Trigonometría Ángulo Trigonométrico J lado fina/
Origen del rayo (vértice)
O
A
=
m
.¡;o;
es negativa
fado final
. (Sistemas de
1.
Sistema Sexageslmal o lnglés {S)
M~dición A1rgular }
Medida del ángulo de 1 vuelta
= 360"
Equivalencias:
1" = 60' 1' = 60" 1.:; 3600" 2.
Sistema Centesimal o Francés !Cl
Medida del ángulo de 1 vuelta
=4009
Equivalencias: 9
1 " 100m 5 1"' = 100 5 9 1 =10000 3.
Sistema Radial o Circular (Rl Medida del ángulo dé 1 vuelta = 2n rad
( Relación entre Sistemas ) 1 vuelta
= 360" = 400 9 = 2 n rad
Eguivalenclas fundamentales:
n rad = 180" n rad =200g g• =109
SemaJta. N• 1
rProhibidtr 511 reoroáucciótt ;• veutal
Pd11.22
UNMSM- CENTRO PREUNIVERS1TAR10
Ciclo 20!1-11
Fórmula de conversión: Notación: S es el número de grados sexagesimales C es el número de grados centesimales R es el número de radianes
S ,_, C_ = R k _
180
200
7t
S= 180 k
e= 200 k R=11k
equivalentemente: S= 9 t S
C
R
.
e= 10 t
-=-=--=¡ 9 -¡o n/20
R=~ 20
EJERCICIOS DE CLASE DE LA SEMANA N• 1 1.
Un ángulo de medida positiva mide
·d (S)" -; ,
calcule la medida de [\ en radianes.
3 40
B) -rad 50
[\ mi e
A) -rad
2.
5S 2 - 4C 2 - BO =O. Si el ángulo
·
9
7 C) -rad
30
9 20
D) -rad
E) 2rad
20
los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden., ~rad y .(20u)g, cafcute la 70 diferencia de ambos ángulos en radianes. 91! A) arad
3.
s• y e o, tal que
B) ~rad 8
C)
311 rad 8
D} Sn rad 8
Las medidas de un ángulo son a• y bg respectivamente. Si
E) .0..rad 8
~ = b; 5 , determine
la
medida de dicho ángulo en radianes. 2n A} -rad
3
4.
C) ~rad
1{
B) ¡rad
3
D) .'.:rad
6
E) ~rad
2
Con los datos que se muestran en la figura y sabiendo además, que 2x + 3y = 35; calcule x- y.
A} 5 B) 8 C) 10 0}'6
E) 12 3009
Semana _N•J
(Proltibida sú reoroducción
l'
venia)
Pá!!. 23
UNMSM- CENTRO PREUNJVERS!TARIO
5,
X
En la figura, a"" ; rad, 4 sistema radial.
~
(X) j')
Ciclo ZOll·fl ·----------
0
e"" (56- x)
y
0
Halle la medida del ángulo ll en el
•
¡¡
A) ~rad
8) erad
C) ~rad
D) ~rad
4
5
8
El ~rad 3
6.
Si a"" 259200'' y 4¡¡
B) 20n r;ad 13
A) -rad 13 7.
C)
a+ p en radif!nes.
~rad
D) 13¡¡ rad
20
13
n rad
45
8) 2Z!::rad
45
451! 13
C) -rad
E)
4
D)
7 11: rad 20
y su diferencia es 40". Halle la
La suma de las medidas de dos ángulos es 4080' medida del mayor ángulo en radianes. A)
8.
p=SOOOm, halle
~rad 17
Las medidas de los ángulos de un cuadrilátero son 4x•. 2xg,
.
E)
~rad 45
~rad y (í ,3x 200
8)".
-o-1
Silasumadelmenorymayoránguloes abe de ,halle a+b+c+d+e. B) 18
A) 14
9.
Halle el valor de la expresión
A)
10.
C) 12
1
8)
258
E) 20
n(j1-1Cirad+;t rad) 360n" -1 80"
C) 2rr-1
360 1l
D) 15
259
O)
E) 1 1l
Un ángulo mide a' y bm en los sistemas sexagesimal y centesimal respectivamente. Si ab-
2
2
a' + b = 208, calcule su medida en radianes.
b~a
A) ...:.::._rad
100
CLAVE.S· Semo:11 a N' 1
8) ....!:._rad 180
C) .-..?:_rad 360
O) ...:.::....rad
200
E) ~-rad
540
l.B2. C3.E4.A 5.D 6.C 7.A
(Prollibida :w rtmroducci6n v I'
Pá1!.24
VNMSM-CENTRO PREVNIVER:S11AJUU
Trigonometría SEMANA N" 2
Sector y trapecio circular Sector circular: cloldretJior
r
""'
o< e< 2n erro d•
rcrmforencla
Longitud del arco (Ll y Área del sector($)
B
•
Longitud de arco:
•
Area del sector:
•
Area del trapecio circular:
Trapecio circular:
L
B EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 2
1.
En la figura, AOB y DOC son sectores circulares. Halle el área del trapecio circular ABCD. A) 81tcm 2 C) 10rrcm
B) 12ncm 2
2
0) 6rrcm 2
o
E) g,{ cm 2
e 2.
Con los datos de la figura, halle el área del trapecio circular ABCD.
A) C) E)
3
" cm'
B)
2 " cm'
O)
5
5
4
D
6 " cm' 5
7
" cm'
5
o
2L1
" cm'
5
e Semana N• 02
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 28
IJNMS/Jif-,CENTRO PREIJNIVERSITAJliO
3.
En la figura. AOB y DOC son
sectora.s~rculares. Si .
00 =.!,halle_;_. DA 2 S2
A)_! 2
A 8).! 4
c)3.
o
3
o)!
a B
E)! 8
4.
En la figura. COD, BOE y AOF son sectores circulares .. Halle el área del trapecio circular ABEF. A) 115 u2 8) 110 u2
o
C} 100 u2
42u
D) 90 u2
o
E) 105 u2
5.
En la figura, O es el centro de la semicircunferencia de radio 6 cm. Si ACD es un sector circular, halle el área de la región sombreada.
B) 9(n-
J3} cm 2
C) 18(1t + /3) cm2
O} 18(n- /3)cm2
. E) 9(2n-
Senuma N• ()1
J3) cm 2
(ProJ!íbida s11 reproducción y venta)
Pág. 29
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.
Ciclo 21Jll-II
En la figura, OACD. es un cuadrado de lado a cm, AOD y BOC son sectores circulares. Halle el área de la región sombreada. '1
A) -a 2 cm 2 3
C)
1
-a 2 cm 2 2
~+ rcJ. cm
E) ( \ 4 7.
2
En la figura,' AOB y DOC son sectores circulares. Si el área del trapecio circular .li.BCD es 3(3x + 1)rr cm 2 , calcule su perlmetro.
o
A) 8(2n + 3) cm
B) 8(rc + 3) cm
o
C) 4(2rr + 3) cm D) 5(2n + 5) cm E) 4(2rr + 5) cm
8.
En la figura, AOB y COD son sectores circulares; OA AOB es 20 cm. Calcule el área del sector COD.
e
A) 32 cm 2
A
B) 36 cm 2 C) 20 cm 2 D) 40 cm 2 E) 24 cm 2
Semmw N• 02
=2AC y el perímetro del sector
o ¿El cm
;j o
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 30
.~ic/q2(JIJ-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERS!TAR/0 9.
En la figura, e! área del sector circular COD es al lírea del trapecio cil'ttular COBA corno 1 es a 8. Calcule la longitud del arco AB.
A
A) 16 cm
B) S cm
o
C) 20cm O) 12 cm E).24 cm ·1 O.
8
=
En la figura, AOB y COD son sectores circulares. si R + r 10 u, L, + Lz" n y el área del trapeck>"circular ABCO es 2n u2, halle el área del sector circular COD A) 39:n
e
u'
10 0) 53¡¡ u'
C) 32n u'
20 E) 24n 5
o
u'
CLAVES l.C 2.DJ.D
4.E S.D6.C7.B8.B9.DlO.B
Trigono1netria §..\:MANA N" 3
R.4.ZOl1lES TRIGONOMÉTRIC.4S DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.-
Sea d triángulo rectángulo ACB. definimos:
a e
seno.=··· ;
sec rt
e b
b
coso.
cscr1
e
~
e
-
a
PROPIEDADES:
íi)
O < sen o. < 1
iíi)
senc,csco." 1 ; cose seca.= 1 ; tg actg-:x = 1
Semana N• 3
; O < coso. < 1
(Proltibida su reproducciótr y venta)
Pág. 34
UNJY/SJU-CENTRO PREUNIVERSITARJO
Ciclo 2011-IJ
EJERCICIOS DE LA SEMANA
1.
En la figura, se tiene BC = AD. Calcule
A) 33 4
B) 35
C) 27
D) 25
o
A
En el triángulo
sec~.
~8
4
E) 35 2 2.
../58 (sena+ cosa) -
4
2
N" 3
de la figura, se tiene que
ABC,
e
4u
ctgA
= O.
3ctg8
Calcule
./3 (senB + tgA + J3 cosB). A
A)~
B)
C) 3
0)4
2
~b B
C
a
E) 1
3.
Para el ángulo a., de la figura, se cumple que tga. =~·Calcule A) 10
A
8) 14 C) 11
D) 13
s
E)12 4.
A)5J5 5.
~ 0
En un triángulo rectángulo de ángulos agudos o: Calcule ( 1 -
JfO (3csc(9 +a.)+ cose].
e
y ~ se cumple que tga. · ctg[l = 5.
,/6 )(tg~ + cscet}. B) 4..Í5
C)-4./5
D)-3.J5
. . . El tnángulo ABC es recto en B. St 6 es un angulo agudo
E)-
.,{5
y csce ;;:
senC+senA cosC-cosA
calcl!le el valor de 2 ~tgA + tgC · ctg6(senA- senC).
A) 4 Semana N' 3
8) 2
C)- i
o¡i 2
(Prolíibida su reproducción y venta)
E)1 Ptig.35
,
Ciclo 2011-11
UNi11SM-CENTRO PRETJNIVERSJTARIO Con los datos de la figura. calcule 25sena · tg~.
6.
A) 24
B)
~JB /21-3
!_ 25
5'
C)7
:::jo.
AL-
0)25
e
st-1
E) 24
7.
Si e es un ángulo agudo y sece
A)4
2
= -,calcule sec(90" -a) 3
A) 5
B) 3 2
6 El ángulo
9.
C)
O) 4('1 ·•
!4
.J6)
A)2
6
calcule
8) 1,8
E) 4( 1
J6)
ctga, a. agudo.
~ 5
D)
3_
E) 3
3
5
a es agudo y su seno es mayor que su coseno.
sena· cosa.=
1O.
C)6
B) 3
a
Si
8.
3, halle el valor de ctg 2
Si sena + cosa. =
5
y
.,fi3 (sena- coso:). C) 2,1
O) 1,6
E) 1
Con los datos de la íigura y teniendo en cuenta que M términos de cr. A) seccr + cíga
B) csco. + tgu
C) :secu + tga O) seccr + csco: E) ctga. + tgo.
CLAVES Semana .1\f" 3
l. B 2.D 3. D 4. E S.B 6.E 7.A
!U~
(Prohibida su reproducción y ¡•e;zta)
9. E lO.C Pág. J6
Ciclo 1011-II
UNwfSM-CENTJW PKEUNIVERSJTA.RJO
Trigonometría 1.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS u+
2.
p = 90"
.:::;, RT(a.)
CO
RT{~)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES. 2. í. Razones trigonométricas del ángulo de 45"
. .
.
'2
.
· sen 45" = -11 -"'= cos 45" ·
'
·2
tg 45"
'
=1 "' ctg 45"
sec 45" =
.{2 = ese 45'
':.' 4
2.2. Razones trigonométricas de los ángulos de 30 y 60" sen 30"::::
..!.::: cos 60" 2
cos 30"
= /3 =sen 60" 2
tg 30" =
J33 = ctg so•
2.3. Razones trigonométricas de los ángulos de 75' y 15"
(JG-/2 )k
Semrma i'l'fJ4
sen 15"
= /6-./2 = cos 75" 4
cos 15'
= /6+./2 =sen 75" 4
4k
(Prollibida ·su reprodutción y wmta)
Pág. 29
UNivfSM-CENTRO PREUNIVERSIT.ARIO
Ciclo 2011-ll
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 4
1.
Sí
sen(x-1o•)sen(y+60")=cos(y+60")cos(x-10•),
siendo
x-10";
y+60"
ángulos agudos, calcule tg(x +y+ 35") + sen{x + 20•)- cos(y + 30").
C)
A) 2
2.
Si
.fi +./3
O) 2-.f3
tg4a-tg(4~+10•)=1, 4a y 4¡.1+10• ~n ángulos agudos, calcule el valor de la
expresión 4 cos(a+ 13 + 40•)+ ctg (2a. + 2~ ~b).
3
A) 4
B) 3
C) 3
3
4
2
E) 3
Si csczz· ·Ctga +Sec aa•.tg(90"- a.)=3csc22° ·COS (13 -12~)-csc(102'- f3) + sec 68"' donde 2a y 13-12• son ángulos agudos, calcule el valor de 5cos2a. A) 3, 5
4.
D) 2
8) 2
O) 4
C) 3
E) 2,5
Si 5x- 7• es agudo, a y 13 ángulos complementarios y cos(gQ• _ n) + cos
13
_ cos (5x -7•) · tg (90•- et) -ctg (90• -13) sen (97•- 5x) · ctg 2 (90" -13) '
calcule el valor de .f3 sen~+(.J3 -2)ctg(%). A) O, 2
5.
B) O, 5
C) O, 3
E) 0,6
Si 3o: y 2j:\ son ángulos complementarios, halle el valor de la expresión
sec(~+513) 2
osee; -3~) A) i
6.
D) O, 4
8) 2
2
+tg(3a+2P).
C) 3
D) 4
E) 5
Si tg5x-tg(3y + 10•),1, 5x y 3y+10• son ángulos agudos, calcule el valor de la expresión· 2 cos{Sx + 3y- 35•) + csc(125• - 5x- 3y) .
A) 3/2 Semall(l N'04
8) 2/2
C)
.f2
D) .3./3
(Prohibida su reproducción y ve:nta)
E) 2/3
Pág. JO
UNi11Sil-1-CEl'iTRO PREUNTVE"RSJTAJUO
7.
8.
et y ~
Sean
Cielo 2011-Ir
1 complementarios tales que ánguos
x > 1. Calcule
ctg~ + Ji cscr:!:...
A) 20
8) 15
2
A
5x + 4 , ... 3
9~-'"' v+
C) 19
E) 17
D) 16
Si sen(2x+y)•·sec(5x+3y)•-1=0 y tgx•·tgBO·=·l, calcule
A) 3
8)
2.f3
C) 2,5
Dos lados de un triángulo determinado por ellos es
15./3 , A) ---cm
4
10.
t
2
tg(3x + 3y)"+sec(5x +2y)". (O< x < 12,
9.
2x - 1 tga=--- y 7x-4
T
14
15./3 • B) --cm
3
O) 3,5
miden
~.Calcule
O< y< 10).
5 cm, 7 cm
15..fi 2 E) --cm 2
C) 4vJ· r;;3cm >
25
o
24 5
8) -
4
C)
25 22
7 D) 4 25 E) 7
f:li
A
(.f.
~
1
1
4cm
¡
¡
._de
CLAVES 1. B 2. E 3. C 4.B
5.B .6.B
y el coseno del ángulo
el área de la región limitada por T.
Con. los datos de la tlgura, calcular ese a. f>..)
E) 2 + J3
7. E 8.A 9.A lO.B
Trigonotnetria RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL 1.1. ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Es el ángulo que tiene su vértice en el origen de un sistema coordenado rectangular, su lado inicial en el semieje positivo OX. y
b.Y Lado
a
in.ir.ial
X
o Lado final
X
Lado inicial
~Lado .final
)f.
a>O
~
1.2. ÁNGULOS COTERMINALES
Son ángulos en posición normal cuyos lados finales coinciden. Sean cr. y
~
dos áng\llos coterminales, entonces
RT (a.) = RT
(~)
donde RT: Razón trigonométrica i.3. RAZONES TRIGONOMÉTRlCAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
x =abscisa "'-
P¡x,y) l
y= ordenada
-----y
'
l l
' --x---'i-:!o--'-------~>-
r=
Jx.
2
+ •/ ;
r >O
x
s~n
ordenada
a= - - - -
radio vector abclsa radio vector
cosa.=
tg a=
ordenada
abcisa
y
=-
ctg a=
X :::-
seca=
r
=1.
ese a.=
X
abcísa ordenada
J(
=y
radio vector abcisa
f
=X
radio vector r =ordenada y
1.4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGUbOS NEGATIVOS X
sen(-o:)=-1. ==-sen a
ctg(-a}=-- =-ctg o: y
r
cos(-a)=
~ r
cosa
sec( -a)=!..= seca X
y
,
t
r y
csc 1 -a)"'-- .. -ese a.
tg( -a)=--=- tg tt X
1.5. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES
IC IIC IIIC IVC
sen a
cesa
tg a
ctg a
seca
ese a
+
+
-
+
+
+
-
-
-
+ +
+
+
+
-
+
-
-
+
-
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 5
1.
Sean
a. y () ángulos cotenninales tales que a. pertenece al tercer cuadrante y
2
5cos a + 13cosa: + 6 =O. Calcule el valor de ctga. + cscf3
senp
A)?_ 3
B)
~
C) 3
8
3
--~--------
Semana i'i' 5
O)~ 5
E)~ 8
---:-----·---PM. 15
f1'rohibüla su revroducciótt v weuJa)
Ciclo 2()11-11
UNMSM- CE/VTRO PREUNIVERSITARlO 2.
En la figura, ASCO
es un cuadrado y BD :.: 3DC.
Calcule tga.
y
A) -3
8)- 2 C)- 5
O) -4 E)- 6.
3.
De acuerdo a la figura, calcule ctga: si BC
A)- 3.f3 4
3./3
=3AB.
B) 2/3
3 0)- 2/5
C)-
.
4
4
6
E)~ 5
4.
Considerando los daios de
la figura. calcule el valor de la axpresión .f5 [3secCL- sen()].
A) 15
.'
'
•::5.
y.JI,
-11
~ 1. /A(a6) 1~1
6) 14
.tfV
C)-18
1'¡-J--
O) 16
";)
loo
X
í3
E) -16
Si s¡sert\'~1
"' -. 27cos~o.
y '" pertenece al tercer cuadrante, calcule el valor de la
expresió~, .3 /13 csw + 3ctga. i
A)-13 ·
6.
B) -9
C) 11
0)9
El -11
Los ángulos a y ¡3 son colerminales. Si a pertenece al cuarto cuadrante y
Y
, r;:: r;:: , • ,~'lec a - tg ¡:J 2cos"a- (4 .,. ,¡3 )sosp + 2 -.¡3 "O, na!le el valor de la expresron ¡ L senc~ J
A)8
Semana N•
B) 9 j
C) 10
D) 11
(Prohibida m reormiuccion v ve!lta)
E) 12 Páf!, 16
7.
Si el ángulo a pertenece al segundo cuadrante y
i 1cosa -21 1cos C/. + 21 "' 2,
calcule el valor de la expresión """""----
B}5J15
C)
En la figura, OA = 08 y tge
8.
J15
E)3./15
D) 2.fi5
=~.Calcule 2
tga + ctg~ + sec2 j3.
Y. A) 65
8) 13 9
C} 15
D) 1·1 18
34 E) 13
!3) + cos(270" + !3).
A partir de la gráfica, calcule sen{90°
9.
7 A)·-5
8)- 1 5
C) 3 5 1
D) 2:_
-90·-13
Sí sec(- o:) tg(- a) > O
A) 8
(-3,4)
5
E)5
1 o.
y
B)-9
y ctga = -
./17 1 4", calcule - - (seeaAga + sena). 8
C)- 35 4
D) 9
E) -8
CLAVES l. E 2.D 3.C 4. E5.E 6.E 7.C 8. D9.D lO.D
fProliibMa su revroducción JI venta)
Pág. 27
Ciclo 2()ll-ll
UNMSM-CENTRO PREUNTVERSITAJUO
Trigonotnetria SEMANAW6
i.
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
1.1. R.EDUCClÓN DE ÁNGULOS MENORES QUE UNA VUELTA
(l.,: es el ángulo agudo formado por ellad o terminal de a y por el eje X.
~~J:
-¡--x
Si o. "' 11 C , a,= 180°- a o., ~trad - o.
=
1
Si
-.;L.,y
X
u E:iiiC, o.,=a-·180° r::.,
= u-~trad
/
V
Si u
E
__j ~x (L~
IV C , a., = 360° ·- a a, = 2~trad - a.
1
:0.,
donde la fórmula de reducción es
RT (a)
=±: RT (a,)
el signo depende del signo de la razón trigonométrica ~n el cuadrante al cual pertenezca el ángulo a reducirse.
i.2. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA Sean a y !3 dos ángulos cote1111inales RT (a)= RT (p) pero
~
=360° n + a ,
n e 7l
~
= 2n n +a
n
SemanaN"06
E
'll
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 32
UNMSM-CENTRO PNEUNIVERSITARIO
Ciclo 1011·11
entonces RT (et) :: RT (360° n
RT (a)
2.
+ et) , n e 'Ji
=RT (2'lt n +a.)
, n e 'Ji
OTRAS FÓRMULAS DE REDUCCIÓN RT (90"
± a.) = ± CO- RT (a.)
RT (180° ± a)
= ± RT {a)
RT {270"± a)=± CO- RT (a) RT (360° ± a)=± RT (a) donde a es considerado agudo y en todos los casos el signo de! lado derecho de las igualdades depende del signo de la razón trigonométrica del ángulo que aparece a la
izquierda.
3.
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE ÁNGULOS CUADRANTALES
T ~
(JO
90"
180"
270°
360°
o
1
o
-1
o
1
o
-1
o
1
Tg
o
r
o
f
o
Ctg
f
o
I
o
f
1
f
-1
J
1
í
1
J
-i
f
Sen Cos
Sec
!
1
Csc
EJERCICIOS OE LA SEMANA N" 6
1.
. St A+ B +e= n:, senA=
A)-
Ji
Seftlllna N" 06
8)-
.J3
623'lt - y cos6
C)3
tgB
=t g90i'lt --, 3
halle
D)-3
(Prohibida su r.eproditcción y venta)
6sen(B+C) tg{A+C)
...;_;_~.....,-:....
1
E)-2
Plig.JJ
UNMSM~CENTRO
2.
Ciclo 201l~Il
PREUNIVERSITARIO
Con los datos de la figura. halle el valor de la expresión
.fff cosa+ sen 1 ~17t •
y
A)~
B)-3
2
C)
E)
X
3!,
o¡.:!.
2
2
3_ 3
3.
Sí sen(37n + e) = p
y e es un ángulo del
8)
A)
segundo cuadrante, halle Jsec 1 e -1.
C)-p-
~1-pz
D}
E)-1-
J1+p2
cos(f+ x)sec(2n- x)tg(~t -x)cos(4n+ x) 4.
Determine el valor de la expresión
1 2
,C.,)5.
6)2
5 tg(x-5r.)cos( ;
C) O
Con los datos de la figura, calcule
O) -1
E) 1
J13 (oosa- sena.cos¡'l).
A) 5
y 5
B)
-x)
(-2,3} X
C) .:!_
5 1
(-3,--4)
D)-5 E) 1
6.
Si tgu = sen2030• +tg{-675•)-cos2020" • calcule el valor de ctg2a + 3. sen( -1 060°} + tg1500°- cos 790" A) S
SeWJ.na N" 06
8)7
C) 4
D) 6
(Prohibida su reproducción y venta)
E)3 Pág.. 34
C!c/q 1011-11
iJN};JSM·CENTRO PREUNIVERSITAJUO Simplifique la expresión cos2
7.
477
14
n: . sec2
367
7
n: +sen
C) sec2 ~
14
8.
Sí
ctg( 9lt; ZCI.) = ~,
D}se
26511
2
•
dl31t
?
et. es un ángulo del cuarto cuadrante, halle el valor de la
expresión 15sec(n:- o.)csc(ct -n:).
9.
3 Sí cos( ;
+u) !Jr y a =
1O.
2
pertenece al segundo cuadrante, calcule 18tgo:csc (180"+u).
B) 7 J3
A) 21/3
E)- 35
0}34
C)-34
B) 35
A)-33
E) -19/3
D) 15./3
7 Calcule fa suma de los ángulos positivos menores que ;
radianes, siendo el seno
de cada uno de ellos igual al coseno de sao•. B) 1140"
A) 1110"
C) 1125•
D) 1130'
E) i 120•
CLAVES LD
2.A3.B
4.E5.C 6.D 7.C B.C 9.C lO.B
Trigonometrfa SEMANAW7
T.RJGONOlYifÉTRJCAS i.
IDE_,l\fTlDADES RECiPROCAS.-
sen a . ese a. =·¡ cas tt . sec a
=1
ÍQ Cl.. ctg
1
Semana N"/
CL"'
(;( .: (2!1 + 1 ) ::..
2
ne'll.
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.34
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITAIUO 2.
Cido ZOIJ.II
IDENTIDADES POR COCIENJE.· sen a
1g a = - -
cos a
cos u
ctgcc:: - · -
a
sena
#
nn
ne7l
3,
IDENTIDADES EITAGÓRlCAS.·
4,
IDENTIDADES AUXILIABES,·
sen 4 a + cos4 a = 1 2 sen2 a. cos2 a. sen6 a+ cos 6 a= 1-3 sen2 a. cos1 et.
tga+ctga=seccr.csca,
T11t
uo~-,
2
~cr+csc2 a=sec2 a.csc2 o:, 5.
ne7l
a.,..!!:!., 2
ne7L
OPERACIONES ALGEBRAICAS Y FACTORIZACJONES BÁSICAS.· (a + bi" (a
=a?+ 2ab.;. b2
2
b) = a
2
-
a2
2ab + b2
(a+ b) 3 = a 3 + 3a~b + 3ab 2 + b3 (a - b) 3 = aJ- 3a 2b + 3ab 2 - b3 (a+ b)2 + (a-b) 2 2(a 2 +b2) (a+ b) 2 - (a·· b) 2 4ab (a + b + e) 2 a 2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + be)
=
b2 = (a-b) (a+ b)
a3
+ b3 = (a + b) (a 2 - ab + b2)
a3
-
b3
= (a- b) (a 2 + ab + b2 )
= =
EJERCICIOS DE LA SeMANA N° 7
1.
Simplifique !a expresión
sen'x- cos" x + 2cos¡ x
.:.:.:.;..;.:_.:;..:.;:....;;...,..;;;..~_.;.
sec•x-tg'x+1
A) 4cos2x
(Prohibida su ii'eproducc.ión y venta)
Pág.35
Ciclo 2011-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITAJUO 2.
3
Simplifique la expresión (csc x- se,n:3x)(csc x- senx). ese x-sen 1 x C) sen~
3.
4.
De un ángulo agudo a se sabe que seca- tga
=0,25. Calcule
A)20
D) 24
C) 22
B) 21
17(senu +cosa). E) 23
Resolver la ecuación cos2 27"- xctg27' · cos2T "' xctg27' - sen27" · ctg27". A) sen27' D) ctg27'
5.
E) tgx
Si
C) tg27'
8) cos27' E) sec27'
u es un ángulo del tercer cuadrante, calcule el valor de la expresión
í.}tg' a. . sec 2 u - tg'u ·se e' a + sec' a. -1 . A)- sena.
B)- cosa
C) ctga.
E)- secct
D) tga. 2
6.
i\l simplificar la expresión
(
4
sen' a.- sen 2 ct + 5cosa + 6cos a.- cos a · 1+ cosa.
Jsecc(
se obtiene r\) 4,
7.
Halle el valor de la expresión
A)1 8.
9.
8)!
D) 6.
tg2 x -1 . , - - -r sec x. ctg 2 x -1 C) -1
2
E) 3seca.
D) 2
E) 4
Simplifique la expresión 5 + tg 2 Gt(Sen 2 a + 1) + ctg 2a(cos 2 a + 1). A) 2senucosa.
8) 2sen2 a.cos 2u
O) 2cscasecu
E) 2csc
Determine el valor de
A) cosx
10.
C) 5.
B) 5SSCCL.
.sec'x + tg'x ) + tgx cos 2x. ( sec'x +tgx
\ 1 8¡ 2
C) 3
Simplifique la expresión A) cos 2 e
2
O) 2senx
E) 1
l
2 + sen'e cos' e ·1 1+ sen'e 1 + cos' el +-:----.[ 1- sen 2 8cos 2 e J1 1 + cos 2 e 1 + sen 2 e J ·
S) 2sen 2e
C) 5
O) 4
E) 2
eL Av Es
1.n 2.A 3.E 4.A s.o 6.D 6.c 7.A s.c 9.E 1o.c
,.,emana JV~ 7 · · ··
(Prohibida su reproducci611 y ventil)
Pág.36
UNMSM-CENTRO PREUN/VE.RS/TAR/0
Ciclo 20/1-/1
Trigonometría RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS 1.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE ÁNGULQS
sen ( a + 13 )
=sen a ces 13 + ces o. sen P
cos ( a + 13 )
=cos a ces 13- sen a sen p
tg(a+/3)=
2..
tga+tgp 1-tga tg 13
;
tgatg¡J;<1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
sen ( a -
p ) =sen o. ces f3 -
cos ( a - p )
ces o. sen 13 .
=cos a ces p + sen a sen p
tg(a-p) = tgo.- tg p 1+1go. tg 13
tgatg¡J;<-1
ctg (a ± p) = ctg o. · ctg p :¡: 1 ; ctg ctgl3 ± ctga.
p .,
:¡: ctg a
EJE RCICIOS DE LA SEMANA N• 8
1.
2sen57 •- ces 27• Halle el valor de . . . . , . - - - - Ji sen72'- ces 27" ·
A)...2__
J3
2.
8).2. 2
Evalúe 1 - (tg23'· tg47" + tg23'· tg20'+ tg47'· tg20').
Si. a+ p = 135', calcule ed valor de (1- tga){1 - tgl3). A)3
4.
E) O
0)2
C)3
. 3.
E)./3
0)2
C) 1
8) 2,5
Simplifique la expresión A) cscx
S<:mana N''l)8
8) sec2x
cos4x cosxsen3x
E)-3
D)-2
C)2
cos3x sen3x cos 6x
C) csc2x
cos8x sen2x ces 6x
D) secx
(l'rohibida m repr"ducción y l'ellla)
E)-csc2x
Pág. JO
Ciclo 201 1-JJ
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITAR/0
5.
Simplifique la expresión A) 2cos20"
6.
J3 cos10" + 3sen10' +·2cós40'.· C) 4cos20'
B) sen40'
.
Simplifique la expres1ón
cos tl+ J3sen9 r;;
v3 cosa -senO
E) 2sen40'
O) cos40'
.
E)
7.
En la figura, BE "' 4 cm, DE = 3 cm y AC A)12
tg!:. 6
4 cm. Calcule 15{!get + tgf3).
B
B) 13 C) 14
0)15 E) 16
8.
Con los datos del triángulo ABC de la figura y tg(a- o.) = 0,4. Calcule el valor de x. A)40u
A
B) 38.5 u
C)45 u
D) 45,5 u
B E)44,5 u,
9.
Simplifiql.le la expresión M
A) sen7x sen4x
1O.
B) tg4x ·
tg7x-tg3x
e~
cos7x
Si 5cosu = 2cos(a- 29). calcule ctg(a.
A)i 5
CLAVES Semana N"08
8)
~ 4
C)
7 3
ctg7x- ctg3x D)ctg4x
E) sec10x
e}qtga. O)~ 3
E)
_I. . 3
lE 2E 3C 4E SC GC 1C 80 90 lOE (Prohibilltt su l'eprliduccióll J' 1•eJI/n)
Pág. JI
Ciclo 201.1-ll
UNMSM- CENTRO PREUNIVERS!TARJO
Trigonometría SEMANA N°9
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLOS l.
11.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE 1)
sen 2a. ::: 2 sen a. cos a.
3)
tg 2
4)
FÓRMULA DE DEGRADACIÓN DEL ÁNGULO DOBLE
1)
111.
- 2tg a. o.--1- tg 2a.
cos 2a. "' ~s•(l'. - sen•a.
2)
2 sen• a. ::: 1 - cos 2a
2 cos•a:"' 1 +cos2a
2)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
1)
{e)2 =± ~-cosa 2
se -
1-cos e
3)
1+cose
(2e) =± f1+00Se i~--2-
2) cos
4}
ctg(!) 2
=±
~ 1-cos e
Observaciones¡
El signo (+ ó-) se determina de acuerdo al cuadrante al que pertenece el ángulo 9/2.
IV.
IDENTIDADES ESPECIALES 1}
etg a+ tg a.= 2 ese 2 a.
2)
ctga
3)
etg a
=ese 2a + ctg 2a.
4)
tga.=esc2a
Semana N"9
(Prohibido Slt reproducción y l•e.nta)
tga=2ctg2a ctg2a.
Pdg.J2
UNMSM- CENTRO PREUN!VERSTTARIO
Ciclo 1011-Il
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 9
·1.
Si Kcsc10o = cosiOocos 4 oocosBO:, halle el valor de K.
sec20° A) 8cos20°
2.
-JlS
Si tga
B) -4
1
A\ 29 ' 17
4.
y tgp
2 1
1
D) -cos10° 8 '
5
C)--./14
1 E) -senzoa
16
C)
31
B)
-../13
D) -5
E}
D) 31 17
E) 17 31
, calcule tg(a + 2~).
8) 15
Si 3tg 2a + 1otg
5
1 2
-s~nzoo
Si a es un ángulo' obtuso para el cual cos 2a = 0,25 , calcule B·sen4a. A)
3.
1 16
B) -coszoo C)
2E_ 31
=O, halle el valor de ctg2a.
~
3
C)
5
D)
5
~ 3
E) 3 2
Con la información dada en la figura, calcule AD. A) ~1 cm E
~
B) 10 cm
C)9 cm
'~~
O) 10,5 cm
A
E) 9,5 cm
6.
C
O
6
Halle el máximo valor de la expresión M= [ cos asen2 a- sen 6 acos2 a Jcos2a.
A)_!_ 64
7.
B
1cm
Si
B)
8-8cos 2 2a 2 tg a + ctg 2 a + 2
A)~ 9
B)
_!:
C)
8'
2
·=-g' ~ 3
_!_
D)
32
calcule sen 2
C) 3
4
1
E) 1 24
2a. 0)3.
3
(Prohibldtt m reproduccióll .v velltlt)
E) 3_
9
Ciclo 201 1-ll
UNMSM- CENTRO PREUNIVERSITARIO Halle el valor de la expresión ctg 26a.[ ctg 45°+3a -ctg 45° -3~
8.
9.
Si tgo:(
ctg~) = ~~
0)4
C)3
B) 2
A) 1
J.
E)5
y o. es un ángulo agudo. halle 5 ctgo:.
A)10
B) 11
C)12
0)13
E) 14
A) 2csc2o:
8) 2ctg2o:
C) 21ga
O) 2tg2o:
E) ctg2a
CLAVES l.E 2.A 3.E 4.D S.A 6.D 7.A S.IJ 9.A lO.B
Trigo1tometría SEMANA N° 10
[ RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE
J
EJERCICIOS COMBINADOS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
l.
RAZONES TR!$10NOMÉTRICAS DEL.ANGULO TRIPLE
· Sema11a N" JO
(Pr~hibida :I~i
reproducción y venta)
Pág.35
UNMSM-CENTRO PREUN!VERSITAR!O
11.
Ciclo 1011-ll
FÓRMULAS DE DEGRADACIÓN DEL ÁNGULO TRIPLE
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 10 1.
sen3a- 3sena +COSa)
Simplifique la expresión
D) 2cos 2 a
2.
Si cos3a=- 2,2cosa donde a: es agudo, evaluar 2cos2a. A) -1,2
3.
4.
E) sena
C)
B) -1.4
1,6
D) -'0,8
E)
0,9
Si 3cos 2 2a-8cos2a+4=0, calcule cos6a. A) 22
B) 23
27
25
Simplificar la expresión A) 3tg9
Sema11a N" 1O
C) _ 22 27
D) _ 23 25
E) 24 27
7 sen3 9 +sen39
B) 3.ctge
sec6(1-sen4 9) C) -2tge
D)
1
3
ctge
(Prohibida Sil reprodliCCÍÓII y vmta)
E) 3sene
Pág. 36
Ciclo 1011-ll
UNMSM-CENTRO PREUNfVERSITAR/0
5.
Hallar el valor de la expresión
2(cos80°·sen20°·cos20° + sen80°·sen2 20°) 4cos 2 20°- 2 -sen 2 80°- cos 2 80°
A) sen20°
C) tg 40°
8) cos40°
D) sen40°
E) cos20°
J3
6.
-+3cos10° Calcular el valor de la expresión 2 J3- 3 sen 20°. -
2
3
csc 10° 8) - -- . 8 7.
ese' 20°
8
s ec3 10° D) - - - E)
8
J3
3
. 4(cos 3 10° + sen 10°) Calcular el valor de la expres1ón r;::; • cos1 oo + v3 sen1 0° 8)2
A)6
8.
C)
C)3
0)8
E)4
Halle el valor de la expresión
( ,, •• ~.,] s. 18 ctg~ 2sen~-1
18
18
A)
J3 3
9.
10.
8)
..J3
C)-
..J3 3
D)
-/3
E)
.J3 2
.. (1-2cos12°)(1-2cos36°) Hallar el valor de la expres1on . (1+2cos12° )(1 +2cos36°) A) tg 12°·Ctg 18°
B) ctg6°·tg54°
O) tg 18°·clg 12°
E) tg6°·Cig54°
C) tg54°
3.,
Si cos(2.:.- a)= calcular 27sen3a. 6 3 A) -24
8) -11
C) 22
D) -22
E) 19
CLAVES l.B 2.A 3.C 4.A S.D 6.B 7.C 8.D 9.E
Sema1111 N" JO
(Prohibida su reprotluccitÍII y venta)
Pág. 37
Ciclo 1011-ll
UNMSM-CENTJW PREUN/VERSJTAJUO
Trigonometría SEMANAN• 11
[ TRANSFORMACIONES TR;GONOMÉTRICAS
l
TRANSFORMACIONES EN PRODUCTO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS
-J
- cos (A-Bl sen A+ sen B 2 sen ( -A+BJ 2
2
sen A- sen B = 2 cos ( -A+BJ - sen (A - -B) 2 2
cosA+ cos B = 2 cos -A+B) - cos (A - --B) ( 2 2 cosA--cos B
A+B \ = -2 sen,( --¡sen
\
2 )
lA-81 -2 '
EJERCICIOS DE LA SEMANA N" 11
1.
Simplifique la siguiente expresión sen46- sen6G- sen28
20sene A)2sen30
2.
B)-
2cos30
Sí cos2fli-cos50+cose sen20 + sen50- sen
e
A).!.
3
Semana N" ll
B)
3_ 3
C) sec20
D) cos3G
E) -cos3G
2, halle el valor de tg4G.
C)1
D)i 3
(Prohibítia su reproducciótt y venta)
E)~ 4
Pág. 33
ONMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Los ángulos a y coso.- cosp =-
senp ::::
agudos y para ellos es cierto que seno.
27 65
y
21 , ¿a qué es igual 16tg(a + ~)? 65
B) 61
A) 60
4.
p son
Cíclo 201 1-Il
C)58
O) 63
E) 62
=AsenBxcosCxcosDx, calcule el valor de la
Si sen13x +sen 11x + sen3x + senx
expresión sen[10(A + C))" + sec[10(8- D)]•. 1
A)-2
5.
8)2
C)
0)3
1
E)~ 2
Si x = ~ calcule el valor de la expresión 14' sen2x + sen4 x + san6x COSX+COS3X+COS5X
A}2 6.
C)- 1
B) 1
Simplifique la expresión sen7x + sen5x ) ( sen4x + sen2x
7.
D)-2
2 (
1 _ cosGx).
Simplifique la siguiente expresión cos 2 (x + y) + cos 2(x -y)- cos2xcos2y. A)2
8.
D) -2
B) 1
E)-1
Si a= 7"30', halle el valor de K= (sena- sen3a)(2cos5u + 2cos3a).
A)-
J3
B)-
2
9.
J5
C)-
.fi
E)
3
7
J5 7
Sean a y b los valores máximo y mfnimo de la expresión 2(sen2x + sen6x ){cos2x- cos6x) respectivamente. Halle a- b. A)6
Semana N" 11
B)O
C)4
(Prohibida
Sil
D} 8 reproducción y ve/Ita)
E)2
Pág,34
UNMSM-CEN11W PREUN!VERSlTAR!O ·10.
Ciclo 2011-11
------------------~~
Con !os elatos de la figura, calcule a, si cos6w + cos4w + cos2w"' O.
4/2
A)
B)6 C)4 D)8 E)
a cm
6[2
CLAVES LB 2.D
:w
4,D 6.B 7.B 8.A 9.D 10.D
Trigonometría TRANSFORMACIONES TRIGONOJYJÉTRICAS 11.
]
TRANSFORMACIONES EN SUMAS O DIFERENCIAS DEL PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS
L
e
Semana N"12
2 cos A sen B =sen (A + B ) ·- sen ( A- B )
;2cosAcos8==cos(A+8)+cos(A-B)
(Pro Ir ibida su reproducción y ve11ta)
Pág. JI
Ciclo 2011-Il
UNMSM-CENTRO PREUNJVEltSITARlO
EJERCICIOS DE LA SEMANA N" 12
1.
. cos2o• Halle el valor de la expresrón senso··cos10•+ sen1S··sen35'- - - . 2
A)
.f3 4
3.
..(3
.
..
A)
6.
e¡ tge
Simplifique la expresron E""
Simplifique la expresión
coszo•.
E)3J3
D) sec3e
E) 2tg2tl
(sen36'·COS15•x sen84"·COS6" ) y halle el varor de 4E. ,cos33'+cos3" cas48".,.cos36" . B) 2sen18' + 1 E) cÓs24' :. 1
C) 2cos24 • - 1
2sen15··sen35'(~+ 00535 •). sen15°
C) cos5'
Halle el valer de la expresión K si K
'
=
cos 20"
D) sen15'
E) sen20'
senSx + 259 n 3X:· cos x ·y ·x' ces 9x · cos x ·r sen9x · senx
A) 2( ./3 + 1)
B)-(3+./3)
0)2/3-1
E)3 + J3
Sem(Ula.N"12
0)213
sene + tg29. cos3G·cos2e
Bl tg3e
A) sen24" -1 D) 2sen18' - 1
5.
C)
2
Simplifique la expresión·
A)sec29
4.
B)
(Prohibida stl reproducción y venta)
C) 2(
=
rt
J3 -1)
Pág.3:2
Cic/o201Ul
UNtvlSM-CENTRO PREUNIVF:RSITARIO
7.
Si
(4x, agudo), calcule el valor de la expresión ttigonomélrica
tg4x =
4cos3x-cosx + 6sen3x-senx.
2
A) 15
C)~
2
B) 15
B.
2 D) 14+7
7
7
E)~ 7
Si Rsen8" , N(cos5• + cos3') y K "' eseS• + csc3•, hallar el valor de la expresión 1+ cos2• en términos de K, N y R. 2sen5" · sen3•
A) NK
9.
Si cos3o.
%
2N
2, halle el valor de la e:xpresión 4
A) tg2cc
·10. SI
C) RK
B) RK N
C) ctg2o.
B) 2tg2a
Jt,
R
sena
1- 2sen3a ·sena D) sen3o:
B) -2cosu, 1
E)
D) 1- cosa
VES
E) 3NK
E) tg3a.
simplifique la expresión Jcos 2 3a.+sen4a ·sen2a -cosu.
A) O
e
D) NR K
2
C)
sena-cosa
-cosa
l.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B lO.B
Trigonometría SEMANA N° 13
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS l.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES ( Vp"' valor principal)
·¡)
sen ( Ax + B) =a
a
E [
i, 1 ]
sen 8 =a (Prohibida su reproducción y venta)
34
UNMSM- CENTRO PREUNJVERSJTARJO
2)
eos (Ax + 8 )
Vp =a E 3)
4)
¡ o, n 1
=8 E
ctg (Ax
6)
e= a
a E lR ctg
=a
e
ese (Ax + 8 )
Para seno
a
a E ( -oo,
+iHi ']· =a
sec
1]v(1,+o:l)
e=
a
a e (-<>:J,-1]u[1, +oo)
=e e r-~2' o) (o '2.::.l¡ ' V
-
SOLUCIÓN GENERAL ELEMENTALES 1)
tg
(o,n)
Vp
11:
a e lR
(-% ,%)
sec (Ax + B )
Vp"e
cose :::a
+B)= a
Vp=6 E
5)
aE[-1,1]
B)::: a
tg (Ax +
Vp
=a
Ciclo 2011-11
ese
ea
~
PARA
LAS
ECUACIONES
TR!GONOMÉTRI~S
y cosecante
senx =a }
x = nn + ( 1)" Vp, n E 7l
cscx =a 2)
Para coseno y secante COSX=a
sec x
3)
t
aJ
Para tangente
tgx
a }
ctgx
a
x = 2nn :±: Vp, n
'll
y cotangente x =nn + Vp, n E 'll
Pdg.3S
EJERCICIOS DE LA SEMANA N°.13
·¡.
Hallar la suma de las soluciones de la ecuación Sen X ·COS2X= COSX·COS2X, 0
C' 5n
B) 3n
1
2 2.
4
3
2n
8) -
C)
6
4rr
D)
3
5n
l\)
B)
3n
C)
2
4r.
O, x e [O, 2rt].
O) 37t
A)
7rt 4
Si
0
3rr B)
C) 5rt 12
4
1), Os x ~ n.
O)
5rt E)
5Jt 4
es la menor solución positiva de la ecuación 2
X
sen 2 _:=O,
senx- cos -
4
4
6
E) Zn
Determinar la suma de las soluciones de la ecuación sen x(2cos2x + 1) =cosx(2cos2x
5.
Brt
E)
Hallar la suma de las soluciones de la ecuación 2cosx·senx- 2senx + cosx -1
4.
E) 5n
O) rt
4
Halle la mayor solución negativa de la ecuación 2cos 2 x + 11cos x +5 "O. A)
3
5n
hallar el vaior de la expresión
2ser..0. + 3tg 2 5P +2sec2P.
.A) 5
C) 4
B) 6
2
O) 8
E) 7
Hallar el número de soluciones de !a ecuación 2-3sen 2x ----7"--= 0, 0 :S X S 2n . .X
A) í
B) 2
C) 4
O) 6
E) 5
UNMSM- CENTRO PREUNIVERSiiARIO 7.
Ciclo 2011-11
Halle la suma de las soluciones de la ecuación 5x
0,
0 :$.X$ 1\.
COS X
A)
8.
3n 4
-
8)
1t
3n 2
O) -
C) 2:n:
2
E) re
Hallar la suma de las soluciones de la ecuación
o
cos6x·cos3x + sen2x·senx= O,
B} 7n
A) 9n
10 9.
C}
8
?re
D) 7n
10
5
E)
7n 8
Hallar la suma de la menor solución positiva con la mayor negativa de la ecuación 1-sec 2 6x + sen2:= cos20° 3
A) -320° 1O.
2
8) 100°
tg 2 6x
C) 120°
D)
540°
Resolver la ecuación sen (zx +
~J - sen( 2x -~) = ~
A) {2nn±~/n 7l}
8) {nn±~/n 7l}
E
D) { nn+(-1)"
1~
/n e
C)
E
71..}
E) {
E) -400°
1t
{
l
nn±-/n E 7l:.
12
J
nH(-1)"~/nE '/l}
CLAVES l.D 2.B 3.A 4.E 5.B 6.C i.E 8.D 9.D IO.C
(ProJJibida su
venta)
Pág. 37
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARJO
Ciclo 2011-II
Trigonometría SEMANA N° 14
RESOLUCIÓNDE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 1)
LEY DE SENOS
8
En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos
a b e --=--=-sen A sen B sen C
e
NOTA: Todo triángulo se puede inscribir en una circunferencia y cumple _a_ = _b_ sen A sen B
=_e_ = 2R, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al sen C
triángulo ABC.
2.
LEY DE COSENOS En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos multiplicado por el coseno del ángulo que forman.
Es decir, de la figura se tiene
=b' + e' - 2bc cos A =a' + e' - 2ac cos B e' =a + b 2ab cos e a' b'
2
Semana N" U
2
-
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 31
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARJO 3.
Ciclo 2011-Il
LEY DE TANGENTES
e a
8
b
En todo triángulo, la suma de dos de sus lados es a su diferencia, como la tangente de la semisuma de los ángulos que se oponen a dichos lados, es a la tangente de la semidiferencia de los mismos. Así en la figura, se tiene:
·--------"A e at-e
a-e
at-b _
;=b-
tg(A +
2
B)
(A -B)
tg - -
2
4.
LEY DE PROYECCIONES
8 c.
a
En todo triángulo, cualquiera de sus lados se puede expresar como la suma de las proyecciones de los otros dos sobre este. Es decir: b = a cos C + e cos A a e
Semana N' 14
= e cos B + b cos C = a cos B + b cos A
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 32
Ciclo 2011-11
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
a)
Ángulo de elevación
Q
Línea visual: es la recta
trazada
del punto de observación O hacia el punto observado Q.
ángulo de. elevadón Línea horizontal
b)
Ángulo de deeresión
Linea horizontal
~
ángulo de depresión
<'ti¡.,.
"0,¡,/
"'.;;¡
EJERCICIOS DE LA SEMANA NQ 14
En el triángulo ABC de la figura, se tiene que Sí 38 - e
a·sen(A + B) =
J3 c·cos{B +
4O', hallar la st:Jma del menor y mayor ángulo del triángulo.
A) 140'
8) 135' C) 155'
e
O) 160' E) 145"
Semana N" 14·
(Prohibjda su
reproduc~;íón y
veula)
Pág. 33
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSJTA.RIO
Z.
.
3 4
En la figura, tge = -. Calcule
.
Ciclo 2011-JI
tg(~) tg(e-:oo) ·
A) 12
8) 10
C) 11 0)13
E) 9 3.
En un triángulo ABC, se tiene que AB
. (A" 2 )+ c
2
b + 4bcsen expresión
A) 1
4.
2
e u, EJC
=a u
y AC
=b u.
Simplifique la
2
a2 +2ab.cosB-2b 2 cos(B+C) ·
8)
..!.
D)b
2
Corí la información mostrada en la .figura, calcule
E) ab
!5 tg~,
si A+ C = 1ao·.
8.3cmC A)
.;(6
8)2
4cm
A
10 cm
C)./5
f12 E) M D)
5.
9cm
o
b C( tgA+tgB) tgAtgB .
Con los datos de la figura, simplifique la expresión
a sen
e bu
au
AL---:::c-:-:-u--~s
SemanaN"l4
(Prollibida su reproducción y venta)
Pág. 34
Ciclo 2011-II
VNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.
El triángulo ABC, de la figura, es equilátero. Si B es uno de los puntos de trisección de CO, calcule
A)T B) 6
C)5 0) 5,5 E)
7.
En ia figura, los ángulos a, [1 y ro son proporcionales a
5, 17 y 2 respectivamente.
Calcule
e A) 4(2 +J3) B) 2(2 C) 2
)
+J3
D) 4(2 -J3)
E) 3(2 -/3)
8.
. . b2 + cz -a2 En el triángulo ABC de la figura·, se cumple que K= 2 2
a +e -b 2
•
Cacule K2tg2,<\ + 1.
A)
B) csc 2 B C) csc2 A
D) E)2 9.
b(b +e) En la figura, halle el valor de M = - -2- .
a
A)2
B) 1
q.!
O) 3
2
E)~ 2
Semana N" 14
~ e
B
b
SR? a :::>. e
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 35
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSlTARJO 10.
Ciclo 2011-11
Desde un punto de observación situado al ras del suelo a "x" metros de un edificio de 24 metros de altura, un estudiante realiza tres mediciones. Los primeros ·4 m comenzando de.sde el suelo, con ..un..ángukJ de elevación a. En la segunda observación se añade. los 12 m siguientes y ef ángulo de elevación es ahora ¡3. En la última medición se considera toda la altura del edificio y el ángulo de elevación obtenido es~+ cr.. Halle "x".
A)2.f6 m
B) a../6 m
C)6../6
m
E) 16../6 m
CLAVES 1. E 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.A 8.D9.B lO.B
Trigonometría FUNCIONES Rl!.'ALES DE UNA VARIABLE REAL 1.1. DEFINICIÓN Sean A y 8 dos conjuntos; se dice que f es una función de A en 8, lo cual se denotará por f: A -7 B si se verifica:
í) fcAx B ii) (x, y) e t" (x, z) e f, Semana N" 15
entonces y
=z
(Prohibida stl reproducción y ventaj
Pág. 31
UNMSM-CENTRO PREUNJVERSI7:4Rl0
Ciclo 2011-JI --------·-------·------
Si (X, y) E f, se escribe y= f(x). Y entonces se dice que: x es la variable independiente. y es la variable dependiente. y es la imagen de x mediante f. x es la preimagen de y mediante f.
'1.2
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Sea f una función de A en B. El dominio de f, denotado por Dom (f), es el conjunto Dom (f) = { x E A 1 ::1 y E B : y = f(x) } e A El rango de f, denotado por Ran(f), es el conjunto Ran (f) y E B 1 ::1 x E A : y f(x) } e B
={
1.3
=
FUNCIÓN REAL f:IR-+lR Si A = B = IR, siendo m. el conjunto de los números reales, decimos que f es una función real de una variable reaL
2.
ALGUNAS FUNCIONES REALES
2.1
FUNCIÓN CONSTANTE
=
Es la función f: lR -+ m. definida por f(x) e, donde e es una constante reaL En este caso, Dom (f) = lR y Ran (f) ={e}. Ver figura (a)
2.2
FUNCIÓN IDENTIDAD.Es la función f: lR-+ lR definida por f(x) = x Dom (f) = Ran (f)
=IR
Ver figura (b)
2.3
FUNCIÓN LINEAL Es la función f: lR -+ IR definida por f(x) Dom (f) = Ran (f)
a ;t O
y
=JR.
= ax + b, donde a y b son constantes reales,
Ver figura (e)
y
y y=x
y= ax+b
---=:oh'-_45_'_---+ x
Figura (a)
2.4
X
Figura (b)
Figura (e)
FUNCIÓN CUADRÁTICA Es la función f: lR -+ lR definida por f(x)
= ax
2
+ bx + e, con a, b y e constantes
reales, a ., O.
Semana N' 15
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.32
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARJO
Ciclo 2011-II
Completando cuadrados respecto a x en y y= a(x
. .a 81
4a
y
( b ,e-b . Vl-2a
)
4a
> O . Ran ( f )
rl
2
= e - ba . ce ) y
Ver figura {d). Si
se tiene
+e-~. una parábola d€ eje focal paralelo al eje Y
b
2
vértice
=ax• + bx + e
a < O , Ran ( f ) =
4
(-ro, e ~ ::1
t (-
2~)
b2
e - - es el valor mínimo de f. 4a 2
y f (- ;a) "" e
b
es el valor máximo de f.
Ver figura (e).
1\ V
/'"'""' ,0
v[-E.. e- E.:'J 2a 4a
~~--------~
o¡
X
o
Figura (d) 2.5
Figura (e}
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Es la función f: IR -7 lR definida por f(x:) = Dom (1) = Ran (1) 2.6
.[X
=1O, oo). Ver figura (f)
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Es la función f: lR -7 lR definida por f(x) = Dom ( f) = IR . Ran ( f ) = [ O,
!xl.
ro). Ver li!~;jura (g)
y
~Y
Y"' -x
y=/X
X Figura ( f)
SemanaN•Js
1
y= x
~.x Figura (g)
(Prohibido su reproducción y
venta)
Ptig. 33
UNMSM-CENTRO PREUNJVERSITARJO
Ciclo 2011-II
2.7. FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTE DEFINICIÓN a)
fes función creciente:
X1 < X2 => f(X1) < f(x2), V X1, X2 E Do m (f) b)
f es función decreciente:
x, I(X1) > f(x2),
V X1, X2
E
Dom (f)
y f decreciente f creciente
X
X
2.8. FUNCIÓN PERIÓDICA DEFINICIÓN Una función f: lR -t lR se llama función periódica si 3 un número real T > O tal que f(x + T)
=f(x),
V X E Oom (f)
Observación: f(x + nT) = f(x), V n E 7!., El menor número real T > O, tal que f(x + T)
=f(x),
V x
E
Dom (f) se llama periodo de f EJERCICIOS bE LA SEMANA N• 15
1.
La gráfica de la función cuadrática f(x)
= ax2 + bx
+ e pasa por los puntos (0,3),
(1,2) y(- 2, 11). Calcule a+ b +c. 8) -2
A) 2
q..!.. 2
2.
Los puntos A(2, 2) la regla F(x) calcular
y 6(1, - 1) pertenecen al gráfico de la función real definida por
= ax + b. Si el rango de Fes el intervalo[- 3, 4] y su dominio es [e, d],
e
6)8
C) 7
Sea la función f: JR -t JR definida por f(x)
A) [2,
5)
Semana N" 15
E)3
~.
A)9 3.
1
D)-2
B) [2, 3]
C) [1, 5]
E) 5
0)6
= J[X['=5 + 2.
Hallar (Ranf- Domf).
ol[-2,-1)
(Prohibida su reproducci6n y venta)
E)[O,i]
Pág. 34
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITAJUO
4.
t
Sea la función real
Ciclo lO 11-II
definida por f(x) =
Jf§r
-1 . Si
(a, b) v {e} es el
complemento del dominio de f, calcule el valor de a + b- c. A)4
5.
8) 1
D) 3
C)-1
Jx< - 2x 3 -
La función real 1 definida por f(x)
E)2
8x 2 es tal que Dom(fj e [ -1, 3):
halle la suma de ios elementos del rango de f.
A) O 6.
8)
C) 5
2
Jx
3
2
-
V
5x + 8x- 4 .
x-5
A) (1.5)- {2}
8) ( 1.5]
O) ( 1,5)
E)(1.5]
La función real correspondiente
A)
definida por f(x)
es[- 5,
=- 4 - x2
' 2
2x + a, tiene rango (
-
o:J, -· 1],
a.
A) 1
9.
E1 1
O)-4
C) -2
Si la función real f definida por f(x} hallar
5)
= ax2 + b es decreciente en [4, 8] y el rango ' 3
3 8)--
3
C) [ 1,
{2}
1], calcular f(-16ab).
2
8.
E)3
Halle el complemento del dominio de la función real f definida por f(x)"'
7.
O) 2
En la figura
8) -2
se tiene la gráfica de una 1(4) + 41(6)
t
E)_! 2
O) 2
C) -1
función periódica f, calcular
Bf(- 6) + 16\(
r
33\
4
Yt
A)8 8)5
___t_____ 7-------
C)9
.. .
0)7 E) 6
¡
1
\
\
8'
_.X
10. Dadas las funciones reales f, g y h definidas por f(x) h(x) = '!?- 4x + 9, x > 3, determine la afirmación correcta
A) f y h son crecientes. C) f y g son crecientes. E) fes decreciente
Semana N" 15
X -1
g(x)
- 2x + 1 y
Xc-1
B) s y h son crecientes. O) fes la única creciente.
y h creciente.
e LAvE s
lA zs 3A 40 sA 6E 7B so 90 lOA
Trigonometría FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función seno Es la función f : JR -~
m.
definida por f(x)
senx
= JR
a)
Dom(f)
b)
Ran(f)=[-1,1]
e}
Período 211:
d)
Función impar
X
Función coseno Es la función f: lR -·} IR definida por f{x) = cosx
y
=IR
a)
Dom(f)
b)
Ran(f)=[-1,
e)
Periodo 2>r
d)
Función par
N"l6
·tl X -1
(Proil lb ida slt reproducción y venia)
Pág. 33
UNMSM • CENTRO PREUNJVERSITARJO
Ciclo 2011-11
Función tangente Es la función f : IR -+ JR definida por f(x)
y
= tgx
= IR- { ( 2k + 1) ; 1 k e 7l}
a)
Dom(O
b)
Ran(f) = IR
--------~~~---,_-----------+
:Ji. :2
X.
J
e)
''' J
Periodo n
' d)
Función impar
e)
Es creciente en cada uno de los intervalos (2k
"'
1)~ < x < (2k + 1)_:, k e 7l
2
2
EJERCICIOS DE LA SEMANA N"16
1.
Sea la función f definida por f(x)
8)
=
sedx- sen 4 x-
J. . Halle el dominio de
f.
4
{(2k+-1)~,Re7l}
E) { 2kn , k e 7l}
2.
Si el dominio de la función f: IR-+ IR definida pbr f(x)
= ~ senx j + 1 es [- %· %] ,
hallar el rango de f.
o)[1.2]
8){1,2)
3.
Si la función real f definida por f(x)
=.!.. tgx, ~ < x ~ n: 2
función real g definida por g(x) = cosx, hallar
A) (..: .
..:l
6 3J
Semana N• 16
B) /_:,
4
3
E) IR
tiene el mismo rango que la
el dominio de g contenido en (o' %) .
_:l
\3 2j
(Prohibida su repriJducción
y venta)
Pdg.J4
UNMSM- CENTRO 4.
Hallar el rango de la función real f definida por f(x)
A)
1
1lJ
2
5rc
x $-.
12
2
Halle el rango de la función real f definida por f(x) "' cos X + . cos2x 3
6.
Halle el rango de la función real f definida por f(x)
=4cos( ¡¡; -~).
(-./3. 13) E) ( -~. 2)
1 r;::: ' A),-2v3,2)
7
12
6)[1,4]
5.
D)
¡¡ -:;
= (senx + cosx) 4 ,
La función f: lR ~ lR está definida por f(x)
x < 2.
C) [- 2, 4]
B)
213J
si 1 <
= 2senx
- cos2x. Si Domf
{O, re) ,
determinar el rango de la función.
A)(-1,3)
8.
B) (O,
n)
C)
(-3, 1)
Halle el rango de la función f definida por f(x)
O) {-2,
1)
= 4tg 2x + 8tgx + 7.
·;¡;
A) [0,+
9.
B)
(O,+oo)
2)
E) (-3,
E)
C)[3,+co)
Sea f una función real definida por f(x) = 2/2 sen6x- 2
{-oo, 3]
fi cos6x,
-
~ < x < i7ll. 72
72
2
Si (a , b] es el rango de f, hallar a + 2b.
A) 24
·¡O.
8) 16
C)12
0)20
Hallar el periodo de la función real f definida por f(x)
A) 15rc
CLAVES Semana N' 16
B) 5n
C) 8n
l.A 2.A J.C 4.A S.C
E) 22
= cos5x- ctg ~.
O) 12¡¡
5
E) 1Q¡¡
7.A S.C 9,D lO.E
(Prohibida su reproducción y venia}
Príg.35
UNMSlvf- CENTRO PREUNJVERSITARJO
Ciclo !01 1-11
Trigonometría SEMANA N' 11
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNCIÓN COTANGENTE
~a función cotangente 1 : m-> lll se define pcr f(x) "
ctg x
=~ senx
R(f) =IR EB.Qej~
1)
f(x) ctg x es una función periódica y su parfodo mínimo es T c!g (x + n) = clg x, para todo x en su dominio.
2}
r(x)
= ctg
n • es decir
x es una función decrecíente en cada intervalo de su dominio.
GRÁFIC~ Construlmos la tabla
FUNCIÓN SECANTE
La runción secante 1: m --t lll se defone por f(x) = sec x COSX
O(f)
= { X E lll 1 X ~
R(f)=(y E lll/y5 sec x :S
ke ll} = lllv
y ~ 1}
1 v :-.ec x
~
2
k·e.7L}
={-·"' , -1 J U { 1 , + ro)
1
PROPIEDAD
sec x es una lcnclón periódica y su periodo rninimo es T = 2n, es decir sac(x + 2rt);;: sec x, para todo x en su dorninio.
l(x)
GRÁFICA
Construimos la tabla
Pág•.35
UNJrfS1H- CENTRO PREUNIVERSITARJO·
Ciclo 2011-11
1 1 1 1
1 1
----1---1
X
FUNCIÓN COSECANTE La flmción cosecante f: lR --r IR se define por f(x) = ese x senx
O(f) = {X E lR /X,< 1<11:, k E 7l} = lR- { kn:, k E 7l}
{y
R(f)
E
lR /y :S- 1
V
v
ese
y ¿ 1}= ese
x
(-ro , -
1jV ( 1,+
co)
¿ 1
PROPIEDAD
=
f(x) ese x es una función periódica y su período mLnimo es T es decir csc(x + 2·.~) ese x, para todo x en su dominio.
GRÁFICA Construimos la tabla
=
=2rt ,
y
l Jf(x)=¡scx
1
\
1 1
-t----
_l
-
.¡. - -
1
1
1 1
X
EJERCICIOS DE LA SEM.~NA N" 17
1.
Halle el rango de la función real definida por f(x)
A) [ 6, + oo) D)
2.
B)
(-oo, o]
e) [o.
{·-oo, -6]
E) {· 6, fij
Si los intervalos [a, b] y [2, 4] son, respectivamente, el dominio y rango de la
(
función real f(x) = 2secl2x +
. 2 8 )3
A)- 2
5 3.
= csc22x - 4ctg2x + 9.
·¡in'J
[a, b]::: (- r:,
C)-~
1tJ, D)-
hallar sen( a-- b).
..j3 2
4
E)
1.
.. rea 1 f de,1n1 ., .d a por f( x ) = 2tgx + 2ctgx + 3 . . Ha 11 are 1rango de 1a runc1on tgx + ctgx A)
(l-%)
D) lR
{2}
8) lR
{2}
Í1 7l
C)
l2·2l{O}
{- 2}
(Prahibid11 su réproducción y venta)
Pág.
d
Hallar el complemento del rango de la función real f def¡nida por f(x) = 3 + asec4x, = Q.
SÍ
5.
E)[~·
O)(%·%}
Si fa, b] es el rango de la función real f definida por f(x) rt 5n x ,.,; --,--. : calcular 2a + b " 1 8
=csc22x -
2csc2x.
12
A)' '' 6.
~]
C)
B}
C)O
B)
La función real
F
E)- 2
D)4-4J2
está definida por F(x)
=cos(!.:sec 4x),
- "
--z)f
E)
2
20
<
x < ~;
hallar el
12
rango de F.
A) (-1,
7.
B)(-1,0)
1)
B)[-1,2]
{~tn
2ltgx¡ cosx.
C) (-2,-1)
E)[- 2, 2]
O) (- 2,2)
e7l)
E) lll.- (2nn/ n
Halle el dominio de la función real f definida por f(x)
ezz}
A)lRC) lRE)
2
E
secx
B)JR-{0}
Tl}
.2
D)IR-
sec2x - csc2x.
B)JR-
{(2n+1)2:ine7l~ \
7l}
D)
m.-
4
{
J
1)~/n e
{(2n+i)~/n ?l~ '
1O.
D) ( -1,
Halle la intersección del dominio y rango de la funeión real f definida por f(x)
A) IR-
9.
C}[-1, O]
Calcule el rango de la función real f, f(x)
A) (- i,
8.
o]
4
;
Halle el dominio de la función real f definida por f(x)
=_co_s_x_+-'--'--2secx + 1
A)
O)
lnE7lj
4
B) jnnlnEIZ}
lz
EJ(nn/ndl}
C) ((2n+1)n lnE:7L}
CLAVES
1.A2.D 3.E 4.D5.B 6.A 7.D8.A 9.A10.E ~-~--~~-------------------
su reproducción y venta)
Pág. 38
Ciclo 2011-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARJb
Trigonometría SEMA.NA N° 18
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIÓN INVERSA DEL SENO !O ARCO SENO!
Es la función f: [- 1, 1) -t [X
~, ~]
definida por y = are senx si y solo si x = sen y
f-----+ y= are senx
y n
Dom(f)=[-1,1]
2 1 ~- -----------~4----
Ran(f) = [-.::., .::.] . 2 2
X
-1
./3 -.fi --1 -2
o
--n ., --1t
o
2
2
y
1t
7t
2
3
-- --
-
y=arcsenx
1 1
4
6
1
-
2
n
-
6
-.fi -
j3
2
1t
TI
-
3
4
1
2 1t
-
2
FUNCIÓN INVERSA DEL COSENO (0 ARCO COSENO!
Es la función f: [-1, 1] -t [0,
n]
definida por y= arccosx si y solo si x = cosy
x ,.___.. y = are cosx
y Dom(f) = [- 1, 1]
--------1 1
Ran(f) = [0, n] 1
----------
5n
6
'
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y= arccosx
1
--~~·--~---t~---;--t~-+X -U'}
-1
o
-
-.fi -
n
-1t
-
2
X
y
-1
./3 -.fi --1 -2 2 5n
1l
-
Semana N" 18
6
2
3n
-
4
2n
-
3
-
2
1
2
1
2
3
2
j3
2
2
1l
-
4
1t
6
1
o '----
(Prohibida .su reproducción y venta)
Pág. 36
UNlr!SM-CENTRO PREUNIVERSITARJO
Ciclo 2011-11
FUNCIÓN INVERSA DE LA TANGENTE (0 ARCO TANGENTE}
Es !a función f: lR --> ( -;,
x
1----+
~)
definida por y= arctgx si y solo si x = tgy
y
y = are tgx
------------------
~ 2
Dom(f) =IR
•
3 Ran(f)
---·
y= arctgx
=
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 18
1.
Calcular el valor de la expresión A) 1
2.
C) 3
8) 2
0)4
E) 5
Hallar el dominio de la función real f definida por f(x) =are sen(} 1J.
A)[ O , 1]
3.
~(sen( arceas~)+ tg(areeos~)). 216 \ 13 13
8}[1, 4]
C) [O, 4]
D)
{o , 4)
E) (1, 2]
Hallar el dominio de la función real f definida por f(x) = 6 are sen (
A) \-2, 2}
SemanaN•J8
B) - 2 , 2]
C>(-3,0)
O){ O, 4)
(Prohibida m reproducción y venta)
~).
E) ( -4 , 4]
Pág. 37
Ciclo 2011-11
UNMSM-CENTRO PREUNJVERSITARIO
4.
5-t-arc tg 4x .. Sea f la función real definida por f(x) = - - - - . Hallar el domm1o de f. 2 arccos3x
A)(-±,±) D).[-± ,±] 5.
X +1
A)
6.
[o, +co)
B)
[í, +co)
C)
D)
8) (
\~·%)
+ _:1_ 2
(o, +co)
Hallar el rango de la función real f definida por f(x)
A)\-%·~) 7.
-íJ
Hallar el dominio de la función reaj f definida por f(x) = arccos(x
= !:.+ -~arctg(~). 3
3
4
-~·~)
E)\-%·}]
Si g es una función real definida por g(x)
~are cós x -
!:. , x E j- ..[3 , 3
\
2
13 ], hallar 2
el rango de g.
E'1
j _.::_ :::.] \
8.
6 ' 2
El intervalo [a , bJ es el rango de la función real f definida por f(x) = 3n+ 8 are sen 2x + 7 are cos 2x. Calcular
E.. a
A)~
8)2. 6
6
9.
Si
[a, b)
C)
~ 7
D)
El~ . 8
~ 7
es el rango de la función real f definida por f(x)
= 12 are tg.f3 +12 are tg
(-?-). X
+4
hallar a+ b.
A) 13n lf Semana JV• 18
B) 10n
C) 9n
D) 12n
(Prohibida su reproáucción y venta)
E) 1h Pág.38
UNMSM-CFflTRO PREUNJVERSITARIO 10.
Si f es una función f)il(Ran
A) [O , 1t]
Ciclo 2011-ll
real definida por f(x)
= 5 are sen ( -2x+fl -), 5
..
determmar
f).
C}[-3, 2]
8) [ -3 . 3]
Í- 3, -1)
D)
E)[1,2)
CLAVES 1.a
5.a
6.d
7.c
8.b
EJERCICIOS DE LA SEMANA No 19
Las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son a' y bm respectivamente; si
A)
n:
rad.
3
5
8) -1t-rad
C) __;_:_ rad
200
180
100 2.
~ + ~:;:: 2972, hallar la medida de dicho ángulo en radianes. D) ~rad
E) _n:_rad
50
1000
En ia figura, AOB y COD son sectores circulares. Si el área del sector circular AOB es
~
del área del trapecio circular ASCO, hallar la longitud del arco AB.
3
A)
3
. 2
8) -u
5
C) 1 u
E)
3.
e
6
u
O)
:u "'
A
o
3L
ªu
o
::J
Sean x e hallar A)4
\
y dos ángulos agudos complementarios. Si sen(90" - x) + 3seny = .fi,
J? (secx + ctgy). 8)5
C)6
0)7
E)8
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARJO 4.
Ciclo 2011-11
En la figura, M es punto medio de BO. Hallar tga..
A)_!_
B)
8
J2
3
2
C) 2/2
3
O)..!_
4 A
E) 2/2 5 5.
3
En la figura, sena.= --; hallar tg(a.- ~)+sen~.
5 y
3
A)-5
1
8)-5
X
2
C)-5
O)~ 5
E)..!_
5
ctgc!~)ctg( !~) 3
R =
6.
Simplificar la expresión
cos1500° ·ces 51
7.
Si tgx + ctgx = 3, hallar el valor de
A)~ 27
8.
C)2
8)3
A) 1
0)4 sen 6 x + cos 6 x
E)~
D) ..!_
27
9
E)5
sec 2 x +ese' x
C)~
B)_!_
oo
27
3
En la figura, hallar el área de la región triangular ABE. A) 5 u2 B) 6 u
8
2
C) 4 u2 O) 8 u2 E) 7 u2
Semana N"19
A
~ 4u
E
1u
O
(Prohibida su reproducción y venta)
1u
C
Pág. 38
UNJ'dSM-CENTROPREUNIVERSJTARJO
9.
l2 senZa i :: 16 a. es un ángulo agudo; hallar tg2a. 1-cos2aj '
Si
B) ctgx
C)
D)-ctgx
e).:!.
8)1
E)1
E) 1 4
2
Hallar el valor de K, si Kcsc(420"- 28) = 4sen29sen(60' + 29).
A) sen68 O) 2sen59
13.
tgx
Calcule el valor de
A)2
12.
4
3senx . .. K = 3sen3x¡-----Red uc1r 1a expres1on cos3x + 3cos x
A) tgx
1'1
D)~
C) 5 4
8).: 3
·¡ O.
Ciclo 2011-ll
C) cos39
B)sen49 E) 1
Hallar la suma de las raíces de la ecuación 2cosx- 2sen2x- cscx + 2 = O; XE
A) 5rr
2
'14.
B)
5n 3
O) 7n 3
C) 7rr.
2
E) 2n
De acuerdo a la figura, hallar
A)
a
e B)2b b
C) 2c
O)b
A
a 60'
e
8
E)2a
Semana N" 19
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 39
Ciclo 2011-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
15.
Hallar el rango de la función real f definida por f(x)
A)(O,+co)
16.
B)
(O,+oo)
C} {O}
17.
[~1_ 1: ]
XE
r~
=
~ ~ x:;:; 2n:. 2
E) [2, 7]
tgx +
5n
6
8)
(~· J3]
E) [
18.
=sen2xcos2x + 4:
0) [3, 5]
Hallar el rango de la función real f definida por f(x)
•
E) {o. 1. 3}
O) {0, 3}
Hallar el rango de la función real f definida por f(x)
C)
= .J- 9- 6x- x 2
~· J3]
Halle el rango de la función real f definida por f(x)
= arctg(senx); x
(o, n:).
CLAVES l.B 2.A 3.D 4.A 5.A 6.D 7.C 8.C 9.B lO.C ll.A 12.A 13.A 14.D lS.C 16.A 17.8 18.B
Semana N" 19
(Prohibii/11 su reproducción y venta)
Pág. 40