GUÌA DE APRENDIZAJE ASIGNATURA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Unidad de Aprendizaje :
TRIÁNGULOS Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes
CICLO INTENSIVO
PUEBLO LIBRE 2014 1
ÍNDICE DE CONTENIDO UNIDAD DE APRENDIZAJE I: TRIÀNGULOS PRIMERA SEMANA SESIÓN 1: Tema 1: Triàngulos Tema 2: Líneas Notables SESIÓN 2: Seminario Taller
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SEGUNDA SEMANA SESIÓN 1: Tema 1: Razones trigonomètricas SESIÓN 2: Seminario Taller
Página 20
TERCERA SEMANA SESIÓN 1: Tema 1: Resoluciòn de triángulos rectàngulos SESIÓN 2: Seminario Taller
Página 29
CUARTA SEMANA SESIÓN 1: 1: Tema1: Cuadrilatero SESIÓN 2: Seminario Taller
Página 31
QUINTA SEMANA SESIÒN 1 Tema 1: Àreas SESIÒN 2 Seminario Taller
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ÍNDICE DE CONTENIDO UNIDAD DE APRENDIZAJE I: TRIÀNGULOS PRIMERA SEMANA SESIÓN 1: Tema 1: Triàngulos Tema 2: Líneas Notables SESIÓN 2: Seminario Taller
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SEGUNDA SEMANA SESIÓN 1: Tema 1: Razones trigonomètricas SESIÓN 2: Seminario Taller
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TERCERA SEMANA SESIÓN 1: Tema 1: Resoluciòn de triángulos rectàngulos SESIÓN 2: Seminario Taller
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CUARTA SEMANA SESIÓN 1: 1: Tema1: Cuadrilatero SESIÓN 2: Seminario Taller
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QUINTA SEMANA SESIÒN 1 Tema 1: Àreas SESIÒN 2 Seminario Taller
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PRIMERA SEMANA SESIÒN 01 TEMA 01 TRIÁNGULOS Triángulo Isósceles: Tiene dos lados congruentes; el tercero se llama base y los ángulos en la base son congruentes.
1. DEFINICIÓN. El triángulo es la figura formada por la unión de los tres segmentos determinados al unir tres puntos no colineales.
Triángulo Equilátero: Tiene sus tres lados congruentes. Cada ángulo interior mide 60°.
Triángulo Escaleno
Elementos: Vértice : A, B y C Lados : AB AB BC y CA
Triángulo Isósceles
Triángulo Equilátero
2.2. POR SUS ÁNGULOS
,
Notación: ABC: se lee, triángulo ABC
Triángulo Rectángulo: Tiene un ángulo recto. El mayor lado se llama hipotenusa y los otros, catetos. Triángulo Oblicuángulo: No tiene ángulo recto. Se llama acutángulo si sus tres ángulos interiores son agudos y obtusángulo si un ángulo interior es obtuso.
Observación: El perímetro del triángulo indica la suma de longitudes de los lados y se simboliza generalmente como 2p. Así: 2p = AB + BC + AC, AC, de donde: p
AB BC AC 2
es el semiperímetro.
2. CLASIFICACIÓN.
Rectángulo
2.1. POR SUS LADOS Triángulo Escaleno: No tiene lados congruentes.
3
Acutángulo Obtusángulo
3. TEOREMAS BÁSICOS. BÁSICOS.
Las medidas de los tres ángulos interiores suman 180°
Si
+ + = 180°
En un mismo triángulo: A mayor ángulo se opone mayor lado, y viceversa.
Cada ángulo exterior mide igual
b>a
entonces:
que la suma de dos interiores no
>
adyacentes a él.
4. TEOREMAS AUXILIARES. AUXILIARES.
= +
x
Las medidas de los tres ángulos exteriores, uno por cada vértice, suman 360°.
x = + +
+ + = 360°
Cualquier lado es mayor que la diferencia de los otros dos y menor que la suma de ellos.
+ = +
Si a b c, entonces: c – a < b < c + a
4
PRIMERA SEMANA SESIÓN 02 SEMINARIO TALLER TRIÀNGULOS 1.
En la figura, calcule “x”.
2.
En la figura, calcule “x”.
x
3. En la figura, calcule “x”.
4. En la figura, calcule el valor de “ ”; si
BP AC
B
6θ
2 30º
A
C
P
5. En la figura: MN = NC = BC. Calcule “x” B M
x
40º
20º A
N
C
5
.
6.
En la figura, calcule “x”.
x
x
7. En el gráfico, calcule a + b + c + d
b
d
a
c
8. En la figura siguiente calcule “x”. si AB = BC y además BM = BE. B
20º
E x
M
A
C
9. Según el gráfico, si AB=BD=DE=EF=FC, calcule “x”
10. Calcule “ + + + + + a + b + c” a°
b°
°
c°
°
°
°
°
6
TRIÀNGULOS RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE TRIÀNGULO: 1. En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura ambas en N. Si BN = 8 cm. Calcule a medida de
BH
BM
2. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la altura
y la bisectriz
, si H BH y
AC
AM
yM
la bisectriz
intersecándose
BC
BD del
ángulo
HBC, tal que AB = 7 y AC=10. Calcule DC. 3. En un triángulo ABC, y
. Calcule la medida del menor ángulo
formado por las alturas que parten de A y C. 4. En un triángulo ABC, donde , se ubican los puntos P en
AC y
Q en
PC
tal que AP = PB y BQ = QC. Calcule . 5. En la figura, calcule la medida del lado “AB”, si: BC = 8; CD = 4
6. En la figura mostrada, si BD = 4 y BC= 6, halle AD.
7. Los ángulos de un triángulo miden 6x; 5x + 10º y 3x + 30º. ¿Qué clase de triángulo es? 8. Calcule el mínimo valor entero del perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide 7u, sabiendo que todos sus lados son enteros. 9. En la figura; AB=3 y BC=12. Calcule la suma de los valores mínimos y máximo de AD; si los valores de AD son números enteros.
10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, en el cual se traza la ceviana interior AN. Si AB = BC = 4 y la longitud de AN es un número entero. Calcule
7
PRIMERA SEMANA SESION 01 TEMA 02: LÍNEAS NOTABLES
1. Mediana: Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
4.
Bisectriz exterior : Segmento de
bisectriz de un ángulo exterior, limitado por la prolongación del lado opuesto.
B
B
A
A
C
M
BE
: mediana
BM
5.
A
E
: bisectriz exterior
Altura: Segmento perpendicular a un lado o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.
2. Mediatriz: Recta perpendicular a un lado, en su punto medio. L
C
B
C
Triángulo acutángulo
Triángulo rectángulo
L : mediatriz
3. Bisectriz interior: Segmento de bisectriz de un ángulo interior, limitado por el lado opuesto.
Triangulo obtusángulo
6.
Ceviana: Es aquel segmento que
parte de un vértice y cae en cualquier punto del lado opuesto o de su prolongación.
B α α
D BD: Bisectriz exterior
8
TEOREMAS AUXILIARES 4) Ángulo entre interior y exterior:
1.1. Ángulo entre la bisectriz interior y exterior de un ángulo de un triángulo
bisectrices
B
B
θ αα θ α
A
M
N
C
α
mMBN=90°
1.2.
Ángulo entre bisectrices interiores en un triángulo.
mB
2
5) Ángulo en el pie de la Bisectriz interior:
B
B
α
A
α
X
C x = 90°+
3)
mB
2
Ángulo entre bisectrices exteriores en un triángulo.
6) Ángulo entre Altura y Bisectriz interior :
β
β
X
A
φ=90°
mA
x
2
9
2
PROBLEMAS RESUELTOS
03.- En la figura, calcule X º
01.- Calcule “x” en la figura, si: mB=90°, AE es bisectriz del ángulo BAC y HE bisectriz del ángulo BHC.
20° x
y
35°
25°
Resolución
Por Angulo externo x = y + 25º ........ (I) y = 35º + 20º .....(II) (II) en (I) x = 35º + 20º + 25º
Resolución Luego:
x = 80°
04.- En la figura, EFGH es un cuadrado. Halle el valor de x Propiedad: x =
42 2
= 21° x F
75°
H
02.- En la figura mostrada, halle “x”, si: a+b = 260°
E
G
Resolución
En el triángulo PAH 75º + 45º + y = 180º y = 60º ..... (I)
Resolución:
En el ABC
x 75°
F
a+b+2 = 360° 260°+2 = 360 = 50° Luego: en el CPL
En
A
x + y = 90 ...... (II)
Por propiedad : x=
50 2
x=
x + 60º = 90º x = 30º
x = 25°
10
y
H
C
45°
E 2
45°
ABC
(I) en (II)
P
G
05. En un triángulo ABC, el ángulo A mide 58º. ¿Cuánto mide el ángulo BDC donde D es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos B y C? Resolución: A 58°
B
x
C
BDC x + + = 180º ABCD x = + + A Suma 2x = 180º + A Mitad: x = 90º + x = 90º + 58º/2
A /2
x = 119º
11
PRIMERA SEMANA SESION 02
SEMINARIO TALLER LÌNEAS NOTABLES
RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS: 01. En el triángulo ABC donde AB=8,3 y BC=3,3. Calcule la diferencia entre el máximo y mínimo valor entero del lado AC. 02. ¿Cuál es la mayor y la menor medida de los segmentos que forman la de la figura? B 52° 65° A
C 54° 62° D
03. Halle x en la figura si m ABC= 72° y BD es bisectriz del ángulo ABC. B x
A
C
D
04. En la figura, halle x. x
5x
05. En la figura: AB=AD=BC, m A=60° y mC=82°. Halle m ABC. B C 82° 60°
A
D
06. Halle x en la figura: 66
2
x
2
12
07. En la figura: BH es altura, m A=2(mC), AB=10cm y AH=2cm. Halle AC. B
A
C
H
08. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, la altura BH intercepta a la bisectriz AD en el punto P. Calcule BP, si BC= 12cm y DC= 9cm. 09. En el triángulo acutángulo ABC donde m A - mC=48°. Calcule la medida del menor ángulo que forma la mediatriz de AC al intersecar a la bisectriz exterior del ángulo B. 10. En el triángulo isósceles ABC donde m ABC=132°. Calcule la medida del ángulo formado por la altura con la bisectriz interior que parten del vértice A. 11. En el triángulo ABC se traza la altura BH y la bisectriz interior AS siendo el cociente de (mHBC) entre (m ABH) igual a 2 y mC=46° . Halle mBSA. 12. En el triángulo ABC donde AB=BC, se traza la bisectriz interior AS siendo AS=AC. Halle mB. 13. En el triángulo ABC donde m C – m A=70° se traza la bisectriz BS. Halle mBSC. 14. En la figura, halle x si mB=36° B D x 2
2
A
C
15. En el triángulo ABC, m A - mC=34°. Halle la medida del menor ángulo que forma la bisectriz interior del B al interceptar a la mediatriz de AC. 16. En la figura, AB = FC. Halle el valor de x. B x 7x
F A
2x 3x
x
C
17. En un triángulo PQR las bisectrices exteriores de P y R se intersectan en el punto A, tal que mQ = 2mPAR. Calcule la m PAR
13
18. Si
y
son bisectrices de los ángulos BAC y BHC respectivamente, calcule “x”
19. Se tiene un triángulo MNP tal que las bisectrices exteriores de M y P se interceptan en E. Calcule la m N, si 2mN + mMEP = 117º. 20. Calcule “x”:
21. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior , en la prolongación de se toma un punto “H” y luego se traza perpendicular a . Calcule: mDHG, si m A – mC = 40º. 22. En la figura
//
, AM = 4 y BC =13 y BN= 7. Calcule: MN
23. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz del ángulo ABH que interseca al lado AC en el punto P, tal que BC= 12 y AC= 16. Calcule PC. 24. Por el vértice “B” de un triángulo ABC, cuyo perímetro es 16, se trazan paralelas a las bisectrices interiores de A y C las que intersecan a AC en P y Q. Calcule PQ. 25. En un triángulo dos de sus lados suman 28. calcule el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado
14
PROBLEMAS RESUELTOS 01.- En la figura: AE=BC, BE=AD. Calcule x. C
B E
x D
Resolución: A
En la figura: EAD EBC(LAL) Luego: mBCE= m AED=β mBEC= mEDA=α EC=ED b BEC: α+β=90° B β C En “E”: α+β+ mCED=180° a α 90°+ mCED=180° E β mCED=90° x b α DEC(isósceles): A a 2x+90°=180°
D
x=45° 02.-En el triángulo ABC, donde m A+ mC=58°, se trazan las mediatrices de los lados AB y BC que interceptan al lado AC en “P” y “Q”. Calcule m PBQ. Resolución:
B α x A
α
β
Q
E
β
C
Por mediatriz de AB: AE=EB m A= m ABE=α Por mediatriz de BC: BQ=QC, mC= mQBC=β Por dato: α+β=58° En “B”: α+β+x=180°-58° 58°+x=122° x=64° 03.-En el triángulo ABC se traza la ceviana AN que interseca a la mediana BM en su punto medio “E”. Calcule AE si EN=2m.
Resolución:
B N 2 x Ea a
A
b
M
P b
C
15
Se traza MP paralelo a AN. MBP: Por base media: MP=2(EN)=2(2)=4 ANC: Por base media: AN=2(MP) X+2=2(4)…….X+2=8
X=6m
04.-En el triángulo escaleno ABC se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que se intersecan en E, además m ABC=120°. Calcule BE si la distancia del punto E al lado AC es 6m. Resolución:
2θ=120°…..θ=60° Por bisectriz del A: EP=EQ=6 BPE: 60°: α BE=2(6/√ ) α BE=4√ m A
P
B θθ x E 6 Q
C
05.- En el triángulo rectángulo ABC donde m ABC=90°, mBCA=22,5° y AC=12m. Calcule la medida de la altura BH. B Resolución: α 6 α=22.5° 2α α A C dato H M 6 6
Se traza la mediana BM, tal que: BM=AM=MC=6m BMC es isósceles y 2α=45° BHM, por ángulo de 45°…… x=3√
16
SEMANA 1
SESION 2 SEMINARIO TALLER CONGRUENCIA DE ÀNGULOS RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS: 1. En la figura: AB=CD, BC=ED. Halle m ACE.
A
E
D C 2. En la figura BCDA es un cuadrado, EB=4 y EC=8. Halle B
la distancia del punto “D” a
EC
E B
C
A
D
3. En la figura la distancia de “C” a B
A
AB es
4. Halle MN.
M
C
N
4. En el triángulo ABC la mediatriz de m A=65° y m B=86°.
AC corta
al lado
BC
en “P”. Halle m BAP si
5. En el triángulo rectángulo ABC (m B=90°) se traza la bisectriz AS siendo BC=12 y SC=7. Halle la distancia del punto medio del segmento AS al lado AC . 6. En la figura: AC=24u y BC=16u. Halle MH
7. En el triángulo rectángulo ABC (m B=90°) la bisectriz de A se corta con la mediatriz de AC en un punto “P” de BC . Halle m C.
17
8. En el triángulo ABC donde m B=90°, m C=22,5° y AC=12m. Calcule la medida de la altura BH. 9. En la figura: AB=12m. Calcule DC. B
2x x
A
C
D H
10. La figura, = . Halle x + y:
β
3
5
4
7-3y 2x-9
3
α
11. En un triángulo ABC isósceles (AB = BC) se toma M punto medio del lado AB y se traza MH perpendicular a AC y luego se toma el punto F en BC tal que m HFC=90º y AH=CF. Halle AB si HC=4m. 12. La mediatriz del cateto BC de un triángulo rectángulo ABC, intercepta en F a la prolongación de la altura BH. Calcule m ACF si m A=55º. 13. En un triángulo ABC (m BAC=35º), la mediatriz de la bisectriz interior BF intercepta en G a la prolongación del lado AC. Halle la medida del ángulo CBG. 14. En un triángulo ABC, la medida del ángulo externo en A es el triple de la m C, la mediatriz del lado AC intercepta en P al lado BC. Halle BP si AB=7 y BC=10. 15. En la figura: OM//QR y OG//PQ. Halle x si: FM=4m y FL= 12m. M R
F
L
G
O x P
Q
16. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, m BCA=35º, se traza la ceviana interior BF tal que m ABF=15º. Halle BF si AC=12cm.
18
17. En el triángulo ABC, donde m A=30° y mC=15°, se traza la mediana BD. Calcule mDBC. 18. En la figura, AP = BC. Halle “x” B
70° xº
40°
A
P
C
19. En el gráfico, AE = EF; FD = 10; EC = 4 y AB = 6. Calcule BD F A
E
B
C
D
20. En un triángulo ABC acutángulo se traza la altura BH y la mediana AM que se intersecan en “O”. Hall e la mMAC, si: AH = BM; BO = 11 y OH = 5 21. En un triángulo ABC, m B = 105º, mC=30, se traza la mediana AM. Calcule m MAC
22. En un triángulo ABC el ángulo exterior en “B” mide 80°. Las mediatrices de se cortan en el punto “P”. Calcul e la m PAC.
AB y BC
23. En un triángulo ABC se ubica el punto interior “O” y el punto medio “M” de BC, de modo que: OM// AC, m ABO = 65°, m BCA = 40° y AC = AB + 2(OM). Calcule la m OBC. 24. En un triángulo ABC obtuso en B, se construyen exteriormente los cuadrados ABDE y BCGF. Calcule AC, si las distancias de E y G a la recta AC son 6cm y 8cm respectivamente
25. En un triángulo ABC, en AB y AC se ubican los punto “P” y “Q”, respectivamente con la condición: AQ = QC, AP = PB + BC y m ABC = 80° y. Calcule la m APQ.
19
SEGUNDA SEMANA SESIÓN 01 TEMA 01: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 2. Definición. 2.1.
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Es el cociente que resulta de dividir dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo ; para ello se toma como referencia a uno de los ángulos agudos. Estas razones trigonométricas son seis, cuyos nombres son : Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante y que se representan por : Sen , Cos , Tan , Cot , Sec y Csc respectivamente. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo A en un triángulo rectángulo ABC (recto en C) se definen de la siguiente manera: B
Cateto opuesto a = Hipotenusa c Cateto adyacente b CosA = = Hipotenusa c SenA =
a
c
b
C
A
ELEMENTOS :
TanA =
Cateto opuesto a = Cateto adyacente b
CotA=
Cateto adyacente b = Cateto opuesto a
Hipotenusa c = Cateto adyacente b Hipotenusa c CscA= = Cateto opuesto a SecA =
a: Cateto opuesto b: Cateto adyacente c: Hipotenusa
EJEMPLOS a) En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = senA secC + cosC cscA
Solución:
C
Del gráfico: b
a
A
E
a b
x
b
a
a
b
E=1+1
B c
20
x
b a
E=2
b) Si: es un ángulo agudo tal que
1
cos
3
. Calcule tg .
Resolución: Del dato:
cateto adyacente hipotenusa
1
cos
3
debe estar dentro de un triángulo rectángulo.
“
”
C
Por Pitágoras:
2
3
2 2
3
A
BC
B
2
1
2
BC
2 2
1
Piden: tg
2.2.
2 2 1
2 2
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RECÍPROCAS Siempre y cuando:
sen . csc = 1
=
cos . sec = 1 tg . ctg = 1
COMPLEMENTARIAS sen = cos
Siempre y cuando:
tg = ctg
c
a
+ = 90º
sec = csc
(Complementarios)
b
EJEMPLO Si:
sen 2x = cos 80º.
Calcular: “x”
90º (
21
3. Razones trigonométricas de ángulos notables Los triángulos rectángulos notables son aquellos triángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos (ángulos notables), se puede saber la proporción existente entre sus lados. Como por ejemplo: Triángulo Notable de 45º y 45º a
45º
45º a
a
a
a
45º
45º
a
a
Triángulo Notable de 30º y 60º 30º 30º
30º
2a
2a
60º
2a
60º
a
60º a
a
TRIÁNGULO APROXIMADO
53º 5a
3a
37º 4a
22
De los triángulos anteriores: Ángulo R.T.
30º
37º
1
3
2
5
sen
2
4
3
3
sec
2 3
5
3
4
csc
2
5
Reemplazando valores:
b) Evaluar:
E
E
2
3
1
3
4
4
4
sen2 45º cos60º csc30º 2
Reemplazando:
2
2
1 2
2
2
1
4
2 2
1 2
23
2
3
a) Calcular: E = sen230º + tg37º 2
5
5
EJEMPLOS
1
1
4
2
3
3
3
2
E
1
3 2
3
1
60º
5
4
1
4
3
ctg
2
3
3
tg
4
2
5
2
53º
2
4
3
cos
45º
3 3 3
2
5
2 3
4
3
SEGUNDA SEMANA SESIÓN 02 SEMINARIO TALLER
A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE TRIGONOMÉTRICAS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
RAZONES
1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC ( A = 90º ). Calcule: E = b.tgC + c.tgB – c
7. Si:
2. En un triángulo ABC recto en C se cumple 3senA = 2senB.
8. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) tgA = 4tgC. Si el mayor lado mide 8 5 m. ¿Cuál es el área del triángulo?
sec x =
7
ˆ
2 Calcule: E = tg x + 42 senx
Calcule: E = 13senA + 6tgB 3. Si:
sen
2 3
donde “” es agudo.
9. Del gráfico calcule:
Calcule: ctg 4. Si:
sen =
B M
7 4
x
Calcule: E = 3 sec - 7tg
y
A
5. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que: 2tgA = cscC
E=
z
C
ctgy - ctgz ctgx
Calcule: E = 2senA + 3tgC 10. Del gráfico, calcular ctg 2 6. Del gráfico calcule “x”. Si: tgB =
3 2
B x+y
4x + 2 A
7x + 1
C
24
x-y
B. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE LAS PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN: 1. Halle “x” si : cos(2x – 10º) sec(x + 30º) = 1
8. Si : sen (2)csc ( + 30º) = 1 y tg ( + 20º) = ctg ( - 20º) Calcule : E = sen( -10º) sec + tg ( - 5º) tg(+ 5º)
2. Calcule el valor de : E = (5 tg 10º + 10 ctg 80º) tg 80º
9. Si : sen (3x + 10º) = cos (6x – 10º).
3. Determine el valor de “x” :
Calcule :
sen(3x – 42º) csc(18º - 2x) = 1
E= 4. Reduzca :
tg
9x + sec (3x + 7º ) 2
10. Si: cos A = E = (3 sen 40º + 4 cos 50º) csc 40º
3x 2 3x 1
y sen B =
x 1 x2
.
Determinar el valor de tg A si A y B son complementarios.
5. Determine “x” si:
11. Simplifique :
tg(2x + 10º) = ctg(x – 40º)
sen1º + sen 2º + sen 3º + + sen89º
6. Si : tg 3x . ctg(x + 40º) = 1. Calcule Cos 3x
cos1º + cos 2º + cos 3º + + cos 89º
12. Simplifique :
7. Sabiendo que : tg 5x . ctg (x + 40º) = 1.
sec1º + sec 2º + sec 3º + + sec 89º csc1º + csc 2º + csc 3º + + csc 89º
Calcule : cos 3x
25
C. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN: 1. Calcule: 7. Del gráfico halle: tg
E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º
45º
2. Calcule:
53º
E = (tg60º + sec30º - sen60º) sec60º
3. Determine el valor de “m” para que“x” sea 30º. cos2x =
m
8. Del gráfico calcule ctg . Si:
1
m+1
B
4. Calcule: E=
DC = 7 AD
M
tg30º sec 60º-sen37º cos30º 2
60º
sen 45º A
5. Del gráfico halle: ctg
D
C
9. Del gráfico halle sen
45º x+3
3x
2x + 1
x
37º
5x - 3
5x - 2
6. De la figura calcule : tgx
10. Del gráfico halle tg x
45º 53º
26
º 7 3
TERCERA SEMANA SESIÓN 01 TEMA 1: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS A. Definición. Resolver un triángulo significa encontrar las medidas de todos sus elementos básicos conociendo la medida de dos de ellos, uno de los cuales debe ser un lado. Esto quiere decir que, para resolver un triángulo rectángulo sólo necesitamos dos datos de los cuales uno de ellos debe ser un lado. Se nos pueden presentar cualquiera de los dos casos siguientes: I.
Si los dos datos conocidos son dos lados. El tercer lado se calcula con el Teorema de Pitágoras y los ángulos agudos, con cualquier razón trigonométrica.
II.
Si los dos datos conocidos son un lado y un ángulo agudo. Aplicamos:
Lado Incógnita lado dato
R. T. de
agudo
De la relación anterior se puede calcular con facilidad los otros dos lados; para ello tomaremos en cuenta las siguientes observaciones o casos:
Caso 1
(Si el lado conocido es la hipotenusa)
m
m m sen
m cos
Caso 2
(Si se conoce el cateto opuesto al ángulo conocido)
m csc
m
m ctg
25
m
Caso 3
(Si se conoce el cateto adyacente al ángulo conocido)
m sec
m tg
m
m
Observaciones:
a
a
a
a
a
S
2a sen
2acos
b
2
S
EJEMPLO: Halle el perímetro del triángulo ABC en función de “m” y “” B
A
H
m
C
Resolución:
Analizando la figura:
B
mTg.Sec
m.Sec
x
A
H 2
mSec
26
m
C
ab 2
sen
BC
En el
BHC:
Sec =
m
BC
= mSec
AB
En el
ABC:
Tg =
m Secα
AB
AC
Sec =
m
Sec
α
AC
= m Tg Sec
= m Sec 2
Hallamos el perímetro del ABC: 2p = AC + AB + BC 2p = m Sec2 + m Tg Sec + mSec 2p = m Sec (Sec + Tg + 1) B. Aplicación de la resolución de triángulos rectángulos en problemas de ángulos verticales. ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos que están ubicados en el plano vertical imaginario; que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal como consecuencia de una observación y se les mide con instrumentos de ingeniería, llamados “teodolitos”.
Línea visual: Es la línea recta que une el ojo de un observador con un objeto que se observa. Línea horizontal: Es la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial, que pasa por el ojo del observador. Ángulos de elevación: Es un ángulo formado por la línea visual y la línea horizontal cuando el objeto se halla por encima de la línea horizontal. Ángulo de depresión: Es el ángulo formado por la línea visual y la línea horizontal cuando el objeto se halla por debajo de la línea horizontal.
y : ángulos verticales por su ubicación, se clasifican en : : Ángulo de elevación : Ángulo de depresión
27
NOTA: En todo problema donde no se mencione la altura del observador, entonces se considera un punto fijo sobre la superficie de la tierra. EJEMPLOS: 1. Desde un punto “P” en tierra se observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30° y acercándose 20 m en línea recta se observa el punto anterior con un ángulo de elevación de 45°. Determine la altura del edificio. Resolución:
De la figura: AP = hCtg 30°
h
AP’ = hCtg 45°
3 ) - h(1)
AP – AP’ = h ( 30° P
20
45° P’
A
20 = h (
3 - 1)
h = 20/(
3 -1) 3 +1)m
h = 10(
3
2. Desde un helicóptero que se encuentra a 100 3 cm sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de dos botes que están situados a la dirección sur del 3 observador son 15° y 75°; halle la distancia que separa a los dos botes. Resolución De la figura: 100 3 ctg75° + x = 100 3 ctg15° x = 100 3 (Ctg15° - Ctg75°) x = 100 3 (2 + 3 - 2+ 3 ) x = = 100 3 (2 3 ) :. X = 600 cm
15° 1003
75°
15°
75° x 1003 ctg15°
¡No olvides! * tg 15° = ctg 75° = 2 -
3
y
* tg 75° = ctg 15° = 2 +
3
3. Desde un punto en el suelo un observador mira la parte superior de un poste de luz con un ángulo de elevación “ ” pero si se acerca una distancia igual a la mitad de la distancia que lo separa del poste, observaría el foco con un ángulo de elevación que es complemento de “ ”. Halle: tg ”.
Resolución:
En el
tg =
menor:
2a tg
tg =
90 - a 2a
a
28
tg =
1 2 2 2
TERCERA SEMANA SESIÓN 02 SEMINARIO TALLER A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN: 01,-Del
gráfico,
halle:
AC en
07.- Del gráfico, determine
función de “m”, ”n”, B ”x” e ”y” m
función de “m” y “θ” D
n
C
y
x
A
en
CD
C
02.- Halle “x” en función de “m”, ” ” y ” ”
A
B m
m
08.- Del gráfico, halle HC en función de “d”, “” y “” B x
d
03.- En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide “ ” y el cateto adyacente a este ángulo A
mide “n”. Determine el área del triángulo en función de “ ” y “n”.
C
H
09.- De la figura, halle el valor de
04.- Halle el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de sus ángulos agudos es “ ” y de cateto
BD
B
adyacente “a”. Indique la respuesta en función de “ ” y “a”.
37º
4
05.- Del gráfico, halle “x” en función de “n”, “” y “” B A n
C
10.- Del gráfico, halle “x” en función de “R” y “θ”
x
C
D
D
06.- Del gráfico, determine AD en C función de “m” y “ ” O m A
45º D
2 x
B
29
R
B. RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE ÁNGULOS VERTICALES
APLICANDO RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS :
01.- Un niño que se encuentra a 24m de un edificio observando la parte más alta con un ángulo de elevación de 37º. Halle la altura del edificio. 02.- Desde un punto en el piso se observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación de 30º, si el punto dista del árbol 7 3 m. Halle la altura del árbol. 03.- A 240m de la base de un edificio se observa la parte más alta de éste con un ángulo de elevación de 37º. Calcule la altura del edificio. 04.- Desde lo alto de un edificio un niño observa una hermosa niña con un ángulo de depresión de 37º. Halle la distancia de la niña al edificio, si este tiene una altura de 15m. 05.- Dos personas están colocadas a ambos lados de un poste. Una de ellas observa la parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 45° y la otra con un ángulo de elevación de 37°. Si la distancia entre ambas personas es de 28 m. ¿Cuál es la altura del poste? 06.- Desde un avión que está por aterrizar se observa en su misma trayectoria la pista de aterrizaje, al extremo más cercano con un ángulo de depresión de 60°, al extremo más alejado con un ángulo de depresión de 30°. Halle la longitud de la pista de aterrizaje, si el avión se encuentra a 600 3 m de altura. 07.- Una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de 45°, y el techo del sexto piso con un ángulo de elevación de 37°. Halle el número de pisos que tiene el edificio. 08.- Desde lo alto de un edificio se divisa un objeto en tierra con un ángulo de depresión " " (Tg = 2,5), a una distancia de 40m de su base. ¿Cuál es la altura del edificio? 09.- Desde la parte alta de un muro de 8 m de altura, se observa la parte alta y baja de un edificio con ángulos de elevación y depresión de 37° y 45° respectivamente. Calcule la altura del edificio. 10.- Desde lo alto de un árbol se ve lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37°, y se ve también la parte baja con un ángulo de depresión de 53°. Si la distancia del árbol al edificio es de 12 m, determine la suma de las alturas del árbol y el edificio. 11.- Desde lo alto de un faro, se observa a un mismo lado, dos barcos anclados; con ángulos de depresión de 53º y 37°. Si los barcos están separados una distancia de 14m. ¿Cuál es la altura del faro? 12.- Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación “ ”. Si el punto de observación está a una distancia “d” de la base del poste. ¿Cuál es la
altura del poste?
13.- Un niño de estatura 1,5m; está ubicado a 6m de una torre y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuál es la altura de la torre? 14.- Un niño está ubicado en el punto medio entre un poste y un árbol. Si el niño divisa lo alto del poste, cuya altura es el triple de su estatura, con un ángulo de elevación que es el complemento del ángulo de elevación con que mira al árbol, siendo la altura del árbol cinco veces su estatura. Calcule el producto de cotangentes de los ángulos de depresión con que se ve los pies del niño desde lo alto del poste y lo alto del árbol.
30
CUARTA SEMANA SESIÓN 01 TEMA 01: CUADRILÀTEROS 1. DEFINICIÓN. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Los cuadriláteros pueden ser: convexos y no convexos.
β °
β °
° x
α
θ
Convexo
+ + = 360
α
°
No convexo x = + +
2. CLASIFICACIÓN Considerando el paralelismo de sus lados los cuadriláteros se clasifican en: 2.1 TRAPEZOIDE Es un cuadrilátero en el que ningún par de lados opuestos son paralelos.
Un caso particular de los trapezoides, es el trapezoide simétrico o bisósceles.
31
OBSERVACIÒN: Trapezoide simétrico: Es aquel trapezoide en el cual una diagonal es mediatriz de la otra diagonal. En la figura AC es mediatriz de BD; luego AB = AD y BC = CD. B
C
A D
2.2 TRAPECIO Es un cuadrilátero en el que un solo par de lados opuestos son paralelos. Estos lados paralelos se llaman bases del trapecio.
El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos se denomina mediana del trapecio o base media; el segmento perpendicular entre las bases viene a ser la altura del trapecio. Base menor Altura
Mediana Base mayor
32
TEOREMA 1 En todo trapecio, la mediana es paralela a las bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las bases. B
C
N
M
MN
AD BC 2
D
A
TEOREMA 2 En todo trapecio la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases.
B
C
PQ = M
AD BC
N
2
Q
P
D
A
CLASES DE TRAPECIOS
a) Trapecio escaleno.- Es el trapecio que tiene sus lados no paralelos no congruentes. B
A
C
α
θ
D
33
b) Trapecio rectángulo.- Un trapecio escaleno se llama trapecio rectángulo si uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.
B Altura
C
D
A
c) Trapecio isósceles.- Es el trapecio que tiene sus lados no paralelos congruentes. En un trapecio isósceles las diagonales son congruentes.
B
A
α
C
β °
D
2.3 PARALELOGRAMO Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que dos pares de lados opuestos son paralelos. C
B
A
D
̅ ̅ ̅ ̅
34
TEOREMA 1 En un paralelogramo, dos lados opuestos y dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes. b
B
C
β °
α
a
a α
A
β °
b
D
TEOREMA 2 Los diagonales de un paralelogramo se bisecan. C
B
A
D
CLASIFICACIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS a) Rectángulo.- Es un paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos. Las diagonales del rectángulo son congruentes. C
B
D
A
b) Rombo.- Es un paralelogramo cuyos lados son congruentes entre sí. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.
° ° β
° °
35
c) Cuadrado.- Es un rectángulo que tiene sus cuatro lados congruentes. Es el cuadrilátero regular.
45° 45° 45°
45°
45°
45° 45°
45°
d) Romboide.- Es el paralelogramo que no es cuadrado, rectángulo ni rombo es el paralelogramo propiamente dicho. B
A
C
D
̅ ̅
36
CUARTA SEMANA SESIÓN 02 SEMINARIO TALLER CUADRILÀTEROS 1. Calcule “x” en: C 3
B 7
F
x
2
A
D
2. Del gráfico ABCD es un trapezoide simétrico. Calcule el perímetro del trapezoide B M
N 8
A
4 O
C
D
3. En un trapezoide ABCD: m A+m D=200º. Calcule la medida del ángulo determinado por las bisectrices interiores que parten de los vértices B y C. 4. En un trapezoide ABCD: AB=2; BC=10 y CD=4. Calcule AD, si m B=143º y m C = 127º 5. En un trapezoide ABCD, m A = 90º, m C = m D = 60º. BC = 6, AD = 10. Calcule CD. 6. En un trapezoide ABCD: m A =90°; mB =60°; mC=135°; AB = BC. Calcule la mBDC. 7. Calcule MC, si BC + AD = 20, BM = MA, B
N
BC// AD
C
M
A
8.
D
BC // AD .
BC=CD = 5, AB = 6 y AD=15. Calcule PQ
B
°
A
° °
C
° P
°
° ° ° D
Q
37
9. Calcule la base menor de un trapecio sabiendo que la diferencia de la mediana y el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es 40. 10. En un trapecio rectángulo ABCD calcule: m ABM si: AB=BM.
(recto en A y B); M es punto medio de
CD ;
11. En un trapecio ABCD, BC //AD, CD=6 ; y ; calcule la distancia entre los puntos medios de AC y BD. 12. Si ABCD es un romboide, donde CM = MD; BN = 6 y MN = 1. Calcule AN. B
C N M
A
D
13. En un paralelogramo ABCD, la ; las mediatrices de los lados intersecan en un punto F del lado BC . Calcule la medida del ángulo FAD.
AD
y
CD
se
14. En el rectángulo ABCD se traza la diagonal BD y la perpendicular AH a esta diagonal. Calcule el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos HAB y DBC. 15. En un cuadrado ABCD, se ubica el punto “E” en .
AC ;
tal que AE = 7EC; calcule:
16. Dado un romboide PQRS; “M” RS ; calcule la distancia de “R” a PM, si Q y S distan de PM 13m y 5m respectivamente. 17. Sobre el lado AD de un rectángulo ABCD, se toma un punto F, de modo que FC = BC, se traza BM perpendicular a FC . Calcule AB, si BM = 6 18. Sobre el lado AB de un rectángulo ABCD se toma un punto E y sobre el lado AD se marca su punto medio F, de modo que, y 2AE + EB = 12. Calcule EF.
38
QUINTA SEMANA SESION 01 TEMA 01: ÁREAS DE REGIONES BÀSICAS 3. 1.
REGIÒN TRIANGULAR
ÁREA DEL CUADRADO
El área de un cuadrado es igual a la longitud de su lado al cuadrado; o sea:
Es una figura geométrica (conjuntos de puntos) que consiste en un triángulo más su interior.
S
L
S = L2
L
4.
ÁREA DEL RECTÀNGULO
El área de un rectángulo es el producto de su base por
2.
S= a.b
REGION POLIGONAL b
Es una figura geométrica formada por la reunión de un número finito de regiones triangulares en un plano, de modo que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento.
a
5.
ÁREA DE UN CUALQUIERA
TRIÀNGULO
El área de todo triángulo es igual al semiproducto de la longitud de un lado y la altura relativa a dicho lado.
S = Area ( ABC) S = Dos regiones cualesquiera que tienen igual área se llaman equivalentes, independiente de la forma que tenga cada región. Ejemplo: el triángulo y el rectángulo que tiene igual área, son equivalentes.
b.h 2
m+n = b B
h
A m
H b
8m2
< >
8m2
39
C n
6.
ÁREA DE UN TRIÀNGULO EQUILÀTERO El área de todo triángulo equilátero es igual al cuadrado de la longitud del lado 3
multiplicado por el factor S = Area ( ABC
.
4
10.
ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÒN DEL CIRCUNRADIO El área de todo triángulo es igual al producto de las longitudes de los tres lados, divido por el cuádruple del circunradio
B 3 0 º 3 0 º
B
L
L h
2
S=
7.
L
3
4
c 60º
60º
A
L
L
2
2
L
A
En todo triángulo, el área se puede expresar como el semiproducto de dos lados, por el seno del ángulo comprendido entre ellos.
c
S= b.c Sen b
8. ÀREA DEL TRIÀNGULO FUNCIÒN DE SUS LADOS
EN
S = (p-a) r a
p=
a b c 2
E a
h
A
A
E
B
h
S = p.r
I
a
C
Area( Δ ABC )
r
Area( ΔDEF )
40
r A
C
12.1. Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son proporcionales a sus respectivas bases.
A
r
b
12. COMPARACIÒN DE REGIONES TRIANGULARES, PROPIEDADES
El área de todo triángulo es igual al producto del semiperimetro y el inradio. B
r a
r a: Exradio relativo al lado a
`ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO:
S = Área ( ABC) r : Inradio P: semiperimetro
r a
C
b
S = p( p a)( p b)( p c)
9.
r a
B
c
a c
4R
El área de todo triangulo es igual al producto del exradio relativo a un lado y la diferencia entre el semiperímetro y dicho lado.
B
S = Área ( ABC) p : semiperimetro
abc
11 ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÒN DE UN EXRADIO
C
S=
R : Circunradio
2
A
C
b
S = Área ( ABC)
S=Área ( ABC)
h
a
h
C
FÒRMULA TRIGONOMÈTRICA
B
R
C
D
=
a b
F b
12.6. En todo triángulo, al trazar las tres medianas se determinan seis triángulos parciales equivalentes
12.2. Relación de áreas al trazar una ceviana
B
B
S1 S2
G: BARICENTRO
a
. h
b
M
S2
S1
. A
b
A
S1 S2
S2 D
C
b
z
F
b
C
P
12.7. Si dos triángulos tienen un ángulo congruente o suplementario entonces sus áreas son proporcionales a los productos de los lados que forman ese ángulo que mide igual o esos ángulos suplementarios.
h1
z
x=y=z
E
h2
y
x
A
B
S1
N
G
C
D
a
12.3. Si dos triángulos tienen igual base, sus áreas son proporcionales a sus respectivas alturas.
h1
y
x
Àrea(AFE) AF.AE Àrea(ABC) AB.AC
h2
B
12.4. En todo triángulo, una mediana cualquiera determina dos triángulos parciales equivalentes .
F
B
A
E
h S1
S2
A
12.8. Si dos triángulos son semejantes entonces sus áreas son proporcionales a los cuadrados del cualquier par de elementos homólogos.
C
M
b
b
BM=
S1
Mediana = Area (ABM), S 2 = Area (MB
S1 = S2 =
b.h 2
B
12.5. En todo triángulo, al unir los puntos medios de los tres lados, se determinan cuatro triángulos parciales equivalentes.
B´ a1
h1
h2
S1
a2 S2
B
A
b1
2
M
N
S3 S4
A
C
2
A´
2
C´
b2
2
h a r S1 b1 1 1 1 K 2 S2 b 2 h 2 a 2 r 2
S1
S2
C
C P
41
13. ÁREA DEL PARALELOGRAMO (S) b
ÁREA DEL CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO
b
h
h
17.
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, el área es igual al producto del semiperímetro y el radio de dicha circunferencia.
h
b
b
S = b. h
b : base h : altura
c
b
B
r a
c
r
14. ÁREA DEL ROMBO (S)
r
I
B
S =p.r
r A
L
A
S=
C
0
L
AC.BD
18. TEOREMA Si se une el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio con los extremos del otro lado no paralelo, se forma un triángulo cuya área es igual a la mitad del área del trapecio.
2
L
D
15.
D d
L
ÁREA DEL TRAPECIO (S)
B
C
. b
B
C
M
h
h 2
X m
N X
.
h 2
. h
m
M
N
A
D
. A
S = Àrea (CMD)
D
a
S
a b .h 2
S=
19. S = m.h
16. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA (S) C
Àrea(ABCD) 2
Si en un cuadrilátero convexo se trazan las diagonales se determina cuatro triángulos parciales y cumple que los productos de las áreas de los triángulos opuestos son iguales.
B
S1 . S3 = S2 . S4 h1
0
h2
A
C
B
D
S2
S3
S1
S=
AC.BD Sen
a
2 A
42
b
S4 D
20 .- En todo trapecio, las áreas de los triángulos laterales determinados al trazar las dos diagonales, son iguales. Es decir dichos triángulos son equivalentes.
24. ZONA O FAJA CIRCULAR Es la porción de círculo limitada por dos cuerdas paralelas. B
C
B
C
S
A
D
S2
S1 h
o
Z
A
D
b
21. CIRCULO: El área de todo círculo es igual al semiproducto de la longitud de su circunferencia y el radio S: Área del Círculo C: Longitud de la circunferencia C = 2 R
S = S AD segmento – S BC segmento
25. CORONA CIRCULAR: Se llama así a la región del plano exterior a la menor de dos circunferencias concéntricas e interior a la mayor
R o D
S=πr 2
R
S = (R² - r²)
22. SECTOR CIRCULAR: Es la porción del círculo limitada por dos radios. El área de todo sector circular de radio R y ángulo central “ ” es: S: Área del Sector Circular
S=
2
AB
r o
R
4
R
2
S
R
24. TEOREMA: Si se une el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio con los extremos del otro lado no paralelo, se forma un triángulo cuya área es igual a la mitad del área del trapecio.
360º
o R
R
S
S=
l R 2
l
23. SEGMENTO CIRCULAR: Es la porción del círculo limitada por una cuerda y su respectivo arco.
S=
Area(ABCD) 2
A
S = Área (CMD)
R
o
S
B
R
C
. M
h
B
h
X
2
m
N X
h
. A
S=
R
2
2
Sen 180
43
2 D
Si en un cuadrilátero convexo se 25. trazan las diagonales se determina cuatro triángulos parciales y cumple que los productos de las áreas de los triángulos opuestos son iguales.
2) En el triángulo rectángulo ABC recto en B donde AB=6cm y BC=4cm, se construye exteriormente el cuadrado AMNC. Calcule el área del triángulo ABM. B
S1 . S3 = S2 . S4
6
C
S2
S3 S4
A
En todo trapecio, las áreas de los 26. triángulos laterales determinados al trazar las dos diagonales, son iguales. Es decir dichos triángulos son equivalentes.
H
ABC: α+θ=90°
θ
*
*
*
6
θ
ABC= AHC (ALA) HM=AB=6
Área
*
M
ABM=(AB.MH)/2 = 6x6/2= 18cm2
3) Calcule el área de la figura sombreada si el lado del cuadrado C mide 6cm. B
C
B
S2
S1
α
b
S1 a
A
Resolución:
B
h Z
A
D
b
A
S1 = S2 PROBLEMAS RESUELTOS
Resolución :
1) Calcule el área de la región limitada por un rombo donde el perímetro y las medidas de sus diagonales suman 102m, además el lado y la diagonal menor están en la relación de 5 es a 6.
Resolución:
4 α C
D
6 E
B
C
60° 6 6 30° 60° A
B
6
6 6
30° 60°
Àreasom= Asec BAE - Aseg AE Asom=π6 2 (30°)/360°-Aseg AE AsegAE= =π6 2 (60°)/360°- 6 2 √ /4 =6π -9√ Asom=3π -(6π -9√ ) Asom=9√ -3π= 3(3 √ - π) c m 2
a= 5k Del dato: a/AC=5/6 a=5k 4k H A=5k y AC=6k C A Del dato: 3k O 3k 4a+ BD+ AC=102 4K a a 4(5k) + 8k + 6k=102 34k=102 k=3 Àrea total= (6k)x(8k)/2 D 2 2 = (48) (3) =72m
44
D
N
4) En un triángulo rectángulo la circunferencia inscrita determina en la hipotenusa dos segmentos que miden 13m y 8m. Halle el área de la región triangular. Resolución: E r 13
A
13
r O T
B
r F
r
8 8
C
Área ABC= A ABC(Pitágoras): AB2+BC2=AC2 (13+r)2+ (8+r)2= (13+8)2 (169+26r+r 2)+ (64+16r+r 2)=441 2r 2+42r-208=0 r 2+21r=104 A=(13+r)(8+r)/2 A=(ABxBC)/2 2 2A=r +21r+104 2A=104+104 2 A=104m
45
QUINTA SEMANA SESION 02 SEMINARIO TALLER 1) En el romboide ABCD donde AD = x + 5 y la altura BH mide (x – 2). Halle la altura si el área de la región encerrada es 78m 2.
2) Halle el área de la región encerrada por un triángulo equilátero donde el radio de la circunferencia inscrita mide 2 3 m.
3) En el triángulo
escaleno ABC donde “G” es baricentro, además CM y AN son
medianas. Halle el área de la región triangular MGN si AC = 6m y la altura BH mide 4m.
4) En el cuadrado ABCD se considera en CD un punto E y luego en BE se ubica el punto
medio M. Halle la suma de las áreas de las regiones limitadas por los triángulos ABM y MED si AB=10m y ED=8m.
5) Halle el área de la región triangular ABC si AB=BC=6m, luego se traza la mediatriz de BC que corta a AB en E siendo AE=1m.
6) En un romboide ABCD que encierra una región cuya área es 24m 2 y centro O, luego se ubica el punto medio M de AD y MC corta a BD en P. Halle el área de la región triangular OCP.
7) Calcule el área de la región limitada por un trapecio inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 5cm, si sus bases miden 6cm y 8cm (el centro de la circunferencia es interior al trapecio). 8) Halle el área de la región encerrada por dodecágono regular inscrito en una circunferencia de radio “R”.
9) Si “O” es centro;
S 1 = S 2
C
y AO=CB. Calcule “θ”. B
S2
S1 ?θ
46
A
O
D
10) “A” y “C” son Bcentros; AB=12. Calcule el área de la región sombreada.
30° A
M
C
N
11) El triángulo ABC encierra un área de 48m 2, luego se traza la mediana BM que es cortada por la ceviana interior AD en P. Hallar el área de la región triangular BPD.
12) El radio de una circunferencia mide 2. Calcule el área de la región determinada por el cuadrado inscrito en la circunferencia.
13) Del gráfico: AB=3; CD=2; DE=7 y BC=5. Calcule el área de la región sombreada. B D C
A
E
14) En un triángulo ABC, m A=37°, m C=45° y la altura BH mide 6cm. Halle el área.
15) Calcule el área de la región limitada por un rombo si dos lados son radios y los otros dos cuerdas de una circunferencia cuyo diámetro mide 32.
16) En un trapecio isósceles ABCD, se traza la altura CH de tal manera que AH=8,5 y CH=6. Calcule el área de la región trapecial.
17) En la figura ABCD es un paralelogramo, ¿cuál es la relación correcta? B
C y
x
z A
D
47
18) En la figura calcule el área limitada por el romboide AECF si las áreas son iguales y ABCD es cuadrado. B
E
C
A
2 F
D
19) Calcule el área de una corona circular formada por las circunferencias inscritas y circunscritas a un cuadrado de lado L.
20) Si “O” es centro de ambas circunferencias, calcul e el área de la figura sombreada. B
r
A
C R
21) Calcule el área de la región sombreada si: AO=OB=4. A
O
B
22) Calcule el área de la región sombreada. QR=12 P
O
.
Q
23)
R
Si “O” es centro y AO=OB, calcule S 2 A /S1 S2 S1 O
48
B