)

Indicar la regla  de correspondencia dado el    ;3 siguiente gráfico: y 2   x

9)

 ;  3

2)

Indicar la regla de correspondencia e la función y 3  gráfica: “f” que genera la siguiente 2

2

x

Si el periodo de: f(x) = 2|Sec4x| es la mitad del  x periodo de: g (x) = Sen(nx)Csc  n  . ¿Cuál  2 es el periodo de: h(x) = |Tg(3n + 1)x|?

10) Halle el periodo de: Cos(Cosx)

12) Dada la grafica:

Sen3 x 2Senx  Csc 2x Sen 2 x y

2 

O

En la siguiente grafica, se muestran un senoide y un cosenoide. Calcular el área del triángulo sombreado. f( x )  C o x

g

(x )

 Senx

y = f (x) =

11) Graficar la función:

h( x ) 

-3

3)

x

2

Una regla de correspondencia de la curva mostrada, será:

13) Graficar la siguiente función: f(x) = 2Senx 14) Graficar la función:

4) 5) 6)

7)

Indicar la gráfica de la función “f”, si: f(x) = Sen2xCotx + Cos2x Tgx Indicar la grafica de la función “f”, si: f(x) = Sen2x(Tgx + Cotx) Indicar la grafica de la función “f”, si: Cos2x f( x )  Cosx  Senx

Cosx 2

15) Graficar la función: h( x )  Tgx  1 y

16) Del gráfico, ay –= b2 S e n 2 x   calcular:  P ;a 6 

¿En cuantos puntos del intervalo 0 ; 4, la función: f( x ) 

8)

g( x ) 

x  4 | Cosx | , interseca al eje x?

En el siguiente gráfico se ha representado la curva: y = aCos(2x + ) + 2. Calcular el área de la región sombreada.

x

7  Q  ;b  8 

17) Calcular las coordenadas del punto P.

102

y 1

P 

r a) r   2 c) r(1 – 2r) e) N.A.

x

 4 -1

3) Dada la función: f(x) = |x| - |3senx|  x  [-2; 2] a) 1 c) 3 e) 5

b) 2 d) 4


18) Hallar la suma de ordenadas de los puntos P y y Q. y = Senx Q 7 x 4

r  b) r 1   2   d) r(1 – 3r)

3 4

P

4) Calcular el área del rectángulo sombreado, si MN es paralelo al eje x y su longitud es 2

y 19) Del gráfico mostrado, calcular el área de la región triangular AOB. A

B

x

O

y = 2Senx

a) 2Cos1 c) 2Cos0 e) N.A.

y

20) Dada la gráfica, calcular el área y = de t g x la región sombreada



 4

N

M

-1

  2

y = S e n (-x )

y

b) Cos2 d) 2Cos

5) De la figura mostrada, hallar x2 – x1 y

y = |S e n 3 x |

x

 4

 2

x1

x

x

2

y = C o sx

7 2 7 c) 3

1) Al esbozar la gráfica de la función f, donde: Secx f (x)  ; indicar el rango de f. | Cscx | a) R – {0} b) R c) Z+ d) R– e) N.A.

y

b)

e)

3 8

6) Construir el gráfico de la siguiente función: f( x ) 

a)

2) Hallar el área de la región sombreada en términos de r. C ir c u n f e r e n c ia

7 4 4 d) 3

a)


Sen2 x Tgx

y

f( x )

2

  y  rS e n  x   2  

x O x

 2

b) 102

a)

f( x )

y

y

2

 2

x

O

x b)

y


-2 1

7) Graficar:

f(x) = Secx . Cosx

10) Hallar los valores de x para los cuales el valor de la función f no está definida.

a)

y

x 2  Cosx f( x )   x Senx Senx Sen 2 Cos

1

2

O

x

-1

b)

a) 3 b) k–1; k  Z c) k ; k  Z d) k2 - 1 d) (n – 1) ; n  N

y

1

 2



 2

O

3 2

x

11) Si: F(x) = 3Sen22x + 2 G(x) = 4Cos37x – 1 Hallar los rangos de F y G. Dar como respuesta la intersección: a) [2 ; 3] b) [1 ; 4] c) [2 ; 3 d) 2 ; 3 e) 1 ; 2 12) De la figura, calcular el área de la región triangular UNI

8) Graficar:

f(x) = 1 – 2Cosx

a)

x 2

O

y = C o t( b x ) + 1

y

y

U

2

I

1

-1

b)

2

 2

x

x

N

O

y = C o t( b x )

y

 3  d) 8 a)

1

-1

 2

2

x

 4  e) 5 b)

c)

13) Hallar el gráfico de: y 2 Sen

9) Graficar: f( x ) 

Sen 2 x 1  Cosx

 6

X 3

a) 102

y

c)

y

2

x 3

O

O

6

2

6

x


14) Determinar el número de intersecciones de:

b)

f(x) = Sen2x – Tgx

y

Con el eje de abscisas, si

x

O

3

 3 113   x ;  50   4

6

a) 5 c) 7 e) 9

b) 6 d) 8

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

CASO I



DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO



A B A B SenA  SenB  2Sen Cos   2   2  A B A B SenA  SenB  2Cos Sen   2   2  A B A B CosA  CosB  2Cos Cos   2   2  A B A B CosA  CosB  2Sen Sen   2   2 

Sen(20° + x) + Senx = 2Sen(10° + x)Cos10° Cos(40° + ) + Cos(40° – ) = 2Cos40°Cos

PROPIEDAD:

Si A + B + C = 180°, se cumple:

A B C Cos Cos 2 2 2 A B C CosA  CosB  CosC  4Sen Sen Sen  1 2 2 2 Sen2A  Sen2B  Sen2C  4SenASenBSenC SenA  SenB  SenC  4Cos

Cos2A  Cos2B  Cos2C  4CosACosBCosC  1

Ejemplos:

Transforme a producto las siguientes expresiones:     

Sen40° + Sen20° = 2Sen30°Cos10° Sen8x – Sen4x = 2Cos6xSen2x Sen40° – Sen52° = 2Cos46°Sen(-6°) = -2Cos46°Sen6° Cos62° + Cos10° = 2Cos36°Cos26° 9x 5x Cos7x – Cos2x = -2Sen Sen 2 2

CASO II

DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA 2SenACosB  Sen( A  B )  Sen( A  B ) 2CosACosB  Cos( A  B )  Cos( A  B ) 2SenASenB  Cos( A  B )  Cos( A  B )

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Simplificar: 102

Cos50  Cos20  Sen20 A  Sen20  Sen50  Cos20 Rpta.:

Sen7Sen5 – Sen3Sen =

20 27

Calcule: Cos4 Rpta.: 12) Halle el mínimo valor de:

2) Hallar “x” en:

P = Sen(x + 20°)Cos(x – 10°)


Sen20  xCos10  Tg35 Sen90Cos50

Rpta.:

Rpta.:

13) Reducir:

3) Reducir la expresión:

E = Sen7xSen2x – Sen6xSen3x + Cos6xCos3x

Sen80° + Cos250° – Sen40°

Rpta.:

Rpta.:

4) Calcule “k”, a partir de la identidad:

Sen20° +Cos50° + Cos10° = kCos10°

14) Calcular:

E = Cos2x + Cos2(120° – x) + Cos2(120° + x) Rpta.:

Rpta.:

5) Transformar a producto:

15) Simplificar:

1 + Cos12° + Cos24° + Cos36°

Rpta.:

E = 2(Cos5°+Cos3°)(Sen3°–Sen1°)

Rpta.:

6) Calcular “k”, de la siguiente igualdad:

16) Calcular:

kCos50° = Csc50° – Csc10°

E

Rpta.:

7) Siendo: Cos110° = k, halle: Sen 225° – Sen25°, en términos de k

Sen2x  Sen3 x  Sen4 x ; para x = Cos2x  Cos3 x  Cos4 x

5°

Rpta.:

Rpta.:

8) Calcule el valor de:

A  Cos

 5 3  Cos  Cos 7 7 7

Rpta.:

9) Calcule el valor de:

B  Cos

2 4 6  Cos  Cos 7 7 7

Rpta.: 10) Calcule el valor de: M = 4Sen290° + Sec280 Rpta.: 102

11) A partir de:

P=

17) Factorizar: E = Sen1° + Sen3° – Sen5° + Sen9° Rpta.:

a) 1 c) -1 e) 3 5) Calcular:

18) Si A + B +C = , hallar “x”

b) 0 d) 2



2

5

E = Cos 7 . Cos 7

SenA + SenB + SenC =

A B C Sen Cos 2 2 2

. Cos 7

1 b) 8

1


xSen

3 Cot20° – 4Cos20°

a) 4 3 c) 8 e) 0

Rpta.:

19) Calcular:

M = Sen410° + Sen450° + Sen470°

3

d) 4

6) Calcular:

2

Rpta.:

E = Sen 7

20) Calcular “x”

x 

4

+ Sen 7

7 8 7 c) 2 e) N.A.

a)

1  4Cos20 3

Rpta.:

b)

7

d)

7 3

8

+ Sen 7

7) Calcular:




1) Calcular:

a)  2 c) 7 e)  3

P = Sen24° . Cos6º

5 1 2 5 1 4

a) c)

5

P = Tg 7 – Tg 7

5 1 8

b)

b) 7 d) 

3

– Tg 7

7

8) Simplificar:

Sen5Cos  Sen4Cos Cos4Cos  Cos5Cos2 1 1 a) Sen3 b) Sec3 2 2 c) Csc3 d) Sen3 1 e) Csc 2 N

2) Calcular:



3

E = Cos2 7 + Cos2 7

3

7

a) 4

b) 4

c) 4 4 e) 5

d) 4

5

5

+ Cos2 7

8

9) Calcular el valor de:

E = Cos81°Sec42° – Cos78°Sec9°

3) Calcular:

Si: Sen18° =

1

M = 2 Sec80° – 2Sen70° a) 0 c) 2 e) 3

b) -1 d) 1

Cos36° = a) 0 c) -1 e) -2

5 1 y 4 5 1 4 b) 1 d) 2

4) Calcular: 10) Reducir la siguiente expresión: 102

M = 2Sen8Sen5-2Sen3Sen a) b) c) d) e)

Sen28Cos4 Sen24Sec4 Sen24Sec8 Sen28Csc4 N.A.

12) Calcular: P = Sec41°Sec4°(Cos37° + Sec45°Sen30°) a) 0 c) 1 e) 3

11) Reducir la expresión:

13) Si se cumple: Cos10°Sen140° = a


1 Csc10° – 2Cos20° 2

b) -1 d) 2

a) 0 c) 1 e) -2

b) -1 d) 2

Halle el valor de: 4a – 2Sen130° a) 1 c) 3 e) 0

b) 2 d) 4

14) Transformar a producto la siguiente expresión: N=1–

a) b) c) d) e)

3 Sen20°

Tg40°Sen20° Cot40°Sen20° Tg40°Cot20° Cot40°Sen20° N.A.

15) Simplificar:

P 

a) 2Sen c) 2Cos e) Cos2

Sen  Sen2  Sen3 Sen  Sen2 b) Tg d) 2Tg

102


ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Definición: Son igualdades condicionales que presentan funciones trigonométricas ligadas a una variable angular y se cumplen para un conjunto de valores angulares que hace posible la igualdad original. Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:       

3 2 Cos3x –Senx = 1   3 Sen2  x   = 3 5   Cos2x + Tgx = Senx Tgx + Tg2x = 0 1 + Tgx + Sec2x = Cosx 1 Sec2x + Cos3x = 2 Senx =

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Es un número real (ángulo expresado en radianes) que satisface la ecuación trigonométrica dada. VALOR PRINCIPAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (V.P.)

Sea la ecuación trigonométrica elemental: F.T.(Ax + B) = N



V.P.  arcF.T.(N)

Donde:

F.T.

Sen Cos

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES: Son ecuaciones de la forma:

Tg

V.P.     2 ; 2    [0 ; ]    ; 2 2

F.T.( AX  B )  N

Donde:

F. T. : Funciones Trigonométricas x : Variable angular

Además : A, B, N son constantes y A  0 N : Valor Admisible Ejemplos de elementales:   

ecuaciones

3 2   Cos  3 x   = 1 2   Tg 5 x  = 3 2 Senx =

trigonométricas

Expresiones generales de todos los arco que tiene una misma función trigonométrica 1) Para el SENO:

E G  K  ( 1)K V..P.

2) Para el COSENO:

EG  2K  V.P.

3) Para la TANGENTE: EG  K  V.P.

Donde: k  Z

PROBLEMAS PARA LA CLASE 102

1) Calcule la menor solución positiva de la ecuación: Cscx – Senx = Cosx

14) Hallar el valor principal de: Cscx   2

2) Hallar la menor solución positiva en: Cos2 + 3 Sen2 = 0

15) Resolver: Tgx 

3


3) Halle la menor solución positiva de la ecuación: tgxTg3x = 1

Rpta.:

4) Calcule la menor solución de la ecuación: Senx +Sen3x + Sen5x + Sen7x = 0 5) Resolver: 5 – 4Sen2x – 4Cosx = 0 Para x  - ; 

Rpta.:

16) Resolver:

Sen2x 

6) Determine la solución general de la ecuación: 3 3 – 5Tgx = -5 + Cotx

1 2

Rpta.:

7) Resolver;

Cos3 x Sen3 x  0 Cosx Senx

8) Resolver: 4Sen4x + 2Sen2xCos2x = 1

17) Resolver:

Cos3x = -1

Rpta.: 18) Resolver:

9) Resolver: Cos6x + 2Sen3x + 3 = 0

  Tg 2x    1 3 

10) Calcule la suma de soluciones de la ecuación: Sen2x – Cosx = 0 Si x  0 ;  Rpta.:

Rpta.:

19) Resolver:

11) Indicar una solución de: 2Tg2xSecx = 1

 x  Tg    2 6

Rpta.:

3

Indicar el número de comprendidas en [-2 ; 5]

12) Resolver la ecuación:

x  Cotx  2Cos   4 2  

soluciones

Rpta.:

Indicar la suma de soluciones en el intervalo:    ; 2    2 

20) Resolver: 2Cos2x– Cos – 1 = 0 e indicar las soluciones en 0 ; 2

Rpta.:

Rpta.:

13) Hallar una solución de la ecuación:

2 Cosx  2 Rpta.:

1)

PROBLEMAS PARA LA CASA Resolver: Cotx = -1

3

a) k  4 c) k 

3

b) k  4



d) 2k  2

102

e) N.A. 2)

Resolver:

Cosx =





a)

2 2



2k  ( 1) k



3

; k  Z

k b) k  ( 1) 6 ; k  Z

7 

k  3  ; k  Z 2

3k  ; 3k   a)  4 4  

c)

b) k  2

d) k   / 4 ; k  Z e) N.A.







3 

2k  ; 2k   c)  2 2   d) 2k + 3/9

Resolver:


9)

1 – Tgx = Cos2x (x  k  k  Z)



e) 2k  4

3)



a) (3k  2) 2

 c) ( 4k  1) 4

1 Senx  2

Resolver:

a) n  ( 1) 6 b) n  /6 c) 2k  /6 d) n + (-1)n/3 e) N.A.

4)

Sen 2 x 

Resolver:

1 2



k a) k  ( 1) 3

 c) k  ( 1) 6



2

8

d) k  /3





3Cosx 

2

k     

3

c) 840°

3Senx  Cosx  Cos3 x 

3Sen3 x

Hallar la menor solución positiva.



b) 6





d) 4

e) 6

14) Resolver: (Cot2x – Cot2x)2 + Sec2x = 3



a) 2k  2



b) k  4

102

Resolver: 3Senx = =2Cos2x

6

b) 460° e) 180°

13) En la ecuación:



c) n  4  6 e) k  2  3 e) N.A. 8)

e) N.A.

a) 12 3 d) 2

Resolver:

b)

d) 4

a) 320° d) 480°

7

3  b) K 2  3





b)  12 c)  3

12) Calcular la suma de las 3 primeras soluciones positivas de la ecuación: 2Cos2x = -4Cosx – 3

Sen 4 x  Cos 4 x 





a)  6



Resolver:

a) 2n  4  6

2 2

Dar como respuesta la mayor solución negativa.

k + /4 ; k  Z k - /4 ; k  Z 2k + /4 ; k  Z 3k + (-1)k/4 ; k  Z N.A.

Senx 

d) k  

Cotx . Sen3x – 2Cosx =

Sen + Cos =

7)

3

11) Resolver

Resolver:

c) k  /4 e) N.A.

k  

e) N.A.

c) (2n – 1) ; n  Z e) N.A.

  a) K 2  12

b)

k

(2n  1) ; nZ 4 (3n  1) ;nZ d) 2

6)

2

  6   Sen x    Cos x    4 4 2  

b)

a) b) c) d) e)

3 (2k  1) 

10) Resolver:

 n  1   ; n  Z a)  2 

5)

d)

(k  2) 

e) N.A.



n

b)

c)

k  

3





k d) k  ( 1) 2

k e) 2k  ( 1) 4

a)

2k  

 c) k  3

15) Resolver: Senx + Sen3x + Sen5x = Cosx + Cos3x + Cos5x



b) k  6

6





d) k  8

k e) 2k  ( 1) 4


Departamento de Publicaciones Santa Rosa CPJ/2014

102

Trigo 3º 2014

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