TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES
1. OBJETIVO: 1. Obtener gráficas de los datos Experimentales . 2. A partir de los datos, crear tablas y construir ecuaciones experimentales e interpretar su comportamiento. 2. MATERIALES: Hojas de papel milimetradas Hojas de papel logarítmicas Hojas de papel semilogarítmicas Regla 30 cm. 3. FUNDAMENTO TEORICO: Los datos obtenidos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de valores confeccionadas nos informan acerca de relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relación se hacen representaciones graficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas o semilogarítmicas según sea el caso. De estas se buscan graficas lineales, para facilitar la construcción de las formulas experimentales que representen las leyes le yes que gobiernan el fenómeno. a) Se grafica en un papel milimetrado los valores de la tabla. b) Se compara la distribución de puntos obtenida con curvas conocidas. Si se logra identificar la forma de distribución de los puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas correspondiente mediante mediante mediante la técnica de de mínimos cuadrados. La ecuación que se busca tendrá la forma de una recta cuya ecuación es : y = mx + b Donde la pendiente m y la ordenada en el origen b son constantes a determinar. El primer paso es llevar los datos experimentales a un papel milimetrado. Si la distribución de puntos no tiene tendencia lineal, se pasa a un papel logarítmico o semilogarítmico. Para las relaciones de la forma y = kx kxn , n diferente de 1, sus gráficos en el papel logarítmico son rectas con pendiente m = n que que cortan al eje vertical en b = k. Se recomienda usar usar papel logarítmico 3x3; cada ciclo esta asociado a una potencia de base 10. En papel milimetrado también se pueden construir gráficos lineales para ecuaciones de curvas. Esto dependerá de los valores asignados a los ejes coordenados. Para esto es necesario tratar los datos. METODO DE MINIMOS CUADRADOS Para aplicar esta técnica primero se construye construye una tabla de la forma : Xi Yi xiyi
X2i
X1 X2 . . . XP Xi
m = pxiyi – xiyi px2i – (xi)2
Y1
x1y1
X2 1
Y2
x2y2
X2 2
. . . Yp yi
. . . XpYp x i yi
. . . X2 p 2 x
b= x2iyi – xixiyi px2i – (xi)2
“p” es el numero de mediciones
Luego la formula experimental es la ecuación de la recta y = mx + b Y = bxm ................................................. se grafica en papel logarítmico Y = b10mx ,
y = be2,303mx .................se grafica en papel semilogarítmico
Dado que el ajuste lineal es por el método de los mínimos cuadrados la tabla se convierte en logarítmica y semilogarítmica, cuidando de colocar los valores con un mínimo cuatro decimales de redondeo en cada columna. Observe que las ecuaciones de la recta en esas escalas son: Log y = mlog x + log b , y log y = mx + log b La ordenada en el origen b obtenida por la formula será b’ que corresponde a log b, por lo que b se calcula como antilogarítmico de b’. Así b = antilog b’.
En caso de no ser necesario hacer el ajuste, m se calcula con la pendiente de la distribución lineal donde el valor de b se toma como el punto correspondiente l corte de la prolongación de la recta con el eje vertical.
DATOS EXPERIMENTALES
Tabla 1 I(A)
V(V)
0.05 1.00 2.00 4.00
2.18 4.36 8.72 17.14
Tabla 2 30
h(cm)
10
d(cm)
4
1
tiempo de vaciado t(s)
1.5 2.00 3.00 5.00
73.00 41.20 18.40 06.08
43.00 23.70 10.50 03.90
26.70 15.00 06.08 02.20
13.50 07.20 03.70 01.50
Tabla 3 T(DIAS) A(100%)
0 100
1 84
2 70
3 59
4 49
5 41
6 34
7 27
8 24
9 20
CALCULOS Y RESULTADOS
Tabla 1 Ajuste de Curvas: Xi
Yi
XiYi
Xi2
0.05 1.00 2.00 4.00 Xi 17.50
2.18 4.36 8.72 17.14 yi 32.70
1.09 4.36 17.4 69.76 x i yi 92.65
0.25 1.00 4.00 16.00 x2 21.25
m = 4(92.65) – (7.5)(32.70) 4(21.25) – (7.5)2
m = 4.36
b = (21.25)(32.70) – (7.50)(92..65) 4(21.25) – (7.50)2
y = 4.36x + 0
b =0
Tabla 2 h(cm) d(cm)
30
1.5 2.00 3.00 5.00
73.00 41.20 18.40 06.08
10
4
1
tiempo de vaciado t(s)
43.00 23.70 10.50 03.90
26.70 15.00 06.08 02.20
13.50 07.20 03.70 01.50
10 17
* Para h=30 cm X’
Y’
X’.Y’
X’2
0.17 0.30 0.47 0.69
1.86 1.61 1.26 0.83 y’ =5.57
0.32 0.48 0.60 0.58
0.03 0.09 0.22 0.48
x’
=1.65
(x’.y’)
=1.99
x’
2 =2.73
y’ = mx’ + b
4(1.99) -1.65(5.57) m = -----------------------------4(2.73) - (1.65 ) 2
2.73(5.57) – 1.65(1.99) b = --------------------------------4(2.73) - (1.65 ) 2
y
m = - 0.15 y b = 1.45 Y’= -0,15x + 1,45
* Para d= 1.5 cm X’
Y’
X’.Y’
X’2
1.477 1 0.60 0 x’ =3.07
1.86 1.63 1.42 1.13 y’ =6.05
2.75 1.63 0.85 0
2.18 1 0.36 0 x’2 =9.48
(x’.y’)
=5.24
y’ = mx’ + b
4(5.24) – 3.07(6.05) m = -----------------------------4(9.48) - (3.07 ) 2
9.48(6.05) – 3.07(5.24)
y
b = --------------------------------4(9.48) - (3.07 ) 2
m= 0.08 y b= 1.44 Y’= 0,08x + 1,44
Tabla 3 T(DIAS) A(100%)
0 100
1 84
2 70
3 59
4 49
A=b*10mx Log y= log b +mx
, donde log b = b’
5 41
6 34
7 27
8 24
9 20
10 17
X
Y’
X.Y’
X2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x =55
Ln100=4.6 Ln84=4.4 Ln70=4.2 Ln59=4.0 Ln49=3.8 Ln41=3.7 Ln34=3.5 Ln27=3.2 Ln24=3.1 Ln20=2.9 Ln17=2.8 y’ =40.2
0 4.4 8.4 12 15.2 18.5 21 22.4 24.8 26.1 28 ( x.y’) =180.8
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 x2 =385
* y’ = mx + b
11(180.8) -55(40.2) m = -----------------------------11(385) - (55 ) 2
y
385(40.2) – 55(180.8) b = --------------------------------11(385) - (55 ) 2
m= - 0.18 y b= 4.57 Y’= -0,18x+ 4,57
CUESTIONARIO 1. Grafique las sgtes distribuciones: De la Tabla 1
a) Grafique en una hoja de pael milimetrado Vvs. I De la Tabla 2
b) c) d) e) f)
En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. D para cada una de las alturas. En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. h para cada una de los diámetros. En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. D para cada una de las alturas. En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. h para cada una de los diámetros. Haga el siguiente cambio de variables z=1/D2 y grafique t=t(z) e papel milimetrado
De la Tabla 3
g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs. T para cada una de las alturas. h) En una hoja de papel semilogarítmico grafique A vs. T para cada una de las alturas.
2. 3. Interpolación y extrapolación : a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los núcleos de radón.
De la tabla 2; cuya ecuación es:
A = 100,0921 e2,303 – 0,0779. t
A = 100.10-0,1. t = log A/100 = log 10-01. t = log A-2 = -0,1.t
Entonces:
Tomando A = 50 se tiene que: log 50 – 2 = -01.t 2log 5 + log 2 – 2 = -0,1.t 2(0,7) + 0.3 – 2 = -0,1.t t = 3, 87 dias b) Halle los tiempos de vaciado del agua si:
CASOS
ALTURA (h) (cm)
01 02 03 04
20 40 25 49
DIÁMETRO (d) (cm) 4.0 1.0 3.5 1.0
Se conoce Tvac. = K h / d2 K (Cte.) se obtiene de la tabla 2: t = 73 t = 41,2 t = 18,4 t = 6,8 h = 30 h = 30 h = 30 d = 1,5 d = 2,0 d = 3,0
h = 30 d = 5,0
K = 30
Reemplazando:
Tvac. = 30 h / d2
TIEMPO (t) (s) 9.23956264 187.952641 13.043055 207.921187
4. 5.
Grafique Ajustando t=t(w) en papel milimetrado. Si la distribución es lineal haga el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuación experimental correspondiente t=t(h.d)
suma
w
t
w*t
w*w
0.04 0.13 0.35 0.5 0.89 1.4 2.43 5.74
1.5 3.9 10.5 15 26.7 43 73 173.6
0.06 0.507 3.675 7.5 23.763 60.2 177.39 273.095
0.0016 0.0169 0.1225 0.25 0.7921 1.96 5.9049 9.048
m=
29.5635557
b=
-0,0081
t=29.5635557*w -0,0081
h
d
w
t
20 40 25 49
4 1 3.5 1
0.2795085 6.32455532 0.40816327 7
9.23956264 187.952641 13.043055 207.921187
Cálculos de la pregunta 1.c PARA t = t(h)
Log h 1.477121 1 0.60206 0 log h 3.079181
Log t 1.863323 1.633468 1.426511 1.130334 log t 6.053636
(logh)2 2.181887 1 0.362476 0 2 (logh) 3.544363
Logh.logt 2.752354 1.633468 0.858845 0 logh.logt 5.244668
m = 4(5.244668) – (3.079181)(6.053636) 4(3.544363) – (3.079181)2 b’ = (3.544363)6.053636 – (3.079181)5.244668 4(3.544363) – (3.079181)2
= 0.497951 = 1.130089
b = antilog 1.130089 = 13.492381 m
y = bx
(0.497951)
y = 13.492381x
DATOS OBTENIDOS POR FÓRMULA h
1
4
10
30
t
13.432381
26.908227
42.465847
73.387635
VALORES DADOS 1 4 10 13.5 26.7 43
h t
logh 1.477121 1 0.602060 0 logh 3.079181 m=
logt 1.614897 1.374748 1.176091 0.857332 logt 5.023069
30 73
(logh)2 2.181887 1 0.362476 0 2 (logh) 3.544363
Logh.logt 2.385399 1.374748 0.708077 0 logh.logt 4.468225
4(4.468225) – (3.079181)5.023069 = 0.512332 4(3.544363) – (3.079181)2
b’ = (3.544363)(5.023069) – (3.079181)(4.468225) 4(3.544363) – (3.079181)2
= 0.861377
b = antilog 0.861377 = 7.267364
m
y = bx
(0.512332)
y = 7.267364x
h
DATOS OBTENIDOS POR FORMULA 1 4 10
30
t
7.267364
23.643320
VALORES DADOS 1 4 10 7.2 15 23.7
h t
logh 1.477121 1 0.602060 0 logh 3.079181
14.785357
logt 1.264818 1.021189 0.832509 0.568202 logt 3.686718
41.510000
30 41.2
Logh.logt 1.868289 1.021189 0.501220 0 logh.logt 3.390699
(logh)2 2.181887 1 0.362476 0 2 (logh) 3.544363
m = 4(3.390699) – (3.079181)(3.686718) = 0.470758 4(3.544363) – (3.079181)2
3.5434363(3.6866718) – (3.079181)(3.390699) = 0.559292 4(3.5439) – (3.079)2
b’ =
b = antilog 0.559292 = 3.624870 m
y = bx
(0.470758)
y = 3.624870x
DATOS OBTENIDOS POR FORMULA h 1 4 10 30 t 3.624870 6.961723 10.716428 17.974571 h t
logh 1.477121 1 0.602060 0 logh 3.079181 m
VALORES DADOS 1 4 10 3.7 6.8 10.5
logt 0.832509 0.591065 0.342423 0.176091 logt 1.942087
30 18.4
Logh.logt 1.229717 0.591065 0.206159 0 logh.logt 2.026940
= 4(2.026940) – (3.079181)(1.942087) = 0.453083 4(3.544363) – (3.079181)2 (3.544363)(1.942087) – (3.079181)(1.942087) = 0.136741 4(3.5434363) – (3.079181)
b’ =
b = antilog 0.136741 = 1.370063
(logh)2 2.181887 1 0.362476 0 2 (logh) 3.544363
m
y = bx
(0.453083)
y = 1.370063x
