3° TRIGO II BIM

I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA

3° AÑO TRIGONOMETRIA – 3°

INDICE ESTUDIO DEL TRIÁNGULO PITAGÓRICO RESOLUCIÓN DE TRINGULOS TRINGULOS RECTANGULOS ÁNGULOS VERTICALES ÁNGULOS VERTICALES REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS RAZ. TRIGOM.. DE UN ÁNGULO DOBLE RAZ. TRIGOM. DE UN ÁNGULO TRIPLE

- 1 -



ESTUDIO DEL TRIÁNGULO PITAGÓRICO Todo triángulo pitagórico tiene sus lados expresados por números enteros positivos. Dichos lados tiene la siguiente forma: Siendo: “m” y “n” números enteros positivos. Además . m > n .

OBSE OBSERV RVAC ACII N: SI ELEGIMOS VALORES DE “ M” Y ) TAL QUE ( M + N ) Y “ N N ” NÚMEROS PRIMOS ENTEROS ENTRE SÍ ) ” ( NÚMEROS RESULTE UN NÚMERO IMPAR , SE OBTIENEN TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS TAMBIÉN SON NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ .

E JEMPLO: C UANDO UANDO: M = 5 Y N = 2

E JEMPLO: C UANDO UANDO: M = 8 Y Y N = 3

OBSE OBSERV RVAC ACII N: C UANDO UANDO LOS VALORES DE “ M” Y Y “ N N” ( NO NO SON PRIMOS ENTRE SÍ ) O CUYA SUMA DE M Y N SEA ” UN NÚMERO PAR SE OBTIENE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS ESTÁ EXPRESADA POR NÚMEROS QUE TIENEN UN DIVISOR COMÚN .

E JEMPLO: C UANDO UANDO: M = 4 Y N = 2

E JEMPLO: C UANDO UANDO: M = 7 Y Y N = 3

41

CASO PARTICULAR: C UANDO UANDO SE TIENE DOS NÚMEROS ENTEROS CUMPLIRÁ:

m



k  1 2

Y n

( M

k 



Y N ), PERO CONSECUTIVOS , ENTONCES SE

1 ; SIENDO : K = # IMPAR IMPAR.

2

LUEGO:

E JEMPLO: C UANDO UANDO: K = 5

E JEMPLO: C UANDO UANDO: K = 11

- 2 -



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES O NOTABLES 42

Razones Trigonométricas del Ángulo de 45º Sean los catetos del triángulo rectángulo ABC: . AB = BC = L . Por el teorema de Pitágoras: AC2 = AB2 + BC2 AC2 = L2 + L2 = 2 L2 AC = 2L2 = 2 L2 . AC = 2 L .

Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º 45 º sen 45º = cos 45º = tg 45º =

1

L

2





L 2

1

L L 2 L 1

L



2

2 

1

2 

2



2

2 2 

2 2

sec 45º = 1



2



2 2

2

1

ctg 45º =

1

2

csc 45º =



2



2

2

1

Razones Trigonométricas del Ángulo de 30º y 60º Para hallar las razones trigonométricas de 30º y 60º, construimos un triángulo equilátero, veamos: En el triángulo rectángulo BHC; calculamos BH, por el teorema de Pitágoras BC2 = BH2 + HC2  L  L = BH +    2  2

2

2

2

L = BH + 2

3L 4

= BH

L

4

2

2

2

2

2

L –

L

4

= BH

3 L

2

4

2

3

L 4

.

3 L 2

= BH2  BH

.

Luego calculamos las razones trigonométricas de 30º y 60º en el BHC.

- 3 -



Razones Trigonométricas del Ángulo de 37º y 53º

44

3

sen 37º

=. .

cos 37º

=.

5

tg 37º

=.

ctg 37º

=.

sec 37º

=.

csc 37º

4 5

3

.

sen 53º = cos 53º =

.

tg 53º =

.

ctg 53º =

.

sec 53º =

=. .

csc 53º =

4 4 3 5 4 5

3

4 5 3 5 4 3

3 4 5 3

5 4

Razones Trigonométricas del Ángulo de 16º y 74º

- 4 -


sen 16º

=.

cos 16º

=.

tg 16º

=.

ctg 16º

=.

sec 16º

=.

csc 16º

=.

7 25

.

sen 74º =

.

cos 74º =

24 25

7

.

tg 74º =

.

ctg 74º =

.

sec 74º =

.

csc 74º =

24 24 7 25 24 25 7


24 25 7 25

24 7 7 24 25 7 25 24

Razones Trigonométricas de 15 y 75º Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 15º y 75º tomamos como referencia el triángulo rectángulo notable de 30º y 60º, luego prolongamos (como se muestra en la figura), hasta obtener un isósceles EBC, siendo: EB = BC = 2.

45

En el triángulo rectángulo EAC: Calculamos el valor de “x” por medio del teorema de Pitágoras:

. EC2 = EA2 + AC2 . x x x

2

2 2



2



44 3



8 4 3

x 



3



2

 

2

1 3

2

1

84 3

Aplicamos radicales dobles .

x 

6 

2

.

Luego, calculamos las razones trigonométricas de 15º y 75º

- 5 -



Razones Trigonométricas de 22º30’ y 67º30’ Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 22º30’ y 67º 30’

tomamos como referencia el triángulo rectángulo notable de 45º, luego procedemos de igual manera que el caso anterior. En

el

triángulo

rectángulo

EBA:

Calculamos el valor de “x” por medio

del teorema de Pitágoras

EA2 = EB2 + BA2 x2 =



2

 + (1)

1

x2 = 2+2 

x 

2

2

2

+ 1 + 1 = 4 + 2



22 

2





2

2 2

= 2

2

2





2

Luego, calculamos las razones trigonométricas 1

sen 22º30’ = 2

2

2



2 1

cos 22º30’ = 2

tg 22º30’ =





2

1 2 1

2

= .



= .

= .

2



1.

2

2

2 2 2

2

.

sen 67º30’=

.

cos 67º30’= tg 67º30’=

2

2

2

47

2 2 2 2



1

- 6 -

I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA 2

ctg 22º30’ =

1

1

2

sec 22º30’ =

= .

2



= . 2

csc 22º30’ = .

2

2

1.

2

2 2


ctg 67º30’= 2 .

2  1

sec 67º30’= 2

2 .

csc 67º30’= 2



2

2

2

2

OBSERVACIÓN: H ACIENDO USO DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS RECTÁNGULOS , TAMBIÉN PODEMOS CALCULAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UNO DE SUS DOS ÁNGULOS AGUDOS , VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:

Ejemplos: 1.

En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”), donde a = 8 y b = 15. Calcular: “ tg

A 2

”

Resolución En el triangulo rectángulo BCA: Calculamos AB por medio del teorema de Pitágoras: AB2 = BC2 + AC2  AB2 = 82 + 152 = 64 + 225 AB2 = 289  AB =

289  

. AB = 17 .

Luego en el triángulo rectángulo DCB: Calculamos: “ tg



A 2

”

48

 A  BC  . tg     2  DC

2.

8 32



1 4

.

Haciendo uso del triángulo notable 16º y 74º. Calcular “tg 8” En el triángulo rectángulo BCP

tg 8º



 . tg 8º 

BC PC 1 7

7 

49

.

- 7 -



CASOS DE RACIONALIZACIÓN QUE DEBE TENERSE EN CUENTA 49 1er Caso: Denominador Monomio Para racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador un monomio, se multiplican los dos términos de la fracción por el radical del mismo índice que el del denominador, y que multiplicador por el radical que se desea eliminar y de como producto una cantidad racional.

Ejemplos: a.

b.

c.

4

4 3

3



3

3.

4 3 

3

3.3

3 2 

2 5



3

2

5 .

3



2 15



9

3

Esta fórmula sólo se cumple, cuando el denominador es raíz cuadrada.

.

b

b

3 2

15 

3.3

a b 

3



4

5.3

3

a

 .

3 2

2.2



4 3 

9

3 2 

2.

3.

4 3 

2do Caso: Denominador Binomio Para racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador un binomio de la forma: a  b se



multiplican los dos términos de la fracción por la expresión conjugada a los resultados.





b



2

 del denominador y luego se simplifican

Ejemplos: a.



2



3

5 2

b.

3





52



2





c.

2

3



2

3



2



3

2

3

2









2 

3





2

5



2



3



3



 2 

2

32 6  2 1



2 





5

5

2

2



2



2



2





3

3



3





5



2 



5  2

 

3

2



2





52

3



2



  52  3  4  3 2 5 2  5 2  5 2 

52

50

5



2  3 2  3 

2 5

3

 3 2  3

2



5 2 6 1



2



2



2

2 2

3





2

2

3.

2

2

3  2

 5 2 6

- 8 -


.

a n 

 m



a n  n

2



m

b

;

p

m

q





b p



p q


q

.

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Reducir:

A) Q

1 

1

2



3

5



2



3

4

B) 0,54 2 C)

2

D) 0,5 2 E)

2

2 2

6. Luego de racionalizar y reducir: A) 6 D)  5

C) 2

B) 5 E)  6

5 75

El denominador resulta:

2. Racionalizar:

A) 5 D) 3

10 7 2 7

A) C) E)

3  2 14



14 3 

45



14



B) D)

3

2

14  2 14

2 14

B) 6 E) 1

C) 30

7. Racionalizar:

14  2 14

P

2 

3

3. Luego de racionalizar: A)  2 D) 0

1 2 3.

3

9

3

1



3

3 3

C) 2

B) 2 3 E) –2 –2

Dar el denominador A) 2 D) 9

B) 3 E) 18

C) 6

8. Hallar el equivalente, con denominador racionalizado, de: 1

4. Hallar el valor equivalente de:

E

3

2 2

6  12



3 3

6

A) A) 0,5 6  2  B)

6 

C)

3



2

3  1

E)

3



2

D)

2

2

2 3

D)

4 2

6

32

B)

2 3

E)

2

C)

2

2

2

9. Calcular:

5. Dar racionalizar lo siguiente 4

8 2

E

6 

3

9 .

3

6



3

4

1



4

8

A) 1 D)

B) 2 E)

C) 0

- 9 -



E)

10. Racionalizando:

1

6

2





8

B) 39 E) 69

2

3

2

5

2 a 

Resulta una cantidad denominador es: A) 29 D) 59

4

12. Si:

3

1

2.

3

negativa

2

1 1

;

b



2



1

2



1

Dar el valor de: E = a 3b – ab – ab3

cuyo

A)  24 2 C)  4 2 E)  24 3

C) 49

B) 2 3 D)  6 2

13. Proporcionar el equivalente de: 11. Señalar el factor racionalizante de: 1 3

A) C)

3

4

23 2

3



2 2 3 4

4

B) D)

1

2

3

1

2

3

3 2

3

4

2

3

4

 3 22

2

3

2

A) C) E)

3 2

2

 

1

B) D)

3 2



2 1

3  1

TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado

y la medida de cada c ada ángulo del triángulo. En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da: I. Las longitudes de dos lados. II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. 1. Conociendo las longitudes de los lados: Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente. Resolución Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras:  (1)2 + (2)2 = x2 x2 = 5 x= 5



Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2. - 2 -


Por decir: tg =

1 2


= 26º30’ (aproximadamente)

como: + = 90º = 63º30’ Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto. 2. 56

A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo incógnitas x, y 

Cálculo de x: x a



Cálculo de y: y a



= cos  x = a cos 

= sen  y = a sen 

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – 90º – .

Conclusión:

B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo incógnitas x, y 

Cálculo de x: x a



Cálculo de y: y a



= ctg  x = a ctg 

= csc   y = a csc 

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – 90º – .

CONCLUSIÓN:

57

C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo Análogamente a los triángulos rectángulos anteriores

- 2 -



Ejemplos:

Aplicaciones 1.58 Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto C en un borde del río y visualizando un punto A situado en el otro borde. Después de girar un ángulo de 90º en C, se desplaza 200 m hacia el punto B, aquí mide el ángulo y encuentra que es de 20º. ¿Cuál es el ancho del río?

Resolución Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que usamos la relación relación tg = Reemplazando: tg 20º



b a

b 200

b = 200tg20º el ancho del río es (200 tg20º) m 2. Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ángulo de 22º con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre la cometa y el suelo (sen22º = 0,374) Resolución Graficando, tenemos por condición al problema

- 3 -



Sea h la altura a la cual se encuentra la cometa, a partir de la figura vemos que: h 12

= sen22º

 h = 12 sen 22º

h = 12(0,374) = 4,488 h = 4,488 m ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR (S) El área de cualquier región triangular está dado por el semi producto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados. Así tenemos: Del gráfico: S

1 

2

a b sen

Demostración: Por geometría S, se calcula así S

b .h 

2

(h: altura relativa del lado b

En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por resolución de triángulo que: h = a sen  Luego: 60 S

b . asen 

2

; (ba = ab)

S

1 

2

ab sen

Ejemplo: Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm; Ac = 6 cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37º Resolución Graficando tenemos Nos piden: S De la figura:

S 

S 

1 2

1 2

(5cm) (6cm) sen 37º

(5cm) (6cm)

3 5

 S = 9 cm 2 - 4 -


OBSERVACIÓN: a) E N TRIGONOMETRÍA , LOS


OPERADORES NO TIENEN SIGNIFICADO POR SÍ SOLO , NI

TAMPOCO PUEDE REALIZAR OPERACIONES ALGEBRAICAS CON ELLAS , DE MANERA QUE , ES ABSURDO , CONSIDERAR LAS OPERACIONES sen





sen

α   sen  β   sen α  β  (ABSURDO ) ; sen          Absurdo

b) SE HA DEMOSTRADO QUE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON NÚMEROS , LUEGO CON ELLOS SE PUEDE OPERAR ASÍ : I)

5 SEC

–

61

2 SEC + 2 SEC = 4 SEC

II) cos   1   3   sen   . sen  2  sen    sen 

= 3 COS + 2 c) T ENGA ENGA

CUIDADO CON LA EQUIVALENCIA SEN N X

= ( SENX SENX )N ; LA

PRIMERA SE UTILIZA

CONTINUAMENTE PERO LA SEGUNDA NO ; PORQUE CORRE EL RIESGO DE CONCLUIR QUE : ( SENX SENX ) N = SEN N X N Y ESTO ES INCORRECTO INCORRECTO

E N LA ANTENA SE PUEDE OBSERVAR LA APLICACIÓN DE ÁNGULOS VERTICALES

- 5 -



PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar “x” 6. Hallar “x” en función de m,  y 

Rpta. 5 2. Hallar “x” en función de “m y ” Rpta. mtg . tg

7. Hallar “sen”

Rpta. msen . tg 3. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. 2/3

Rpta. m(ctg - tg)

8. Hallar

BM

en función de “m y ”

4. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. mcos . csc 5. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. mtg . sec

Rpta. msen . sec 

9. Hallar csc - 6 -



Rpta. 2,4 14. Siendo: cos = 0,1  ctg = 2. Hallar “x”

Rpta. 3/2 Rpta. 1

10. Hallar x 15. Hallar el valor de “x”. Si: sen = 0,6 ctg = 2

Rpta. msen . sec  Rpta. 10 11. Si sen = 0,3. Hallar x 16. Hallar “x”

Rpta. 1,2

12. Siendo cos = 0,25. Hallar “x”

Rpta. 28 17. Hallar “x”

Rpta. 1,25 13. Siendo: sen = 0,2  tg = 3. Hallar “x” Rpta.

24 3

18. Calcular “tg”

- 2 -



Rpta. 2/7

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Hallar “x” Si: sen = 0,2

A) 1 D) 1,5

4. Hallar “sen”

B) 2 E) 2,5

C) 3

A) 1/2 D) 1/3

2. Hallar “x” Si: sec = 2

5. Hallar

A) 11 D) 9 3. Hallar “x”

B) 13 E) 14

C) 1/16

B) 14 E) 17

C) 15

BM

C) 7

A) 13 D) 16 A) 1/ 3 B) 2 3 D) 3 /2 E) 1/2

B) 1/4 E) 1/5

C) 2/ 3

3

6. Hallar “x” - 3 -



A) 10 D) 14

B) 5,6 E) 70

C) 8,4

B) 56 E) 24

C) 32

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 7. Hallar “x”. Si: sen = 0,3333...... tg = 2 11. Hallar “x”

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

8. Hallar el valor de “x” Si: cos = 0,25  ctg = 3

A) 66 D) 70 12. Hallar “x”.

A) 7,25 D) 1,25

B) 4,15 E) 5,25

C) 225

9. Hallar “x”. Si.  = 53º

A) 45 D) 56 A) 8,75 D) 6,75

B) 2,25 E) 2,75

C) 5,25

3

3

B) 17 E) 32

3

C) 19

3

3

13. Calcular tg

10. Hallar el valor de “x”. Si: cos = 0,8 ctg = 2

- 2 -


A) 3/4

B) 2/5

C) 3/10


D) 11/5

E) 3/7

TEMA: ÁNGULOS VERTICALES INTRODUCCIÓN Debido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar determinado punto del objeto en consideración. A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos c onsideramos importantes para el desarrollo del tema: Línea Vertical: Vertical Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada. Línea Horizontal: Se Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical. Plano Vertical: es Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical. Línea Visual: Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse. ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista v ista del observador. Los ángulos verticales pueden ser: Ángulos de Elevación Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

: Ángulo de observación

Ángulos de Depresión Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

- 3 -



: Ángulo de depresión OBSE OBSERV RVAC ACII N:

AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD .

: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. A 150m de la base de una torre se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 53º calcular la altura de la torre Rpta. 200m

4. Una persona de 2 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 30º y la parte superior con un ángulo de elevación de 60º. Calcular la altura del poste. Rpta. 8m

2. Desde un punto “A” situado a 30 m del pie de un edificio, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 30º. Calcular la distancia del punto A hacia la parte superior. Rpta.

20 3

m

3. Una persona de 3 metros de altura observa la parte superior de una torre de 5 3 de altura, con un ángulo de elevación de 60º. ¿Cuánto tendrá que retroceder para que el nuevo ángulo de elevación mida 30º?

5. Desde la parte superior de una torre se observan dos piedras en el suelo con ángulos de depresión de 37º y 53º si la altura de la torre es de 12m y las piedras están en línea recta y a un mismo lado de la base de la torre, calcular la distancia entre las piedras. Rpta. 7m 6. Una antena de radio está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto a 12 m de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación a la punta de la antena y a la parte superior del edificio son 53º y 37º respectivamente. Calcular la altura de la antena Rpta. 7m

Rpta. 8m

- 2 -


7. Una bandera está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto de la superficie, se observa la parte superior del edificio y la punta de la bandera con los ángulos de elevación 47º y 68º respectivamente. Determinar el ángulo de visibilidad. Rpta. 21º 8. Desde lo alto de un faro de 60m de altura, se observa un bote con un ángulo de depresión de 37º. Si el bote recorre linealmente 35m hacia la torre. ¿Cuál es el nuevo ángulo de elevación? Rpta. 53º 9. Un alumno Reinocielino camina del pie del colegio 10m y observa lo alto del edificio (colegio) con un ángulo de elevación de 37º. Determinar la altura del edificio. Rpta. 7,5m 10. Un niño ubicado a 40m del pie del árbol, observa la parte superior con un ángulo de elevación de 45º y la copa del árbol, con un ángulo de observación de 8. determinar la longitud de la copa de dicho árbol. Rpta. 10 m 11. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 15º acercándose 36m hacia el edificio, el nuevo ángulo de elevación es el doble del anterior. Calcular la altura del edificio


Rpta. 18 m 12. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación “” acercándose 5m hacia el poste el nuevo ángulo de elevación es el complemento de “ ”. Si el poste mide 6m, calcular “Tg” Rpta. 2/3 13. Desde la base y la parte superior de una torres se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60º y 30º respectivamente. Si la torre mide 24m; entonces la altura del edificio es: Rpta. 36m 14. Dos ciudades A y B se encuentran separados por un camino recto, que mide 2 3  1 km; desde un avión que vuela la línea que separa ambas ciudades, se les observa con ángulos de depresión de 30º y 45º. ¿A que altura es´ta volando el avión? Rpta. 2 km 15. Desde un punto en el suelo, situado entre dos muros de 3 y 4 3 metros se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 30º y 60º respectivamente. Calcular la distancia entre los puntos más altos de los muros. Rpta. 10

TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE La conservación de una razón trigonométrica (r.t) de un

También reducir al primer cuadrante un ángulo

ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un

significa encontrar los valores de las RT de cualquier

ángulo del primer cuadrante se llama: ”reducción al

ángulo en forma directa mediante reglas practicas las

primer cuadrante”

cuales mencionaremos a continuación recordando antes que:

- 2 -


- Para el Seno: Su Su Co-Razón es el Coseno.


Sen 320º = Sen (270º + 50º) = -Cos 50º

- Para la Tangente: Su Co-Razón es la Cotangente. “El signo (-) (-) se debe a que el ángulo a reducir (320º) - Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante.

pertenece al IV C, en donde e seno es negativo y se

I Regla: “Para ángulos positivos menores a una vuelta.

cambia a coseno (Co-razón del seno porque se trabajo con 270º”.

90 270

co

180 306

RT



R. T



rt

1d.



R. T



Sec 115º = Sec (90º + 25º) = - Csc (25º) Ojo: Ojo: También se pudo haber resuelto de la siguiente

¡Importante!

manera:

- El signo + ó – – del segundo miembro depende del

Sec 115º = Sec(180º - 65º) =

cuadrante al cual pertenece el “ángulo a reducir”.

- Sec (25º)

-  se considera un ángulo agudo. “Ambas respuestas son correctas, por ser éstas Ejemplos de Aplicación: 1. Reducir al primer cuadrante: a) Cos 150º

b) Tg 200º

c) Sen 320º

d) Sec 115º

e) Csc 240º

f) Ctg 345º

Resolución:

equivalentes” - Csc 25º = - Sec 65º Csc 25º = Sec 65º

Ya que:

sen tag sec

Cos Ctg Csc

1a. Cos 150º = Cos (180º - 30º) = -Cos 30º

Donde:  y  suman 90º

El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (150º) pertenece al II C, en el cual el coseno es negativo”

1b. Tg 200º = Tg (180º + 120º) = + Tg 20º.

Nota: A éste par de ángulos se les denomina “Ángulo Complementarios”.

e) Csc 240º = Csc (180º + 60º) = - Csc (60º) ó Csc 240º = Csc (270º - 30º) = - Sec (30º)

“El signo (+) se debe a que el ángulo a reducir (200) pertenece al III C, en el cual la tangente es positiva”. f) Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) = 1c.

- Tg (75º) ó - 2 -



Ct 345º = Ctg (360º - 15º) =

Tg1240° = Tg160°.Tg(90°

- Ctg 15º

+ 70°) = -ctg70°

II Regla: “Para ángulos positivos mayores de una vuelta. R. T 360

ó Tg1240° = Tg160° =

15

R. T

n

Nota: Se Nota: Se eliminan los múltiplos de 360º.

Ejemplos de Aplicación

Tg(180° - 20°) = -Tg20°

III Regla: para Regla: para ángulos negativos: Para todo ángulo , se cumple:

2. Reducir al primer cuadrante: a) Sen (548º)

se n tag Ctg Cs c Cos( Sec(

b) Cos (987º)

c) Tg (1240º

) )

se n tag Ctg C sc Co s S ec

Resolución 2a) Sen548° = sen(1 × 360° + 188°) = sen188° Luego:

Nota: Observamos que para el coseno y secante el signo “desaparece” es decir, solo trabajamos con el valor

Sen548° = sen188 =

positivo. Veamos ejemplos:

sen(180° + 8°) = -sen8° ó

Ejemplo de Aplicación

sen548° = sen188° = sen(270 - 72°) = -cos72°

3. Reducir al primer cuadrante:

2b) Cos987° = cos(2 × 360° + 267) = cos267°

A) cos(-130°)

B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°) D(

Csc(-2140°) Luego: Resolución: Cos987° = cos267° =

3a) cos(-30°) = cos(30°)

cos(180° + 87°) = -cos87° ó

3b) Sec(-274°) = sec(274°) = Sec(270° + 4°) = Csc4° ó

cos987° = cos267° = cos(270° - 3) = -sen3°

Sec(274°) = sec(360°-86°) = Ejemplo de Aplicación

2c) Tg1240 =Tg(3 =Tg(3 × 360° + 160°) = Tg160° Luego:

3. Reducir al primer cuadrante:

A) cos(-130°)

B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°) D(

Csc(-2140°) - 3 -



Csc(-2140°) = -Csc(340°) = Resolución:

-Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º]

3a) cos(-30°) = cos(30°)

= Sec 70º - Csc(340º) = - Csc (360º -

3b) Sec(-274°) = sec(274°) =

20º) = -[-Csc(20º)]

Sec(270° + 4°) = Csc4°

= Csc 20º

ó Sec(274°) = sec(360°-86°) = sec86°

Nota Importante: Todo el capítulo “Reducción al 1 er

3c) Ctg(-1120) = -Ctg(1120°) =

Cuadrante” se desarrolló trabajando netamente en el

-Ctg(3×360° + 40°)

sistema sexagesimal la cual también se pudo haber

Ctg(-1120°) = -Ctg(40°)

trabajando en el Sistema Radian incluyendo todos los casos reglas y aplicaciones propuestas.

3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) =

-Csc(5×306° + 340°)

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar la siguiente expresión: sen 360

x

cos 270

sen 180

x

06. Hallar X en la siguiente expresión:

x

2 cos 360 3tag135 ctg225 3Ctg217 2sen630

Rpta.:

3tgx

Rpta.: 02. Hallar el valor de P:

P

3sen150 2tag( 135 )

Csc( 90 )

07. Marcar V o F en cada proposición:

Rpta.: I : sen110° = sen70° II : cos200° = cos20

03. Al simplificar la expresión se obtiene

III: Tg300° = -ctg30° M 

tg 360 x  ctg 90 x 



sen180 x  sen  x 



IV: sen618° = sen 78°

cos 90 x 

V : sec(-310°) = -Csc40°

senx

Rpta.: Rpta.: 04. Simplificar

E:

08. Reducir 08. Reducir la expresión

tag 540 a . Ctg 360 a cos 180 a 2sen 90 a

P

tg

x

cos x

tag

x

cos 2

x

Rpta.: 05. Hallar el valor de Q: Q a

a b tag225 b cos180

Rpta.:

Rpta.:

2asen 270

09. Hallar E:

- 4 -



15. 15. Calcular P

sec 60

E

2 cos 180

tag225

sen

x P = sen140° + cos20° + sen220°

x

2

+ Cos160° + sen150°

Rpta.:

Rpta.:

10. 10. Simplificar 16. 16. Reducir sen

U

tag

120

135

cos 210 sec

225

sec 300 sec

Tg(

315

Sen(360

11. Hallar el valor de M

sen

x

B

12. Relacionar según corresponda.

II. cos III. tag

Tg

2Senx Seny

Ctg

2 y

c. Sen (-x)

2

Rpta.:

b. – Tg Tg x x b. –

x

x

x

a. Sen x

2

2

17. Si x + y = 180. Calcular

Rpta.:

x

x

x

2 x . sen 2

sen

x ).Cot

2 3

Rpta.:

x . tag

Cgt 2

I.

3

M

Rpta.:

M

x ).Cos

18. 18. Calcular C = 5Tg1485 + 4Cos2100

A) I-a; II-b; III-c

Cos120

B) I-b; II-a; III-c C) I-c; II-a; III-b

Rpta.:

D) I-c; II-b; III-a E) I-a; II-c; III-b

19. Dado un triángulo ABC, calcular: A= Sen (A+B) - Tg(B+C)

13. Calcular 13. Calcular Sen(5x). Si:

sen

3

x

2 cos 3

Sen C

TgA

Rpta.:

3x 20. 20. Calcular

Rpta.: E

14. Calcular 14. Calcular A:

A

sec690

Rpta.:

2 sen600 3

SenX Tg

x 2

SenY Tg

y 2

Si x + y = 2

Rpta.:

- 2 -



PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Reducir y calcular E.

I. sen x senx II. cos 2 x cos x 3 III. Ctg x tgx 2

E = Sen150º.Cos120º + Sec150º.Csc120º

a) 19/12

IV.sec

2

x

Cs Cscx

b) -19/12

c) 4/3 d) -3/4

a) Ninguna b) 1

e) – e) – 3/2 3/2

d) 3

e) Todas

06. 06. Sabiendo que:

02. Hallar 02. Hallar el valor de:

senx

M

c) 2

sen140 cos 230

tag320 ctg130

cos x

6

Determine: Tgx + Ctgx

a) 1

b) – b) – 1

d) -2

e) 0

c) 2

a) 2 d)

4 3

ctg

2

2

a) -2

b) 1

d) -1

e) 2

2

M

sen 180 sen

x

cos 90

x

c)

3 3

3

sen 90

.cos 180

tg 180

.cos 180

. tg 360

c) 0

.cos 360

04. 04. Simplificar: M

3

07. Reducir la expresión: expresión:

tag tag

2

4

e)

3

03. 03. Calcular:

ctg

b)

3

x

a) 1

b) -1

d) 2

e) 0

c) -2

senx

tag 360 x ctg 90 x

08. Hallar 2senx 2senx Si:

a) -3

b) -1

d) 1

e) 3

sen380 . cos 40 . tg 300 sec 350 . Ctg 820 . sec 120

c) 0

sen80 . sen20 . sen 180 sec 40 .Ctg100

05. Cuántas Cuánta s de las siguientes siguient es preposici preposiciones ones son son

a) 1

b)

verdaderas.

3

x

c) -2

2

d) -1

e)

3

09. Calcular el valor de: P

cos180

Ctg425 . sen450 .ta t ag785

- 1 -


a) -1 b) 1

c) 2

d) 3


e) 4

d) -2

e) 5

13. 13. Resolver 10. Calcular del valor de H

sen150

cos

120

a) -2 b) -1 c) 0

a b

1 cos 540

a

1 cos 1260

1 sen630

b

1 sen450

tg 495

d) 1

e) 2

a) 1

b) -1

d) b

e) a/b

c) a

11. Afirmar si es (V) o (F) (F) 14. 14. Simplificar

I. senx + sen(-x) = 0 II. cosx + cos(-x) = 0

A = sen(30 + x) + cos(80 -x) +sen 190 x cos 240 x

III. Tgx + tg(-x) = 0

a) 2senx a) VVV

b) VFV c) VFF

d) FFV

e) FFF

c) -2senx d) -2cosx e) 0 15. 15. Calcular

12. Dado un triángulo ABC

A

Simplificar:

E

2 cos A B cos c

a) -1

3 sec A

b) 2

b) 2cosx

B

C

2sen330 4 sec 240 2tag 135

a) 13

b) 12

d) 11

e) 10

c) 9

c) 1

TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Este capitulo es muy extenso y muy importante a su vez

A este tipo de igualdad se le denomina “Identidad”

por que va a servir como base para capítulos posteriores, esta considerado como clave dentro de la

- Recordar que no existe la división entre cero

trigonometría, y definitivamente tendremos que demostrar las razones por las cuales se les considera de gran importancia en el desarrollo de la asignatura.

Obs: - La Igualdad (x - 2)(x + 2) = 0; Es cierto si solamente solamente si; cuando x = 2 ó x = -2

A este tipo de igualdad se le denomina “Ecuación

- Para indicar una identidad, se utiliza el símbolo ““ que se lee: “Idéntico a”

Definición: Una Identidad Trigonométrica es una igualdad que contienen expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible del ángulo:

Condi-cional” Condi-cional” Por Ejemplo: La Identidad ‘sen²  + cos²  = 1", - En cambio la igualdad (x – (x – 2) (x + 2)  x² -9, cumple

Comprobemos la valides de la Identidad:

para todo valor de “x” - 2 -



Para = 37°  Sen²37+ cos²37 = 1 De la misma manera se demuestra: Cot =

2

3

4

5

Sen

En Resumen: Las Resumen: Las identidades por cociente son:

2

5

Cos

1

9

16

25

25

25

25

Sen

Tg

1

Cos

Identidades Fundamentales:

Se observa que:

Las identidades trigonométricas fundamentales, sirven

Tg =

de base par la demostración de otras identidades mas

Cos

y Cot

Sen

1 Ctg

complejas A continuación veremos las identidades recíprocas se clasifican en: . Identidades Recíprocas: 1.- Por cociente

Y

2.- Reciprocas

C .T .T..

P

3.- PiTgóricas

1

Para obtener dichas identidades, hacemos uso de la

0

T

X

circunferencia trigonométrica.

1.

Identidades por Cociente:

Sabemos que PT = | Sen | y también OT = |Cos|

Y

Luego: En el triangulo POT, se observa:

C.T .T..

Csc =

1

0

T

X

1 PT

1 | Sen |

1 Sen

1 OT

1 | Cos |

1 Cos

y Sec =

(sen  y cos (+) ya que   Ic) Sabemos que PT = | Sen | OT = |Cos| , (en el ejemplo ambos (+) ya que   I C. y en el triángulo Rec. POT: Tg =

Por lo tanto:

PT OT Csc

Tg  =

| Sen | | Cos |

Sen Cos

1

y

sen

sec

1 cos

En resumen: Las identidades recíprocas son:

 Tg =

Sen Cos

Demostrado

Sen

1 Csc

Cos

1 Sec

Tg

1 Ctg

- 2 -


3. Identidades Pitagóricas:


1 + Ctg2 = Csc 2

∴

De similar manera se demuestra: 1 + Tg2 = Sec2

Y B

C.T .T..

P

De similar manera se demuestra:

1

1 + Tg2 = Sec2 0

T

A

X

En resumen las identidades pitagóricas son: - Sen2 + Cos2 = 1 - 1 + Tg2 = Sec2 Recordemos que: P = P (cos ; sen ) es decir: PT =

- 1 + Ctg2 = Csc2

|Cos| y también: OT = |sen | y en el triángulo rec. POT: por el teorema de Pitágoras.

Algunas Identidades Auxiliares

(OP)2 = (OT)2 + (PT)2 1 – 2Sen 2Sen2 Cos2  Sen4 + Cos4 = 1 –

12 = (|Sen |)2 + (|Cos|)2

 Tg + Ctg = Sec .Csc

1 = Sen2  + Cos2 … (I)

 Sen6 + Cos6 = 1

Demostrado

– 3Sen – 3Sen2.Cos2 Con la identidad (I), demostramos también:

 Sec2 + Csc2 = Sec2 . Csc2

1 + Tg2 = Sec2 y 1 + Cot2 = Csc2

Los ejercicios sobre identidades son de 4 tipos:

De la siguiente manera Sen2 + Cos2 =1

a) Demostraciones: Para demostrar una identidad, implica que el primer

Dividimos ambos miembros entre (Sen2): 2 Sen

2 Cos

Sen Sen

2

se pueda reducir a una misma forma.

1

2 Sen

miembro o viceversa ó que cada miembro por separado

2 Sen 2

Sen

1

Sen

2

Ejm:

Sen

- Demostrar que : Csc - Ctg . Cos = Sen Finalmente: De las identidades por división: Cos Sen

Resolución: Csc - Ctg . cos = sen

Ctg

1

Cos

Sen

Y de la identidad por cociente: 1 Sen

cos ² sen

Sen

sen² sen

sen

Csc

Sen = Sen. Demostrado

Reemplazamos: (1)2 +

1

Cos

Sen

)2 =

(Ctg

b) Demostrar que: )2

(Csc 

- 3 -

I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA cos A 1 senA

cos A 1 senA


 (1-Cosx)

2 sec A



1

Resolución

1

Cosx Senx

2 Cos x

x Sen x

Senx

Senx

Senx

Utilizamos artificios: CosA 1

senA

.

1

senA

1

senA

cos A 1

senA

.

1

senA

1

senA

d) Condicionales: 2 sec A

Si la condición es complicada debemos simplificarla

Luego se tendría cos A 1 1

s en A

sen² A

cos A 1

y así llegar a una expresión que pueda ser la pedida

cos A 1 1

senA

1

senA

sen² A

cos A 1

cos² A

1

senA

o que nos permita hallar lo que nos piden. Si la

2 sec A

senA

cos² A

condición es sencilla se procede a encontrar la 2 sec A

expresión pedida.

2 sec A

cos A 2

senA

Ejms.

2 sec A

cos A

2 sec A

a) Si Sen + Csc = a.

2 sec A .

Calcular el valor de

(Demostrado)

E = Sen2 + Csc2 c) Simplificaciones: Lo que se busca es una expresión reducida de la planteada

con

ayuda

de

las

identidades

Resolución Si: sen + Csc  = a (Elevemos al cuadrado)

fundamentales y/o auxiliares. Utilizar transforma-

(Sen + Csc = a²

ciones algebraicas.

Sen² + 2(Sen)(Csc + Csc² = a² Sen² + 2 + Csc² = a²

Ejms.

Sen² + Csc² = a² - 2 1) Simplificar: (2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2

E = a² - 2

b) Si: senx - cosx = m .

Resolución: (2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2  (2cos²  - 2(2cos²)(1) + 1 + 4sen²  Cos²

Hallar el valor de: D = 1 -2senxcosx

 4cos²cos² - 4cos² + 1 + 4sen² cos²  4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1  4cos² [(cos² + sen² ) - 1] + 1

Resolución senx - cosx = m (elevemos al cuadrado) (Senx cosx)² = m²

 4cos² [1 - 1] + 1

4cos²(0) + 1 = 1 2) Simplificar: (1 - cosx) (Cscx + Ctgx)

sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m² Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m² 1 - 2senxcosx = m² D = m²

Resolución: (1-Cosx)

1 Senx

Cosx Senx

e) Eliminación del Ángulo:

- 4 -


Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas


aSen

bCos

k

kSec

Cos

relaciones trigonométricas debemos hallar relaciones algebraicas en la cual no aparezca el ángulo. Nos ayudaremos de identidades como por Ejem.



Cos (aSen

k (Cos ) Cos

bSen )

(XCos)

Tgx.Ctgx = 1 aSenCos - bCos2 = K …(4)

Senx.Cscx = 1 Cosx.secx = 1 Sen²x + cos²x = 1

Restamos (4) menos (3)

Sec²x - Tg²x = 1

aSen Cos aSen Cos

Csc²x - Ctg²x = 1

bCos2 bSen2

k 1

( )

2 Sen2 ) k - 1 b(Cos      1

Ejm.:

b =x - 1 1. Eliminar “” de:

 K = b + 1

Csc = m + n …(1)

Recomendación:

Ctg = m – m – n …(2)

Cuando

en

un

problema

de

identidades

trigonométricas estés frente a esta expresión: (Elevamos ambas expresiones al cuadrado)

Resolución: Csc = n + n

E = (senx ± cosx) y se te pide “senx.cosx”, se recomienda que eleves al cuadrado ambos miembros para obtener:

Ctg = m – m – n n E² = (senx ± cosx)² = sen² ± 2senxcosx - cos²x Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-)

E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx

Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2 Csc Csc2 - Ctg2

m2

2mn 2mn n2 - (m2 - 2mn 2mn n2 )

E² = 1 ± 2 SenxCosx

1 = 4mn Lo que se pide 2. Eliminar “” de:

Identidad Importante:

aCos

bSen

Sec .Ctg ...( 1)

(1 ± sen  ± cos)² =

aSen

bCos

KSec ...( 2 )

2 (1± sen)(1± cos)

Resolución: De la expresión 1 aCos



bSen

Sen (aCos

Sec .Ctg

bSen )

Demostración: Recordemos 1 Cos . Cos Sen 1 (Sen ) Sen

(xSen)

(a+b+c)2 = a 2 + b2 + c2 + 2(ab+bc+ac) (1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² + (±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+ (±sen)(±cos)]

aSenCos - bSen2 = 1 …(3)

= 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) + 1(±cos) + (±sen)(±cos) Agrupamos nuevamente

De la expresión 2 2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) + (±sen)(±cos)] - 5 -



= 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen)(±cos)]  (1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)

= 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 + (±sen))] = 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. 01. Demostrar las siguientes siguientes identidades: 05. Si 05. Si cos + sec = 3 a) (Csc + Ctg )² b)

cos ² x 1

=1

cos

1

cos

sec² - sen² 

sen²x

senx

1

Calcular el valor de:

cos x

cos x

senx

Rpta.: 1

c) sec

tag

tag

sec

06.Si 06. Si Sen - Cos = Tg30° Calcular el valor de:

02. Simplificar las siguientes expresiones:

Sen4 + Cos4 a)

b)

cos³x

P

se nx nx

R

c) T

se n³ x

cos³x 1

Rpta.:

sen cos

sen

Si 1 + Tgx = asecx y 1 - Tgx = bsecx

sec tag 1 sen²

calcular

1 sen

a² + b²

Rpta.: 03. Eliminar el ángulo en las siguientes expresiones: a)

x = 3sen ....(1) y = 2cos.......(2)

08. Simplificar: 08. Simplificar: A

Csc²x

co cos xCscx

Tal que (0 < x < /2)

x = cos...................(1) y = cos² - sen²......(2) c)

sec ²x

Rpta.:

1 + Ctg = n..... n........ ...... .....( ..(1) 1) sen =

m

…........(2) …........(2)

09. Reducir: 09. Reducir: P

04. Si: 04. Si: Secx - Tgx = 0,75

cos ²x sen4x

sen² x

cos4 x

cos8 x

10. Simplificar 10. Simplificar la expresión:

Entonces el valor de: 1 Senx Tgx Tgx Sec Secx 1 Cosx Ctgx Cscx scx

Secx + Tgx , es:

M

Rpta.:

Rpta.

- 6 -



I.

sen 1

11. Dado: 11. Dado: II.

b tagx

cos

2Csc

sen

sen 1

a Ctgx

1

cos 1

cos

cos

2Csc

sen

III. sen 1 cos

1 cos sen

2Ctg

Hallar: T

Rpta.:

Tg²x Ctg²x Sec² x Csc² x

17. Simplificar 17. Simplificar la expresión:

Rpta.:

L

senx. tagx sec x

cos xCtgx Cscx

1 tagx

Ctgx

12. Simplificar la expresión E

sen4 x sen6x

Rpta.:

cos4 x cos6 x

sen² x cos ²x sen² x cos ²x

18. Reducir 18. Reducir la expresión:

Rpta.:

M

13. Simplificar la siguiente expresión: N

cos ³x

1

sen² x

4

se sen x

1 s e nx c o s x tagx se senx Ctgx cos x

Rpta.:

6

se sen x

Rpta.: 19. Calcular “cosx”, si se tienen la siguiente expresión 14. Si a = senx; senx; b = tg , encontrar encontrar el valor valor de: Secx + Tgx = a R =(1 - a²)(1 + b²) Rpta.: Rpta.:

20. Hallar “m”para que “m”para que la siguiente igualdad sea una identidad:

15. Eliminar 15. Eliminar  a partir de: Sen + cos = b

sen³ x cos ³x tagx Ct C tgx senx sec x cos x

1 .... (I)

Tg + Ctg = 1 ..............(II)

m

Cs cx cx

a

Rpta.:

Rpta.: Señale cuales son identidades:

PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Demostrar ;las siguientes identidades: a) (Ctg + Csc)2  1

cos

1

cos

 (1- Cscx)²

c) (1 - Cos²) (1+ Tg2)

b) (cosx - Ctgx)² + (senx - 1)² - 2 -


 Tg²


Si X  I C, simplificar: A

1

2senx cos x

senx

02. Simplificar las siguientes expresiones: A) 2senx + cosx B) 2senx – 2senx – cosx cosx

a) Tgx(1-Ctg²x) + Ctgx(1 - Tg²x)

b)

Tgx 1 Tagx

c) 2cosx + senx

Ctgx 1 Ctgx

D) 2cosx - senx E) cosx

c) Sen²x Tg² x Cos²x

Ctg² x

06. Simplifique la siguiente expresión: 4

A) 1, 0, Tg x B) 0, 1, Tg6x

R

6

4

c os x

10 sen² x

C) -1, 0, Tg6x

.

6

16 s e n x

4

24 sen x

cos x

cos ² x

D) 0, -1, Tg 6x

A) 0

B) 1

E) 0, -1, Tg6x

D) 2

E) -2

C) -1

Eliminar el ángulo en las siguientes expresiones: a) asenx - cosx = 1........(I)

07. Si Tgx + Ctgx =

bsenx + cosx = 1........(II)

3 2

.

Calcule el valor de:

b) m = sen  + cos..........(I)

sec x cos x

Y

Cscx senx

n = sen - cos ..........(II)

c) Psec²x + Tg²x = 1

a) 6

b) 9

c) 12

d) 18

e) 36

Csc²x + qCtg²x = q Simplificar la siguiente expresión: A) ab = 1; m² + n² = 1; k

pq = 0

cos 4 a s e na

2sen2a

cos a

2

sen4a

sena

c os a

2

B) ab = -1; m² + n² = 4; pq = 1 C) ab = 0; m² + n² = 1; pq = 1 D) ab = 1; m² + n² = 1; pq = -1

a) 1/2 b) 1/4 c) 2/3 d) 2/5 e) 1/5

E) ab = -1; m² + n² = 0; pq = 1 09. Si 09. Si se cumple la siguiente identidad: 04. Simplificar: 04. Simplificar: N

1 sen² 1 csc²

a) 2

1 cos² 1 sec²

1 tag² 1 Ctg²

b) Tg² c) sec²

Tg3x

3Tgx Tg³ x 1 3Tg² x

calcular el valor de:

d) Csc²  e) Ctg²

- 2 -


N


d) a/b

3Ctg10 Ctg³10 1 3Ctg²10

A) Tg120° B) Tg240° C) Tg360°

e) b/a

13. Si 13. Si senx + cosx =

1

D) Tg60°

, calcular el valor de la siguiente

3

E) Tg30°

expresión:

10. Encontrar el valor de “n”de tal manera que se

P = secx + Cscx

cumpla: (Senx + cosx)(Tgx + Ctgx)

a) 1/4

b) -1/4

= n + Cscx

d) -3/4

e) 5/4

c) 3/4

En la siguiente identidad

a) Secx b) Ssenx c) Cosx d) Cscx e) Tgx

1 Tgx Tgx Secx Secx 1 Ctgx Ctgx Cscx Cscx

Tgnx

Simplificar: Halle el valor de “n” V

senx tagx

cos x Ctgx

2 2

a) 4

b) 2

d) 1/4

e) 1/2

senx

cos x

tagx

Ctgx

2 2

c) 1

a) 0

b) 1

c) 2

d) -1

e) -2

15. Reducir la siguiente expresión: R

12. Si: asenx = bcosx Halle el valor de:

D

b) b

senx

cos x

1

cos x

1

senx

tal que X  I C

Sen² x. Ctgx Sec² x Sen² x Tg² x

a) a

1

c) ab

a)

2

Senx b)

c)

2

Tgx

2

Cosx

d) Senx

e) Cosx

TEMA: R. T. DE UN ÁNGULO DOBLE   

2Sen3xCos3x = Sen6x Cos72° = Cos236° – 36° – Sen Sen236° Cos10x = 2Cos25x – 5x – 1 1



Cos5x = 1 – 1 – 2Sen 2Sen2



2Cos2

2Tg



1  Tg2



1 – 2Sen – 2Sen225° = Cos50° 2Tg15  Tg30 1  Tg215

Sen2  2SenCos 2

2

Cos2  Cos   Sen  2

Cos2  2Cos   1 2

Cos2  1  2Sen 

Tg2



Ejemplos: 

Sen80° = 2Sen40°Cos40°



8

– 1 – 1 = Cos

5x 2 

4

TRIANGULO RECTÁNGULO DEL ÁNGULO DOBLE

- 3 -


Si consideramos a 2  (agudo), en forma práctica se tiene:

2

1  Tg



2Tg

2 1  Tg2

Del cual obtenemos: Sen2

2Tg



1  Tg

Cos2



2




Ejemplos: -

2Sen43x = 1 – 1 – Cos Cos 6x

-

2Cos2



18

-

1 – Cos60° – Cos60° = 2Sen 30° 1 + Cos74° = 2Cos37° Cot15° + Tg15° = 2Csc30° Cot3x – Cot3x – Tg3x Tg3x = 2Cot6x

-

Sen415° + Cos415° =

-

Sen6



8

+ Cos6



=

8

1  Tg2

Cos

2Tg9

Tg

2

1  Tg 9



Cos8x =

3 4

1 

5

3 

8

4

Cos60°

Cos

8



2

IDENTIDADES DEL ARCO MITAD

1  Tg2

Ejemplos: Sen18° =

9

2

Sen





= 1 + Cos

1  Tg2 4 x



1  Cos

 

2 

 

2



2 1  Cos

 

2

2 1  Cos 1  Cos

NOTA: NOTA: El signo del segundo segundo miembro se elige elige según según el     cuadrante del arco   y de la razón  2  trigonométrica que le afecta.

1  Tg2 4 x

OTRAS IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE: Otras Identidades del Arco Mitad 2

2Sen   1  Cos2

Tg

2

2Sen   1  Cos2

Cot  Tg



2Csc2

Cot  Tg



2Cot2

Cot



2 



Csc  Cot

 Csc  Cot

2

PROBLEMAS PARA LA CLASE 4

4

Sen   Cos   6

6

Sen   Cos  

3



1

4

4

5

3

8



8

Cos4

– Cos = 01) Siendo: Senx – Cos4

1 5

; x



4

;



2

. Calcular:

Cos2x Rpta.: 02) Si Sen20° = a, hallar el equivalente de:

Cos2140° + Cos240° – 40° – 2

en términos de a.

Rpta.: 03) Simplificar la expresión: M

1  Sen40  Cos40 1  Sen40  Cos40

Rpta.: 04) Simplificar:

- 2 -



Rpta.: 2

P



Cos x

x

3



4Sen

2

Cos

2

x

13) Reducir:

2

Rpta.:

P



Cos4 x  Sen4 x 2SenxCosx

05) Reducir:



Tg2x

Rpta.: (1  Sec2)Tg 

2 14) Simplificar:

Cot  Tg

P = (Secx – (Secx – Cosx)(Cscx Cosx)(Cscx – – Senx) Senx)

Rpta.: 06) Reducir:

Rpta.: R



1  Cos2x



Sen2x

1  Cos2x



Sen2x

15) Simplificar: 3

Rpta.:

P 6

6

07) Si: Sen x+Cos x = m + nCos4x



Senx

Cos2x 

Cos2x



Csc2x

Sen x 

Cosx

16) Sabiendo que:

        Cos2      Cos2      2   12  

2

Cos 

3Sen  x

¿A que es igual: Cos2 

Rpta.:

3Sen2 ?

Rpta.:

08) Reducir:

   M  (Secx  Cscx)Cos x   4  

17) Reducir: M

Sen2 2Sen

Rpta.: Rpta.:

09) Reducir:

18) Si: Sen2x = Cos2x

M = 8SenxCosxCos2xCos4x

Calcular:

Rpta.:

Cos4x

Rpta.:

10) Reducir:

M = 8SenxCosxCos2xCos4x

19) Reducir:

Rpta.: 11) Reducir: P

3

Sec2x

Rpta.:

Calcular: M

Cos x

E = (1 – (1 – 6Tg 6Tg2a + Tg 4a)Cos4a



(Senx  Cosx)2



1

Rpta.:

(Cosx  Senx )(Cos  Senx ) 20) Si:

Rpta.: 12) Reducir:

Sen m



Cos n

Reducir: E = mSen2  + nCos2

M

Sen(5  x )

 5 x   2Sen   2 2   5 x     Cos  2 2 

Rpta.:

- 3 -



PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Reducir: 08) Cos4x – Cos4x – Sen4x Sen4x = Cos2x R

a) 1 d) 4

Sen6



Sen3Sen(90

b) 2 e) 5

02) Si:



3)

a) F

09) Cot18° – Cot18° – Tg18° Tg18° = 2Cot2x

c) 3

 x = 18°

a) F

1

Sen  Cos 

b) V

3

Hallar: Sen2 a) -4/9 d) -5/9

10) Reducir:

b) -3/9 e) N.A.

03) Si:

c) -8/9

Sen2x(1  Tg4 x ) 4

Sen(  45)

3



2 a) Tg x

4

a) 5/8 d) 8/9

b) 6/8 e) 9/8

04) Calcular:

c) 7/8

2

5

Sen6x + Cos6x = A + BCos4x Sen4x + Cos4x = C + DCos4x

3

c)

A

D CB

Calcular:

2

6

a) 0 d) 3

c) 2

2Tg 2 2 x

11) Sabiendo que:

2

d)

Tg2 2x

2Tg 2 x

1+Sen2 + Cos2 = ACosCos(B – ) b)

Tgx

c)

Tg3 x

d)

A . B, si:

2

b) 2Tgx

Tg2x

Calcular: Sen2

a)

b) V

2

b) 1 e) 4

c) 2

12) Del grafico, hallar: Tgx

05) Calcular: E



Cos



Cos

7

2

A

3

Cos

7

7

D

a) 1/7 d) 1/16

b) 3/7 e) 1/4

c) 1/8

6

3x

2

x

06) Señale el mayor valor que puede tomar:

C

B 2

2

S = TgxCos x + CotxSen x a) 1 d) 4 *

b) 2 e) 5

c) 3

a)

3

b)

3 2

d)

2

e)

c)

3 3

7

En los siguientes ejercicios, señalar verdadero (V) o falso (F), según corresponda

07) Senx + Cosx = n  Sen2x = n 2 – 1 – 1

a) F

b) V - 1 -



13) De la ecuación: TEMA: R. T. DE UN ÁNGULO TRIPLE

Tg2  5Tg  1  0

Calcular: Csc22 a) d)

5

b)

3

4

4

9

8

e)

4

Sen3x

c)

Cos3x

4 5



4Sen3

4Cos3 x 3Cosx 3Tgx Tg3 x







Tg3x



1 3Tg2 x 

7

Formulas Especiales:

14) Siendo 2x e y las medidas de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo. Calcular: 2Cos2x – Seny – Seny a) 1 d) -1

3Senx



b) 2 e) 0

Sen3 x  Senx(2Cos Co s2x  1) Cos Co s3 x  Cosx( 2Cos2x  1)  2Cos2x  1  Tg3 x  Tgx   2Cos2x  1 

c) 3

15) Del grafico mostrado, hallar Cot , sabiendo que: AH AH  2 , HC 3

Formulas de Degradación:



3

4Sen x 3

B

4Cos x





Sen3x

3Cosx  Cosx

4SenxSen(60  x )Sen(60  x )



Sen3 x

4CosxCos(60  x )Cos(60  x )



Cos3 x

TgxTg (60  x )Tg(60  x )

45°

a) 5 d) 8



3Senx

Propiedades: P

A





Tg3 x

C

H

Observación: Observación:

b) 6 e) 9

c) 7 Sen18 

5 1 4

Cos36 

5 1 4

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01) Simplificar:

04) Calcular el valor de: Sen 2

Sen



Sen3

 

2

Cos

K



Rpta.:



Tg50  Tg40 Tg10

Rpta.:

02) Simplificar:

05) Reducir:

R = 36Sen3x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x Rpta.:

P = (4Cos211° – 11° – 1)Sen11°Cos33° 1)Sen11°Cos33° Rpta.:

03) Reducir: 3

3

Sen xCos3x  Cos xSen3x Sen4x

Rpta.:

- 2 -



06) Reducir:

K



M

2

Sen3x



SenxSen 2x

Senx



Sen2xCosx

Sen80Sen40Csc2 30 Sen20

Rpta.: Rpta.: 14) Reducir: 07) Reducir: A

x x    Cos  3Cos Sec2 2 6  

3

K 

x

3

3Sen 20  Cos 20 

1 4

6

Rpta.: 15) Halar A y B, de la siguiente identidad:

Rpta.:

Rpta.:

08) Si se cumple: Sen(60  x )



16) Simplificar:

1 3

M

Sena(2Cosa  1)

Rpta.:

 a  Cos3   2 

09) Reducir: Rpta.: M = Cos10° – 2Sen10°Cos70° – 2Sen10°Cos70° 17) Simplificar: Rpta.: 3

Cos   Cos3



Tg x 

10) Siendo:



  2 12 

3



Sen   Sen3

Cos

Sen

Rpta.: Calcular: Cot3x 18) Si: Rpta.: 11) Simplificar: P

Tg3 = x + 1 ; Tg = 2

Calcular: el valor de x. Rpta.:

Cos66 Cos4Cos56Cos64

19) Hallar el valor de:

Rpta.:

M = 8Cos340° – 40° – 6Cos40° 6Cos40° + 1

12) Del grafico, calcular la longitud de

AB AB

Rpta.:

B

20) Hallar el valor de k en: Cot18° = kCot36°

6

Rpta.: M 2

2 

A

C

Rpta.: 13) Simplificar:

- 2 -


PROBLEMAS PARA LA CASA


a) 0 c)

01) Simplificar: e) R = 36Sen3x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x a) 27Senx c) 30Senx e) N.A.

b) 40Senx d) 21Senx

c) e)

6

6

b)

4 2





2

16 6

d)

4 6



2

4

08) Simplificar:

a)

3 3

3Cot 210  1 1  3Tg210

3

3Cot 10

c)

3Tg310

d)



Cot310

b)

3 3

Tg3 10

a)

5

b)

c)

3

d)

7

e)

11



2

b)

4 10



2

2

d)

10



Senx

2

3 22 27

a) 6 c) -12 e) 9

c)

b) 12 d) -6

b)

n 1

d)

2

n



1

3

1 2

(n  1)

e) n + 1 11) Calcular: 3

2

M

2

2 3

a) 1/4 c) 2/5 e) 3/7 12) Reducir:

,

Calcular: Sen3x 22

CosxCosyCosz

4

10 



Cos3x  Cos3y  Cosz  0

a) n – n – 1

e) N.A. 06) Si:



10) Si: Sen3x = nSenx Hallar: Cos2x

05) Hallar el valor de: E = Sen9° + Cos9° 10

09) Si: Cosx + Cosy Cosy + Coz = 10° Calcular:

b) 1/4 d) 1/8

2

c)

3

P

04) Reducir: E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1 1

a)

1

4

a) 1/2 c) 1/16 e) 2/19

c)

d) 1

2

e) N.A.

2

03) Indicar el valor de M . N en la siguiente identidad: SenxCos2x = MSenx + NSen3x

a)

1

Q

02) Calcular el valor de: M = Cos5°Cos55°Sen25° a)

b) 2

b) d)

27 20 23

Cos20  Cos40

b) 2/4 d) 3/4

x  x     2  x  A  4Sen Sen Sen  3  3   3  a) Senx b) Cos

c) 2Senx

5

e) N.A.

3

Cos 20  Cos 40

e)

d)

Sen

2x 3

Senx 3

07) Calcular: P = 8Cos320° – 8Cos320° – 6Cos20° 6Cos20°

13) Calcular: B = Cos20° + Cos40°Cos80° - 3 -


a) c) e)

1

b)

2 1

d)

7


1 8 1 3

1 4

14) Simplificar: Y = Sen3 Csc – Cos3 – Cos3Sec a) 0 c) 2 e) 4

b) 1 d) 3

15) Hallar el valor de k, en la siguiente, igualdad: Tg3 x

KTgx 



Tg3 x

1 KTg2 x 

a) 0 c) 2 e) 4

b) 1 d) 3

- 4 -



- 2 -



- 3 -

3° TRIGO II BIM

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