05 SOLUCIONARIO TRIGO 2°

Ángulo trigonométrico Y sistemaS de medidas angulares

Unidad 1

5.

APLICAMOS LO APRENDIDO (página 6) Unidad 1 π rad + π rad + 36° 4 1. E = 3 20 g + 30 g + π rad + 50 g 5 π rad # 200 g + π rad # 200 g + 36° # 10 g π rad π rad 4 9° g 50 g + π rad # 200 + 50 g π rad 5

II.

III. 9° < (10g) (F)

7.

S + 15 = 9k + 15 = 60 = 3 C - 10 10k - 10 40 2

20° - 2x

19x = 164 x = 164 19

T x

A

Clave B Clave C

a O

n = 60S, S: número de grados sexagesimales

Dato OT es bisectriz del +BOC, entonces: m+COT = m+TOB

Además de: S ; C se tiene que: 9 10 S = 50 & S = 45 9 10 Clave D

n = 2700; reemplazando en M M=

4(10k) - (9k) = 62 31k = 62

Ahora: -x + α = 180° 2 - x = 180° - α 2 x = α - 180° 2 x = α - π 2

` x = 9k = 9(2) = 18° #

π = π rad 180° 10

Clave A

4. Del gráfico:

m

O

B

q - m = 90°

Clave B

11. Se sabe:

q - a = 270° Clave D

Intelectum 2.°

S = C =k 9 10

...(1)

° = d 108c # 9 n - 108° 10

1 = 108° d - n 10

108g - 108° = - 10,8°

E = 271k2 = 271 90 90k

Sumando

9c - 108° 10 g

108g - 108° = 108° d 9 - 1 n 10

2

Sea el +AOB = m - a + m = 180°

2

_9k i + _10k i + _9k i_10k i _9k i_10k i

2 2 2 E = 81k + 100k2 + 90k 90k

A

14. 108g - 108° = 108g #

SC

2

2700 # 10 + 30 = 30 + 30 4 4 Clave E

2 2 10. E = S + C + SC

E=

3

` M = 15

k=2

Clave D

Luego: n = 60(45)

2C - S = 31 2 4C - S = 62

9.

B

13. Del problema, n número de minutos sexagesi-

males:

90x2 + 9x + 36 = 90x2 - 10x + 200

3. Del gráfico: C

` 17,72° = 17° 43" 12"

(10x2 + x + 4)g . 9°g = (9x2 - x + 20)° 10

= 17° + 43' + 0,2 # 60"

17,72° = 17° + 43' + 12"

8. (10x2 + x + 4)g = (9x2 - x + 20)°

Clave C

= 17° + 432' 10

17,72° = 17° + 43,2' = 17° + 43' + 0,2'

n = 9 & n° = 9°

x = 30°

12. 17,72° = 17° + 0,72° = 17° + 72 # 60'

10n = 90

Clave D

Clave A

100

n° + (10n)g = 90° n° + (10n)g # 9°g = 90° 10 n° + 9°n = 90°

6x = 180°

2

Piden:

Clave C

4x + 20° - 20° + 2x = 180°

θ

C = k & 50 = 5 = k 10 10

1° = 60' (V)

El menor es n°, por lo tanto: 9° # π = π rad 180° 20

4x + 20°

Reemplazando en (1): S = k & 45 = 5 = k 9 9

De III: 9° = 10g

470 g & E = 47 42 3 # 140 g

α

Clave B

6. I. 360° > 2p (F)

2.

x = 2p - q + a

Del dato: S = 45° y C = 50g

De I: 360° = 2p rad

200 g + 270 g 3 E= 140 g

q x

200 g + 50 g + 40 g E = 3g 50 + 40 g + 50 g

E=

x = 360° - q + a

a

E= 3

q - a + x = 360°

El error es 10,8°; luego 10,8° = 10,8° # πrad 180° Factor de conversión 3π rad ` 10,8° = 50

Clave C

PRACTIQUEMOS Comunicación matemática

M = 25

b < 60 Sexagesimal: a°b'c" ∀ / c < 60 y < 100 Centesimal: xg ym zs ∀ / z < 100 Luego se observa:

M=5

Clave C

2.

Clave E

(30 - 15x)°

(2 - 9x)°

120g = 130g

x = 80g

` B es falso

Clave E

En (C) p rad > 45°

g

(21n + 5) = (18nb + 27)° (21n + 5)g . 9cg = (18n + 27) 10 9(21n + 5) = 10(18n + 27) 21n + 5 = 10(2n + 3) 21n + 5 = 20n + 30 n = 25

Clave D

5. Del gráfico:

30° = -(9 - 3x)° 30° = -9 + 3x & x = 13

Finalmente: n + 5 = 25 + 5 = 30 = 5 6 6 6 n 5 + ` =5 6

Clave E

6. Del gráfico:

a - b + x = 360° x = 360° + b - a

C + S + 17 C-S

Se sabe: S = 9k y C = 10k Reemplazando: 10k + 9k + 10k - 9k

50g + 50g + 20g = 130g

11. Si OB bisectriz, entonces:

20 - 2 + 9x = 90

C+S + C-S

En (B) π + 45° + 20g = 130g 4 p . 200 g + 45c. 10 g + 20 g = 130 g 4 p 9

20g + x = 100g

20° - (2 - 9x)° = 90°

` A es falsa

Clave B

p rad + x = 90° 10 π rad # 200 g + x = 90° # 10 g π rad 9° 10

20°

x=8

100° < 100g . 9cg 10 100° < 90°

Resolución de problemas 10.

4.

100° < 100g

Ambos ángulos suman 90°: x - a = 90° ` x = 90° + a

Clave A

10k + 9k + 17 10k - 9k

Clave D

12.

Clave C

14. En (A)

x

60° - (30 - 15x)° = 180° 60 - 30 + 15x = 180 x = 10

`x= π 4

De las expresiones (I; II; III) se obtiene: I. Falso II. Falso p III. 8x rad = 8 rad = 2p rad 4 ` m+1vuelta; verdadero

-α

60°

9x = 72

° x d 360 n + 90° = 180° π x360 = 90 π

Clave B

9.

2x rad . 180° + 100g . 180°g = 180° πrad 200

g 8. J = 40 π rad 10 π rad al sistema centesimal: 10 C = 20R & C = 20 π & C = 20 b l 10 π 10 π 10

Razonamiento y demostración

M=

2x rad + 100g + 90° + 90° = 360°

g ` J = 40g = 2 20

3. Del gráfico:

7. M =

13. Del gráfico:

M = 19 + 6

se tiene en cuenta:

127g 77m 20s, respuesta

Comunicación matemática

M = 19 + 36

1. Cuando un ángulo se expresa en subunidades

Nivel 2 (página 8) Unidad 1

M = 19 + 19 + 17


(7x + 1)° = (9x - 5)

p rad . 180c > 45° p rad 180° > 45° ` C es verdadero En (D)

3p + 180° > 900g g g 3p . 200 + 180° . 10 > 900g p 9°

600g + 200g > 900g

Clave E

800g > 900g

g

` D es falso

g (7x + 1)° # 10 = (9x - 5)g 9° 70x + 10 = 81x - 45

-11x = -55 x = 5 Reemplazando y convirtiendo a radianes: (7x + 1)° = (7(5) + 1)° = 36° Entonces: 36° # p rad = p rad 180° 5 Clave D

Clave C

Razonamiento y demostración 15. Del gráfico: B -b A

x

TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1

3

x - β + 90° = 360° x = 270° + β

Clave D

16. Del gráfico:

g

30° + 80 + (360° - q) = 180° 30° + 80g # 9°g + 360° - q = 180° 10

120g + x = 180° 120g # 9°g + x = 108° 10

Clave A

23. d 160n n + _14n i ° = 90°

9

d

(4n + 12)° - (2 - 7n)° = 120° 4n + 12 - 2 + 7n = 120 11n = 110 n = 10

g

160n # 9° + _14n i ° = 90° n 9 10 g

g

9°

π rad # 200 g = 40 g πrad 5

Clave B

20. 37g 294m 600s s

m

600 = 6

294m + 6m = 300m = 3g

37g + 3g = 40g 360'' = 6'

114' + 6' = 120' = 2° 43° + 2° = 45° Clave B

38

& R = 10p 3

Comunicación matemática 26. I. Del triángulo isósceles:

9 ° a° = bg & a° = db. n 10 & a= 9 b 10 10a = 9b ... (1)

Clave C

De (1) b = 10a & b = a + a 9 9 ` b > a

4

Intelectum 2.°

120g

3 p/5 rad

I es falso

p 5

Clave E

28. Del gráfico:

90° + x + 243° = 360° x = 27°

Clave B

29. Del gráfico:

Clave C


380R = 3R 2 38p p2 3 10 = R p

19 p/20 rad

108°

90° + x + 270g = 360° 90° + x + 270g # 9°g = 360° 10

10 π x-y= rad # 180° = 6° π rad 30 Entonces: x + y = 36°

Reemplazando: 180R + 200R 2 p p = 3R2 38 p

190g

2x = 42° & x = 21°

Se sabe: S = 180R C = 200R p p

171°

Razonamiento y demostración Clave A

Sumando:

p

p/5 rad

A = d 108 - 108 + 120 n 5 120 A= ` A = 24 5

x - y = 6°

2 21. S + C = 3R 2

Radial

40g

Reemplazando en A: 3 (36) - 108 + 120 π A= d nb l π 5

25. x + y = 40g # 9°g = 36°

43° 114' 360''

Centesimal

a = 36; b = 108; c = 120; d =

Entonces: x°y'z'' = 9°12'22'' Piden: z-y-1 E= x E = 22 - 12 - 1 = 9 = 1 9 9

36°

Luego: A = c 3a - b + c m d π

Minutos: 42' + 29' + 1' = 72' = 1° + 12' y Grados: 3° + 5° + 1° = 9° x

Clave A

Sexagesimal

Clave C

Segundos: 48'' + 34'' = 82'' = 1' + 22'' z

19. 234° # 10 = 260 g

w rad > a° .

27. Completamos el recuadro:

24. x°y'z'' = 3°42'48'' + 5°29'34''

Clave A

p rad 180c w rad > a p rad 180c ap & 180 w > pa w> 180c ` III es falso

16n + 14n = 90 30n = 90 n=3

Clave B

80 g # 9°g = 72° 10

Si y > x & w rad > a°

g

17. Del gráfico:

3π rad # 180° = 135° πrad 4

108° + x = 180° x = 72°

Clave E

18.

III. Del triángulo se cumple:

30° + 72° + 360° - q = 180° - q = -282° q = 282°

II. De (1) II es verdadero

Resolución de problemas 22. 70g + 50g + x = 180°

90° + a - b + q + 70° = 360° a - b + q = 200°

Clave E

30. I. 48,5g 47,8m 220s

48,5g + 47,8m + 2,2m 0,5g

49g

Clave B

II. 43,2° 105,3' 162'' 43,2° + 105,3' + 2,7' 1,8° 45°

Clave A

Luego:

33. C + S2 = 91

Resolución de problemas

2(9k) + 10k - 20 b π k l = 27 π 20

10k + (9k)2 = 91

31. Del gráfico:

p rad + a°b' = 180° 8 p rad # 180° + a°b' = 180° p rad 8

10k + 81k2 = 91

45° + a°b' = 180° 2 a°b' = 315° = 157° + 0, 5° 2 a°b' = 157° + 0,5° # 60' 1° a°b' = 157° + 30'

&k = 1

18k + 10k - k = 27

81k2 + 10k - 91 = 0 81k

91

1k

-1

27k = 27 k=1 S = 9(1) = 9

Se sabe: p p p k = _1 i = rad R= 20 20 20

Piden: a + b = 157 + 30 = 187

` La medida del ángulo es 9°. Clave C Clave E

34. Del gráfico:

π rad 15

32. De la condición:

SR = 27π C 20

x

2x +

N = 30 = 10 3

2

x

2

(a - 10)2 = (b - 9)2 (a - 10) = !(b - 9)

p rad # 180° = 180° p rad 15

▪▪ a - 10 = b - 9 & a - b = 1 ▪▪ a - 10 = -b + 9 & a + b = 19

2x + 12° = 180° & x = 84° Clave B

Entonces: N = 9k + 10k = 19k = k 57 57 3

S = 9(a - 10)2 C = 10(b - 9)2

S = C & 9 _a - 10 i = 10 _b - 9 i 9 10 9 10

p 2x + rad = 180° 15

9 p k 2 = 27p 200k 20 k = 3 & k = 30 10

Clave C

9k d p k n 20 p = 27 10k 20

36.

35. 2S + C - 20R = 27

Piden: E = a + b = 19 = 19 1 a-b

π

Clave D

Sabemos:

Clave E

S = 9k ; C = 10k ; R = π k 20


5

sector circular 6. Del gráfico:

APLIQUEMOS LO APRENDIDO (página 11) Unidad 1 1. Datos:

q = 80g D = 40 cm & R = 20 cm

D A

Piden: L = q # R

Piden: Ssomb. = S

L = c80g # π g m (20 cm) 200 L = 8p cm

& 1 = x &x= a 2a 2 4

2 cm

(2) : (3):

2a 2 4S = 2 9S 3ay 2

C

2 cm

ACB - S

B

4 = 2a & y = 3a 9 3y 2

DBC

Ssomb. = 2 # 2 - π # 2 4 2 Ssomb. = b2 - π l cm 2 2

Clave D

Piden: Clave E

2. Datos:

R =2 L 3

7. Del gráfico: C

Pero: L = q # R Reemplazando: R = 2 & θ = 3 rad θ#R 3 2

O

Clave D

4p = q# 9 & q = 4π # 180° 9 π q = 80°

B

Clave E

L AB = 2p = q # (5 + OC) ...(2) S

(1) : (2): π = θ # OC 2π θ _5 + OC i

& OC = 20 Por lo tanto: x = 2π # 20 = 8π 3 15

5 + OC = 2OC & OC = 5 p = q # 5 & q = π rad 5 Clave A

2 S= R θ 2

8. Del gráfico:

π =π 180° 3

9.

S = 8π cm 2 3

O

Clave B

a

S = ax ...(1) 2

A L

4S = 2a # a ...(2) 2 3ay 9S = ...(3) 2

2

B

Del gráfico: L = π # 2 = π 2 !

Piden: m AB + m AB = 2 2 + π

Intelectum 2.°

(1) : (2):

Clave B

ax S = 2 4S 2a 2 2

5 cm

C 2 cm

B

Clave A

a 5S

5.

Clave C

O

a

a S x 3S

2S 2 - 3S1 3 = = 0, 75 4 S 2 + S1

A

π = π #r &r=1m 6 6

Reemplazando: 16 # π 3 S= 2

`

12. Del gráfico

π = 30° # π # r 6 180°

R = 4 cm

...

En el problema: 2S 2 - 3S1 2 (3S) - 3 (S) 3S 3 = = = S 2 + S1 3S + S 4S 4

En (1):

Clave C

5S

3S

Entonces S1 = S; S2 = 3S

1 = OC 2 5 + OC

Datos: q = 60° #

11. De la propiedad:

!

4. Piden el área del sector circular:

6

5

L=q # R

L! CD = p = q # OC ...(1)

4 = 4 + 2 # OC 3 15

AB = 2 2

R = 9 cm 2π

Pero L = q # R

4p = 2π # 10 + 2π # OC 15 15

2

L = 4p cm

Piden: q

4p = 24°(10 + OC) 4p = 24 # π _10 + OC i 180

Clave D

10. De los datos:

A

π

θ D

3. Del gráfico:

5

x + y = a + 3a = 2a 2 2

y

D

De la propiedad área del trapecio: â + b h S= h ...(1) 2 Datos: a = 2cm, h = 5cm; S = 8cm2; b = x Reemplazando en (1) 8=

^2 + x h

2

16 = ^2 + xh 5 x = 16 - 2 5 x = 6 = 1, 2 5 ` x = 1, 2 cm

(5)

Clave E

13.

II. De la expresión del área: p (de lo anterior) S = 1 aR2; a = 6 2

A 9π m

2θ rad θ rad

O

C

p 2 p R2 S = 1 R = 12 2 6

L B

Sabemos:

L=q.R & R= L θ Los sectores circulares AOC y COD tienen igual radio entonces: R = 9π = L & 9π = L 2 2θ θ ` L = 4,5p m

Clave C

14. Del enunciado: S

Dato: S = pR2 = 25p cm2 & R2 = 25 R = 5 cm

Clave E

Para R = 2 m 2 p p _2 i = S= 12 3

5. q = 40g # π rad = π rad g

` S es igual a p m2 3

II. Verdadera

De las dos expresiones: RL RL & 2 d 1 n = 2 " 2L1 = L 2 2 2

Clave C

!=

L AB

2. De la figura podemos observar por propiedad:

B

q.R S

π L! AB = 5 .5 L! AB = p

` L! AB = p cm Clave D

PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 13) Unidad 1 Comunicación matemática 1. Del gráfico:

R

...

π-α

O

α

S

p -a 2

3a =

p p &a= 2 6

p rad. ` a es igual a 6

q = 80° = 4π rad 9

Clave A

R=6 2 m

S= Clave D

I. falsa

R = 8 cm 3π 2 d n (8) 4 S= = 24π 2 2

L=q#R L = π # 16 m 4 L = 4p m

4. Del gráfico:

Clave D

S = θ.R 2 q = 45° = π rad 4

Entonces:

I. 2 d 1 αR 2 n = 1 d p - α n R 2 2 2 2

R = 7π & θ = 7π rad 60 60 Como: L = θ . r L = 7π .12 = 7 π = 7 # 22 = 22 m 60 5 5 7 5

8. Área del sector circular:

q = 45° = π rad 4 R = 16 m

De las proposiciones

2a =

Verdadera


p S = 1 aR2; 2S = 1 d - α n R 2 2 2 2

21 = 20R 9 π

3π θ = 150 g d π rad n = 4 rad 200 g

3. Del gráfico:

A

B

2 S = θ.R 2

Clave E L1

12 m

7. Área del sector circular:

B

2S

21° a radianes: S = 20R 9 π

` L = 22 m 5

Luego: S1 = S ; S2 = 3S; S3 = 5S Entonces se observa: 2S1 + S2 = S3 ` La proposición E:

L2

2

5S

El doble de S1 más S2 es igual a S3. C

3S

L

21°

O

III. verdadera

A

R = 5cm

A 12 m

` L1 es la mitad de L2

π rad 5

O

Clave B

6.

S=

2S =

RL 2 2

;

5

Piden L: L = q # R = π # 10 5 L = 2p m

III. Usando la expresión del área RL : 2 L1 2

200

R = 10 m

L L1 = 2 2

Luego; sea el sector circular AOB;

Entonces: L=q#R 24p m = 4π # R 9 R = 54 m

R

L = 24p m

π 2 b l (6 2 ) 4 = 9π 2

Clave A

2 9. Área del sector circular: S = θ . R

R = 16 m

2

π q = 50g d π rad n = 4 rad 200 g


7

( π )(16) 2 S= 4 2

& L = 31π m = 31p cm 100

S = 64π = 32π m 2 2

Clave D

2 10. Área del sector circular: S = θ.R

2

R = 18 m

q = 30° = π rad 6

7π _18 i2 n 18 S= 2 S = 126π = 63p m2 2

Clave B


40

70


4R M

78°

B L2

O

12°

B

5

Del gráfico:

C

Por dato: a = π rad 6 Entonces: L1 = a . 4R = b π l . 4R = 6 & L1 = 2πR 3 L2 = a . 2R = b π l . 2R = 6

L2

D

3

II. De la proposición: q es igual al número de grados sexagesimales del ángulo AOB, luego: q° = q° . π rad = πθ rad 180c 180 πθ es el número de radianes del ángulo 180 AOB, por lo tanto:

C

2

2R

2R

L1 = d78° . π rad n (3) = 13π 180° 10 2πR 3

17.

Piden:

L1 + L2 = 2πR + πR = πR 3 3 Clave A

13. Por dato:

31π q = 62g . d π rad n = 100 rad 200 g R=1m Piden: la longitud del arco (L).

Intelectum 2.°

Piden:

16 S

2π cm

` L1 + L2 = pR

L = πθ rad 180

L 2 = d12° . π rad n (5) = π 180° 3 13π L J = 1 = 10 = 39 π 10 L2 3

πR 3

& L2 = πR 3

8

L1

3

L1 α

π π 180° m < AOB = 3 rad.1 = 3 rad. π rad m < AOB = 60c I. Verdadera

16.

A

` J = 3,9 Clave B

S = L. r 2 S = 2π . 16 2 Clave A

q = 30° = π rad 6 R = 2 3 cm

II. Falsa

III. De la proposición:

S = 16p cm2

18. Por dato:

Por definición de longitud de arco: L es igual al producto del radio por el número de radianes del ángulo AOB, por lo tanto: m < AOB = π rad 3

Transformando al sistema sexagesimal:

Clave B

A

12.

2R

Se cumple: L = q . R & 3π = d 3π n R & R = 10 10

Clave B

α

π R =L 3

` R = 10 cm

` L = 14p cm

O

20. I. De la proposición:

q = 60g = 3π rad 10 Piden: la medida del radio (R).

R = 7π & θ = 7π rad 20 20 & L = 7π # 40 20

Clave B


L = 3p cm

70 = 20R 10 π

Clave B

15. Por dato:

70 a radianes: C = 20R 10 π

L

` q = 50g

g

19. Por dato:

Piden: la medida del ángulo central (q). L=q.R 2p = q . 8 g & θ = π rad . d 200 n π rad 4

R = 12 cm Piden: la longitud del arco (L). L = θ.R = b π l (12) = 2π 6 ` L = 2p cm

d

Clave A

L = 2p cm R = 8 cm

14. Por dato:

q = 70° d π rad n = 7π rad 180° 18

11.

` A = p cm2

` L = 31p cm

Clave B

g

Piden: el área del sector circular (A). π 2 b l (2 3 ) 2 A = θ.R = 6 =π 2 2

L = q . R = d 31π n (1) 100

Sea el perímetro de AOB 2p:

2p = 2R + L

L: longitud de arco AB

Por condición:

2p = 5R = 2R + L Luego: L = 3R R = L 3 El radio (R) es igual a la tercera parte de la longitud de arco (L) III. Falsa

Clave E

21. Por propiedad:

Piden: S

4t 4t

3S

S

S

Entonces: S2 = 3S1 Por dato: S2 = S3 En (1) S3 = 3S1 ` S3 es el triple de S1

Los valores que cumplen son:

3

2 2 S = L & S = π = 2π cm2 π 2θ 2b l 4

2

_3 + 2 i θ 3 2 θ Asomb. = 2 2 Asomb. = 25θ - 9θ 2 2

` J = 2,2

L1

O C

b

2 S= L = 2θ

L2

B

Para:

45 = 20R = θ 9 π

L2 = 2p

24. Del gráfico: 6m 3m O

A

D

θ S 3m

9m C

6m

B

L! AB = 9 = 9 # q & q = 1 rad

2 S= L 2θ 2

S=

60°a radianes: S = 20R 9 π L=θ.r

&

2 _2π i = 4π . 3 = 6π cm2 2.π 2π 3

Clave E

2r θ

2 S= θ.r 2

S2 = 4S

θ = 60°

60 = 20R π 9

60 = 20R = θ 9 π π R = & θ = π rad 3 3

θ

Clave C

D = 48 m & r = 24 m Clave E

S = 20R 9 π

r

27. Dato:

A = d 2π + π n .5 = 15π m 2 2 2

b=5

31.

2

2π = 2π = 4 m2 π _π i 2 2 4


L1 = p

60° a radianes:

B

45° a radianes: S = 20R & 9 π

2π

2π m

S

60°

R = π & θ = π rad 4 4

A

A

45°

O

23. Área del trapecio circular:

D

A

Clave D

b

Clave D

26.

3L + L 2 3 _2θ i + 5θ 11θ J= 1 = = L2 5θ 5θ

Clave B

30.

Asomb. = 8q

L2 = θ . 5

S = 20R 9 π

& R = π & θ = π rad 4 4

2 _x + ti θ x2 θ Asomb. = 2 2

B

45° a radianes:

45 = 20R 9 π

Asomb. = S BOC - S EOA

L2 = 5θ

∴t=2 / x=3

L2

L1

π

45°

2(2 + 2(3)) = 16

A

3

L 2 + L1 ) .b 2

Clave B

29.

t(t + 2x) = 16

L1 = 2θ

A=(

B

t

2xt + t2 = 16

L1 = θ . 2

A

2

2 _2 5 i S= θ.r = π = 20π = 2π cm2 2 5 2 10

x2 + 16 = x2 + 2xt + t2

22. Del gráfico:

D

40g a radianes: 40 = 20R 10 π R = π & θ = π rad 5 5

x2 + 16 = (x + t)2


2

x

S = C = 20R 9 10 π

g

En el OAC, por el teorema de Pitágoras:

Clave C

θ

C

t

40

4

θ rad

O

2

Clave B

x

... (2)

En (2) 1 aR2 = 3 1 qR2 2 2 a = 3q ` a es igual al triple de q

O

= 4,5 m

2

E

Además: S1 = 1 qR2; S3 = 1 aR2 2 2

2

=

DOC

2 5

^ 3 h2 # 1

25. Del gráfico:

... (1)

C

28.

2 = R θ 2

DOC

S2 =

θ.^2r h2 2 2

S 2 = 4 c θr m 2

` Aumenta en 3S. Clave C

R = π & q = π rad 3 3

L = θ . r = π . 24 = 8π m 3

Nivel 3 (página 15) Unidad 1 Comunicación matemática 32. I. De la figura:

Clave C

m+AOB = 20g = 20g . π radg = π 10 200


9

m+AOB = π rad 10

Además: ! 2 (L ) S AOB = AB ; q: número de radianes 2θ del ángulo AOB. Entonces; del gráfico: (3π) 2 = 45π 2b π l 10 ` S AOB = 45p cm2 Nota: unidades de L! AB son centímetros (cm), por lo tanto: unidades de S AOB cm2

S

AOB

b 1 = & a + b = 3b 3 _a + b i a = 2b ` a =2 b

=

II. Se observa: m+CO'D = 35° = 35° . π rad = 7π rad 180° 36 Luego: 2 S CO'D = α.R ; 2 R: radio. a: n.° de radianes del ángulo CO'D.

2

Por la propiedad:

60° a radianes: S = 20R & 9 π

q = 12 - 9 = 3 2 2 9 = 3 . x & x = 6 2

Clave B

36. 3 8

2

40. q = 36° & q = π rad

2

q . R2 = a d 3 R n & q . R2 = a . 9 R2 16 4 16 & a= θ 9 Como q = π rad, entonces: 5 16 π 16π rad = 64° a= b l= 9 5 45

Clave A

( π ) (2 2 ) 2

37. Área del sector: S = 4

2

Clave E

=p

B

` Lo que hay que aumentar es: 2

S2 = 1 a . 5R2 = 5 aR2 2 2

45° =

O

De la condición:

2

2

64°- 36° = 28°

2 π rad 4

C

A

& Asomb. = A BOA - A ASomb. = S - A ASomb. = p - 2

Por proporciones: a es a q como 1 es a 5

R θ rad

& L . R = 12π 2 & L . R = 24p

El arco se duplica y el radio se triplica:

38. Del gráfico: B

3R

C θ rad

45° a

2 2

b 3x

x

b a

L = q . R

x = q . b 3x = q(a + b)

10 Intelectum 2.°

A

L

OCB

Clave B


Clave A

41. Área del sector circular es 12p cm2:

Área del triángulo: A = 2.2 = 2 2

S1 = S2 1 θR2 = 5 aR2 2 2 q = 5a

θ rad

Clave D

5 1.er caso: ángulo q y radio R 2.° caso: ángulo a y radio 3 R 4 Por dato el área no varía: er S1 . caso = S2°. caso

dividir 2 = q . x 8 = x+3 & x = 1 2 x

S1 = 1 qR2 ; S2 = 1 a(3R)2 - 1 a(2R)2 2 2 2

34.

60 = 20R 9 π

Por lo tanto: Perímetro = 12 + 12 + 4π = 4π + 24 ` Perímetro = 4(6 + π)

8 = q . (x + 3)

Clave E

L

R = π/3 & θ = π rad 3 L = π x 12 = 4π 3

L = qR

L = q . R

33. De la figura:

60° 12

3

Reemplazando S EOF = 7.π 2 ` S EOF = 7π m 2 2

12

12

9

x

θ rad x

III. De los datos: L!.R S EOF = EF 2

Clave C

39.

x θ rad

Ssomb. = 3p m2


2

x

` SCO'D = 7π cm2 2

Clave A

35.

Reemplazando: S CO'D = 1 . 7π (6)2 = 7π 2 2 36

2 _2 2 i d 3π n 4 Ssomb. = 2

2L

O

4 2

B

R= 2 2 m q = 90° + 45° = 135° × π rad = 3π rad 180° 4

Entonces: (2L) (3R) S= 2 S = 3 L.R = 72p

24p Clave E

razones trigonométricas de ángulos agudos APLIQUEMOS LO APRENDIDO (página 17) Unidad 1

Dato: cota = 5 7

1. Sea el gráfico:

& CM = 2

B

9. tanb = 0,25 = 25 = 1

100

Entonces:

4

Piden cotb:

α

A

θ

C

D

AC cotq = 2 BC

Clave E

6. Sea el gráfico:

Reemplazando en E: E = cotqtana E=

16 = 9 + BC & BC =

B

Clave B

3. Sea el triángulo:

7. Según el gráfico:

A

CB - AC = 2AC

Entonces: cotA = 1 3

10

Piden: E = tanqtana

x

& E= 2 5

5. En el gráfico: B

β

7

α

A

7

C 2 M 5 D

E

11. En el

AC = 4 + 82

Clave C

2

AC2 = 16 + 64

AC2 = 80

AC = 4 5

2

Nos piden sena: En el ADC sena = AD = 3 5 ` senα = 3 AC 4 5 4

2

B

Por el teorema de Pitágoras: 2

x=

3

2

x =2 -1 Luego: q=

θ

7 A

3 +2 3 & q =2 3 2

Clave D

12. Por los datos:

1

2

2

ABC, por el teorema de Pitágoras:

2

θ

Clave C

Trazamos un segmento de tal modo que BC = CD, formando el triángulo isósceles BCD. Entonces: cotb = 3 + x 2 10

Clave B

8. cosq = 0,5 = 5 = 1

Entonces:

tana = 2 m CB

E = CB # 2 m 5 m CB

β

Piden: cota = 3 4 Clave D

D

x

2

D 1

3

β C

BC = x = _2 10 i + _ 3 i = 49 = 7 Reemplazando: cotb = 10 = 10 2 2 10

tanb = DE = 1 CD 3

CB = 3AC & 1 = AC = cotA 3 CB

tanq = CB 5m

3

3

3

Por el teorema de Pitágoras:

C

α

Condición: cosB - cosA = 2senB CB - AC = 2 AC AB AB AB

4. Del gráfico:

3

B

2β

A

M= 5 + 4 =3 3 3

B

C

x

M = secC + cotA

Clave B

Clave C

β 2 10

`M=3

A

4 5 17 = 17 = 4 17 7 5 17 4 4

B

Calculando M:

tana = 7 3

17

10. En el gráfico:

Por el teorema de Pitágoras: AB = 4

Piden tana:

1 + 17 17 1

C

3

senA = 0,6 = 6 = 3 = BC 10 5 AC

7

x2 = 42 + 12 & x =

E=

Clave A

AB2 = AC2 + BC2 2

5

4

2. Del gráfico, por el teorema de Pitágoras:

4

Luego: senβ + cos β E= csc β - sec β

A

AC 2 # BC & E = 1 BC AC 2

17 β

& cotb = 3,5

tana = BC AC

x=

1

cotb = BC = 7 CM 2

7 θ D

C 4 E

CE: distancia entre BC y AD Clave B

AB = DC


11

Luego:

2. Sea un triángulo rectángulo con a ángulo agudo.

senq = EC = 4 AC 7 ` senβ = 4 7

CA

Clave C

13. Por dato: 4x + 5

x+4

A

α

A

a) Cateto opuesto sobre hipotenusa es la definición de seno. sena = CO H

ADC senA = x + 4 = 12 4x + 5 37

Luego: 37(x + 4) = (4x + 5)12 37x + 148 = 48x + 60

c) Por teorema de correspondencia, el mayor lado en un triángulo rectángulo es la hipotenusa ya que se le opone al ángulo recto. Clave C

` x=8 Clave B

ABC:

7.

B

L = secAsecCsenCsenA L= b # b # c # a c a b b

L=1

Clave C

8.

A

2

17 θ

& BC = 8k, AC = 17k AB2 + (8k)2 = (17k)2

AB2 = 225k2

4.

AB2 = (17k)2 - (8k)2

Clave E

8

2 2 2 2 L = f b2 - a2 pf b2 - a2 p c c c c

Piden: cosq = CA = 15 H 17

2 2 2 2 L = b -2 a # b -2 a c c

Clave A

5

21 2

tanq =

∴cscC = 17 15

2

2 2 L = >d b n - b a l H>d b n - b a l H c c c c

a

tanq = CO CA

AD = 15k

C

a

L = (sec2A - cot2C)(csc2C - tan2A)

A

Por el teorema de Pitágoras: AB2 + BC2 = AC2

b

B

a = 15 Por dato: senA = 8 = BC 17 AC

C

a

c

289 = a2 + 64 B

b

c

3. Por el teorema de Pitágoras:

172 = a2 + 82

Clave C

A


C

C

a

L = senC.secA = c # b = 1 b c

b) Cociente de la hipotenusa entre cateto adyacente; definición de secante para un ángulo. seca = H CA

En el

Nos piden cscC cscC = AC = 17k AB 15k

B

C

H

b

c

CO

C

senA = 12 37

14. Sea el

A

B

88 = 11x

6. Sea el triángulo rectángulo:

B

θ 2

2 2 L = c2 # c2 c c

Clave A

9.

21

`L=1

β

Clave D

x β

PRACTIQUEMOS

3

5.

Comunicación matemática 1.

b

I. En todo triángulo rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras. ... (V)

II. En el triángulo rectángulo se definen 3 ángulos; 2 agudos y un ángulo recto (90°). ... (F)

C

III. Al lado AC se le opone el ángulo recto; pro teorema de correspondencia en el triángulo: a mayor ángulo, mayor lado. Por lo tanto AC es el mayor de los lados (hipotenusa) en el triángulo rectángulo. Clave C

12 Intelectum 2.°

A


senβ =

c

a

3 = 3 &x= 6 3 =6 3 d n 2 x 3 3 3

`x=2 3

B

senA = CO = a H c

Clave E

10.

senB = H = c CA a Piden: M = senA . secB M = b a lb c l = 1 c a

73 q

55

Por el teorema de Pitágoras: Clave A

x2 + 552 = 732

x

x2 + 3025 = 5329

Por teorema de correspondencia en el triángulo ABC: El menor ángulo será el ángulo C.

x2 = 2304 & x = 48

& P = sec θ - tan θ = 73 - 48 55 55 ` P = 25 = 5 11 55

Nos piden: Clave A

C

x2 + 32 = 52

5

4=x

x2 = 16

B

3

Luego:

E=

` cosC = 2 2 3

11.

A

cosC = 2 2 k 3k

& x = 4

A

Clave B


5d 5 n 3

Clave A

(2)2 + ( 5 )2 = (x + 1)2 9 = (x + 1)2 3=x+1 &x=2

Clave D

13. Sea a el ángulo cuya secante es igual a 2,4. Del

enunciado.

x

α x

D

y

4k

Por dato: AD = x = 2 = 1 DC y 4 2

& x = k; y = 2k

x2 = 25k2

x2 = 16k2 + 9k2 x = 5k

De los triángulos ADB y BDC: tana = m = 2k & m2 = 2k2 k m

Clave E

Razonamiento y demostración 17.

senq = 1 & 3

K 2 α

A

K

D

2

AB2 = k2 + _k 2 i

... (2)

& tanq =

AB2 = 3k2

14. Por dato:

seca = AB = k 3 AD k ` seca =

Por Pitágoras

cotq = 2 & 3

13n

de 2 de sus lados: x

B

CB2 + k2 = (3k)2 CB2 = 8k2 CB = 2 2 k

y

... I-V

2 2k

C

2n

& cosq =

2n = 13 n

Piden M =

13 . cos θ = 13 d 2 n = 2 13

x

I. En cualquier caso, se puede calcular el tercer lado por el teorema de Pitágoras; por lo que se puede calcular cualquiera de las razones trigonométricas de sus ángulos agudos.

B

θ

3n

y

3k

a = 1 8a 8

18.

3

16. En un triángulo rectángulo, sea x, y las longitudes

k

8.a

Clave E

Clave E A

a

θ

2 Piden: tan2q = d 1 n = 1 8 8

AB = k 3 Clave A

3a

Por Pitágoras $


Por dato:

k

` La hipotenusa es al menor lado como 5 es a 3 respectivamente. ... III-V

m= 2k

12

C

Por teorema de Pitágoras:

x2 = (4k)2 + (3k)2

B

... (1)

3k

C

Reemplazando en el ∆ADB:

3k

... II-F

III. En un triángulo rectángulo, por dato:

α

A

` Las razones trigonométricas no dependen de las longitudes de los lados del triángulo.

x

Entonces:

ABC ` ADE ` AGF BC DE FG & = = = senα AC AE AF

15. Del triángulo:

A

12. Por el teorema de Pitágoras:


G

E

m


seca = 2,4 = 24 = 12 10 5 12 12 = De (2) y (1) x 5 `x=5

C

α

12 d 25 n 12 = =3 25 3

Del triángulo: seca = 12 x

α

Los triángulos ABC, ADE y AGF son semejantes, esto será:

Comunicación matemática B

12 d 4 + 3 n 3 4

F

D B

II. Las razones trigonométricas de un ángulo dependen solo de su amplitud. Sea a ángulo agudo se observa:

2 13

Clave B

19.

Por Pitágoras

tanx = 3 & 2

13a

x

2a

3a


13

& senx = Piden E =

3a = 13 a

OP es bisectriz OQ = 2

3 13


Por el teorema de Pitágoras: QP =

13 senx = 13 d 3 n = 3 13

20. sena = 24 &

25k

24k

Piden: tana =

21 2

7k

Por Pitagóras

21.

Clave E

2

1 A

Por Pitágoras

tanq = 3 & 1

3k θ

k

Piden M = cosq = d k n = 1 2k 2

6k

3k

! Por Pitágoras

C

tana = x = 4m & x2 = 4m2 m x x = 2m En el triángulo rectángulo BAP:

A

27. De los datos; sea q ángulo de tangente 4 :

P

3

α 3

2

2

PB =

2

25k2 = (25)2

L = 13 - 3 = 10

Clave E Q 2

21

α T

β 3 β

S

14 Intelectum 2.°

2α P

I. De (2)

k = 25 k = 5

... I-F

II. De (1)

PR = PA + AD + DR

2

PR = m + 2 m + 4 m

...(1)

PR = 7 m Luego: PA = m PR 7m

Nos piden S, donde: S=a+b S = 4k + 3k S = 7k De (1) ` S = 7 . 5 = 35 u

5 m ...(2)

` sena = 2 5 5

2

(4k)2 + (3k)2 = (25)2

L = 4 d 13 n - 3 2

A

sena = 2m = 2 m 5 5

a + b = (25)

L = 4csc2a - 3

m

PB2 = 5 m2


Piden:

α

BC2 = m2 + (2m)2

b

a = 4k; b = 3k C

...(1)


θ

25µ

tanq = a = 4 b 3

13

R

2m

a

2

4m

B

3

O

D

De los triángulos BAP y CDR:

2

23. Dato: tana = 2

24. Del gráfico:

A

senA = 2 3

Clave D

B

m

Clave B

6 csc α + 1 = 6 d 3 n + 1 = 4 6

2

α

m+RCD = m+BPA = a 3

El menor ángulo agudo es A:

& csca = 3k = 3 6k 6

P

A

B

α

2

Clave C

26. Clave B

C

B

3k

Clave C

Q

C

7

5

Entonces:

x2 + y2 = z2

29. Del gráfico, sea x lado del cuadrado ABCD:

2

cscC = 2 2 = 2 2 1

22.

Piden T =

Se cumple el teorema de Pitágoras es decir:

El menor ángulo agudo es C.

2k

6 & 3

β

z

B

Piden R = tana = d 24k n = 24 7k 7

α Clave D

25. Por el teorema de Pitágoras en el gráfico:

α

y

x

Por lo tanto: m+QOP = a

25

28. Si a y b son complementarios, entonces:

Entonces: 2b + 2a = 180° b + a = 90°

Clave C

sena =


21

PA y PR están en razón de 1 a 7 respectivamente. Clave B

... II-V

III. De (2)

33. Del gráfico:

` seca =

37. Dato: secb =

B

seca = m 5 m

A 25

5

... III-V

Razonamiento y demostración 30. cota = 0,75 = 3 4

β 32

4k

& seca = 5k = 5 3k 3

7 C

6

Dato:

Piden: L = 6csc2b + tan2b

senq = 3 = 3x = BH 5 5x AB

L = 6 d 7 n + d 6 n 1 6

2

2

L = 7 + 6 = 13

Clave E


38.

A α

x

x

5

Piden:

& tana = 4k = 4 3k 3

Piden:

E = seca - tana = d 5 n - d 4 n = 1 3 3 3

Clave E

tanb = BH = 15 = 5 HC 12 4

B

5

cscA = x 5 = 5 2x 2

Entonces:

C

2x

El mayor ángulo agudo es A:

Clave D

34. Dato: senx = 3

31. Del gráfico:

Clave B

39. A

C

5

3 θ

α D 1

4

B

L = tanacotq L= x . 5 = 5 1 x

Clave B

32. Del gráfico:

Clave C

35. Dato: tanq = 1 3

α D

θ

β E

3

AD = DE = CB

Piden: B = senq + cosq

cota = AB = 2CB + EB CB CB

4 = 2 10 5 10

1 + 3 = 10 10

B=

cotb = EB CB

Clave E

Entonces:

Piden:

A 1

cot α - cot β cot θ - cot β

B

Clave B

5

2

θ

C

L=1+5=6

Piden: L = senatana

x = 1 = 2 L = x . 3 x 2x 2 12 6 2

Clave D

1° (1 + 2 + 3 + ... + n) 1g (1 + 2 + 3 + ... + n)

g K = 1°g ; 9° = 10g & 1° = 10 9 1 g K = 10 g = 10 9 9.1

2. Sabemos:

Clave B

A + 88° + 135° + 72° = 360° A = 65° A = 65° ` p j 180°

Piden: L = 5sen2q + 4sec2q 2 2 L = 5 d 1 n + 4d 5 n 2 5

2CB + EB - EB CB = 2CB + EB - EB CB CB + EB - EB CB + EB - EB CB CB

El menor ángulo agudo es C.

C

Suma de ángulos internos = 360° Luego tenemos: A + 88° + 3 p rad + 80g = 360° 4 A + 88° + 3 p c 180° m + 80g c 9°g m = 360° p 4 10

36. Dato: cotq = 2

cotq = BD = CB + EB CB CB

K=

10 θ

B

2

1. Factorizamos la expresión:

Entonces:

C

α 2x

MARATÓN MATEMÁTICA (página 22)

1

L = 2CB = 2 CB

B

A = tanx + cotx A = 3 + 4 = 25 4 3 12

Piden:

A

x

4

Piden:

Sea: CB = x

3x

x

x

β

B

Pero AHB es notable (37° y 53°), entonces: AH = 4x = 4(5) = 20 HC = 32 - 20 = 12

3k

L=

C

H

Entonces: 25 = 5x & x = 5 ` BH = 3x = 3(5) = 15

α

L=

1

Pero AB = 25

Por Pitágoras 5k

15

θ

A

Clave A

A

7

Clave B

` A = 13p rad 36


Clave D

15

25b2 + 20b + 4 = 9b2 - 6b + 1 + 16b2 + 24b + 9

3. Del gráfico tenemos:

25b2 + 20b + 4 = 25b2 + 18b + 10

N 4π

r

α rad

2b = 6 & b = 3

O

• 4p + 8p = 2p(r) 12p = 2p(r) r = 6

Por el teorema de Pitágoras x M

5k

O 60° 6m

Q

R-9 30°

R = (senq + 1)secq = c 15 + 1 m # 17 8 17

Tenemos como dato: x + 12k + 5k = 60 30k = 60 m & k = 2 m ` x = 26 m

2k

2k A

27p = 6pR - 27p & 54p = 6pR ` R=9m

k 3

9.

S° A' N" = 1° + 6' + 36" & S=1 A=6 N = 36

k k 3

` R=4

1,11° = S° A' N" 1° + 0,11° c 60' m = 1° + 6,6' = 1° + 6' + 0,6' 1' S° A' N" = 1° + 6' + 0,6' c 60'' m 1' θ 2k 3

D

cotq = 3k 3 = 3 3 k Clave C

16 Intelectum 2.°

Clave B

60°

30°

R = 32 # 17 = 4 17 8 Clave A

B

4,5p = ` p j R + (R - 6) p + (R - 9) p 3 2 6 + + 2 p R 3 p R 18 p R p R 9 p 4,5p = 6

(5b + 2)2 = (3b - 1)2 + (4b + 3)2

C

R-6

5. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

7. En el gráfico tenemos:

3m

x = 17k

Calculamos R:

P

12k

x2 = (5k)2 + (12k)2 & x = 13k


P

x2 = (15k)2 + (8k)2 & x2 = 289k2

Por el teorema de Pitágoras Clave A

R

8k

N

En MN : 4p = a(r) 4p = 6a ` a = 2p 3

θ

Clave D

6.

!

•

x

15k

Luego: cotq = 4b + 3 = 15 8 3b - 1

8π

M

8. Graficamos al triángulo rectángulo:

Luego: P = S + A + N = 43

Calculamos: M = 3 (cotq) = 3 ^3 3 h 3 3 ` M=3

Clave D Clave D

Unidad 2

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 7. tan4x . cot8y = 1

PRACTIQUEMOS

Nivel 1 (página 27) Unidad 2 Comunicación matemática 1.

I. La razón recíproca para el seno del ángulo es la cosecante de dicho ángulo ... (csc) II. Sean a y b ángulos complementarios luego se cumple: secb = csca ... (csc) III. Para un ángulo la tangente y la cotangente son recíprocas; su producto es la unidad. ... (cot)

13. Del enunciado:

tan 46° = 1 cot 4α

& 4x = 8y x = 2y ` x =2 y

tan46° = cot4a Clave B

8. En la expresión:

cos(10° + a) = sen3a & (10° + a) y 3a son complementarios: 10° + a + 3a = 90° 4a = 80° a = 20° . πrad 180° ` a = π rad 9

Clave C

2.

I. Para un ángulo, el seno y la secante no son recíprocas ... (verdadera) II. Sea 2 ángulos a y q complementarios: tanatanq = tanacota = 1 ... (falsa) III. Sean b y w ángulos complementarios tanb = cotw tan β ` =1 cot ω ... (verdadera) Clave D

Razonamiento y demostración 3. sec(2x - 10°) = csc32°

Se debe cumplir: 2x - 10° + 32° = 90° 2x = 68° & x = 34°

4.

Clave C

Clave E

Comunicación matemática 14. A) sena y secb son recíprocas

si: sena . secb = 1 csca (ya que a + b = 90°)

tan c 4π - a m 9 =1 π cot ` - bj 3

C) tanb = cota & tanb ! tana

tan c 4π - a m = cot ` π - bj 9 3

D) cscb = seca; si a + b = 90° csc β & = 1 sec α

4π - a y π - b complementarios m ` j 3 9

4π - a + π - b = π 3 2 9

a + b = 5π 18 a b π + ` = rad. 5 18 10. De la expresión:

csc24°cosa = 1 sec66°cosa = 1 Por razones trigonométricas recíprocas: ` a = 66°

Clave C

& tanf . cot ` π - φj = 1 2 Por razones trigonométricas recíprocas f= π -f 2 2f = π 2 f = π = 45° 4 Pero f ! 45° (dato) ` tanf . cot ` π - φj ! 1 F 2 Clave E

16. tan5xcot(x + 12°) = 1 Clave D

Se debe cumplir: 5x = x + 12° & x = 3°

Clave C

17. sen3xcsc(x + 40°) = 1


tanbtan19° = 1 cot71° (complemento)

Clave B

18. cos2xsec70° = 1

Por razones trigonométricas recíprocas b = 71° ` 2b = 142°

Se debe cumplir: 2x = 70° & x = 35°

Clave C

12. Del enunciado, sea x el valor a agregar y q

ángulo agudo:

Clave C

19. tan3xcot(12° - x) = 1

Se debe cumplir: 3x = 12° - x & x = 3°

x + senqcscq = 4

Clave C

(V)


tanbcot71° = 1

3x + x = 90°

(F)

15. En la expresión: A) V B) V C) V D) V

a + b = 4π + π - π 3 2 9

11. Del enunciado: Clave A

(V)

B) secb = csca (a y b complementarios) (V)


6. sen3x = cosx

4x = 90° x = 45° a radianes 2 45 & 2 = R 9 π 20 5 . π =R & R= π 8 2 20 π ` x = rad 8

Clave B

sec66° (complementarios)

5. E = sen40° + cos 50° sen40°

E = sen40° + sen40° sen40° E = 2sen40° ` E = 2 sen40°


Clave D

tan(x + 20°)cot80° = 1 x + 20° = 80° & x = 60°

Clave E

9. De la expresión:

c

Por razones de ángulos complementarios: 46° + 4a = 90° 4a = 90° - 46° 4a = 44° a = 11° ` 6a = 66°

Clave C

20. sen2xcsc(42° - x) = 1

Por razones trigonométricas recíprocas x+1=4 ` x=3

Se debe cumplir: 2x = 42° - x & x = 14° Clave E


Clave C

17

21. tan3x = cot(x + 10°)

Se debe cumplir: 3x + x + 10° = 90° & x = 20°

Clave B

Clave D

Clave C

Clave A

a + c + b - c = p/2 rad a + b = p/2 & a y b son complementarios tana = cotb tan a = 1 cot b Clave A

sen(3x - 11)°csc52° = 1 recíprocos:

18 Intelectum 2.°

sen29°sec61° = sen29°csc29° complementarios

Clave E


sen29°sec61° = 1 ` El sen29° y sec61° son recíprocos (verdadera)

Clave C

cot89° = tanb & 89° + b = 90° & b = 1° Clave D

33. sen80° = cosx & 80° + x = 90° & x = 10°

sec78° = cscy & 78° + y = 90° & y = 12° Piden: x + y = 10° + 12° = 22°

c 116 m° y c 154 m° complementarios 3 3

(falsa)

& csc57°cos33° = 1 ` cos33° es el inverso multiplicativo de csc57°, es decir son recíprocos Clave E

tan40° = cotb & 40° + b = 90° & b = 50° Piden: a + b = 70° + 50° = 120°

Piden: a + b = 15° + 1° = 16°

c 116 m° + c 154 m° = 90° 3 3

III. Se tiene: csc57°cos33° = csc57°sen57° = 1 complementarios

31. sen20° = cosa & 20° + a = 90° & a = 70°

32. cos75° = sena & 75° + a = 90° & a = 15°

& tan c 116 m° = cot c 154 m° ! tan c 154 m° 3 3 3

3a + 2b = 125° ... (1) Además: cosbseca = 1

sen(3x - 11)°sec38° = 1 csc52°

29. I. De la proposición

& tan c 116 m° = tan c 154 m° 3 3

27. De los datos:

28. Por dato:

D) tan(3x + 15°)tan72° = 1 tan(3x + 15°)cot18° = 1 Por razones trigonométricas recíprocas: 3x + 15° = 18° & 3x = 3° & x = 1° ... (falsa)

II. Del enunciado: tan c 116 m° 3 =1 tan c 154 m° 3

26. Del dato:

Por razones trigonométricas recíprocas b=a En (1): 3a + 2a = 125° 5a = 125° a = 25° Nos piden: a + b = a + a = 2a = 50° ` a + b = 50°

Clave B

Comunicación matemática Clave A

... (verdadera)

Por razones trigonométricas recíprocas: 2x - 18° = 60° & 2x = 78° & x = 39° ... (verdadera)



` 2 . tan a = 2 cot b

sen (2x + 10) ° 1 ` 1. = 3 cos (x + 17°) 3

... (falsa)

C) De la igualdad: sec(2x - 18°)sen30° = 1 sec(2x - 18°)cos60° = 1

sen52° = 1 cos 38°

25. tan3xcot(x + 10°) = 1


Donde: & sen52° = cos38°

24. tan5xcot(x + 20°) = 1


= 1 . sen52° 3 cos 38°

52° + 38° = 90°

23. tan4xtanx = 1

tan4xcot(90° - x) = 1 Se debe cumplir: 4x = 90° - x & x = 18°

B) En la expresión: tan α - cot β = 0 cot ω & tana - cotb = 0 tana = cotb ` a + b = 90°

Nos piden: 1 . sen (2x + 10) ° = 1 . sen (2.21 + 10) ° 3 cos (x + 17) ° 3 cos (21 + 17) °

22. sec2x = csc(x + 12°)

Se debe cumplir: 2x + x + 12° = 90° 3x = 78° & x = 26°

a + q = π rad 2

& (3x - 11)° = 52° 3x - 11 = 52 3x = 63 x = 21

(verdadera) Clave D

30. A) De la expresión:

sena - cosq = 0 sena = cosq Por razones trigonométricas de ángulos complementarios:

Clave B

34. M = sen17° csc 17° + tan 27° cot 27°

cos 54° sec 54° & Sabemos que: senacsca = 1 cosbsecb = 1 tanqcotq = 1 M = 1+1 = 2 = 2 1 1

Clave E

1 + sen30° csc 30° 35. M = c sen80° + tan 40° m

cos 10°

cot 50°

Si: a + b = 90° & sena = cosb tana = cotb Además: senqcscq = 1 Reemplazamos: 1+1 M = c sen80° + tan 40° m sen80° tan 40°

& M = (1 + 1)2 = 22 = 4 Clave B

36. tan(8x - 8°) = cot(x + 8°)

& (8x - 8°) + (x + 8°) = 90°

9x = 90° x = 10°

Clave E

37. E = (3sen36° + 4cos54°)csc36°

E = 3sen36°csc36° + 4cos54°csc36° 1 E = 3 + 4cos54°sec54° 1

En (1) tanatanbtanf = 1tanf = 3 7 & tanf = 3 (# cotf) 7 tanfcotf = 3 cotf 7 1 = 3 cotf 7 ` cotf = 7/3

sec54°

40. Dados los números a y b, del enunciado:

a + b = p / ab = 2 a+b = π ab 2 1 +1 = π b a 2 Se pide: Clave D

r=

39. Del enunciado nos piden:

E=3+4=7

Clave D

Resolución de problemas 38. Por dato, se cumple:

tan2 β + cot2 θ tan β cot θ tan2 β + cot2 θ tan β cot θ = + tan β cot θ cot θ tan β

... (1)

... (1)

Son complementarios:

tana = cotb

(# tanb)

& csc c 1 m = sec c 1 m a b

& tanb = cotq En (1) 2

csc c 1 m a ` r= =1 1 sec c m b

2

tan β + cot θ =1+1=2 tan β cot θ

`

tanatanb = cotbtanb

csc c 1 m a 1 sec c m b

De (1): 1 rad + 1 rad = π rad a b 2

Pero; b y q complementarios:

tanatanbtanf = 3 7 Si a + b = 90°

... (1)

Clave C

Clave A

tanatanb = 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES APLICAMOS LO APRENDIDO

ADB y BDC

(página 30) Unidad 2

AD = k = 1 & k=1 8° 7k BD = 7k = 7 . 1 BD = 7

x

A

53° y

4k

12 = 3k k=4 x = 4k = 4 . 4 x = 16 ` x + y = 36

/

y = 5k = 5 . 4 y = 20 Clave B

B

D

7m

8°

8° x

C

` E=9 Clave E

C

6. F = 5sen74° +

2 cos82° 24 F=5. + 2. 1 25 5 2 24 1 F= ` F=5 + 5 5

Clave C

Clave D

7. A

y=

8°

1

E = (3)2

Luego: x + 1 = DC + 1 = 49 + 1 ` x + 1 = 50 3. y =

2.

A

E = ( 2 . 2 + 1) 2

BD = m = 7 & m=7 DC = 7m = 7 . 7 DC = 49

5k

Clave A

5. E = (sec45° 2 + 1)sec60°

D

53°

` P = 12

D

k

m

3k

2E 2

P = 32 ; 6 E 16

B

Notable de 53° y 37°

2

P = 32 ; 3 . 2

B

1. 12

4. P = 32[cos30°sen45°]2

notables de 8° y 82°

3 3

y=

3

y=

3

19 + 4 3 csc 60°

a 45°

19 + 4 3 . 2 3

P a

19 + 8 27

B

` y=3

Clave A

ABC

2a

θ

C

notable 45° y 45°


19

Luego:

AB = BC = 2a P punto medio de AB PB = a Luego:

14

P a

A

B

2a

θ

D

Clave A

M = (2 + 3) .

8. Dato:

notable de 30° y 60° ` q = 30°

37°/2

14.

P


Clave C

Clave C

B

4a

D

8°

D

49

C

AP = 3PB; sea PB = a & AP = 3a Como ABCD es un cuadrado: AD = AP + PB = 3a + a AD = 4a

7k

C

20 Intelectum 2.°

DC = 7k = 49 & k=7 BD = 7

9 =3 Clave C

tan2 60° + 1 2

M=

^ 3h + 1

M=

3+1 =

4 =2 Clave B

12 sec2 30° + 9 2

M=

12 c 2 3 m + 9 3

M=

12 c 4 m + 9 3

M=

16 + 9 = 25 = 5

6. A = 4a

Luego: PAD notable 37° y 53° ` a = 53°

Comunicación matemática 1. I. tan 37° = 1 ! 1 2 3 2 II. sec8° = 5 2 7

A=

D

Nivel 1 (página 32) Unidad 2 8°

3+6 =

Clave A

α

PRACTIQUEMOS

k

M=

notable 8° y 82°

B

2 3c 3 m+ 6 2

5. M =

A

θ

M=

3a

14

2 3 sen60° + 6

4. M =

α

Dato: AP = 3 PB

` tanx = 7 24

3. M =

C

A

11.

D

` Ib; IIa; IIIc

3a

P

BDC

C

Clave C

` x=4

B

a

A

• a = 5k = 5 & a = 5 c 4k 4 c 4

10. Dato:

Ángulos recíprocos (3x agudo) 3x = 48° x = 16°

4k = c

3k = b

• c = 4k = 4 & c = 4 b 3k 3 b 3

x-1

ABC notable de 37° y 143° 2 2 tan 37° = 5 - x 2 x-1 1 = 5-x 3 x-1

Clave A

sen3xcsc48° = 1

37°

53°

• a = 5k = 5 & a = 5 b 3k 3 b 3

B

x - 1 = 15 - 3x 4x = 16

senq = 1 2 q agudo:

5k = a

B

A

9. senq = tan 53°/2

A

notable de 37° y 53°; luego

Clave B

5-x

Clave D

tanx = tan16°

2. BAC

Clave A

C

` M=5 3

Por razones trigonométricas complementarias: 2x + 5° + 3x + 10° = 90° 5x + 15° = 90° 5x = 75° x = 15° Luego: tan(x + 30°) = tan(15° + 30°) tan(x + 30°) = tan45° ` tan(x + 30°) = 1

Luego:

` Solo I es incorrecta.

3

13.

tan(2x + 5°) = cot(3x + 10°)

θ

5

2

2

Clave C

1

III. csc 53° = 2

12. M = ccot 53° + tan 143° m tan60°

notable de 53° y 127° 2 2 53 ° ` q= 2

2

θ

ADB notable de 30° y 60° q = 30° ` 2q = 60°

7

C

PBC

B

A=

27 tan2 53° + 1 2

27 c 4 m + 1 3 48 + 1 = 49 = 7 Clave C

Clave C

7. y =

20 cos2 30° + 1

y=

20 c 3 m + 1 2 3 20 c m + 1 4

y= y=

2

15 + 1 = 16 = 4 Clave D

12. Del enunciado:

8.

16. S = tan60°csc60° + 3 2 csc45°

A c

b

a

53°/2

30°

C

notable de 53° y 127° 2 2 a = 2k k b = k 53°/2 c =k 5 k 5

Luego: 5c+b 3a

M=

5 .k 5 + k 3.2k

M= 5+1 6

m+B = 30°

A=

^ 2 h^ 2 h + 14 c 1 m

ACB

A=

2+7 =

notable de 30° y 60° AB = 2k 18 = 2k k=9 B AC = k ` AC = 9

k 30° C

9. m +B = 45°, CAB

Clave E

notable de 45°


BC = k 2 45° 24 =k 2 k 2 k k = 12 2 AC = k 45° ` AC = 12 2 B A k

10. ABC

Clave C

notable de 16° y 74° B 24k = x

7k = y

16°

A

C

25k = 50

25k = 50 k=2 Luego: x - y = 24k - 7k x - y = 17k = 17 . 2

A

exacto.

B

C

(F) A

notable de 30° y 60° entonces es ... (correcto)

A

III. PRQ notable de 8° y 82° entonces PRQ es un triángulo rectángulo aproximado.

8

53° 6

θ H

16

D

P: punto medio de AB AP = PB = a Si ABCD es un cuadrado: & AB = AD = 2a


Luego:

15. A = 10sen37° + 6tan53° +

P a

D

PAD notable de 53°/2 ` m+PDA = 53°/2 Clave D

A

... (correcto) Clave E

6 5 53°/2

37° P

C

Trazamos BP 9 AC: BPC notable de 53°/2 B

2 sec45°

A = 10 c 3 m + 6 c 4 m + 2 ^ 2 h 3 5 A = 6 + 8 + 2 = 16

Clave B

B

... (correcto)

C

21.

x

2a

10

Trazamos la altura BH AHB notable 53° y 37°: AB = 10 AH = 6 / BH = 8 Luego: HC = AC - AH HC = 16 - 6 HC = 10 ` cotq = 10 = 5 8 4

(V)

P

a

2a

10

II. EFD notable de 37° y 53° de lados 3; 4; 5 entonces EFD es un triángulo pitagórico.

a

Clave B

B

... II

11. Del enunciado:

2

20.

Clave C

14. I. ABC

2

^ 3h +^ 2h

(V)

` x - y = 34


A

C

ACB notable de 30° y 60° ... III a = 30° a = 30° . π rad 180° a = p/6 ` a es igual a π rad ... I 6 Luego: BC = sen30° = 1 AB 2 ` AB es el doble de BC

Clave D

10 c 3 m + 4 5 5 1 A= = 10 2

AB = 2BC

Clave D

A=

m 3

Clave D

10sen37° + 4

2m α

9 =3

2 2 19. A = tan 60° + sec 45°

B

C

2

sec 60° + 5 4-3 S= 3 4 2+5 7 S = 12 = 1 7 12

Nivel 2 (página 32) Unidad 2 13.

sec 45° csc 45° + 14sen30°

18. S = tan 53° - cot 53°

Clave B

` M=1

Clave D

17. A =

2k

M=

S=2+6=8

B

m+B = 90° 3

A

2k

3 .c 2 3 m + 3 2 ^ 2 h 3

S=

18

Clave C

a P

a 5 53°/2 2a

BC = a 5 = 6 5 & a=6 BP = a C BP = 6


21

APB notable de 37° y 53°

3k = 12 k=4 5k 4k AB = 4k = 4 . 4 ` AB = 16 u

BP = 3k = 6 & k=2 5k 3k AB = 5k x = 5 . 2 37° ` x = 10 A P 4k Clave E

22.

B

3k

Clave A

9

H k

B

25

82°

A

1

ADB

5 2 k 8° 7k 82° A

16°

D

Clave C

AB = 5 2 k 5 2 =5 2k & k=1 AD = 1 / BD = 7

c

notable de 37° y 53°

16°

... (Incorrecto)

B

A

9

9

C

notable de 45° sen45° = BH BC

45° 53° P 12 µ

ABC notable de 45° m+ACB = 45° m+APB = 45° + 8° m+APB = 53° ABP notable de 53° y 37°

B

3 = 9 & AB = 6 3 2 AB

II. AB es igual a 6 3

22 Intelectum 2.°

6x = 90° & x = 15°

J = cos45°cos60°

notable de 30° y 60° (m+A = 60°) cos30° = BH AB

3

2x + 4x = 90°

J = cos3(15°)cos4(15°)

1 = BH & BH = 9 9 2 2

Luego: I. tanA es igual a

Clave A

J = cos3xcos4x

AHB C

x = 60° - x & 2x = 60° & x = 30° En P: P = tanxtan2x P = tan30°tan60° P= 1 . 3 ` P=1 3

razones

Piden:

BHC

8°

de

Se debe cumplir: 45°

H

Clave B

29. sec2x = csc4x

9 2

60° 3 3

` tanq = 4/7

senxcsc(60° - x) = 1 x agudo, por propiedad trigonométricas recíprocas:

30° 45°

6 3

C

28. Dato:

C

24p

26.

A

AH = 12

tanq = 12 21

21

A

Clave C

2p: perímetro 2p = 5k + 4k + 3k 2p = 12k = 12 . 1 2 ` 2p = 6

24. Del enunciado:

H

53° 3k

θ

25p

3k

Clave E

B

AB = 5k 15 = 5k k=3 HB = 9

H

BD = 7p 7 = 7p p=1 & DC = 24 / BC = 25 ` C) DC igual a 20

4k

4k

12

D b

5k

En el triángulo rectángulo AHC:

7p

5k = 2,5 = 5 2 k = 1 37° 2

Luego: AHB notable de 37° y 53°

B

23. Del enunciado:

C

Trazamos la prolongación de BC hasta el punto H donde BH 9 AH

notable 16° y 74°


12 θ

A

k D

BDC

2,5

C

24

B 127°

A

notable 8° y 82° B

` cotq = 3

53° 15

74°

3k

AHO notable de 37° y 53° AO = 5k; AH = 3k; OH = 4k Luego: AOB sector circular AO = OB = 5k HB = OB - OH HB = 5k - 4k HB = k cotq = AH = 3k HB k

5k

H

B

5 2 8° 7

37°

27.

12

θ

4k


Nivel 3 (página 34) Unidad 2 25.

37°

O

53°

P

Clave E


A

5k

III. Altura relativa a AC (BH) es igual a 8 ... (falso)

A

B

J=

2 . 1 = 2 2 2 4

Clave D

30. tan5xcot(x + 40°) = 1

... (verdadero) ... (verdadero)

Se debe cumplir: 5x = x + 40° & x = 10° Piden:

sen3x = sen3(10°) = sen30° = 1 2

Clave B

31. sen2xcsc(x + 40°) = 1

Se debe cumplir: 2x = x + 40° & x = 40° Piden: 3^40°h sen 3x = sen = sen60° = 3 2 2 2

K=

Clave B

2

2

Clave C

Clave B

33. M = cos74°sec53°tan 127° - sen53°

34. K =

64 = 8

2 2 2 2 S = ^ 2 h + 5c 1 m + c 1 m - c 1 m 5 2 10 5 S=2+ 5 + 1 -1 50 10 5

S=2+ 2 -1 10 5

sen2x = sen2(15°) = sen30° = 1 2

M= 7 - 2 5 5

K=

AB = BH = BC = k 5 4 8

35. S = sec245° + 5cos282° + sen2 37° - sen2 53°

Se debe cumplir: 3x + 3x = 90° & x = 15° Piden:

2

50 + 10 + 4

32. sen3x = cos3x

4 M= 7 . 5 .3- 5 25 3 2

K=

2

S=2+ 1 -1 5 5

` S=2 Clave D

Resolución de problemas 36. Del enunciado: B

` M=1

5k

Clave B

40 sec 37° + 6 sec 53° + 4 cot 45°

8k

4k

A

C

H

40 c 5 m + 6 c 5 m + 4^1 h 4 3

Luego: notable 37° y 53° & m+A = 53° AHB notable 30° y 60° & m+C = 30° BHC ` m+A + m+C = 53° + 30° = 83° Clave E

37. Del enunciado, sea x el ángulo agudo:

senx = tan30° . sec45° senx = 1 . 2 3 senx = 2 3 x agudo: 3 2 x m cotx = m 2 ` cotx = 1 = 2 2 2

Del T. de Pitágoras 2 2 m2 + ^ 2 h = ^ 3 h m2 + 2 = 3 m2 = 1 m=1

Clave D

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS APLICAMOS LO APRENDIDO

3. Sea el triángulo rectángulo:


En el AHB, conocidos el ángulo y la hipotenusa, entonces: BH = msenq En el BHC, conocidos el ángulo y el cateto adyacente al ángulo: x = msenqseca

A

1. Sea el triángulo: A

θ

B

C

Conocidos el ángulo y el cateto opuesto al ángulo, entonces: Piden AC: AC = Lcscq

Clave D

2. En el gráfico:

Piden: A

α

ABC

x

ABC

=

L2 tan β 2

Clave D

α m A

Clave C

5. Del gráfico:

A

B

Sea m+CBH = 90 - a Entonces m+ABH = a Por lo tanto: AB = x = mseca

Clave B

O R

4. En el gráfico:

B

= AB # BC 2

90° - α

C

L tan β # L A ABC = 2 A

m

L

Conocidos el ángulo y el cateto adyacente al ángulo, entonces: AB = Ltanb

C

α

H

A

β

B

L

msenθ

θ H

x

C

θ θ x-R x

R H

R

C

La línea trazada desde el +A al centro de la circunferencia es bisectriz, entonces: m+OAH = q Además: OH = R = HC & AH = x - R Por lo tanto: x - R = Rcotq x = R + Rcotq = R(1 + cotq) ` x = R(cotq + 1)


Clave C

23

6. Del gráfico:

Dato: AB = BC & BH es también mediana.

B

En el

13. Del gráfico:

BHC:

T

HC = 5cosq En el

x H

θ

A

R

r

QC = 2cosq & HQ = MD = 3cosq

R

O

DQC:

R

E

P

α A

D

x

B

8. En el gráfico: α

θ

C

α

1. E

2.

Razonamiento y demostración 3. Del gráfico, conocidos un ángulo agudo y su

cateto opuesto:

BCD BC = BDsena • = (msenacosa)sena = msen2acosa

m x

Clave D

12. Del gráfico:

5senα

Clave E

A

• 3

•

θ

D θ

H 3cosθ Q 2cosθ

24 Intelectum 2.°

2 C

5

C

hipotenusa:

D θ

acscθ

BD = 5sena

BCD: BC = BDsena

Clave D

4. Del gráfico, conocidos un ángulo agudo y la α

ABD: BD = ADsena

B

α

2θ

x = mcot2q

5sen2α

B

2 Ssomb. = L cos3 θsenθ 2

α


msenαcosα

BE = AEsena = msena

2 Ssomb. = L cos θ.L cos θsenθ 2

5cosθ


D

BDE BD = BEcosa • = msenacosa

Piden el área sombreada: Ssomb. = HC.BH 2

M

Clave C

PRACTIQUEMOS α

m

• ABE:

En el ABC: BC = Lcosq En el BHC: BH = Lcosqsenq HC = Lcosqcosq = Lcos2q

9. Del gráfico:

En el DBC: DB = ntanq ...(2) (1) = (2): ntanq = ncota - x x = ncota - ntanq x = n(cota - tanq)

Clave C

C

msenα

H L

B

D

msen2αcosα

A

x

En el ABC: AB = ncota Entonces: DB = ncota - x ...(1)

11. Del gráfico:

B

α

A

Asomb. = mnsenθ cos θ = mn senθ 2 cos θ 2

Clave B

A

B

m

Piden el área sombreada: n cos θsenθ^m sec θh Asomb. = DC # AC = 2 2

Q

Del gráfico; en el PAB: PA = ncotα En el CDQ: DQ = ncotb Piden x: x = PA + AD + DQ x = ncota + n + ncotb x = n(cota + cotb + 1)

A

n

C θ θ

DC = ncosqsenq β

C θ

AD = ncosq

n n

14. Del gráfico:

AC = msecq

C

n

Clave B

n

A n

rcscθ

D

θ

C

x

OTC: OC = OTcscq r + x = rcscq x = r(cscq - 1)

Clave C

θ

B

r

10. Del gráfico:

Clave B

B

O

r

Entonces en el AQD: tan α = DQ = 2senθ = 0,25tanq AQ 8 cos θ

Trazamos OH al punto de tangencia H. Entonces: OH = R Ahora, en el AHO: OA = Rcscq En el ACB: AC = Rcscq + R Entonces: x = (Rcscq + R)tanq x = R(cscq + 1)tanq 7.

A

Además DQ = 2senq

C

x

BC = (5sena)sena = 5sen2a

Clave A

x = acscqsenq x = a 1 . senθ senθ x=a

Clave D

5. En el gráfico:

x = cot7°tan7° x=1

Nivel 2 (página 38) Unidad 2 Comunicación matemática 6

11. a

37°

Conocidos un ángulo agudo y su cateto opuesto: a = 6cot37° a = 6c 4 m 3 a=8

18. En el gráfico:

12.

Razonamiento y demostración 13. Del gráfico, conocidos un ángulo agudo y su

45°

cateto opuesto al ángulo:

Conocidos un ángulo agudo y la hipotenusa: x = 20 2 sen45°

(a - b)

6. En el gráfico:

x = 20 2 c 2 m 2 x = 20

α x x

x = (a - b)cota

53° 20

Conocidos un ángulo agudo y la hipotenusa: x = 20sen53° x = 20 c 4 m 5 x = 16

Clave C

19.

D

A

30°

Conocidos un ángulo agudo y su cateto opuesto: x = 8cot30° x=8 3

B

ncosθ

B

En el ABC: CB = nsenq AB = ncosq Pero, por dato: DB = AB x + nsenq = ncosq x = ncosq - nsenq x = n(cosq - senq)

& x = 2cot60° ` x = 2 3 m 3 x

Clave D

C

20

Conocidos un ángulo agudo y su cateto adyacente: x = 20tan37° = 20 c 3 m = 15 4 Clave A

4

21. 22.

60°

Conocidos un ángulo agudo y la hipotenusa: x = 4sen60° x = 4c 3 m = 2 3 2 Clave D

Razonamiento y demostración 23. Sea el triángulo: A θ

B 2

x

9. A

45° 53°

& x = 24csc53° x ` x = 30 m C

Clave D

10.

& x = 60cos37° ` x = 48 m

60 m

B

Conocidos un ángulo agudo y la hipotenusa: x = 2sen45° x = 2c 2 m = 2

2

Clave C

17. Del gráfico, conocidos un ángulo agudo y su

A

m

16. En el gráfico:


x

Clave C

B

2m


37°

C

60°

Comunicación matemática x

37°

Clave C

A

15. En el gráfico: x

24 m

C

3 3m

20.

8. En el gráfico:

B

& x = 3 3 cot60° ` x=3m

x

nsenθ

θ

A

60°

C

n

Clave B


x

8

Clave A

Clave D

14. Del gráfico:

7. En el gráfico: x

20 2

x

Clave B

Clave E

AB = mcosq BC = msenq Piden el perímetro del ABC: 2p = AB + BC + AC 2p = mcosq + msenq + m 2p = m(cosq + senq + 1)

Clave B

24. Del gráfico: Q

cateto adyacente:

ntanθ B

cot7°

n

m

x 7°

Clave E

C

A

θ

x

θ C D


25

Trazamos el ADQ: Por cuadrilátero inscriptible: m+A = m+BCQ = q Entonces: BQ = ntanq En el ADQ: x = (m + ntanq)cosq x = mcosq + nsenq

30.

5.

x

y

30°

B

Clave B

C

2 3m

1. De la condición, tenemos: 20°

x

x = acot20°

Clave D

26. Conocidos un ángulo agudo y la hipotenusa: x 40°

a

x = asen40°

Clave A

27. Conocidos el ángulo y el cateto adyacente al

ángulo:

x

a 80°

x = atan80°

Clave D

Nos piden: M = tan 3x cot 4y cot 4y M= = 1 cot 4y

2

Nos piden.

7tanq = 7 c 8 m 7

` 7tanq = 8 Clave A

8. Del gráfico tenemos: B

M

A

2c = ab a$b c c

2 = senq. cos q

Clave C

a2 + b2 = c2

4 2m

2ab = 3c a 2c $ b m = 3 c c ` 2senq . cosq = 3 Clave D

N

Por dato: MC = MD 4senq = 6cosq & cotq = 4 6 ` cotq = 2 3

Clave E

B 30° H

a2 + b2 + 2ab = 4c2 & c2 + 2ab = 4c2

• x = 4 2 sen45° x = 4 m

6cosθ D


De la condición tenemos: a + b = 2c (a + b)2 = (2c)2

C

θ

6

2c = 2ab 2=

4senθ

4

2c(a + b + c) = 2ab

Clave B

C

θ

2

4. Por teorema de Pitágoras:

26 Intelectum 2.°

8k

tanq = 8k 7k tanq = 8 7

2c + 2c(a + b) = 2ab

A

• y = 4 2 cos45° y = 4 m ` x+y=8m

2

`

45°

45° θ 53° A kMk B 6k

c + c + 2(a + b)c = 2ab


y

C

8k

2

2

B

Clave A

Clave E

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2(a + b)c = 4ab

y = 6cot37° = 6 c 4 m = 8 3 Piden el perímetro del triángulo: 6 + x + y = 6 + 10 + 8 = 24

x

6. cos60°secqtan23° - cos245°csc30°cot67° = tan23°

7.

` M=1

sen(8x + 3y)sec(5y - 2x) - 1 = 0 sen(8x + 3y)sec(5y - 2x) = 1 sen(8x + 3y) = cos(5y - 2x) & 8x + 3y + 5y - 2x = 90° 6x + 8y = 90° 3x + 4y = 45° Nos piden: tan(4y + 3x) = tan(45°) = 1

x = 6csc37° = 6 c 5 m = 10 3

29.

tan37° = 3 = x & x = 21 4 28

De la condición

37°

•

B

2

a +b =c

y

37° 16


2

x

12 45° 12

A

1 secqtan23° - c 2 m (2) tan23° = tan23° 2 2 secq - 1 = 1 2 secq = 4 ` cosq = 1 4

3. Por el teorema de Pitágoras: 6

x

Clave C

cos(2x+ y) . csc(x + 3y) = 1 cos(2x + y) = sen(x + 3y) & 2x + y + x + 3y = 90° 3x + 4y = 90° 3x y 4y son complementarios. & tan3x = cot4y

Clave B

28. En el gráfico:

20

Clave B


a

M

• x = 2 sec30° x = 4 m ` x+y=6m

25. Del gráfico, conocidos un ángulo agudo y su

cateto opuesto:

C

• y = 2 tan30° y = 2 m

A

4

6

2

2

A

Clave D

ATABC = 2 # 6 c 1 m = 6 u2 2

C

Clave D

Unidad 3

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

APLICAMOS LO APRENDIDO (página 43) Unidad 3

` P(x; y) = P(14; 16)

5. A(-1; 5)

1. Q(2; 6)

2 + ^- 4h x= =- 1 2 y = 6+2 = 4 2 ` N^- 1; 4h

N(x; y)

2. C(a; b)

A(1; 2)

1 = 1+a &a=1 2 3 = 2+b &b=4 2 Piden: a + b = 1 + 4 = 5 Clave A

3. C(10; 6)

x= = 24k = 8 3k 3k ^2kh 6 + ^ k h 3 15k y= = =5 3k 3k ` B ^8; 5 h

-9

3

1

-2

-1

-1

4

12

-8

-2

-3

3

^ 8 h^ 2 h + ^- 2h^ 3 h

2+3

^ 0 h^ 2 h + ^- 5h^ 3 h

2+3

d2 = (7 - 2)2 + (-15 - (-3))2

d2 = (5)2 + (-12)2 = 25 + 144 d2 = 169 & d =

169

` d = 13

` ST = 15,5

Clave E

Clave E

B(7; 8)

5 M(4; 3) b 4

C

B 7

3

A(a; b)

x

C(2; 2)

4 = 7+a & a = 1 2 3 = 8 + b & b =- 2 2 ` A(a; b) = A(1; -2)

Clave D

8.

M es punto medio de AC: x1 = 1 + 2 = 3 2 2

y

Clave B

12. Hallamos la medida del radio vector:

P(x; y)

42 + ^- 3h2 d = 16 + 9 & d = 5

OP =

A

y1 = 3 + 2 = 5 2 2

8

También M es punto medio de BD:

H

x1 = 6 + x & 3 = 6 + x 2 2 2 x = -3 y1 =

Clave C

=- 3

d2 = (7 - x)2 + (-15 - y)2

Área del triángulo ABC = b.h 2 SABC = 4.4 = 8 ` SABC = 8 2

M(x1; y1)

=2

11.

1

x

d

& M(x; y) = M(2; -3)

y

0

4+y 4+y &5 = 2 2 2 y=1 ` El punto D tiene coordenadas (-3; 1).

y=

A(8; 0)

C(7; -15)

h=4

4.

D(x; y)

x=

13 - (- 18) 2

A

B(6; 4)

3

M(x; y) 2

13

7.

Clave D

A(1; 3)

10.

-3

13 + 18 ST = = 31 2 2

A(4; 3)

1 = 2-3+x 3 &x=4 6-2+y 1= 3 & y =- 1 ` O^4; - 1h Clave D

-2

ST =

2k

O(x; y)

N(-3; -2)

Clave B

-18

B(x; y)

M(2; 6)

B(-2; -5)

6.

^2kh^10h + ^1kh 4

9.

G(1; 1)

Reemplazando en (I): L 9 = 2π c 5 m = 5π 2

B(1; 3)

x

r

Se sabe: L = 2pr ...(I) Usando la fórmula de la distancia: (2r)2 = (-1 - 3)2 + (5 - 2)2 4r2 = (-4)2 + (3)2 4r2 = 16 + 9 4r2 = 25 & r = 5 2

Clave A

k

O

B(3; 2)

P(−4; 2)

AC = 3k AB = 2k & BC = k

Clave B

r

7

4 6

α 6

B

El área es & π.r2 = πd2 = π^ 5 h2 ` AO = 25π

x

Por dato: tanα = 2 3 Del gráfico: el punto H es el origen (0; 0). El punto A es A(7; 8) & A es punto medio de HP. 7 = 0 + x & x = 14 2 0+y 8= & y = 16 2

Clave A

13. (-4; 7) b (8; 2)


27

b=

^- 4 - 8h2 + ^7 - 2h2

d=

b = ^- 12h2 + ^ 5 h2 = 169 ` b = 13

` P(x; y) = P(-2; -3)

(- 3) 2 + 42 & d = 5; M = 4d

` M = 20 Clave C

6. Un punto en el eje x, tiene la forma: (x; 0)

Sea el segmento:

& 52 = (x - 2)2 + (0 - 4)2 25 = (x - 2)2 + 16 9 = (x - 2)2 (x - 2) = !3 & x - 2 = 3 0 x - 2 = -3 x=5 0 x = -1 ` El punto puede ser: (5; 0) 0 (-1; 0)

B(8; −1)

14. Por dato: B(4; 7)

N(x; y)

S

A(-2; 1)

x=

(+)

1 -2 7 1

-2 6 4 -2

4 42 4

& S=

(+)

Nivel 1 (página 45) Unidad 3 1. Unimos todos los puntos con ordenada -2 y

obtenemos una recta.

y

8.

3

4

x

-1 -2

(4; -2)

(3; -2)

(2; -2)

-4

d

Piden: x + y = 16 + 6 = 22

4.

7

7

Clave C

y (a; 2)

b)

3 2

(0; 0)

y=2

1 -1

2

3

x

y 2

-3 -2 -1 0

Clave B

1

2

3

-1 M(1; -1)

(m - 2 - (m + 1)) 2 + (n + 3 - (n - 1)) 2

d=

(m - 2 - m - 1) 2 + (n + 3 - n + 1) 2

28 Intelectum 2.°

N(x; y) P(-1; -2) M(1; -9)

•

Sabemos: x +x y +y P = c 1 2 ; 1 2 m 2 2 Clave D

5. y

2. Hallamos el lado del cuadrado.

d=

(4; -3)

x

-2 r = 3 -3

9. • Sea el segmento NM.

& r2 = (4 - 0)2 + (-3 - 0)2 r2 = 16 + 9 = 25 r=5 & r2 = (a - 0)2 + (2 - 0)2 52 = a2 + 4 25 = a2 + 4 21 = a2 & a = 21

-2

1

2a2 + 4a + 52 = 2a2 - 4a + 4 8a = -48 ` a = -6 Resolución de problemas

x r

y=1

1

c)

De (I) y (II): (a + 6)2 + (a - 4)2 = (a - 2)2 + a2

r

y

-3 -2 -1 0

A(2; 1)

d2 = [a - (-6)]2 + (a + 1 - 5)2 = (a + 6)2 + (a - 4)2 ...(I) d2 = (a - 2)2 + (a + 1 - 1)2 = (a - 2)2 + (a)2 ...(II)

y= 6 7 7

d P (a; a + 1)

x = 16 7 6^3kh + ^- 3h^4kh 6k y= = 3k + 4k 7k

-3

Clave D

B(-6; 5)

8^3kh + ^- 2h^4kh 16k = 3k + 4k 7k

(1; -2)

(-1; -2)

(-2; -2)

(-3; -2)

(-4; -2)

0

x=

Piden: a + b = 7 + 1 = 8

M(x; y)


2

3 = 5+b & b = 1 2

(8; 6)

(-2; -3)

PRACTIQUEMOS

1

2 = -3 + a & a = 7 2

Clave B

b =4 k a =3 k

Clave E

1

A(-3; 5)


` S = 33

-4 -3 -2 -1

B(a; b) (2; 3)

3.

50 - ^- 16h 66 = = 66 2 2 2

a)

7.

` x+y=5 N = 5 & M = 4N

50

-16

8 + (- 2) =3 2

y = -1 + 5 = 2 2

Piden: el área (S) de la región triangular. 6 -8 -14

Clave E

A(−2; 5)

C(6; -2)

Clave E

(0; 0)

P(x; y)

(2; 3)

x

0 = x+2 2 x = -2 y+3 0= 2 y = -3

•

•

Reemplazamos: y-9 (-1; -2) = c x + 1 ; m 2 2

Entonces: -1 = x + 1 & x = -3 2

-2 =

` N(-3; 5)

y-9 & y=5 2 Clave D

10. Sea el baricentro = G(x; y), entonces:

- 5 = 0 + x & x = - 10 2

(-2; 6)

3= G(x; y)

- 2 + 3 + (- 4) - 3 = =- 1 3 3

x=

6 + 2 + (- 2) 6 y= = =2 3 3

` G(x; y) = G(-1; 2)

0+y &y=6 2

Piden: E = 6 - ^- 10h = 16 = 4 È=4

(3; 2)

(-4; -2)

Clave C

15.


x=

y 2

-2

-1 0

-1

x

2

1

y=

=4

-2

b) Trazamos las rectas que limitarán el área que corresponde a los infinitos puntos. y 3

6^2lh + ^- 2h^ l h 10l = 2l + l 3l

3

16. x

y = -1

(-4; 5)

(3; 3)

b

3


-12

-4

5

5b

15

3

3

-12

3b

b

3

9

y

x 4

(3b + 3)

M

N

4

A(8; 0) 8

x

La proyección de BG sobre AB será el valor de la abscisa del punto G(x; y). Por dato G es baricentro: & x = 0 + 0 + 8 = 8 (propiedad) 3 3 8 `x= 3

Clave C

14.

Dato " 10 =

2

& 20 = |2b - 6| & 20 = 2b - 6 0 20 = -(2b - 6) 26 = 2b 2b = -14 ` b = 13 0 b = -7

(-5; 3) (x; 0)

y α

1

4

4

2

-8

0

0

3

12

-12

-4

1

0 4=N

& SD =

N-M 2

SD =

4 - (- 8) = 12 = 6 2 2

` SD = 6

Clave A

20. Reemplazamos en la fórmula del baricentro

G(x; y) - 3 + 5 + (- 8) - 6 x= & x = -2 = 3 3

17. Usando distancias:

α 1

-4

M = -8

Clave E

(-1; 2)

C

A

Para el área tenemos:

^5b - 3h - ^3b + 3h

2 (0; y)

` C(0; 3)

(5b - 3) D

I

B

2= 1+2+n & n=3 3

x=1

6 C(0; 6)

Resolución de problemas del baricentro. 0 = -4 + 4 + m & m = 0 3

(b; 3)

Clave B

(0; 0) B

Clave C

Clave B

19. Hallamos el vértice C(m; n) mediante la fórmula

Ib - IIc - IIIa

G

De (I) y (II): (x - 1)2 + (-5)2 = (7 - x)2 + 32 x2 - 2x + 26 = 58 - 14x + x2 12x = 32 & x = 32 12 x = 8 & El punto es c 8 ; 0 m 3 3

` M(x; y) = M c5; 10 m

12. Según definición:

y

d2 = (x - 1)2 + (0 - 5)2 ...(I) d2 = (7 - x)2 + (3 - 0)2 ...(II)

8^2lh + ^- 1h^ l h 15l = 2l + l 3l

y=3

1 -1

P (x; 0)

0

y = 10 3

13.

d

x=5 centro

B (7; 3)

d

A(-1; -2)


1

A (1; 5)

M(x; y)

2l

Clave C

y

18.

B(8; 6)

l

Clave B

11. a)

y Del gráfico: tanα = 2 = & y = 8 1 4 El área del triángulo sombreado es: b.h 2 donde: b = 1 / h = y = 8 Reemplazando: ^1 h^ 8 h = 4 2

4

x y (4; y)

y = -1 + 4 + 6 = 9 & y = 3 3 3 Sumamos: x + y = -2 + 3 = 1 ` x+y=1 Clave E


29

24. Un punto en el eje de ordenadas tiene la forma:


& 172 = [0 - (-8)]2 + (y - 13)2 172 = 82 + (y - 13)2 289 = 64 + (y - 13)2 225 = (y - 13)2 !15 = (y - 13) y - 13 = 15 0 y - 13 = -15 y = 28 0 y = -2 ` El punto puede ser: (0; -2) 0 (0; 28)

21.

▪▪ P:

A(2; 7)

C(x; y)

B(-6; -1)

x=

2 + (- 6) - 4 & x = -2 = 2 2

y=

7 + (- 1) 6 = & y=3 2 2

(1; 1)

(x; y) x

0

& 4 = 1+a &a=7 2 2

4

2

-4

0

4

-1

3

6

0

0

2

-2 4

8

También: 4 = 5+x &x=3 2

Piden el área: S9 = πr2 S9 = c 22 m^21h = 66 7 ` S9 = 66

2

3=

y (a + b; a - b) r

4-8 =2&Q=2 2

5+y &y=1 2

(x; y) = (3; 1) Clave E

Resolución de problemas Clave D

26.

r

(a; b) = (7; 5)

& 3 = 1+b &b=5 2

r2 = (-4 - 0)2 + ^ 5 - 0h 2 r2 = (-4)2 + ^ 5 h 2 r = 16 + 5 = 21 & r2 = 21

Tomamos los puntos en sentido antihorario.

29. Hallamos el lado del cuadrado.

l=

(3 - 1) 2 + (7 - 1) 2

l=

22 + 62 = 40 = 2 10

El área OCD es la cuarta parte del área del cuadrado ABCD.

x

(0; 0)

2

A4 = l2 & A4 = ^2 10 h

(-4; -6)

A4 = 40

` 2P = Q

2

2

2

` AOCD = A /4 = 10

r = (-4 - 0) + (-6 - 0)

Clave D

r2 = (-4)2 + (-6)2

Clave A

2

r = 16 + 36 = 52

22. Por definición:

30. Hallamos el baricentro G(x; y).

r2 = 52

Ib - IIa - IIIc

x=

También:

Clave E

2

2

52 =

A(-1; -3), B(4; 5), C(6; -8)

2(a2 + b2)

y=

` a2 + b2 = 26

Sea G(x; y) el baricentro del triángulo: = 9 =3 3

Clave A

27. 8

& G(x, y) = G(3; -2)

4

Piden: x + y = 3 + (-2) = 3 - 2 = 1

O

Clave E

y1 + y2 + y3 3

y = -2 - 3 + 5 = 0 = 0 3 3

` G(x; y) = G(0; 0)

La distancia entre G y A:

y

^- 3h + 5 + ^- 8h - 6 y= = =- 2 3 3

x1 + x2 + x3 3

x = -6 + 2 + 4 = 0 = 0 3 3

r2 = (a + b)2 + (a - b)2

23. Los vértices del triángulo son:

30 Intelectum 2.°

2

r = [(a + b) - 0] + [(a - b) - 0]


3

(a; b)

M(4; 3)

(0; 0)

0

(5; 5)

M es punto medio:

P(-1; 3)

&x=

y

(-4; 5) O r M(0; 2)

^- 1h + 4 + 6

28.

25.

N(2; -4)

SD =

Clave A

Clave B

x + y = -2 + 3 = 1 ` P=1 ▪▪ Q:

Entonces, proyección de AB sobre el eje x será: 6 -2 = 4

(0; y)


A(2; 8) B(6; 4) 2

6 Proyección de AB sobre el eje x

x

d=

^0 - ^- 6hh2 + ^0 - ^- 2hh2

d=

62 + 22 = 40

` d = 2 10 Clave C

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN CUALQUIER MAGNITUD ` IC y IIC tienen el mismo signo.

APLICAMOS LO APRENDIDO (página 48) Unidad 3 1. •

• • • `

a ! IIC a ! IVC a ! IC a ! IIIC VVFF

sena > 0 tana < 0 seca < 0 cosa > 0

& & & &

6. Sabemos:

cosa = - 3 = x & x = - 3 / r = 5 5 r

y

-2 -1 0

y2 = 25 - 9 = 16 y = 4 a ö IIC

R=

θ

-1

1

2

x

-2

R=2- 2 +3 3 2 2

R=

x2 + y2 = r2 & (-1)2 + (2)2 = r2

2 2 3 c 4 m - 4 c- 3 m 5 5 - 5c 4 m -3

3sen2 α - 4 cos2 α = - 5 tan α

R=

x=-1 y=2 5 = r2 & r =

c

48 - 36 m c m 25 25 = 20 3

3. Reemplazamos en F(x):

F(x) = F(180°) = cos 90° + cos 360° + cos 270° sec 360° - cos 180° = 0+1+0 = 1 1 - (- 1) 2

Clave A

4.

9 125

3k

Clave C

f ` π j & θ = π = 60° 3 3 f ` π j = cos ^180°h + 1 - sen2 ^120°h 3 - cos ^120°h

` E = (+) En T: sen336° < 0 & (-) tan218° > 0 & (+) cos168° < 0 & (-)

f` π j = 1 + 3

& (x; y) = (-6k; 4k) y tanα = = 4k = - 2 x - 6k 3 E = 3tana + 1 = 3 c - 2 m + 1 3 E = -2 + 1 = -1

Clave C

y II C senα (+) cscα (+)

IC todas son (+) O

IV C cosα (+) secα (+)

. & IC: cos y tan son positivas. & IIC: cos y tan son negativas.

x

2 + 2 +1=5

Clave C

11.

Sabemos: a - b = 360°n 6k - k = 360°n 5k = 360°n k = 72°n

Piden:

5.

α = 6 & α = 6k β=k β 1

1 + 1 = 1+ 1 + 1 = 2 2 2 4 2

` f `- π j + f ` π j + 1 3 3

8. Sean a y b los ángulos (a > b).

x

2

1 - c 3 m - c- 1 m 2 2

f` π j = - 1 + 3

Clave B

0

2

1 - c 3 m - c- 1 m 2 2 1 + 1 = 1+ 1 + 1 = 2 2 2 4 2

f `- π j = 1 + 3

4k

III C tanα (+) cotα (+)

f `- π j = - 1 + 3

csc312° < 0 & (-) sen115° > 0 & (+) tan220° > 0 & (+) ^-h^-h ^+h = (+) E= = ^+h^+h ^+h

53°

α

Clave B

f `- π j = cos 180° + 1 - sen2 120° 3 -cos120°

T = (-)(+)(-) = (+) ` T = (+)

y 3k

6

Entonces: f `- π j = cos ^- 180°h + 1 - sen2 ^- 120°h 3 - cos ^- 120°h

7. En E: cos124° < 0 & (-) Clave B

^13 - 3 2 h

f `- π j & θ = - π = - 60° 3 3

12 25 20 3

2 J = (senq - cosq)2 = c 2 - c- 1 mm 5 5 2 J= c 3 m = 9 5 5

`R=

10. f(θ) = |cos3θ| + 1 - sen2 2θ - cos 2θ

R= 3 5 25

5

Reemplazamos en:

(x; y)

R = c - 2 m + c - 2 m - c - 3 mc - 2 m 2 -3 -2 2 2

x2 + y2 = r2 & (-3)2 + y2 = 52

Hallamos R:

2 1

Hallamos el valor de R: R = cota + senq - tana . tanq y R = c x m + ` n j - ` j` n j y r x m

Clave A

(V) (V) (F) (F) Clave D

2.

m2 + n2 = r2 & (2)2 + (-2)2 = r2 & r = 2 2

y α

(x; y)

800° < 6k + k < 1060° 800° < 7k < 1000° 114,28 < k < 150° 114,28 < 72n < 150° 1,58 < n < 2,08 & n = 2 k = 144 ` a = 6k = 6(144°) a = 864°

(x; y) = (-2; -3) & x = -2 / y = -3 De (q): (m; n) = (2; -2) & m = 2 / n = -2

x

0

y tan α = 1 = - 1 = 3 -3 x y = -1 / x = -3 r2 = x2 + y2 r2 = (-3)2 + (-1)2 = 9 + 1 = 10 Clave E

9. De (a):

r

r = 10 Piden: P = 3secα - cscα P = 3 ` r j - c r m = 3 c 10 m - c 10 m x y -3 -1

= - 10 + 10 = 0


Clave B

31

12. cos α = - e

PRACTIQUEMOS

p2 - q2 o; p > q > 0 p2 + q2


y

cos α =

II C senα (+) cscα (+)

- ^p2 - q2h x = r p2 + q2

III C tanα (+) cotα (+)

& x = -(p2 - q2) / r = p2 + q2

2

22

2

(p + q ) = (p - q ) + y 2

y = (p2 + q2)2 - (p2 - q2)2 y2 = 4p2q2 (como: p > q > 0) y 2pq 2pq = = x - ^p2 - q2h q2 - p2

IV C cosα (+) secα (+)

cot θ = x = y y tan θ = = x x

y (-2; 1)

13. Como son coterminales sus funciones son las

θ

mismas.

0

sena = senb cosa = cosb

Piden: S = tanθ - cotθ - 1 - ^- 2h = - 1 + 2 = 3 2 2 2

En k, tenemos: 2

2

(1 - sen α) (1 - cos α) 6- (1 - cos2 α) @6- (1 - sen2 α) @

^-h P= = ^+h ^-h

Clave C

tanβ 1 0

5.

40° < θ # 100°

/

Además: |tanθ| = 3

(-) θ ! IVC & -(tanθ) = 3 tanθ = -3 y -3 = 1 x y = -3, x = 1 & r = 10

senβ 1 0

y

P = (+) + (+) = (+) Clave A

6 r

x (x; y) (6; -8)

r2 = 62 + 82 & r = 10

cos θ = - 2 = x 3 r

θ

x = -2, r = 3 & y =

y

9.

8

1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 θ ! II C

(x; y)

Clave C

E = 5cosα + 6tanα

3

P = tan θ + cos c θ m 2 4

& θ ! (IIC 0 IIIC) / θ ! (IC 0 IIIC) ` De ambas condiciones θ ! IIIC

Clave A

Clave D

0

Clave D

8. secθ < 0 / cotθ > 0

6. cos θ = - 2 ; tanθ < 0 & csc θ 1 0 / tan θ 1 0

P = tan θ + cos c- θ m 2 4

4 10

` K = - 0, 4

Clave A

r

Piden: K = senθ + cosθ y K = + x = -3 + 1 =- 2 =r r 10 10 10

De ambas condiciones: β ! IVC

10° < θ # 25° 4 θ ! IC 4

(-)

cumple 6 θ ! IVC

1 =- 1 2 -2

β ! IIC 0 IVC / β ! IIIC 0 IVC

20° < θ # 50° 2 θ ! IC 2 40° < θ # 100°

(+)

α

Clave C

14. θ ! G40°; 100°]

(-)

(-)

-2 =- 2 1

` k=1

32 Intelectum 2.°

(-) (+) (+) (-) (-) (+)

^-h - ^+h ^-h 4. P = sen200° - cos 310° = = ^-h ^-h tan 140°

(1 - sen2 α) (1 - cos2 α) k= (1 - cos2 α) (1 - sen2 α)

` T = - 13 6

x


Clave B

k=

O

2.

& y = 2pq Piden: tanα =

IC todas son (+)

Entonces: - Si a ! IIC & cosa, es - Si a ! IIIC & tana, es - Si a ! IC & sena, es - Si a ! IVC & cota, es - Si a ! IIC & sena . cosa, es - Si a ! IVC & tana . sena, es

(p2 + q2)2 = [-(p2 - q2)]2 + y2 22

5 c- 5 m + 1 c 5 m 2 5 3 5 1 15 +2 T =- + = 2 3 6

7. tan θ 3 senθ > 0; cos θ 3 senθ < 0

Sabemos: r2 = x2 + y2 2

5 tan θ + 1 senθ 5

T=

y x

0

cuadrante:

α

y = 5 3 r

Piden: T =

1. Reconocemos el signo de las razones en cada

(x; y) r

senθ =


E = 5 c 6 m + 6 c- 8 m 6 10 E = 3 - 8 = -5 Clave C

Resolución de problemas 10. Del gráfico: y

x

5

y tan θ = = 5 = - 5 2 x -2

A (m; n)

k 2 E (-4; 2)

D

k

K

β 0

x k

C

k=

IV. Si k > 0 & secq . tanq > 0 (+) / (+) (-) / (-) Si secq > 0 / tanq > 0 & q ! IC Si secq < 0 / tanq < 0 & q ! IIC IV. Verdadero & Solo II y IV.

^- 4 - 0h2 + ^2 - 0h2

k2 = 16 + 4 = 20 & k2 = 20 Hallamos el segmento AO: AO = k = ^m - 0h2 + ^n - 0h2

k2 = m2 + n2 & 20 = m2 + n2 Hallamos el segmento AE: AE = k 2 =

Clave E

^m - ^- 4hh2 + ^n - 2h2

2k2 = (m + 4)2 + (n - 2)2 2

sec θ = - 2, 6 = - 13 = 13 = r 5 -5 x Por lo tanto: r = 13, x = -5 & y = 12 cot θ = x = - 5 = - 5 12 12 y y 12 senθ = = r 13 cos θ = x = - 5 = - 5 13 13 r

Razonamiento y demostración 2

2(20) = m + 8m + 16 + n - 4n + 4 40 = m2 + n2 + 20 + 8m - 4n 40 = 20 + 20 + 8m - 4n 0 = 8m - 4n & 2m = n

y α 0

Reemplazamos: 20 = (2m)2 + m2 = 5m2 4 = m2 & m = 2 / n = 4

` M=3 Clave C

11. b = (1°)2 + (2°)2 + (3°)2 + ... + (n°)2, n ! Z

n (n + 1) (2n + 1) b= 6

(4; -3)

Con bmáx. & nmáx. ` nmáx. = 12

L = 3senα + senα & L = 4senα & L = 2 3senα - sen α 2senα

Clave C

Clave E

19.

< 0 & α ! IIIC

Clave D

x

a y q son ángulos coterminales, entonces: RT(a) = RT(b) Piden:

3

senβ < 0 / tanβ < 0 & (β ! IIIC 0 IVC) / (β ! IIC 0 IVC) &De ambas condiciones β ! IVC.

cot α = 1 = - 1 = x 3 -3 y

α

Clave D

20.

x

y

r

Comunicación matemática 12. Definimos el cuadrante al que pertenece cada

ángulo.

(x; y)

α

x = -1, y = -3 & r = 10 y senα = = - 3 = - 3 r 10 10 x 1 cos α = = =- 1 r 10 10

b ! IIC; q ! IVC; g ! IIIC senb cosq tang cscb secq cotg 13. I. Si q ! IVC

=- 2 =10

4 10

` P =-

senα = - 21 r csc β = r - 21 2 5

Clave A

Resolución de problemas 21.

y

cos θ + x

II. Verdadero

q ! IIC (x; y) r

B

y

a 60°

a M θ

a x

β

E = - 21 . r = 1 r - 21

& E = senα . cscβ

Clave E

17. cot θ = senθ + x ; secq = -2,6

x

r

(-20; -21)

Piden: P = senα - cosα P = - 3 - c- 1 m = - 3 + 1 10 10 10 I. Falso

Clave C

y

θ

/ cosθ < 0 θ ! IIIC 0 IVC θ ! IIC 0 IIIC

y


18.

15. senθ < 0

> 0

` x =- 7 13

Clave A

16. cotα = 1 ; |senα| = -senα

n°(n° + 1)(2n° + 1) < 12 # 12 # 30°

- 119 = 17 x 156 12

α

n (n + 1) (2n + 1) < 720° 6

II. Si q ! IIIC & secq < 0 tanq > 0 secq . tanq < 0 & k < 0 & |k| = -secq . tanq III. Si q ! IIC & secq < 0 tanq < 0 secq . tanq > 0 & k > 0 & |k| = secq . cosq

x

De ambas condiciones: θ ! IIIC

b°máx < 720°

& secq > 0 tanq < 0 secq . tanq < 0 k < 0

r

r2 = 42 + (-3)2 = 25 r=5 y sen α = = - 3 = - 3 5 5 r cos α = x = 4 5 r

Piden: S = senα + cosα - 3 + 4 = 1 = 0, 2 5 5 5

Hallamos M: M = tanb + 1 M = 4 + 1 = 2 + 1 2

12 + x & - 5 = 13 & 25 - 5x = 12 + x 12 156 12 13 -5 + x 13

14.

A

C

O r a

β

x

60° N M

III. Falso


33

En IV: a ! IIIC & seca < 0 (F) A>0 b ! IVC & senb < 0

El punto A:

A(x; y) = c- a 3 ; - a m 2 r2 = x2 + y2 = c- a r2 = 7 a2 & r = 4 y = r

senb =

` VVFF

2

3 m + ^- ah2 2 7a 4

-a = -2 7 7 7a 4

Clave A

Q=

N = 4sec0° + sec180° + 3 tan 0° - 2 csc 270° cos 90° - sen90° 3 (0) - 2 (- 1) 0-1

N = 40 + 0 + 2 & N = -1 -1 P=

3sec 360° + csc 90° - cot 90° + cos 360° + sec 180°

P=

31 + 1 - 0 + 1 + (- 1)

P=

32 & P = 3

& R = (+)

` (-); (+)

27. tanα > 0

/

30. B

Clave B

tan θ =

En II: a ! IVC & seca > 0 A<0 b ! IIIC & senb < 0

34 Intelectum 2.°

(V)

(V)

(-)

r

α

C

x (b; -a)

a>0 y b>0

Hacemos AO = OD &

ABO ,

OCD

Si: A(-a; -b) & D(b; -a) y Entonces: tan α = = - a = - a b b x y -b b tan β = = = x -a a Piden: tanα . tanβ = `- a jc b m = - 1 b a

Clave B

31. 0° < x < 360°

senx = tan2π senx = 0 & x = 180° Piden: sen ` x j + cot ` x j + csc ` x j 2 4 6 = sen(90°) + cot(45°) + csc(30°) =1+1+2=4 Clave D

y

θ x

(F)

secθ < 0 & 0 ö q IIC (x; y)

O

(-a; -b) A

Clave B

2 2

β

D

180° < α < 270° 120° < 2α < 180° 90° < α < 135° 3 2 1444 24443 1 4 4 44 2 4 4 44 3 α ! IIC 2α ! IIC 2 3 P = cosα . cos α 2 P = (-) . (-) = (+) Q = tan 2α - sen α 2 3 Q = (-) - (+) = (-)

Clave A

y

Clave D

28. tanθ = -sen45°; |secθ| = -secθ

P + N = 4M

A>0

α ! IIIC 0 IVC

A>0

& 2 = a - 7 & 2a - 2 = 7 - a -1 a - 1 3a = 9 à=3

senα < 0

` (+); (-)

` 6M = -3N = P

En III: a ! IIC & seca < 0 b ! IC & senb > 0

R(cos170° +cos190°) = sen100° . cos200° ^+h^-h ^-h R = sen100°. cos 200° = = cos 170° + cos 190° ^-h + ^-h ^-h

(a - 1; a - 7)

Si: senθ + 2cosθ = 0 senθ = -2cosθ sen θ =- 2 cos θ tanθ = -2 y tan θ = - 2 = 2 = = a - 7 1 -1 x a - 1

De ambas condiciones: α ! IIIC

M= 1 -1+ 1 = 1 2 1 2

24. En I:

x θ

^-h = ^-h ^+h

α ! IC 0 IIIC

2 (1) + (- 1) -3 + 0+1

y

De ambas condiciones: θ ! IVC

Rcos170° +Rcos190° = sen100° . cos200°

0

a ! IC & seca > 0 b ! IIC & senb > 0

29.

θ ! IIIC 0 IVC

Rcos170° =sen100° . cos200° - Rcos190°

Comunicación matemática 23. M = 2sen270° - 3cot90° + 2 cos 0° + sen270° tan 180° + cos 360°

N = 41 + (-1) +

(+)

R = sen100°. cos 200° - R cos 190° cos 170°


M=2

Clave D

Clave D

Clave E

-1

cos θ = x = - 2 = - 6 r 3 6 Piden: N = senθ . cosθ

^-h + ^-h ^-h 26. Q = tan 100° + cos 130° = = sen160° - tan 340° ^+h - ^-h ^+h

Svalores = 720° + 1440° = 2160°

2 = 3 3 6

N = c 3 mc - 6 m = - 3 2 = - 2 3 3 3.3 3

- senθ cos θ & senθ < 0

a = 1080° b = 720° a = 2160° b = 1440° a = 3240° b = 2160°

y = r

6

θ ! IC 0 IVC

>0

Por ángulos coterminales se cumple: a - b = 360n, n ! Z 3k - 2k = 360n k = 360n Si n = 1 & k = 36° & Si m = 2 & k = 720° & Si n = 3 & k = 1080° &

Clave C

- senθ cos θ & cosθ > 0 >0

(-)

α = 3k & β = 2k

2, x =- 2 & r =

senθ =


22. Sean los ángulos a y b, a > b

α =3 β 2

y=

y tan θ = 2 = x -2

32. senβ - tan β < 0

(-)

(-)

(+) senβ (< 0)

tanβ(< 0)

360° < 2α < 540° (2α) ! IC 0 IIC

(b ! IIIC 0 β ! IVC) / (β ! IIC 0 β ! IVC) ` β ! IVC

Clave D

3 (180°) 3θ 3 (270°) < < & 135° < 3θ < 182, 5° ...(III) 4 4 4 4

Piden los signos de: A = senα + cosα (-) + (-) = (-) β N = cos α - sen 2 2 (-) - (+) = (-) F = sen2α - sen2β (+) - (-) = (+) ` (-); (-); (+)

Resolución de problemas 33. tanb < 0; a > b y

x

β ! IIC & 90° < β < 180° β β 45° < < 90° & c m ! IC 2 2

& sen c θ m es (+) 4

& cos c 3θ m es (-) 4 A=

180° < θ < 270° & 36° < θ < 54° ...(IV) 5 5 5 5

& cos c θ m es (+) 5

Clave A

34. Si q ! IIIC:

180° < θ < 270° & 90° < θ < 135° ...(V) 2 2 2 2

& 180° < q < 270°

180° < 2β < 360° (2β) ! IIIC 0 IVC α ! IIIC & 180° < α < 270° 90° < α < 135° 2 & ` α j ! IIC 2

(+) = (-) (+) (-)

& tan c θ m es (-) 2

180° < θ < 270° & 60 < θ < 90 ...(I) 3 3 3 3 & tan c θ m es (+) 3

B=

(+) (+) = (-) (-) (+)

180° < θ < 270° & 45° < θ < 67, 5° ...(II) 4 4 4 4

C=

(-) (+) = (-) (+) (+)

` (-) (-) (-)

Clave B

ÁNGULOS VERTICALES APLICAMOS LO APRENDIDO (página 53) unidad 3

1.

Clave D

3.

Del gráfico: sen60° = H 80 ` H = 40 3 m

Clave B

2.

Clave A

5.

Del gráfico: a = 20 Además: a + x = 20 3 ^ 3 h a + x = 60 . 20 ` x = 40

3 = H & H = 80 3 2 80 2

x + 45(1) = 45 c 4 m & x + 45 = 60 3 ` x = 15 m

Piden: tanφ = H = 60 = 2 ` tanφ = 2 30 30

Dato: tanα = 0,6 = 3 5 Del gráfico: tanα = 60 x Entonces: 3 = 60 & x = 60.5 = 100 3 5 x

Clave C

` x = 100 m

4.

Clave D

6.

Por dato: tanα = 3 H = 3 & H = 60 m 20

Del gráfico: x + 45cot45° = 45cot37°


35

Piden: la distancia del avión al último piso del edificio (d). Del gráfico: dcos53° + 100 = 1000 dcos53° = 900 d c 3 m = 900 5

PRACTIQUEMOS

11.

Nivel 1 (página 55) Unidad 3 Comunicación matemática 1. 2.

` d = 1500 m


Clave B

3.

Del gráfico:

7. Considerar:

hcot37° = 35 + hcot53° 4 h - 3 h = 35 4 3

Debe avanzar 3 m La distancia de la primera posición hasta la torre debe ser 12 m.

7h = 35 & h = 60 m 12

Clave B

h = 4tan37°

12.

Clave E

4.

Por notable de 37° y 53°: 3k = 9 k=3 & x = 5k

` h=3m

` x = 15 m Clave C

Del gráfico: d = d1 + d2 d = 4(4) + 3(6) d = 16 + 18 d = 34 m

8.

Clave A

Del gráfico: x + 30cot45° = 30cot30° x + 30(1) = 30 ^ 3 h x + 30 = 30 3 ` x = 30 ^ 3 - 1h m

9.

Clave C

Resolución de problemas Clave D

13.

Por notable de 37° y 53°: a = 16 m b=9m & La altura del edificio: (a + b) = 16 + 9 ` (a + b) = 25 m

` x = hcotq

5.

Del gráfico: sen30° = H 60 1 2 & 1 = H & H = 60 = 30 2 2 60

Clave B

` H = 30 m

14.

Clave D

6.

Del gráfico: cosa = 18 = 1 & a = 60° 36 2

Clave A

10.

Del gráfico: 120cot30° = 120cot37° + x

d = 5(300) = 1500 m

36 Intelectum 2.°

Del gráfico: tan37° = 3 = 4

120 ^ 3 h = 120 c 4 m + x 3 120 3 = 160 + x 120 3 - 160 = x Clave C

H 24 H & H = 24.3 = 18 24 4

` H = 18 m

` x = 40(3 3 - 4) m Clave B

Clave B

7.

17.

12.


Del gráfico: sena = 1 2

α H

Del gráfico: cot37° = x 72 4 = x & x = 72.4 = 96 3 3 72 ` x = 96 m

3m

sena = 2 3 H

2 3 α 3m

2 3 =1 H 2

Clave C

Del gráfico: sen30° = H 500

Clave C

18.

tan37° = 120 - h 120 3 = 120 - h 4 120

Clave A

` h = 30 m


Clave A

30° 30° x

Clave B

h

Del gráfico:

x = 60cot60° = 60 c 3 m = 20 3 m 3 h = xtan30° = 20 3 c 1 m = 20 3 ` h = 20 m Nivel 2 (página 55) Unidad 3 Comunicación matemática 11.

Clave D

/

tan θ = 1 4

Del gráfico: tanα = H 36 7 = H & H = 21 12 36

16.

60 m

È= 2 7

Por dato: tanα = 7 12

` H = 50 m

10.

Del gráfico: sen30° = H 100 1 H & H = 100 = 2 2 100

H^ 3 + 1h = 10^ 3 + 1h

Piden: E = cotθ - cotβ Del gráfico: 35cotθ = 35cotβ + 10 35(cotθ - cotβ) = 10 cotθ - cotβ = 10 35

19.

15.

H 3 + H = 10^ 3 + 1h

Clave A

9.

` H = 10 m

Clave E

Del gráfico:

1 = H & H = 500 = 250 2 2 500

` H = 250 m

Reemplazando el valor de h: 4^ 3 + 1h^ 3 + 1h = 4^4 + 2 3 h = ^16 + 8 3 h km

` H= 4 3m

14.

Del gráfico la distancia de separación entre los puntos es: h + h 3 = h^ 3 + 1h

Igualando:

8.

Por dato: h = 4^ 3 + 1h km

tanθ =

H 36 + x

1 = H & 36 + x = 4H 4 36 + x 36 + x = 4(21)

` x = 48 m

Clave C

Del gráfico: x + 120cot45° = 120cot37° x + 120(1) = 120 c 4 m 3 x + 120 = 160 ` x = 40 m

Clave E

20.

Clave A


37

Del gráfico: Hcotθ = Hcotβ + D H(cotθ - cotβ) = D D `H= cot θ - cot β

En (I): h = 40tanβ = 40(0,25) = 10

d tan 60° Piden: H = h d^tan 60° - tan30°h

tan 60° H = h tan 60° - tan30°

Clave B

3

H = h


3- 3 3


= 3 3 = 3 = 1, 5 2 2 3

` H = 1, 5 h

21. 22.

Entonces, la altura de la torre será: h + 1,7 = 10 + 1,7 = 11,7

Clave B

30. Elaborando el gráfico:

Clave B

27.

Razonamiento y demostración 23. Del gráfico:

C

H = 24tan37° + 24tan45° H = 24( 3 ) + 24 (1) 4 ` H = 42 m

50cosθ

Sea H la altura del edificio, entonces, del dato: 2, = 1 & H = 14, 7 H Del gráfico: tanθ =

12, 12 = = 12.3 cot 60° 13. 3 13, cot 60° 13S 3 3

` tanθ = 12 3

θ

A

P

50

Clave B

B

53°


16 m

x

x

PH = 4, por el teorema de la bisectriz interior. P

Del gráfico: x + 10cotβ = 10cotα x = 10cotα - 10cotβ x = 10(cotα - cotβ) 4 (dato) ` x = 40 m

H

notable de 37° y 53°:

x

x = (16 m)(cot53°) & x = (16m) c 3 m = 12 m 4 ` x = 12 m Clave A


AB = 9cot37° = 9 c 4 m = 12 3

y

(-1; 3)

` AB = 12 m

53°/2 2

Clave E

Clave C

Clave D


25.

2θ

En el triángulo rectángulo ABC: sen θ = 20 cos θ = 20 = 1 100cos θ 100 5 ` senθ = 1 5

28.

C

20cosθ

20


13

` H=4 3 + 3 = 5 3 m Clave E

50

50cosθ

24.

Del gráfico: h = 8sen60° h = 4 3 m

θ

H

Clave C

θ

1 1

2

29.

1 (0; 2) 2

θ (-3; 0)

x

θ

tanq = 2 = - 2 -3 3

26.

` 3tanq = -2

Del gráfico: H = dtan60° H - h = dtan30° dtan60° & h = d(tan60° - tan30°)

38 Intelectum 2.°

Del gráfico: h = 20tanα = 40tanβ & tanα = 2tanβ Del dato: tanα + tanβ = 0,75 2tanβ + tanβ = 0,75 & 3tanβ = 0,75 tanβ = 0,25

...(I)

Clave B

3. Del gráfico tenemos: y B(6; 2) θ

θ

A 6

2 2

C(8; 2) 2 D 8

x

Como q ! IIIC: & senq = - 4 5 Luego:

Sabemos:

tanq = 6 = 1 2 3

Clave D

4. Tenemos:

L1: (a - 2)x - 3y + 8 = 0 y L2: (2 - 2a)x + (2a + 1)y + 6 = 0 - (a - 2) - (2) - 2a & M1 = / M2 = 2a + 1 (- 3)

Sabemos por dato: m1 = m2 & a - 2 = 2a - 2 3 2a + 1 2a2 - 3a - 2 = 6a - 6 2a2 - 9a + 4 = 0 a = 1 / a = 4 2

A 3 -2 2

5 53° 5

5 2 D

C(5; 4) 4

3

x

A = (-2; 3) & ordenada A = 3

sen2q + cos2q = 1

Clave B

Clave E

A (x, y) + C (2, 5) 2 + x 2 -1 = & -2 = x + 2 2 x = -4 y+5 2= & 4=y+5 2 y=-1

Clave C

9. De los datos:

C(8; 5) 2k

k

cosq > 0

(+)

tanq < 0

(-)

5senq

sen csc (+)

Todas (+)

tan (+) cot

cos sec (+)

x

Clave C

8. De la ecuación tenemos:

5senq

& senq < 0 (-) y

& A(x; y) = (-4; -1)

` q ö IVC

25sen2q + 10senq - 8 = 0

6. Tenemos:

- 4 2 + cos2q = 1 & cos2q = 9 m 5 25 (q ! IIIC) cosq = 3 5 2 ` cosq + 1 = 5 c

` B = (0; 1)

Nos piden: y tanq = = - 1 x -4 ` tanq = 1 4

53°

37°

4

k (5) + 2k (- 1) 5k - 2k = =1 3k k + 2k

1 B(1; 7)

5

y=

& B(-1; 2) =

Clave C

5.

k (8) + 2k (- 4) 8k - 8k = =0 3k k + 2k

7. Notamos que B es punto medio de AC.

(a > 1) ` a = 4 y

x=

Clave A

4 & (5senq + 4) = 0

-2

(5senq - 2) = 0

B(x; y)

A(-4; -1)


39

Unidad 4

Reducción al primer cuadrante

APLICAMOS LO APRENDIDO (página 61) Unidad 4 1. M =

2

_sec 60° i - _- cos 45° i

` M =- 9 3 32

_sen45° i - _- csc 30° i

_2 i + d 2 n 2 M= = 4+ 2 = 1 4+ 2 2 d n + _2 i 2

E = - cos210°

Clave E

_sen60° i_- tan 45° i

14. csc(90 - A) - xcosA . cot(90 - A) = sen(90 - A)

secA - xcosA . tanA = cosA secA - xcosA . senA = cosA cos A secA - xsenA = cosA 1 - cosA = xsenA cos A

...(F)

...(V)

1 - cos 2 A = xsenA cos A

` FFV Clave C

È=2 Clave A

3. sen(180° - 30°) + 2cos(180° + 30°) + tan(360°

- 60°) + sen(360° - 30°)

8. Q =

- cot x - _+ tan x i

= - cot x - tan x csc y + seny + csc y + _+ seny i

` Q = - tan x - cot x csc y + seny

= sen30° - 2cos30° - tan60° - sen30°

Clave B

Clave C

4. tan(180° - 30°) + tan(180° - 45°)

+ tan(180° - 60°)

Q = - 2 d 3 3 n =- 3 6 2 2 4 ` Q =- 3 6 4

= (-tan30°) + (-tan45°) + (-tan60°)

2

= 2+1 = 3 4 4 4

` sen2(405°) + cos2(480°) = 3 4 2

3

3

M = (sen60°)2 (-cos30°)3

40 Intelectum 2.°

Clave D

6. sec2360° = sec(360° # 6 + 200°) = sec200°

Clave E

7. tan2870° = tan(360° # 7 + 350°) = tan350° Clave B

6. M = [sen(360° # 9 + 120°)] . [cos(360° # 5 + 150°)]

sec200° = sec(180° + 20°) = -sec20°

M=6 3 3 3 M=6

Clave C

Clave D

` sec2360° = -sec20°

M = 6 3 tan30°

2

tan135° = -tan45° = -(1)

11. M = 6 3 cot(270° - 30°)

= sen245° + cos260° = d 2 n + d 1 n 2 2

tan1230° = -tan30° = - 3 3 3 ` tan1230° = 3

` tan855° = -1 Clave E

= [sen45°]2 + [cos120°]2

Clave C

5. tan855° = tan(360° # 2 + 135°) = tan135°

E = 3(1) + 4 d 1 n - 3(1) = 3 + 2 - 3 = 2 2 È=2

5. [sen(360° + 45°)]2 + [cos(360° + 120°)]2

3 2

3 2

tan150° = tan(180° - 30°) Clave E

E = 3tan45° + 4cos60° - 3cot45° Clave C


4. tan1230° = tan(360° # 3 + 150°)

+ 3cot(180° - 45°)

= -4 3 - 3 3


E = 3(tan45°) - 4(-cos60°) + 3(-cot45°)

= -3 3 - 3 - 1 = -4 3 - 1 3 3


` sen1560° =

10. E = 3tan(180° + 45°) - 4cos(180° - 60°)

=- 3 - 1 - 3 3

PRACTIQUEMOS

sen120° = sen60° =

Q=- 2 < 3 + 3F 2 2

= - 3 - 3 =- 2 3

Clave C

3. sen1560° = sen(360° # 4 + 120°) = sen120°

9. Q = -sen45° [cos30° - (-tan60°)]

= - 2d 3 n - _ 3 i 2

& x = tanA

2.

= sen30° + (-2cos30°) + (-tan60°)+ (-sen30°)

M = (sen120°) (cos150°)

Clave E

- senx

_1 i E = tan 45° = =2 cos 60° 1 d n 2

= sen245° + (-cos60°)2

` E = - a2

+ cosx sen(360° - x) = -senx

_- sen60° i_cos 60° i

E = - a2

...(F)

+ tanx cos(360° - x) = -cosx

2

E = (cos10°) . (-cos10°)

Clave B

7. tan(180° + x) = -tanx

`M=1

2. E =

13. E = sen(90° + 10°) . cos(180° + 10°)

3

M = d 3 n d- 3 n = d 3 n . d- 3 3 n 2 2 4 8

tan350° = tan(360° - 10°) = -tan10° ` tan2870° = -tan10°

12. N = 3 3 - 2cos(90° + 60°)

N = 3 3 - 2(-sen60°)

Clave D

8. tan3540° = tan(360° # 9 + 300°) = tan300°

N = 3 3 +2 d 3 n 2

tan300° = tan(360° - 60°)

N=4 3 Clave A

= -tan60° = - 3

` tan3540° = - 3

Clave E

E = (-1) + (-1) = -2

9. sec4650° = sec(360° # 12 + 330°)

sec330° = sec(360° - 30°) = sec30° = 2 3 3

= tan60° = 3

M = 8(sen(180° - 60°))2 - 1 M = 8(sen60°)2 - 1

`R=0

19. E =

Clave C

2 + sec225°

E = 2 - sec45° = 2 - 2 = 0


È=0

11.

Clave C

20. M = 3 - sec3000°

M = 3 - sec(360° # 8 + 120°)

13. A = 2 - 10sen330°

M = 3 - sec120°

A = 2 - 10sen(360° - 30°) A = 2 - 10(-sen30°) = 2 + 10sen30° A = 2 + 10 c 1 m = 2 + 5 = 7 2 À=7

14. E = 4 3 (cos210°)

Clave D


E = (-cot45°) + (-tan45°)

R = 6 3 sec(180° + 30°) = 6 3 (-sec30°) R = - 6 3 sec 30° = - 6 3 # 2 3 3 6 2 3 # # = - 12 R= 3

2

R = 1 + 8 c 2 m = 1 + 8c 2 m 2 4

R=1+2#2=5 `R=5

Clave A

Clave D

30. (csc150°)2x - 6 = 256

(csc30°)2x - 6 = 256

(2)2x - 6 = (2)8

24. S = 4 - 6 3 (sen300°) Clave C

Clave D

R = 6 3 (sec210°) = 6 3 sec210°

R = 1 + 8(cos45°)2

E = 2 - tan(180° - 45°) E = 2 - (-tan45°) E = 2 + tan45°= 2 + 1 = 3 1 È=3

E = cot(180° - 45°) + tan(180° - 45°)

sec330° = sec30° = 2 3 3 2 3 A = 8 3c m = 16.3 = 16 = 4 3 3

29. R = 6 3 [sec(-210°)]

R = 1 + 8(cos(360° + 45°))2

16. E = 2 - tan135°

17. E = cot135° + tan135°

sec330° = sec(360° - 30°)

23. R = 1 + 8(cos405°)2

Clave A

Clave D

À=4


2 cos315°

3 ^4 3 - ^- tan 60°hh

T = 3 ^4 3 + tan 60°h = 3 ^4 3 + 3 h 3 T = 3 ^5 3 h = 5 # 3 = 15

22.

S = 2 cos(360° - 45°) S = 2 (cos45°) S= 2c 2 m= 2 = 1 2 2 `S=1

T=

28. A = 8 3 ^sec 330°h

Clave E

15. S =

3 ^4 3 - tan ^360° - 60°hh


E = 4 3 [cos(180° + 30°)] E = 4 3 (-cos30°) E = - 4 3 c 3 m = -2 . 3 = -6 2 ` E = -6

T=

` T = 15

M = 3 - (-sec60°) = 3 + sec60° 2 M=3+2=5 `M=5

Clave D

Clave A

27. T = 3 ^4 3 - tan 300°h

2

12.

E = 2 + (-sec45°)



2

M = 8c 3 m - 1 = 8c 3 m - 1 = 6 - 1 = 5 2 4 `M=5

E = 2 + sec(180° + 45°)

Clave B

Clave B

26. M = 8(sen120°)2 - 1

R = 3 - 3 = 0 2 2

` tan(-300°) = 3

R = sen60° - cos30°

-tan(300°) = -tan(360° - 60°)

M = 3 . csc60° = 3 c 2 3 m = 3.2 = 2 3 3

R = (+sen60°) + (-cos30°)

10. tan(-300°) = -tan(300°)

= -(-tan60°)

M = - 3 (-csc120°) = 3 csc120°

`M=2

R = sen(180° - 60°) + cos(180° + 30°) Clave D

Clave C

18. R = sen120° + cos210°

` sec4650° = 2 3 3

25. M = - 3 [csc(-120°)]

` E = -2

= sec330°

S = 4 - 6 3 (sen(360° - 60°))

S = 4 - 6 3 (-sen60°) = 4 + 6 3 sen60°

2x = 14

S=4+6 3c 3 m= 4+ 6#3 2 2 ` S = 13

& 2x - 6 = 8

`x=7

Clave E

Clave E


41

Identidades Trigonométricas APLICAMOS LO APRENDIDO 1. L = cos2a(1 + tan2a)

identidad

D=

A = (1 - senx) - (1 - cosx) A = 1 - senx - 1 + cosx ` A = cosx - senx

D = 2senx . cosx . csc x 2 cos x

^1 + cos xh

7. tanx + cotx = 3 (dato)

`L=1 Clave C

2. Por factor común tenemos:

csc 2 x (sec 2 x - 1) tan2x = sec2x - 1 & C= 2 2 sec x (csc x - 1) cot2x = csc2x - 1 Reemplazamos en C: csc 2 x (tan 2 x) = sec 2 x (cot 2 x)

C=

csc 2 x . sen 2 x . sec 2 x sec 2 x . cos 2 x . csc 2 x

C = tan 2 x ; x ! IC Clave B

3. Sabemos: sec2x = tan2x + 1; reemplazamos 2

cos x + tan x = 1 2

2

cos x + tan x + 1 = 1 + 1 2

cos x + sec x = 2 cos2x + sec2x + 2secx . cosx = 2 + 2

cosx + secx = 4

cosx + secx = 2

sen 2 x + cos 2 x = 3 senx. cos x

& sen2x + cos2x = 3(senx . cosx) 1 & senx . cosx = 1 3

& M = 1 - cos2x

Piden: Q = senx(cscx + cosx) + cscx(senx + secx) Q = senxcscx + senxcosx + cscxsenx + cscxsecx 1

+ senxcosx + 1 +

Q = 2 + senxcosx +

2

2

2

Clave B

2

sen2x + cos2x + 2senx . cosx = 5 4 1 + 2senx . cosx = 5 4 & 2senx . cosx = 1 4

2

A = sen x + cos x Clave E

10. Desarrollamos la expresión:

D=

PRACTIQUEMOS Comunicación matemática

Clave C

` A=1

Clave B


1 L=1+1+1-2 & L=1

A = senx(senx)+ cosx(cosx)

senx . cosx = 1 8

L = senq(cscq + senq) + cosq(secq + cosq) - 2

L = 1 + sen2q + 1 + cos2q - 2

1 - cos2 x = 1 - cos2 x = sen2 x = senx senx senx senx senx

(senx + cosx)2 = d 5 n 2


L = senq . cscq + sen2q + cosq . secq + cos2q - 2

5. A = senx + cos x 1 1 d n d n senx cos x

E=

14. Elevamos al cuadrado la expresión:

Clave E

csc a = 5

1 + cot x - cot x - cos2 x senx senx

Clave B

& m = 17 / n = 16 ` m-n=1

2

E=

` E = senx

+ 8senxcosx = m + nsenxcosx

csc2a = 1 + (2)2

42 Intelectum 2.°

2

17(1) + 16senx . cosx = m + n senx . cosx

csc2a = 1 + cot2a

Clave C

E = cscx + cos x - cot x - b cos x l . cos x senx senx

Clave E

17(sen2x + cos2x) + 16senx . cosx = m + nsenx . cosx

Nos piden:

1 - tan x tan2 x

tan2 x - 1 1 + sec2 x & -tan2x + sec2x tan2 x - 1 1 - tan2 x

1 senx cos x

17sen x + 17cos x + 16senx . cosx = m + nsenx . cosx

2sena = cosa 2 = cos α = cota = 2 senα

_1 - sen 2 x i _1 - cos 2 x i 6. A = 1 + senx 1 + cos x

1 -1 tan2 x

16sen x + cos x + 8senxcosx + sen x + 16cos x

2sena - cosa = 0

2

1 senx cos x

13. E = cscx + cscx . cosx - cotx - cotx . cosx

Clave A

4. Simplificamos el dato:

2 1 - sen x = M 2 sen x f 2 p cos x

2 2 12. tan x - 1 + sec2 x & tan x -2 1 + sec2 x

(4senx + cosx)2 + (senx + 4cosx)2 = m + nsenx . cosx

2

tan x

Clave D

Q= 2 + d1 n+ 1 = 5 + 1 3 3 1 d n 3

2

tan x

` M = sen2x


1 (cosx + secx)2 = 4

tan x

Q = 16 3

2

Clave A 2 2 2 2 11. tan x -2sen x = M & tan 2 x - sen2 x = M

senx + cos x = 3 senx cos x

Q=

C = tanx

2

D = senx . cscx & D = 1

Clave B

L = cos2a . sec2a = 1 recíprocas

(1 + 2senx . cosx - 1) csc x 2 cos x

1 senxh^1 - senxh ^1 + cos xh^1 - cos xh A= ^ + ^1 + senxh


(sen 2 x + cos 2 x + 2senx . cos x - 1) csc x 2 cos x

1. 2.

A) 2sen2a + 2cos2a = 1 2(sen2a + cos2a) = 1 (F) sen a . csc a B) tana . cota = (V) cosa . seca

C) cota . sena = cosa cota = cosa (V) sena D) sec2a - 2tan2a = 1 sec2a - tan2a = 1

(F)

E) tana + cota = seca . csca sena + cosa = seca . csca cosa sena sen a + cos2 a = seca . csca cosa . sena 1 $ 1 = seca . csca (V) cosa sena

Razonamiento y demostración 2

3. A = (3senx + cosx) + (senx - 3cosx)

U=

U=

2

8. U =

U=

1 - senx - cos x

^sen2 x - 2senx + 1h + ^cos2 x - 2 cos x + 1h - 1

+ 9cos x - 6senxcosx

2

^sen x + cos x - 1h + ^2 - 2senx - 2 cos xh

2^1 - senx - cos xh =2 ^1 - senx - cos xh 2

1

Clave B

4. L = sec2x . cotx . senx

L = sec x . cos x senx = sec2x . cosx senx L = secx . secx . cosx = secx 2

` L = secx

5. C =

C=

^senx + cos x + 1h^senx + cos x - 1h

senx cos x

9. L = (sen x - cos x) + 4sen xcos x

2

Clave B

6. D = sec2x . csc2x - (tanx - cotx)2

D = sec2x . csc2x - (tan2x - 2tanxcotx + cot2x) 1

7. L = sec x. csc x + tan x

tan x sec x . csc x + tan x L= tan x tan x 1 sec x . csc x sec x . cos x. csc x + 1 +1 = L= senx ^senxh ^cos xh & L = csc x + 1 = csc2 x + 1 ` L = csc2x+ 1 senx

2

4

Clave B

4

(V)

2

2

• sen q + cos q = 1 - 3sen q . cos q 1 - 2sen2q . cos2q ! 1 - 3sen2q . cos2q

Clave A

1 - cosq 10. A = secq - cosq = cosq 1 - senq cscq - senq senq ^1 - cos2 qh 3 ^sen2 qh senq cos q = = sen3 q A= 2 2 ^1 - sen qh ^cos qh cos q cos q senq

` A = tan θ

Clave E

Clave D

14. 15. C = tan2x . cosx . cscx

C = tan2x . cos x = tan2x . cotx senx C = tanx . tanx . cotx = tanx 1

Clave B

2 2 16. I = senx. sec x. tan2x + sen x. sec x

sec x - 1

cscx . tanx . cos2x - cot x = asenx csc x

I=

cos x 1 . senx . cos 2 x - senx = asenx 1 senx cos x senx cosx - cosx = asenx 0 = asenx a = 0 ` a2 + 1 = 1

senx c 1 m` senx j + sen2 x c 12 m cos x cos x cos x 2

2

tan2 x

sen x + sen x 2 2 ` senx j 2 2 2 x cos x cos x cos = = 2 tan2 x I= 2 2 tan x tan x tan x Ì=2 Clave D

Clave B

2 x. csc x 17. U = tan x. cos x + sen 2

Msecx . cscx - Msecx . senx - cosx . cscx + cosx . senx = senx . cosx

1 - cos x 1 senx cos x + senx.senx. csc x ` j U = cos x sen2 x

M = M senx + cos x senx . cos x cos x senx

= 2 U = senx +2senx = 2senx sen2 x senx sen x

2 2 M = Msen x + cos x senx . cos x senx . cos x

` U = 2cscx

2

(F)

` II y IV son falsas

` C = tanx

3

(Msecx - cosx)(cscx - senx) = senx . cosx Clave D

1 + cos 3 x. 1 = 1 senx cos x

sen2x + cos2x = 1

12. De la expresión, tenemos:

D = sec2x + csc2x - tan2x - cot2x + 2 D = 1 + 1 + 2 ` D = 4

sen3x .

L = (sen2x + cos2x)2

11. Operamos la expresión:

2 2 C = sen x + cos x + 2senx cos x - 1 senx cos x C = 1 - 1 + 2senx cos x = 2senx cos x = 2 senx cos x senx cos x

(F)

• sen3x . cscx + cos3x . secx = 1

L = sen4x - 2sen2xcos2x + cos4x + 4sen2xcos2x

(1)

(V)

sen2 x + cos2 x ! cscx cos x + senx

2


senx cos x

`C=2

Clave B

3

Clave C

^senx + cos xh2 - 1

2

Ù=2

A = c senq m = tan3 q cos q

1

2 2

• tanx + cotx = cscx senx + cos x = cscx cos x senx

1 - senx - cos x

`L=1

senx . cosx = senx cos x

2

2

A = 10(sen x + cos x) = 10 ` A = 10

13. • tanx . cosx = senx

1 - senx - cos x

2

2


L = sen4x + 2sen2xcos2x + cos4x

2

A = 9sen2x + cos2x + 6senxcosx + sen2x

A = 10sen2x + 10cos2x


^senx - 1h2 + ^cos x - 1h2 - 1

2

M = Msen x + cos x

Clave B

18. A = 6(sen4x + cos4x) - 4(sen6x + cos6x)

M(1 - sen2x) = cos2x

` M=1 Clave C

.

.

A = 6(1 - 2sen2xcos2x) - 4(1 - 3sen2xcos2x)

A = 6 - 12sen2xcos2x - 4 + 12sen2xcos2x


43

A = 6 - 4

23. Multiplicamos R por cos2x:

À=2 Clave B

19. C = sec x. csc x - senx - cot x

2

sen x^1 - cos xh = senx senx. cos x (1 - cos x) cos x Clave B

cos q^1 + tan qh cos q + cos q. tan q = 20. A = senq^1 + cot qh senq + senq. cot q cos q + cos q c senq m cos q = cos q + senq = 1 A= senq + senq c cos q m senq + cos q senq

Clave B

21. A = csc q - cos q

R=

sec2 x + cos2 x csc4 x - sec2 x csc4 x 1 o 2 e cos x csc x2 csc2 x csc2 x

R=

sen2 x + cos2 x 1 1 o 2 e cos x cos2 x sen2 x sen2 x . cos2 x

R=

1 sen4 x + cos4 x - 1 o 2 e cos x sen2 x . cos2 x

R = -2sec2x Clave D


Ù=1+1=2

Clave B

D=

1 - sen x 1

cos x. cos x. sec x + 2 ` cos x j .senx senx cos2 x

D = cos x + 22 cos x = 3 cos2 x = 3 cos x cos x cos x

Comunicación matemática 2 2 24. M = 1 - 2sen2 x cos2 x + 3

` D = 3secx

1 - 3sen x cos x + 5 2

Clave D

2 2 2 29. A = sec x csc x - sec x - 1

cot x

sec2 x^csc2 x - 1h - 1 sec2 x^cot2 xh - 1 = A= cot x cot x

2 2 N = ` senx $ cos x j + ` cos x $ senx j senx cos x

1 cos2 x - 1 1 -1 o 2 e 2 cos x sen2 x sen x = A= cot x cot x

N = sen2x + cos2x & N = 1 2 & M = 3 =2 N 1 3

2 2 A = csc x - 1 = cot x = cot x cot x cot x

` A = cotx

Clave C

Clave E

22. Dividimos las expresiones:

A = senx(senx + cosx - 1) B = secx + tanx(cosx - 1)- 1

25. Por teoría, tenemos:

2

I. (1 + senx + cosx) = 2(1 + senx)(1 + cosx) ` A=2

2 A = sen x + senx (cos x - 1) B sec x + tan x (cos x - 1) - 1

II. tanx + cotx = (secx . cosx) ` B=1

2 A = 1 - cos x + senx (cos x - 1) B 1 + senx (cos x - 1) - 1 cos x cos x

A = (1 - cos x) (1 + cos x - senx) B (1 - cos x) c 1 - senx m cos x

^tan x + 2 cot xh2 + ^2 tan x - cot xh2

tan2 x + cot2 x

Ù=3

tan2 x + cot2 x

2

31. A = senq + cot q =

csc q + tan q

2

5^tan x + cot xh ^tan2 x + cot2 xh

L=

A = 1 + senx + cosx B

`L=5

6 4 44 7 4 44 8 2 2 U = sen2 x + cos2 x + 2senx cos x + 4senx cos x - 1 sen x + cos x - 2senx cos x + 4 cos xsenx - 1 1 4 44 2 4 44 3

Clave C

^tan2 x + 4 tan x cot x + 4 cot2 xh + ^4 tan2 x - 4 tan x cot x + cot2 xh

A = (1 - senx) (1 + senx) + cos x (1 - senx) B (1 - senx)

Clave B

sen2 x + 2senx cos x + cos2 x + 4 senx . cos2 x - 1 cos x sen2 x - 2senx cos x + cos2 x + 4 cos x .sen2 x - 1 senx

U = 1 + 6senx cos x - 1 = 6senx cos x 1 + 2senx cos x - 1 2senx cos x

2 2 x L = 5 tan2 x + 5 cot tan x + cot2 x

2 A = cos x + cos x (1 - senx) B 1 - senx

^senx - cos xh2 + 4 cot xsen2 x - 1

1


L=

2 ^senx + cos xh2 + 4 tan x cos x - 1

1

Clave B

26. L =

30. U =

U=

& A+B=2+1=3

A = (1 - cos x) (1 + cos x) - senx (1 - cos x) B 1 + senx (cos x - 1) - cos x cos x

44 Intelectum 2.°

Entonces: U = sec2x + csc2x - tan2x - cot2x U = sec2x - tan2x + csc2x - cot2x 1 1

` 3M = 2N


sen x + cos x 1 U = sec2x . csc2x - tan2x - cot2x Por identidad auxiliar:

2 28. D = cos x. sec x + 22cot x.senx

2 x cos2 x R = 12 e - 2sen o 2 cos x sen x . cos2 x

N = (tanx . cosx)2 + (cotx . senx)2

Clave B

2 2 2 2 27. U = sec x. csc 2x - tan 2x - cot x

sec2x . csc2x = sec2x + csc2x

M = 4 - 2sen2 x cos 2x & M = 2 3 6 - 3sen x . cos x

cos q^1 - senq cos qh cos q = = cot q A= senq^1 - senq cos qh senq

2

2

sec q - senq 1 - cos q 1 - senq cos q senq = A = senq 1 - senq 1 - senq cos q cos q cos q

` A = cotθ

4

4 2 4 R = sec x + cos x2csc x -2 sec x csc x cos x . csc x

64 748 2 2 1 C = - cos x - sen x cos x senx. cos x^1 - cos xh

` A=1

4

R = e cos2 x o sec x + csc x -2 sec x . csc x cos x csc x

2

sen2 x

4

cos2 x . csc2 x

1 - senx - cos x senx C = senx cos x 1 - cos x

` C = tanx

4

2 4 2 4 2 4 4 R = cos x . sec x + cos x csc x - cos x sec x . csc x

1 - cos x

C=

2

Clave B

sen2 q + cos q senq A= cos q + sen2 q senq. cos q

senq + cos q senq 1 + senq senq cos q

A=

senq. cos q^sen2 q + cos qh senq^cos q + sen2 qh

L=

b

Clave C

^senx + cos x + 1h^senx + cos x - 1h

senx. cos x

^senx + cos xh2 - 1

senx. cos x

2 2 L = sen x + 2senx cos x + cos x - 1 senx. cos x 1 2 2 L = sen x + cos x - 1 + 2senx cos x senx cos x L = 1 - 1 + 2senx cos x senx cos x 2 senx cos x = 2 L= senx cos x

33. A = sec x. csc x - cot x senx

^1 - cos2 xh 1 - cos x cos xsenx senx = senx cos x A= senx senx

Clave D

Resolución de problemas 34. Hallamos la expresión M:

n

n

Reemplazamos en k: k = (1 + tana)(1 + tanb) - 2 k = (1 + cotb)(1 + tanb) - 2 k = c1 +

cos b senb mc1 + m -2 senb cos b

M = sen2x + cos2x + cot2x M = 1 + cot2x

k=

(senb + cos b) (cos b + senb) -2 senb . cos b

•

k=

sen2 b + cos2 b + 2senb cos b -2 senb . cos b

k=

(1 + 2senb . cos b) -2 senb . cos b

k=

2senb . cos b 1 + -2 senb . cos b senb . cos b

Reemplazamos en C. 2 2 x ; x ! IC C = sen x + csc 2 1 + cot x Clave A

a

& tana = cotb

4 2 2 2 M = sen x + sen x cos2 x + cos x 1 - cos x 4 2 + sen x sen x cos2 x + cos2 x M= sen2 x 4 2 2 x + cos2 x M = sen2 x + sen x cos 2 sen x sen x sen2 x

2

`L=2

35. Tenemos un triángulo rectángulo

sen2 x = 1 = sec x sen2 x. cos x cos x

` A = secx

` A = cosθ

32. L =

A=

2

2

C =

sec x + csc x ; x ! IC csc2 x

C =

sec2 x + csc2 x ; x ! IC csc2 x csc2 x

k = cscb . secb + 2 - 2

C = 1 + tan 2 x = sec 2 x = sec x ` C = secx

k = cscb . secb = seca . secb Clave B Clave C


45

Sistema Métrico Decimal 8. 30 dag & S/.1,50

APLICAMOS LO APRENDIDO (página 70) Unidad 4 1. Hallamos la equivalencia:

&x=

1hm3 = 1(100 m)3 = 106m3 Desarrollamos: 1 hm3 x

106 m3

k = 0,3 kg + 5,48 kg + 43,22 kg + 6 kg

S/.18, 00 # (30 # 0, 01 kg) S/.1, 50

k = 55,00 kg

3

` x = 0,0035 hm

Clave B

` x = 1 # 105 cm2

Clave D

-3

3

-3

2

3

3

Lunes & 10 dm = 10 (10 mm) = 1 # 10 mm Miércoles & 1200 mm

x = 0,33 dag = 0,33(102 dg) = 33 dg Clave C

4. a + x = 0,8 m = 80 cm

Jueves & 750 cm3 = 750(10 mm)3 = 75 # 104 mm3 Viernes & 10-11 hm3 = 10-11(105 mm)3 = 104 mm3

` El día de mayor consumo es jueves.

2

2

4

2

2

2 salas & 2 # 4500 dm2 = 9000 # 10-2 m2 = 90 m2 Hallamos el área total: AT = 410 m

100 km 265 km

2

Clave C

11. Hallamos los metros que abastece 1 balde:

Clave A

4. 800 dm = 800(10-2 dam) = 8 dam

0,2 km = 0,2(102 dam) = 20 dam x + 8 dam = 20 dam ` x = 12 dam

Clavo E

5. 0,3 l = 0,3(102 cl) = 30 cl

10-5 hl = 10-5(104 cl) = 0,1 cl

x = 30 cl + 0,1 cl = 30,1 cl Clave C

6. 900 dal = 900(10-2 kl) = 9 kl

x + 9 kl = 12 kl & x = 3 kl = 3000 l

x = 200 hm + 800 dam + 12 000 m

Clave B

x = 20 000 m + 8000 m + 12 000 m Clave E

7. 0,02 hg = 0,02(104 cg) = 200 cg

x = 40 000 m

3 Dividimos: n.º baldes = 1200 # 10 m = 30 baldes 40000m

Clave A

2 # 21,73 l = 43,46 l

Clave A

& S/.0,48 & 400 g

30 dag - S/.1,50 & S/.1,50 & 300 g A & S/.7,5 & 1500 g 0,8 mag - S/.12,00 & S/.12,00 & 8000 g Z & S/.0,3 & 200 g 1200 g - S/.2,40 & S/.2,40 & 1200 g F & S/.0,8 & 400 g Hallamos la suma total: S = S/.0,48 + S/.7,5 + S/.0,3 + S/.0,8 = S/.9,08 Clave B

300 mg = 300 (10-1 cg) = 30 cg

x = 200 cg - 30 cg = 170 cg

CT = 0,48 mal + 3 # 106 cl CT = 4800 l + 3000 l = 7800 l

0,2 hg = 0,2(103 dg) = 200 dg

x + 3 dg = 200 dg & x = 197 dg

Hallamos el tiempo: 12 dal & 1 min 120 l & 1 min 7800 l & x & x = 7800 l # 1 min 120 l x = 65 min ` x = 1 h 5 min

Clave A

9. 0,000004 hm3 = 4 # 10-6(103 dm)3 = 4 # 103 dm3

1 m3 = 1 # 103 dm3

x = 4 # 103 dm3 - 1 # 103 dm3 = 3 # 103 dm3 ` x = 3000 dm3 Clave C

Clave E

10. 0,004 m2 = 4 # 10-3(102 cm)2 = 40 cm2

13. 5000 dag < x < 650 hg

1000 mm2 = 103(10-2 cm2) = 10 cm2

50 kg < x < 65 kg ` x = 18

Clave D

8. 0,0003 kg = 0,0003(104 dg) = 3 dg

12. Hallamos la capacidad total a llenar:

7. 0,5 kg - S/.0,60 & 1 kg - S/.1,20 & 1000 g P

46 Intelectum 2.°

34,6 dam = 34,6(10 m) = 346 m

AT = 150 m2 + 30 m2 + 60 m2 + 80 m2 + 90 m2

6. Hallamos la cantidad de combustible usado:

Gastaremos: P = (S/.15)(43,46) P = S/.651,9

Razonamiento y demostración 3. 2,7 hm = 2,7(102 m) = 270 m

1 cochera & 80 # 10-6 km2 = 80 # 10-6 # 106 m2 = 80 m2

0, 082 # 10 2 l (265) = 21,73 l & y= 100 Total consumido: T = 19,875 l + 21,73 l = 41,605 l

2

1 cocina & 0,006 hm = 0,006 # 10 m = 60 m

265 (7, 5 l) = 19,875 l 100

El auto B: 0,082 hl y

2

2

100 km 265 km

2.

x = 270 m + 346 m = 616 m

1 comedor & 0,3 dam = 0,3 # 10 m = 30 m

Clave E

1.

Clave D

= 150 m2

2x + a + b = 136 cm 2x + 0,0066 hm = 136 cm 2x + 66 cm = 136 cm 2x = 70 cm & x = 35 cm

Nivel 1 (página 72) Unidad 4 Comunicación matemática

10. 3 dormitorios & 3 # 500 000 cm2 = 3 # 50 m2

x + b = 560 mm = 56 cm

PRACTIQUEMOS

3

Domingo & 10-8 dam3 = 10- 8(104 mm)3 = 104 mm3

` x = 33 dg

` n.º de estudiantes = 4 + 10 + 5 = 19 Clave A

3

Sábado & 800 mm3

3. Hallamos la equivalencia:

x

9. Convertimos todos los volúmenes a mm3

Martes & 10-6 m3 = 10-6(103 mm)3 = 1 # 103 mm3

x = 0,001 hm2 = 0,001(104 cm)2 = 0,001 # 108 cm2

5. El auto A: 7,5 l

El número de estudiantes: x < 55 kg

Clave D

3500 m3

2. Hallamos la equivalencia:

& x=

k = 300 g + 548 dag + 432,2 hg + 6 kg

x & S/.18,00 ` x = 3,6 kg

3 3 & x = 3500m6 . 13hm 10 m

14. Hallamos el valor de k:

30(0,01 kg) & S/.1,50

Clave C

40 cm2 - x = 10 cm2 & x = 30 cm2

Clave D

AT = A + B

Resolución de problemas 11. De la moto: 90 hm - 2 horas

45 hm - 1 hora 4,5 km - 1 hora Del auto: 1800 dam - 1 hora 18 km - 1 hora Cuando el auto alcanza a la moto han recorrido la misma distancia, entonces: (4,5 km)(x + 4) = (18 km)(x) 4,5x + 18 = 18x 18 = 13,5x x = 1,3 horas

Tenemos: S/.1, 20 S/.6, 40 (B g) = S/.14,40 (A g) + 300g 4000g

AT = (3 cm)(6 cm) + (30 cm)(12 cm) AT = 18 cm2 + 360 cm2 AT = 378 cm2

96k + 19, 2k = 1440 120

19. Aplicamos teorema de Pitágoras: 2

2

2

(AB) + (BC) = (AC)

115,2 (k) = 120(1440)

x2 + (0,04 dm)2 = (0,005 m)2

k = 1500 & A = 2k

x2 + (4 mm)2 = (5 mm)2 2

Clave E

2

x = 25 mm - 16 mm

& A = 2(1500 g) = 3000 g

2

` A = 3000 g = 3000(10-2 hg) = 30 hg

x2 = 9 mm2 & x = 3 mm

12. 1,8 kl = 500 l + 400 l + x

Clave E

El área del triángulo: b . h = (4 mm) (3 mm) = 6 mm2 2 2

1800 l = 900 l + x & x = 900 l Dividimos entre la capacidad de cada botella. & n.º botellas = 900 l = 600 1, 5 l

Clave A

Nivel 3 (página 73) Unidad 4 Clave A

20. CT = 1080 l + 42,6 hl + 37,5 kl

23. M =

` M = 4 cm Clave C

13.

N=

0, 022 m # 20 mm + 0, 009 m # 0, 4 dm 4 # 0, 0005 dam

N=

2, 2 cm # 2 cm + 0, 9 cm # 4 cm 0, 002 dam

N=

4, 4 cm2 + 3, 6 cm2 8 cm2 = 2 cm 2 cm


14.

21. Transformamos la lista en una sola unidad de

masa(gramo):


Plátano

0,05 mag = 500 g # S/.2,80

36 m & 36(102 cm) = 3600 cm

Manzana

3000 dg = 300 g # S/.1,20

56 dm & 56(10 cm) = 560 cm

Papaya

400 dag = 4000 g # S/.6,40

Hallamos la altura total

Naranja

6 hg = 600 g # S/.2,40

15. 2 dam & 2(103 cm) = 2000 cm

h = 2000 cm + 3600 cm + 560 cm ` h = 6160 cm

Clave A

16. 40 hl & 40(103 dl) = 40 000 dl

365 dal & 365(102 dl) = 36 500 dl

Transformamos la lista de campos: plátano 5000 g 4 hg = 400 g manzana 0,1 mag = 1000 g papaya 2 kg = 2000 g naranja Calculamos el gasto total :

250 l & 250(10 dl) = 2500 dl La capacidad total es:

plátano 5000 g & 10 (S/.2,80) = S/.28,00

C = 40 000 + 36 500 + 2500

manzana 400 g &

S/. 1, 20 # (400 g) = S/.1,60 300 g

papaya 1000 g &

S/. 6, 40 # (1000 g) = S/.1,60 4000 g

naranja 2000 g &

S/.2, 40 (2000 g) = S/.8,00 600 g

C = 79 000 dl

` C = 79 # 103 dl

Clave B

17. x mag = 2800hg + 36 # 103dag + 4,28 # 106g 3

-2

-3

x mag = 2800(10 mag) + 36 # 10 (10 mag) 6

+ 4,28 # 10 (10

-4

mag)

x mag = 28 mag + 36 mag + 428 mag x mag = 492 mag

6 cm A

6 cm + 24 cm = 30 cm

PT = S/.39,20

22. Tenemos en cuenta:

15 cm - 3 cm 12 cm

M = N 24.

Clave C

I. 10-2 dm = 10-2(102 mm) = 1 mm ! 10 mm F II. 104 cl = 104(10-6mal) = 10-2 mal = 10-2 mal V -1

III. 10

-1

3

2

3

2

2

dag = 10 (10 cg) = 10 cg = 10 cg

V 6

3

3

3

IV. 10 cm = (10 cm) = 1 m ! 10 m 2

-4

3

2

2

2

F

V. 10 dam = 10 (10 cm) = 10 cm = 10 cm2 V -4

` I y IV son falsas

2

Clave E

Razonamiento y demostración 25. AB = AC - BC

2x = 0,04 dam - 80 mm 2x = 32 cm & x = 16 cm

Supongamos que se compró manzana Ag & A = 2 =k B 1 papaya Bg A = 2k

` N = 4 cm

2x = 40 cm - 8 cm = 32 cm

manzana 300 g # S/.1,20 papaya 4000 g # S/.6,40

0,03 m = 3 cm 2,4 dm = 24 cm B

PT = S/.28,00 + S/.1,60 + S/.1,60 + S/.8,00 Clave B

Clave C

0, 3 dm # 4 cm + 0, 02 m # 20 mm

M = 3 cm # 4 cm + 2 cm # 2 cm

CT = 108 dal + 426 dal + 3750 dal


150 mm 15 cm


CT = 4284 dal


18.

S/.1, 20 (2k) S/.6, 40 (k) + = S/.14,40 300 g 4000 g

Clave D

B=k

` x = 0,16 m

Clave B

26. Hallamos su capacidad total

Ct = 12 dal + 480 l + 0,32 # 104 cl Ct = 120 l + 480 l + 32 l


47

Ct = 632 l Ct = Cllena + Cvacía 632 l = (632 l) c 3 m + Cvacía 4 3 (632 l) c1 - m = Cvacía 4 1 (632 l) c m = Cvacía ` Cvacía = 158 l 4

Clave A

Rutas distancia 1.° 250 km = 250 km + 4.° 4 # 105 m = 400 km 5.° 72 mam = 720 km

R2 = 1370 km

R2 - R1 = 1370 km - 1220 km

` R2 - R1 = 150 km

Clave C

A # L = 40 m # 75 m = 3000 m2 A = 3000 (S/.5) = S/.15 000

x = 0,75 kg + 0,25 kg + 0,3 kg x = 1,3 kg

Clave D

28. Contamos 90 cubitos

V = 900 dm3 V = 0,9 m3

Oferta B: A # L = 400 dm # 750 dm = 3 # 105 dm2 B = 3 # 105 dm2 (S/.0,02) = S/.6000

Clave E

Ordenamos: A>C>B

4 5

15

13 12 16

MARATÓN MATEMÁTICA (página 75) 1. Tenemos:

7

8

4 cm

M = tan2x +

C

9

14

D

B

6

3

10 11

4 cm

Notamos que todos los pequeños triángulos poseen igual área: A & AS = TOTAL 16 4 cm (4 cm) 16 cm2 AS = = 16 16 2

& AS = 1 cm

-2

` AS = 10

cos x cos x = tan2x + cos x - sec y cos x - 1 cosx

&

cos x = cos2 x + tan2x - sen2 x cos2 - 1 cos x

M = - tan2x + tan2x

` M=0

dm

2

30. A = 0,33 kl = 3,3 hl

- (sen1° + sen2° + ... + sen5°) (sen1° + sen2° + ... + sen5°)

` M = -1

Clave D

cosq - cotq = 1 cosq = 1 + cotq cosq = 1 + cos q = cosq = senq + cosq senq senq senqcosq = senq + cosq

7,2 hl = barril ` 0,9 hl Clave A

distancia 2.° 1700 hm = 170 km + 4.° 4 # 105 m = 400 km 6.° 650 km = 650 km R1 = 1220 km

48 Intelectum 2.°

Clave E

6. Tenemos:

sen315° = sen(360° - 45°) = -sen45° = - 2 2 4 cos397° = cos(360° + 37°) = cos37° = 5 Reemplazamos en P: P = 2 c- 2 m + 5 c 4 m 2 5 P = - 1 + 4 = 3

` P=3 Clave B

7. Tenemos:

Clave B

8. Del gráfico:


3,3 hl + 1,2 hl + 1,8 hl = 7 (barril) 8 6,3 hl = 7 barril 8


Entonces: R = sec` p + qj + csc(2p + q) - cscq + cscq = 0 2 ` R=0

Clave A

C = 180 l = 1,8 hl D = ? = 1 (barril) 8 A + B + C = 7 (barril) 8

& D = 1 (barril) = 1 (7,2 hl) 8 8

RT ` p + qj = (signo) . Co RT(q) 2 RT(2p + q) = RT(q)

sen(5p - q) = sen(4p + p - q) = sen(p - q) = senq sen(7p + q) = sen(6p + p + q) = sen(p + q) = - senq Reemplazamos en k: k = senq - senq = 0 ` k=0

csc2x + sen2x = 3 csc2x - 2senxcscx + sen2x = 3 - 2 (cscx - senx)2 = 1 R2 = 1 R = ! 1 ` R=1

B = 1200 dl = 1,2 hl

31. Rutas

Clave C

2. De la condición tenemos:

Clave B

M=

Clave A

29. De la figura: 1

(- sen1°) + (- sen2°) + ... + (- sen5°) sen1° + sen2° + ... + sen5°

5. Sabemos:

Oferta C: A # L = 0,4 hm # 0,75 hm = 0,3 hm2 C = 0,3 (S/.36 000) = S/.10 800

& V = 90 (10 dm3)

2

M=

32. Oferta A:

27. x = 7500 dg + 250 g + 0,3 kg

A

Reemplazamos en la expresión: M = cos 91° + cos 92° + ... + cos 95° sen1° + sen2° + ... + sen5°

Dividimos entre cosq: senq cosq = senq + cosq cosq cosq senq = tanq + 1 - 1 = tanq - senq

RT ` p + aj = (signo)Co RT(a) 2 Entonces cos91° = cos(90° + 1°) = -sen1° cos92° = cos(90° + 2°) = -sen2° h h h cos95° = cos(90° + 5°) = -sen5°

3

360 - θ

2

4

2

tan(360 - q) = 4 3 4 - tanq = 3

4

tanq = - 4 3 Clave E

9. Tenemos: Clave A

4. Sabemos:

Tenemos:

θ

sen127° = sen(180° - 53°) = sen53° tan151° = tan(180° - 29°) = -tan29° tan209° = tan(180° + 29°) = tan29° Reemplazamos: sen53° (- tan 29°) senq = (tan 29°) senq = -sen53° ` q = -53° Clave C

05 SOLUCIONARIO TRIGO 2°

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