4. DISEÑOS EXPERIMENTALES El Diseño de Experimentos se inició en el año 1935 por Sir Ronald A. Fisher en la agricultura !uien sentó la "ase de la teor#a del Diseño Experimental $ !ue a la %echa se encue encuentr ntra a "asta "astante nte desarr desarroll ollada ada $ amplia ampliada da a otras otras &reas &reas de las cienc ciencias ias.. Actualmente las aplicaciones son m'ltiples especialmente en la in(estigación de las ciencias naturales ingenier#a la"oratorios $ casi todas las ramas de las ciencias sociales. )a experimentación proporciona datos experimentales en contraste con los datos de la o"ser(ación !ue representan como su nom"re lo indica o"ser(aciones de las unidades elementales de una po"lación o de una muestra los cuales no de"en ser cam"iados ni modi%icados por ning'n intento de parte del in(estigador en el curso de la o"ser(ación lo !ue s# ocurre con los datos experimentales. *n experimento diseñado es una prue"a o serie de prue"as en las cuales se inducen cam"ios deli"erados en las (aria"les de entrada de un proceso o sistema de manera manera !ue !ue sea posi" posi"le le o"ser( o"ser(ar ar e identi identi%ic %icar ar las causas causas +%actores +%actores,, de los cam"ios cam"ios en la respuesta respuesta de salida salida situación situación !ue se puede puede es!uemati-ar es!uemati-ar de la siguiente manera
X
X
X
FACTORES Seg'n el es!uema el proceso del diseño experimental se (e a%ectado por %actores contro controla" la"les les e incont incontrol rola"l a"les es lo !ue origin origina a !ue las salida salidas s est/n est/n someti sometidas das a incertidum"re. )os %actores controla"les como la (aria"le tipo de pu"licidad son manipulados por el in(estigador. En cam"io los %actores incontrola"les como las expe expect ctat ati( i(as as o el tiem tiempo po clim clim&t &tic ico o en dete determ rmin inad ados os mome moment ntos os o el ni(e ni(ell de producción de una planta no pueden ser manipulados por el in(estigador. En un experimento se manipulan ciertas (aria"les las !ue "a0o ciertas condiciones producir&n ciertos resultados e%ectos o respuestas deseados por el in(estigador los !ue se (en (en a%ecta a%ectados dos por %actor %actores es incont incontrol rola"l a"les es altera alterando ndo as# los result resultado ados s deseados. 2u&n necesarios son los experimentos para determinar las causas !ue originan las respuestas de un proceso o se podr#a sin ellos llegar a las mismas conclusiones anali-ando los datos disponi"les de la o"ser(ación directa
)a pr&ctica ha demostrado !ue los datos disponi"les pro(enientes de la o"ser(ación directa no permiten descu"rir las (ariaciones de los %actores !ue inter(ienen en un proceso ni conociendo las (ariaciones en los e%ectos determinar cu&les (aria"les +o cu&les de sus tratamientos, son las causantes de estas (ariaciones. 4or tanto sólo los los expe experi rime ment ntos os pued pueden en dete determ rmin inar ar la %orm %orma a cómo cómo a%ec a%ecta tan n las las (ari (aria" a"le les s independientes al proceso aun cuando en /l participan una serie de %actores siendo muchos muchos de ellos incontrola"le incontrola"les s causantes causantes del error experimen experimental. tal. Asimismo Asimismo los datos pro(enientes de la o"ser(ación directa pueden lle(arnos a o"tener datos no consistentes des%asados o altamente correlacionados !ue esconden las (erdaderas causas del e%ecto o respuesta. 2uando las (aria"les de un proceso est&n correlacionadas se pueden producir dos situaciones 1. 2on%usión 2on%usión de los e%ectos e%ectos al no poder poder discrimina discriminarr con certe-a certe-a a cu&les (aria"le (aria"les s o %actores se de"e el e%ecto o resultado de un proceso. Esto se es!uemati-a de la siguiente manera )a aria"le 1 $ la aria"le 6 act'an simult&neamente para producir un e%ecto con0 con0un unto to en una una aria"l ria"le e 3. El pro" pro"le lema ma est& est& en dete determ rmin inar ar a cu&l cu&l de las las (aria"les 1 o 6 se de"e el e%ecto o !u/ porción del e%ecto corresponde a cada (aria"le. Variable Variable Variable
As# si se me-clan 6 (aria"les como la 4u"licidad $ el 7ipo de En(ase el e%ecto es una ele(ación de las entas. A cu&l cu&l de las 6 (aria"les se de"e el e%ecto $ en !u/ proporción 6. Relación Relación no causal causal cuando cuando existe existe una (aria"le (aria"le oculta oculta !ue in%lu$e in%lu$e indirectamen indirectamente te en la (aria"le dependiente. As# si se estudia el e%ecto !ue tiene la (aria"le 8i(el Educati(o +(aria"le 1, en el 8i(el de los Salarios +(aria"le 6, puede ha"er una tercera (aria"le oculta !ue no se considera en el estudio como la Experiencia pro%esional +aria"le +aria"le 3,. RELACIÓN NO CAUSAL Variable 1
Variable 2
Variable 3
Esto Estos s pro" pro"le lema mas s pued pueden en ser ser dete detect ctad ados os si se real realii-an an expe experi rime ment ntos os con con las las (aria"les !ue a%ectan el proceso. El Diseño de Experimentos Experimentos est& relacionado "&sicamente "&sicamente con el planeamiento de la recolección de los datos experimentales $ se puede a%irmar !ue un experimento es *8A *ES7RA de una gran po"lación o superpo"lación de posi"les experimentos
)a pr&ctica ha demostrado !ue los datos disponi"les pro(enientes de la o"ser(ación directa no permiten descu"rir las (ariaciones de los %actores !ue inter(ienen en un proceso ni conociendo las (ariaciones en los e%ectos determinar cu&les (aria"les +o cu&les de sus tratamientos, son las causantes de estas (ariaciones. 4or tanto sólo los los expe experi rime ment ntos os pued pueden en dete determ rmin inar ar la %orm %orma a cómo cómo a%ec a%ecta tan n las las (ari (aria" a"le les s independientes al proceso aun cuando en /l participan una serie de %actores siendo muchos muchos de ellos incontrola"le incontrola"les s causantes causantes del error experimen experimental. tal. Asimismo Asimismo los datos pro(enientes de la o"ser(ación directa pueden lle(arnos a o"tener datos no consistentes des%asados o altamente correlacionados !ue esconden las (erdaderas causas del e%ecto o respuesta. 2uando las (aria"les de un proceso est&n correlacionadas se pueden producir dos situaciones 1. 2on%usión 2on%usión de los e%ectos e%ectos al no poder poder discrimina discriminarr con certe-a certe-a a cu&les (aria"le (aria"les s o %actores se de"e el e%ecto o resultado de un proceso. Esto se es!uemati-a de la siguiente manera )a aria"le 1 $ la aria"le 6 act'an simult&neamente para producir un e%ecto con0 con0un unto to en una una aria"l ria"le e 3. El pro" pro"le lema ma est& est& en dete determ rmin inar ar a cu&l cu&l de las las (aria"les 1 o 6 se de"e el e%ecto o !u/ porción del e%ecto corresponde a cada (aria"le. Variable Variable Variable
As# si se me-clan 6 (aria"les como la 4u"licidad $ el 7ipo de En(ase el e%ecto es una ele(ación de las entas. A cu&l cu&l de las 6 (aria"les se de"e el e%ecto $ en !u/ proporción 6. Relación Relación no causal causal cuando cuando existe existe una (aria"le (aria"le oculta oculta !ue in%lu$e in%lu$e indirectamen indirectamente te en la (aria"le dependiente. As# si se estudia el e%ecto !ue tiene la (aria"le 8i(el Educati(o +(aria"le 1, en el 8i(el de los Salarios +(aria"le 6, puede ha"er una tercera (aria"le oculta !ue no se considera en el estudio como la Experiencia pro%esional +aria"le +aria"le 3,. RELACIÓN NO CAUSAL Variable 1
Variable 2
Variable 3
Esto Estos s pro" pro"le lema mas s pued pueden en ser ser dete detect ctad ados os si se real realii-an an expe experi rime ment ntos os con con las las (aria"les !ue a%ectan el proceso. El Diseño de Experimentos Experimentos est& relacionado "&sicamente "&sicamente con el planeamiento de la recolección de los datos experimentales $ se puede a%irmar !ue un experimento es *8A *ES7RA de una gran po"lación o superpo"lación de posi"les experimentos
en "ase "ase a la cual cual se esti estima mar& r&n n los los par& par&me metr tros os po"l po"lac acio iona nale les s $ se tomar tomar&n &n decisiones con respecto a la comparación de las po"laciones en estudio. 2ada experimento es una pregunta !ue se hace a la naturale-a para !ue las respuestas no sean con%usas o contradictorias $ para ello es necesario !ue sea t/cnicamente planeado cuidadosamente conducido adecuadamente anali-ado $ cautelosamente interpretado. El es!uema de un experimento se puede representar de la manera siguiente
Maerial e+peri*enal
Medi& Unidades
)as unidades experimentales !ue son indi(iduos +animales (egetales personas cosas o empresas, se encuentran en un medio am"iente denominado medio experimental el cual puede ser natural o arti%icial +controlado por el in(estigador, $ !ue en con0unto se denomina material experimental. A las unidades experimentales se les aplican %actores o est#mulos los cuales son (aria"les cualitati(as o cuantitati(as en di%erentes ni(eles con la %inalidad de cam"iar el comportamiento de a!u/llas +las unidades experimentales, en el curso de un experimento. )os %actores son (aria"les controladas por el in(estigador $ se las puede denominar como (aria"les independientes. El experimento re!uiere una maduración en el tiempo aun cuando m#nima para o"ser(ar los e%ectos en las unidades experimentales. Estos e%ectos se denominan respuestas las !ue de"en necesariamente estar medidas en una escala cuantitati(a $ se les asocia con una (aria"le dependiente $a !ue dependen de las (aria"les independientes o %actores. 4or lo general un experimento se reali-a para identi%icar las principales causas de (ariación en la respuesta para encontrar las condiciones !ue permitan alcan-ar un ni(el óptimo en las respuestas o para comparar las respuestas a di%erentes ni(eles de %actores controlados por el in(estigador seleccionando as# el me0or o me0ores ni(eles !ue optimicen las respuestas. Adicionalmente desde el punto de (ista teórico los experimentos se reali-an para construir modelos !ue permitan o"tener predicciones de la respuesta.
Definiciones )as siguientes de%iniciones son necesarias
Variable Respuesa! es la (aria"le en estudio a!uella cu$os cam"ios se desean estudiar $ puede ser considerada como la (aria"le "epen"iene. 4or e0emplo Altura de planta *nidades de producto (endidas. 4ara reali-ar comparaciones entre tratamientos $ extraer conclusiones se recomienda !ue sea medida en una escala cuantitati(a de ra-ón o de inter(alos. #acor! es la (aria"le in"epen"iene la (aria"le !ue manipula el in(estigador para estudiar sus e%ectos so"re la respuesta o (aria"le dependiente. E0m. 8i(eles de %ertili-ación Dosis de medicamento arca de producto 7ipo de m&!uina etc. Ni$el Del #acor! Se re%iere a cada una de las categor#as (alores o %ormas espec#%icas del %actor. E0m. En el Factor 8i(eles de %ertili-ación podr#an ser 5: ;g de 8 1:: ;g de 8 15: ;g de 8. En el Factor 7ipo de m&!uina &!uina A &!uina < &!uina 2. %lases "e facores los %actores pueden ser de dos tipos cualitati(os $ cuantitati(os. #acor %ualiai$o! sus ni(eles se clasi%ican por atri"utos cualitati(os. E0m. 7ipo de pu"licidad +con categor#as Radio 7 4eriódico, #acor %uaniai$o! sus ni(eles son cantidades num/ricas en una escala de ra-ón o de inter(alo. E0m. 7iempo de pu"licidad +con ni(eles 1 hora 6 horas 3 horas diarias,.
Tipos "e e&peri'enos atendiendo al n'mero de %actores in(olucrados E&peri'eno (nifacorial! es a!uel en el !ue se estudia un solo %actor. E&peri'eno Mulifacorial! es a!uel en el !ue se estudia simult&neamente m&s de un %actor.
Traa'ienos! 2on0unto de condiciones experimentales !ue ser&n impuestas a una unidad experimental en un diseño elegido. En experimentos uni%actoriales un tratamiento corresponde a un ni(el de %actor. As# en el %actor cualitati(o 7ipo de 4u"licidad se pueden presentar 3 ni(eles pu"licidad por radio pu"licidad por 7 pu"licidad escrita. 2ada uno de ellos constitu$e un tratamiento. En el %actor cuantitati(o 7iempo de pu"licidad se pueden presentar = ni(eles 6: seg 3: seg =: seg >: seg. 2ada uno de ellos constitu$e un tratamiento. En experimentos multi%actoriales un tratamiento corresponde a la com"inación de ni(eles de %actores. 4or e0emplo si estamos experimentando con 6 %actores como Fertili-ación +?u#mica $ 8atural, $ Aradura +Super%icial $ 4ro%unda, al com"inar los ni(eles del %actor Fertili-ación ?u#mica @ Aradura Super%icial /ste se con(ierte en un tratamiento com"inado. Fertili-ación ?u#mica @ Aradura 4ro%unda Ser#a otro tratamiento.
(ni"a" E&peri'enal! es la parte m&s pe!ueña de material experimental expuesta al tratamiento independientemente de otras unidades. )as unidades pueden ser personas animales plantas minerales empresas o cual!uier cosa so"re las !ue se desee experimentar $ se apli!uen los %actores en estudio.
Error E&peri'enal! Descri"e la (ariación entre las unidades experimentales tratadas de %orma id/ntica e independiente. *na caracter#stica de la naturale-a es !ue cual!uier proceso est& sometido a (ariación por lo !ue puede considerarse a ella como innata a cual!uier proceso. )as causas del error experimental se de"en por tanto a ariación natural entre unidades experimentales aria"ilidad en la medición de la respuesta Bmposi"ilidad de reproducir id/nticas condiciones del tratamiento de una unidad a otra Bnteracción de tratamientos con unidad experimental 2ual!uier %actor externo no considerado en el experimento por e0emplo las horas del d#a.
Traa'ieno %onrol )esi*o+! *n control es a!uella unidad experimental a la !ue no se le aplica tratamiento $ re(elar& las condiciones en !ue se reali-a el experimento. Me"iciones! Son los (alores de la (aria"le dependiente o"tenidos de las unidades experimentales luego de la aplicación de tratamientos. Estas mediciones se reali-an en el transcurso del experimento.
Ele'enos El diseño de experimentos considera los siguientes elementos i+ )os %actores !ue inclu$en el con0unto de raa'ienos incluidos en el estudio ii+ El con0unto de uni"a"es e&peri'enales utili-adas en el estudio iii+ )as reglas $ procedimientos de asignación de los raa'ienos a las uni"a"es e&peri'enales +o (ice(ersa, $
i$+ )as 'e"iciones o reali-adas a las uni"a"es e&peri'enales luego de aplicar los raa'ienos $ !ue constitu$en las respuesas, destac&ndose !ue /stas se determinan al %inal del proceso.
Principios "el Dise-o "e E&peri'enos )os principios "&sicos de un diseño de experimentos son 3 1, 6, 3,
2ontrol )ocal +o control del error experimental,. Repetición reproducción o replicación. Aleatori-ación.
. %onrol "el error )conrol local+ Son las acciones empleadas por el in(estigador para disminuir o controlar el error experimental.
Error e&peri'enal! es la (aria"ilidad existente entre unidades experimentales igualmente tratadas. )as causas de esta (aria"ilidad pro(ienen de la (aria"ilidad natural entre unidades experimentales de la (aria"ilidad de las (aria"les no controladas $ la (aria"ilidad ocasionada por la t/cnica experimental utili-ada para controlar o manipular las (aria"les o %actores. Finalmente las %uentes de (aria"ilidad en la $ariable respuesa se de"en a • )as (aria"les explicatorias o %actores +las cuales pueden ser controladas por el in(estigador, • El error experimental +las !ue no pueden ser controladas pero si disminuidas,
%onrol "el error 4ara controlar +o precisamente disminuir el error experimental, se utili-an unidades experimentales /o'o*0neas. Si las unidades experimentales son heterog/neas +como lo son generalmente, se las puede agrupar en unidades m&s o menos homog/neas +denominadas blo1ues, $ dentro de estos aplicar los tratamientos. Esto conduce a utili-ar una t/cnica experimental m&s re%inada. El "lo!ueo se puede reali-ar m&s de una (e- Si se reali-a un "lo!ue la t/cnica adecuada es el de
2. Repeici3n 2onsiste en aplicar un tratamiento a m&s de una unidad experimental. )a cantidad de r/plicas es la cantidad de repeticiones de cada tratamiento e implica una repetición independiente del experimento demostr&ndose !ue se pueden reproducir los resultados "a0o las mismas condiciones experimentales. Asimismo este principio permite una estimación del error experimental $ me0ora la precisión de un experimento. )os experimentos pueden tener el mismo n'mero de repeticiones por tratamiento en cu$o caso se denominan "alanceados $ cuando no des"alanceados.
De"e considerarse !ue a ma$or cantidad de r/plicas ma$or es la precisión del experimento $ ma$or es la potencia de la prue"a. )a cantidad de r/plicas + ni, necesaria para un experimento depende de la (aria"ilidad de la (aria"le respuesta ( ),la magnitud del e%ecto !ue se !uiere detectar d , el ni(el de signi%icación $ la potencia , es decir la pro"a"ilidad de detectar el e%ecto.
. Aleaori5aci3n 2onsiste en la asignación al a-ar de los tratamientos a las unidades experimentales. En cam"io en un estudio o"ser(acional consiste en la selección al a-ar de los indi(iduos. )ogra !ue los %actores no controlados por el experimentador en el diseño experimental $ !ue pueden in%luir en los resultados sean asignados al a-ar a las unidades experimentales. )a t/cnica general utili-ada en el diseño de experimentos se conoce como An&lisis de arian-a !ue est& "asada en el an&lisis de la (aria"ilidad de las respuestas registradas en las unidades experimentales. Esta t/cnica permite descomponer la (aria"ilidad de las respuestas en (aria"ilidad de e%ectos de"ido a las (aria"les independientes $ al error experimental.
An6lisis "e $arian5a Es una t/cnica estad#stica !ue permite anali-ar la (ariación total de los resultados experimentales de un diseño en particular descomponi/ndolo en %uentes de (ariación independientes atri"ui"les a cada uno de los e%ectos !ue constitu$en el diseño experimental. Esta t/cnica tiene como o"0eti(o identi%icar la importancia de los di%erentes %actores ó tratamientos en estudio $ determinar cómo interact'an entre s#. El ra-onamiento es el siguiente apo$ado en el es!uema
()
D AR1c r µB −=
−
1' ' '
A Dr
1
−
A
'
B Dc
=
1
−
B
I
=
Obj101
T1
T2
T
Tt
,11 ,21
,12 ,22
,13 .
,1) ,2
,31
,32
/i
,3 -
,r1
,r2
,r3
,r
.. -
Dado !ue un experimento es una muestra de una superpo"lación !ue contiene una serie de experimentos a los cuales se aplica un determinado tratamiento del !ue se espera tenga un e%ecto entonces en la situación inicial cuando no se apli!ue ning'n tratamiento la superpo"lación tendr& como (alor representati(o la media general µ.., al cual se igualar#an las medias de todos los tratamientos si el experimento no diera resultado. En otras pala"ras
!ue es la media del 7ratamiento 1 +7 1, ser#a igual a +76, $ as# sucesi(amente hasta a
. la
la media del tratamiento 6
media del tratamiento t +7t, igual&ndose todos
..
la media general del experimento. Esto e!ui(ale a sostener !ue el experimento no dio resultado. En cam"io si el experimento tu(iera resultado e!ui(aldr#a a a%irmar !ue existe un e%ecto tratamiento 78 .79 .. .Esto e!ui(ale a la (ariación de los tratamientos. 2ada o"ser(ación :i7 di%iere de la media general .. de manera !ue :i79 e!ui(ale a la (ariación total. Adicionalmente cada :i7 di%iere de su propia media pero cuando el experimento tu(o e%ecto la di%erencia ser& respecto de su e%ecto tratamiento es decir
:i79
7
)o !ue constitu$e la (ariación del error experimental. Resumiendo
):i79
+
..
ariación total
) .79 + ):i79 .7+ C (ariación de tratamientos (ariación del error
Esta ecuación puede reescri"irse as# ε ij
:i79
8
..
7
;
o
:i7 8
; 7 ; ε ij
..
!ue corresponde al 'o"elo "el Dise-o %o'plea'ene al A5ar +D2A, donde el e%ecto tratamiento.
7 es
Este modelo e!ui(ale a Respuesta C edia general E%ecto tratamiento Error Experimental 4ara e%ectos del an&lisis de (arian-a la (ariación total se descompone en dos partes (ariación de"ida a los tratamientos $ de"ido al error. Esta es la "ase del an&lisis de (arian-a. Si esta (ariación se ele(a al cuadrado $ se reali-a a tra(/s de cada tratamiento $ cada repetición se tiene r
t
∑ ∑ (y ij − µ ..) i =1
j=1
r
2
t
2
r
= ∑∑ ( µ .j − µ ..) + ∑ i =1 j=1
i =1
t
∑ (y ij − µ .j )
2
j=1
?ue corresponden a Suma de cuadrados C Suma de 2uadrados Suma de 2uadrados
Del 7otal
de 7ratamientos
del Error
so"re las unidades cada tratamiento son so"re las unidades los tratamientos son
Al pro"ar cual!uier hipótesis estad#stica el in(estigador est& propenso a cometer los siguientes tipos de errores Error 7ipo B Se comete cuando se recha-a la hipótesis nula siendo /sta (erdaderaH la magnitud de este error es %i0ado por el in(estigador $ constitu$e el Ini(el de signi%icación de la prue"aJH usualmente los (alores usados como ni(el de signi%icación son :.:5 ó :.:1. Error tipo BB Se comete cuando se acepta la hipótesis nula siendo esta hipótesis %alsaH la magnitud de este error no se puede %i0ar pero si es posi"le minimi-ar utili-ando un tamaño adecuado de muestra.
Diferencias enre el An6lisis "e Re*resi3n : An6lisis "e Varian5a Es posi"le esta"lecer ciertas similitudes $ di%erencias entre estas t/cnicas $a !ue am"os an&lisis esta"lecen relaciones entre (aria"les denomin&ndose en el caso del an&lisis de (arian-a Variable Respuesa $ en el an&lisis de regresión Variable Depen"iene. 4aralelamente en el an&lisis de (arian-a se denominan %actores a lo !ue en an&lisis de regresión se denominan (aria"les independientes por lo !ue am"as t/cnicas estudian la relación estad#stica entre (aria"les para tomar decisiones aun cuando en el An6lisis "e Re*resi3n el ob7ei$o es pre"ecir . 7anto en el an&lisis de regresión como en el an&lisis de (arian-a las (aria"les independientes como sus an&logas los %actores pueden ser cualitati(os o cuantitati(os. )a di%erencia radica en la (aria"le respuesta !ue necesariamente en el caso del An&lisis de arian-a de"e ser cuantitati(a. En cam"io en el an&lisis de regresión las (aria"les cualitati(as dependientes pueden ser tratadas mediante regresiones no lineales del tipo pro"it normit o logit. En el An6lisis "e Varian5a el ob7ei$o es co'parar los distintos ni(eles de la o las (aria"les independientes ó %actores para esta"lecer di%erencias signi%icati(as en la
(aria"le dependiente ó respuesta. Aun as# el procesamiento hasta cierto punto conduce a resultados similares mediante una codi%icación adecuada de las (aria"les como se (er& posteriormente.
Tipos "e Mo"elos )os modelos experimentales de clasi%ican en tres tipos • odelos de e%ectos %i0os. • odelos de e%ectos Aleatorios. odelos ixtos.+Factores %i0os $ aleatorios,. • 2uando el in(estigador tiene control so"re el material experimental aplicando sólo los ni(eles de los %actores !ue le interesan en el modelo es de e%ectos %i0os. 2uando se in(estiga un %actor pero no se tiene control so"re los tratamientos por e0emplo en los estudios por muestreo donde los ni(eles !ue se aplican son una muestra extra#da al a-ar de una po"lación de ni(eles los modelos son de e%ectos aleatorios. Se estudiar& sólo el primer tipo de modelos.
Mo"elo "e efecos fi7os En este modelo los tratamientos son seleccionados pre(iamente $ se aplican en una sola situación por lo !ue solo existe una muestra en el experimento. Y ij = μ.. + α j + ε ij coni = 1 ,…,r y j =1 , … t
Mo"elo "e efecos aleaorios En este modelo se asume !ue las k muestras seleccionadas son muestras aleatorias de k situaciones distintas $ aleatorias. De modo !ue un (alor aislado Y ij se puede escri"ir como Y ij = μ.. + A j + ε ij coni =1 ,…, r y j = 1 ,… t
Mo"elo Mi&o Este modelo es la com"inación de los dos anteriores $ se presenta cuando algunos %actores son %i0ados $ otros son elegidos al a-ar. En estos casos las conclusiones del an&lisis de (ariancia ser&n (&lidas para toda la po"lación de %actores cuando estos son elegidos al a-ar $ solamente para los %actores usados cuando estos son %i0ados.
Supuesos "el 'o"elo )os supuestos necesarios del modelo estad#stico son a. Aditi(idad )os %actores o componentes del modelo estad#stico son aditi(os es decir la (aria"le respuesta es la suma de los e%ectos del modelo estad#stico. ". )inealidad )a relación existente entre los %actores o componentes del modelo estad#stico es del tipo lineal.
c. 8ormalidad )os (alores resultado del experimento pro(ienen de una distri"ución de pro"a"ilidad K8ormalL con media µ $ (ariancia σ6 . d. Bndependencia )os resultados o"ser(ados de un experimento son independientes entre s#. e. arian-as omog/neas +omocedasticidad, )as di(ersas po"laciones generadas por la aplicación de dos o m&s tratamientos tienen (ariancias homog/neas +(ariancia com'n,. De estos supuestos los tres 'ltimos necesitan ser pro"ados estad#sticamente.
Pruebas "e co'paraci3n "e 'e"ias Es propósito de todo in(estigador !ue reali-a un an&lisis de (arian-a en un experimento en particular reali-ar la prue"a so"re el e%ecto de los tratamientos en estudio para ello hace uso de la prue"a F el cual indicar& si los e%ectos de todos los tratamientos son iguales o di%erentesH en caso de recha-ar la hipótesis nula : de !ue todos los tratamientos tienen el mismo e%ecto es decir !ue los tratamientos son di%erentes o no tienen el mismo e%ecto entonces es necesario reali-ar prue"as de comparación de promedios a %in de determinar cu&les tratamientos presentan di%erencias $ para esto es necesario reali-ar prue"as de comparación como las siguientes
Diferencia Si*nificai$a M=ni'a )DLS+! Es una prue"a para comparar dos medias $ su uso en comparaciones simult&neas se 0usti%ica sólo en las siguientes condiciones a. 2uando la prue"a F resulta signi%icati(a. ". )as comparaciones %ueron planeadas antes de e0ecutar el experimento. 2ada par de medias se compara con el (alor de la DS +Di%erencia Signi%icati(a #nima, !ue se o"tiene utili-ando la ecuación 2 ( CMEr ) F α , ( 1, n−t ) DSM = . Si la di%erencia de las medias supera la DS r
√
se entiende !ue es signi%icati(a. +2Er son los cuadrados medios del error,.
Prueba "e Ran*os M>liples "e Duncan! Se utili-a para reali-ar comparaciones m'ltiples de mediasH $ en esta prue"a no es necesario reali-ar pre(iamente la prue"a F $ !ue /sta resulte signi%icati(aH sin em"argo es recomenda"le e%ectuarla cuando la prue"a F ha$a resultado signi%icati(a a %in de e(itar contradicciones entre am"as prue"as.
Prueba "e Ran*os M>liples "e Tu?e:! Se utili-a para reali-ar comparaciones m'ltiples de mediasH esta prue"a es similar a la prue"a de Duncan en cuanto a su procedimiento $ adem&s es m&s exigente.
Prueba "e %o'paraci3n "e Dunne! Es 'til cuando el experimentador est& interesado en determinar !ue tratamiento es di%erente de un testigo control o tratamiento est&ndar $ no en hacer todas las comparaciones posi"les +!ue pasar#an a una segunda prioridad,H es decir cuando se !uiere comparar el testigo con cada uno de los tratamientos en estudio.
%oeficiene "e $ariabili"a" Es una medida de (aria"ilidad relati(a +sin unidades de medida, cu$o uso sir(e para cuanti%icar en t/rminos porcentuales la (aria"ilidad de las unidades experimentales %rente a la aplicación de un determinado tratamiento. En experimentación no controlada +condiciones de campo, se considera !ue un coe%iciente de (aria"ilidad ma$or a 35M es ele(ado de"i/ndose tener especial cuidado en las interpretaciones ó conclusiones. En condiciones de la"oratorio se considera un coe%iciente de (aria"ilidad ma$or como ele(ado. )a expresión estimada del coe%iciente de (aria"ilidad es √ CMEr CV = x100 ´ Y
%lases "e Dise-os )os diseños experimentales conocidos "asados en la t/cnica del an&lisis de (arian-a son el Diseño 2ompletamente el A-ar el Diseño en
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@iblio*raf=a -
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2ochran N. $ O. 2ox. +19P3. Diseños experimentales. Editorial 7rillas. Segunda edición. /xico.Editorial Re(ert/. Segunda edición.
. DISEÑO %OMPLETAMENTE AL ABAR )D%A+ C S( RELA%IN %ON EL ANLISIS DE REFRESIN (TILIBANDO VARIA@LES GD(MMCH Este modelo es el m&s sencillo del diseño de experimentos en el cual la (aria"le respuesta puede depender de la in%luencia de un 'nico %actor de %orma !ue el resto de las causas de (ariación se englo"an en el error experimental. Se supone !ue el experimento ha sido aleatori-ado por completo es decir todas las unidades experimentales han sido asignadas al a-ar a los tratamientos. Sólo se considera el modelo de e%ectos %i0os. )a 'nica restricción es el n'mero de o"ser(aciones !ue se toman en cada tratamiento. De hecho si ni es el n'mero de o"ser(aciones en el 0V/simo
tratamiento 0C 1...t entonces los (alores n1n6...nt determinan por completo las propiedades estad#sticas del diseño. Este tipo de diseño se utili-a en experimentos !ue no inclu$en %actores "lo!ue. El modelo matem&tico de este diseño tiene la %orma Respuesta C 2onstante E%ecto tratamiento Error
Noaci3n 2onsideramos Ci7 la (aria"le aleatoria !ue representa el (alor de la respuesta en la iV/sima o"ser(ación del 0V/simo tratamiento. En adelante se utili-ar& la notación U i0 para re%erirse a la (aria"le e $ i0 para re%erirse a una o"ser(ación concreta. µ 0 la respuesta real del 0V/simo tratamiento. Es decir la respuesta !ue se o"tendr#a siempre con el 0V/simo tratamiento si se e0ecutase el experimento en exactamente las mismas condiciones. εi0 la (aria"le aleatoria !ue representa la distancia de la iV /sima o"ser(ación del 0V/simo tratamiento a su (alor real. 4or tanto εi0 representa la contri"ución de las %uentes de (ariación menores $ no plani%icadas. Esta (aria"le se denomina error experimental. 4ara cada j C 1,...,t i C 1,...,r el modelo matem&tico del diseño es Ui0 C µ 0 εi0 En el !ue los componentes Ui0 $ εi0 son aleatorios $ µ 0 es determinista. Si en este modelo se denota µ 0 C µ α 0 para 0 1 Wt se o"tiene la siguiente %orma alternati(a del modelo Ui0 C µ α 0 εi0 es una constante !ue representa la respuesta media de la (aria"le C $ 7 representa la (ariación de la media del ni(el 7 respecto a la media de la respuesta 7= 7- , o e%ecto tratamiento. )os par&metros α 0 se llaman efectos. Examinar las di%erencias entre ni(eles de tratamientos e!ui(ale a examinar las di%erencias entre los par&metros µ 0 o entre los par&metros α 0 El modelo es lineal. En su estudio se suponen las siguientes hipótesis 1. )a (arian-a de la respuesta es constante (supuesto de homocedasticidad), V)Ci7+ 8 2 para iC 1Wr. para 0C 1 Wt E!ui(alentemente V ) I+ 8 2 para iC 1Wr. para 0C 1 Wt 6. )a distri"ución de la respuesta Ci7 es normal +supuesto de normalidad , E!ui(alentemente la distri"ución de i7 es normal. 3. )as o"ser(aciones Y ij son independientes.
)a ta"la A8GA para el diseño D2A es el siguiente 7a"la A8GA del Diseño 2ompletamente al A-ar +D2A,
#uenes Variaci3n
Su'as "e %ua"ra"os
*.l
%ua"ra"os Me"ios
Enre Traa'ienos
S27rat.
tV1
S27ratXg.l
Denro Tra. )Error+
S2Error
t+rV1,
S2ErrorXg.l +BB,
Toal
S2 7otal
rt Y 1
+B,
F F o= ( B,X+BB,
ediante la t/cnica de #nimos 2uadrados Grdinarios se o"tienen los estimadores de la media general el e%ecto tratamiento $ como consecuencia del error experimental. Si usamos la notación puntual entonces μ= y´ .. ^
´ .. α j= y´ . j − y ^
para 0C1 6 Wt
4or tanto las ecuaciones resultantes son r
t
∑ ∑ (yij − y..) i =1
r
2
2
t
r
= ∑ ∑ ( y.j − y.. ) + ∑
j=1
i =1 j=1
i =1
t
∑ (yij − y.j )
2
j=1
S#*a #*a dealC#adrad&" de Trat a*ien&" de C#adrad&" del Err&r S#*a de C#adrad&"Sdel Tot
)as expresiones parciales de cada %uente de (ariación se expresan de la siguiente manera r
SCT&0
t
∑ ∑ (yij − y..) i =1
t
= ∑∑ yij − n y 2
j=1
r
SCTra0
r
2
i =1 j =1
2
t
t
r
2on
0C 1 6 W t BC 1 6 W r
2
∑ ∑ ( y.j − y.. ) = r ∑ y . j − n y i =1 j=1
SCEr0
2
i =1
j =1
t
∑ ∑ (y ij − y.j ) j=1
2
2
r
t
t
2
= ∑ ∑ y − r ∑ y . j i =1 j =1
2 ij
j =1
Denomin&ndose
¿ ¿ y ij − y´ .. ¿ ¿ t
donde
¿ ∑ =
∑ n =n j
j 1
n j
SCTot =
¿ ∑ = i 1
¿ ¿ y´ . j − y´ .. ¿ ¿ t
¿ ∑ = j 1
n j
SCTrat =
¿ ∑ = i 1
S2E C S27 YS27rat
E7e'plo )#acor %ualiai$o! M0o"o "e esu"io+ Se comparan = m/todos de estudio replicados en 5 estudiantes uni(ersitarios. )os e%ectos se midieron en las notas en una escala porcentual. Se o"tu(ieron los siguientes datos M0.
M0. 2
M0.
M0. 4
1
19
Q:
=P
95
6
6:
>1
6>
=>
3
19
P3
65
Q3
=
3:
5>
35
PQ
5
Q
Q:
5:
9P
El Factor o (aria"le independiente es el /todo de Estudio el cual tiene = ni(eles o tratamientos /t. 1 /t. 6 /t. 3 /t. = $ es una ARBA<)E DE 7B4G 2*A)B7A7BG. Hipótesis del estudio )as cuatro son muestras aleatorias simples de las correspondientes po"laciones. )as respuestas siguen una distri"ución normal. )as respuestas tienen la misma (arian-a.
•
M0. M0. 2 M0. M0. 4 1 6 3 = 5
y i .
19 6: 19 3: Q 9>
Q: >1 P3 5> Q: 35:
=P 6> 65 35 5: 1Q3
5
5
5
5
19.6
P:
3>.>
P9.Q
r
95 6=1 => 153 Q3 6:: PQ 199 9P 635 399 1:6Q
= = = = =
6: y..
y . j
t
r
∑∑ j=1
t
2
(y ij − y..) =
i =1
2
r
∑∑ j=1 i =1 r
i =1 4
∑ ∑ (yij − y..) i =1
j=1
5
2
t
( y.j − y.. ) +
4
= ∑∑ yij − 5 x4 y 2
r
∑ ∑ (y j=1
ij
− y.j ) 2
t =1
t
∑ ∑ (y ij − y..)
SCT&0 5
51.= C
r
2
=
j=1
t
∑ ∑ y
2 ij
− rt y
2
i =1 j =1
2
i =1 j =1
S27ot C +196 6:6 196W Q36 PQ6 9P6, V6:x51.=6 C C >PQ3:V 56Q39.6C 1=99:.Q r
t
i =1
j=1
2
∑ ∑ ( y.j − y.. )
SCTra0
t
2
= r ∑ y . j − n y
2
j =1
S27rat C 5+19.66 P:6 3>.>6P9.Q6, V6:x51.=6 C C 5x56Q39.6C >=QQ1.6V56Q39.6C16:=6 r
t
∑ ∑ (yij − y.j ) i =1
j=1
r
SCEr0
5
2
4
i =1 j =1
t
2
= ∑∑ y − 5∑ y. j
∑ ∑ (yij − y.j ) i =1
4
2 ij
2
j =1
r
=
j=1
t
∑ ∑ y
2
ij
i =1 j =1
t
2
∑ y.
− r
j
j =1
S2ErC >PQ3: Y >=QQ1.6C 69=Q.Q 7A<)A A8GA
#uenes Variaci3n
Su'as "e
*.l
%ua"ra"os
F
%ua"ra"os
Me"ios
Enre Traa'ienos
16:=6
=V1 C3
=:1=
Denro Tra. )Error+
69=Q.Q
=+5V1,C1>
1Q=.3
Toal
1=99:.Q
5x=Y 1C19
F c= !1."#
)as hipótesis "a0o estudio son : )os tratamientos son iguales 1 4or lo menos un tratamiento es di%erente. )a FcC61.PQ es ma$or !ue el (alor cr#tico F αZtV1r+tV1,[CF:.:5Z31>[ C3.6= lo !ue permite recha-ar la : $ los tratamientos son di%erentes. 4or tanto alg'n o algunos m/todos de estudio son di%erentes. A continuación se selecciona el Ime0or tratamientoJ el !ue tiene la me0or media o la media m&s alta utili-ando para ello la prue"a de Di%erencia Signi%icati(a #nima +DS,. El an&lisis descripti(o indica !ue el 7ratamiento = es el !ue tiene la me0or media lo !ue de"e corro"orarse con la prue"a DS.
(ili5aci3n "e SPSS 4ara el tratamiento del diseño D2A utili-aremos el pa!uete estad#stico S4SS (er.66. El primer paso consiste en ingresar los datos tal como aparecen a continuación $ para lo cual se crea una (aria"le Ui0 $ una columna 27 de códigos de tratamientos codi%icando con 1 a las respuestas del tratamiento 1 con 6 a las del tratamiento 6 $ as# sucesi(amente.
Verificaci3n "e supuesos )os supuestos de una relación lineal entre la respuesta $ sus componentes como normalidad $ homoscedasticidad de"en cumplirse para dar (alide- a la prue"a. El modelo tiene 3 componentes de los cuales dos son aleatorios el error experimental εi0 $ la respuesta Ui0 $ el tercero la media del tratamiento µ 0. es determinista. Dado !ue el ni(el de la respuesta est& relacionado con el error experimental resulta e!ui(alente reali-ar la prue"a de normalidad para los errores o para las respuestas.
Supueso "e nor'ali"a"! Prueba "e Jol'o*oro$9S'irno$ )as hipótesis a pro"ar son <! )a distri"ución de la respuesta Ui0 es normal <! )a distri"ución de la respuesta Ui0 8G es normal
Prueba "e Jol'o*oro$9S'irno$ para una 'uesra Ui0 8 \ de olmogoro(VSmirno( Sig. asintót. +"ilateral,
6: 5PP Q93
Al 8i(el de Signi%icancia del 5M +p](alorC:.Q93, los errores se distri"u$en normalmente con lo !ue el supuesto de normalidad se cumple. Se llega a las mismas conclusiones si la prue"a se reali-a con los errores
Prueba "e Jol'o*oro$9S'irno$ para una 'uesra Residuo para Ui0 6: >3Q Q11
8 \ de olmogoro(VSmirno( Sig. asintót. +"ilateral,
Supueso "e
Prueba "e /o'o*enei"a" "e la $arian5a para Ci7 Estad#stico de )e(ene 169=
gl1
gl6 Sig. 1> 311
3
Se llega a las mismas conclusiones con la prue"a aplicada a los errores e i0 tal como se aprecia en el siguiente cuadro
Prueba "e /o'o*enei"a" "e la $arian5a para
Estad#stico de )e(ene 169=
gl1 3
i7
gl6 Sig. 1> 311
4or tanto estos supuestos se cumplen $ podemos proseguir con nuestro an&lisis. )as hipótesis a pro"ar so"re los tratamientos son : )os tratamientos son iguales 1 4or lo menos un tratamiento es di%erente. )a ta"la A8GA proporcionada por el S4SS muestra un p](alorC:.::: !ue conduce al recha-o de la : por lo !ue se puede concluir !ue los tratamientos son di%erentes o por lo menos uno de los tratamientos es di%erente signi%icati(amente del resto.
ANOVA
BnterVgrupos BntraVgrupos 7otal
Suma de cuadrados 16:=6::: 69=QQ:: 1=99:Q::
Seleccionan"o el G'e7orH raa'ieno
gl 3 1> 19
edia cuadr&tica =:1=::: 1Q=3::
F 61PQ:
Sig. :::
)a 4rue"a de Di%erencia Signi%icati(a #nima +DS, permite la selección del Ime0orJ tratamiento en un procedimiento !ue compara consecuti(amente la di%erencia de pares de tratamientos con el (alor DS calculado de la siguiente manera DSM =
√
2 r
CME.F α , ( 1, n− t )
Si la di%erencia de medias en (alor a"soluto del par de tratamientos en comparación es ma$or !ue la DS entonces existe una di%erencia signi%icati(a $ una de las medias del par es Ime0orJ !ue la otra. Este procedimiento se reali-a consecuti(amente entre todos los pares hasta seleccionar el Ime0orJ o Ime0oresJ de todos. De la siguiente manera Si
| y´ . j − y´ . j |> DSM '
la di%erencia es signi%icati(a.
)os resultados del cuadro siguiente conducen a seleccionar el tratamiento = como a!uel !ue tiene la media m&s alta signi%icati(amente di%erente de las medias de los tratamientos 1 $ 3 pero no di%erentes signi%icati(amente al tratamiento 6.
El gr&%ico de las medias es ilustrati(o al respecto al mostrar los (alores de las medias en ni(eles m&s altos de los tratamientos 6 $ = respecto a los tratamientos 1 $ 3.
2omandos S4SS para el diseño. Anali5ar ANOVA "e un facor Lisa "e "epen"ienes! Ci7 #acor! %T Pos
2omandos S4SS para 4rue"a de normalidad de olmogoro(VSmirno( Anali5ar Pruebas no para'0ricas %ua"ro "e "i6lo*o ani*uos J9S "e una 'uesra Lisa "e $ariables "e prueba! Ci7 Disribuci3n "e prueba! Aci$ar! Nor'al Acepar
K. DISEÑO EN @LO(E %OMPLETO AL ABAR C S( RELA%IN %ON EL ANLISIS DE REFRESIN (SANDO VARIA@LES GD(MMCH
El Dise-o en @lo1ue %o'pleo al A5ar es un plan en el cual las unidades experimentales se asignan a grupos homog/neos llamados "lo!ues $ los tratamientos son luego asignados al a-ar dentro de los "lo!ues. Aparece por!ue muchos experimentos necesitan diseños !ue controlen la (aria"ilidad pro(eniente de %uentes conocidas reduciendo el e%ecto de la (aria"ilidad pro(eniente de causas propias del experimento pero independiente del e%ecto !ue se desea estudiar. 4ara los %ines del an&lisis de (arian-a el "lo!ueo introduce un e%ecto adicional %icticio cu$o o"0eti(o es separar del error experimental alguna %uente de (aria"ilidad conocida. 4or tanto el o"0eti(o del agrupamiento de las unidades experimentales en "lo!ues es lograr !ue las unidades dentro de un "lo!ue sean lo m&s uni%ormes posi"le con respecto a la (aria"le dependiente de modo !ue las di%erencias o"ser(adas se de"an realmente a los tratamientos. As# al controlar la (ariación dentro de los "lo!ues se reduce la (aria"ilidad del error experimental. $e denomina %ompleto por&ue todos los tratamientos est&n incluidos en cada "lo!ue $ cada "lo!ue constitu$e una replicación en consecuencialos tratamientos aparecen una sola (e- en cada "lo!ue. 4ara lograr esto se di(ide el material experimental en tantos "lo!ues como n'meros de replicaciones a utili-ar. 2ada "lo!ue es luego di(idido en tantas *nidades Experimentales como tratamientos ha$a en estudio. 2omo el D<2A especi%ica !ue todos los tratamientos de"en aparecer una (e- en cada replicación la aleatori-ación se hace separadamente en cada "lo!ue siendo este procedimiento aleatorio similar al D2A pero en cada "lo!ue. El Diseño 2ompletamente el A-ar +D2A, se puede gra%icar de la siguiente manera (i"e& C&*plea*ene al Aar T r a a * i e n & " Repei%i&ne"
T1
T2
T3
T
r1
,11
,12
,13 -
,1
r2
,21
,22
,23 -
,2
r3
,31
,32
,33 -
,3
-
-
-
- -
-
rr
,r1
,r2
,r3 -
,r
G"s/r(ese !ue en una po"lación IgrandeJ se toman ItJ muestras de tamaño IrJ +aun cuando r no necesariamente de"e ser igual en cada muestra,. A cada muestra se le aplica un tratamiento +los cuales son asignados al a-ar a las unidades experimentales,.
En cam"io en el Diseño en
T1 1 2 3 r
T2
T3
-
T
,11
,12
,13 -
,1
,21
,22
,23 -
,2
,31
,32
,33 -
,3
-
-
- -
-
,r1
,r2
,r3 -
,r
Vena7as "el "ise-o )as (enta0as del D<2A son (arias $ una de las m&s importantes es !ue pro(ee resultados m&s precisos !ue un D2A del mismo tamaño si los agrupamientos de las unidades experimentales en los "lo!ues son e%ecti(os. Gtra (enta0a es !ue sir(e para cual!uier n'mero de tratamientos $ "lo!ues aun cuando los tratamientos no necesitan tener tamaños de muestras iguales +
Des$ena7as )as o"ser(aciones %altantes dentro de un "lo!ue re!uiere c&lculos adicionales m&s comple0os $H los grados de li"ertad para el error experimental disminu$en en relación al D2A para un mismo n'mero total de unidades experimentales. Se re!uiere adicionar supuestos al modelo en relación a la no interacción entre tratamientos $ "lo!ues $ (arian-a constante de "lo!ue a "lo!ue.
E7e'plo ! Te7i"os 4ara el 7e0ido de una prenda se comparan = m&!uinas de di%erentes marcas. 2omo la operación de las m&!uinas re!uiere cierta destre-a pre(/ una di%erencia entre los
tra"a0adores en cuanto a la (elocidad con la cual operen las m&!uinas. Se decide !ue se re!uerir&n > tra"a0adores di%erentes en un experimento de "lo!ues aleatori-ado para comparar las m&!uinas. Entonces el %actor de inter/s es uno sólo la producti(idad de las m&!uinas pero se crea otro %actor para controlar la (aria"ilidad extraña $ excluirla as# del error experimental. Este %actor adicional !ue no es de inter/s en el experimento pero !ue puede distorsionar los resultados son las di%erentes ha"ilidades de los tra"a0adores por lo !ue se decide %ormar "lo!ues con ellos. 4or tanto se %orman > "lo!ues correspondientes a los tra"a0adores < 1 <6 <3 <= <5 <>. Aleatorización Se reali-a al asignar en %orma aleatoria la m&!uina !ue de"e operar cada tra"a0ador $ se asigna el siguiente código a cada tratamiento +m&!uina, 7 1 76 73 $ 7= $ <1 <6 <3 <= <5 $ <> a cada "lo!ue. l&4#e 1
T2 T8 T3 T1
36.7 82.3 89.2 82.:
l&4#e 2
T3 T1 T2 T8
89.: 36.3 89.1 83.2
l&4#e 3
T2 T1 T8 T3
89.: 36.; 88.: 81.3
l&4#e 8
T88:.2 82.3 T2 36.6 T1 83.8 T3
l&4#e :
T1 82.6 T388.6 T282.: T88;.6
l&4#e ;
T283.1 T883.3 T38:.1 T183.;
Si las m&!uinas no di%ieren en cuanto a la (elocidad de operación o (isto de otra %orma en el n'mero de pie-as te0idas por unidad de tiempo tendr#an igual (elocidad promedio o igual n'mero promedio de pie-as te0idas $ las cur(as se superpondr#an exactamente. As# la hipótesis nula es
< ^1C ^6 C ^3C ^= +)as medias de los = tratamientos son iguales, ó
<_1C_6C_3C_=C: +El e%ecto tratamiento es nulo o no existe, 4ero si las m&!uinas di%ieren en cuanto a la (elocidad de te0ido de la pie-a o el n'mero promedio de unidades te0idas se supone !ue las muestras pro(ienen de po"laciones di%erentes entonces la hipótesis alterna ser&
<! alg'n promedio es distinto de los restantes En el presente caso se tratar& del n'mero de pie-as promedio te0idas.
El 'o"elo El modelo teórico para el D<2A es el siguiente
Ci7 8 ; ; i ;
i7
El cual es un Mo"elo Lineal A"ii$o, en el !ue cada respuesta Ci7 es la suma de los otros t/rminos es decir de una media general el e%ecto tratamiento el e%ecto "lo!ue i, $ el error experimental i7. Donde U es la (aria"le respuesta o dependiente n'mero de pie-as por minuto e U i0 es la o"ser(ación perteneciente al iV/simo "lo!ue "a0o el tratamiento 0H las o"ser(aciones son independientes. ^ es la media general com'n a todas las m&!uinas $ a todos los tra"a0adores. _ 0 es el e%ecto del tratamiento en el ni(el 0 propio de cada m&!uina. `i es el e%ecto del "lo!ue en el ni(el i propio de cada tra"a0ador. ε i0 es la (aria"le aleatoria del error con distri"ución normal con mediaC: $ (arian-a 6 $ se distri"u$e como una 8+: H6 , e independiente. 2uando el modelo es a"ii$o !uiere decir !ue la di%erencia en respuestas medias entre dos tra"a0adores es la misma para todas las m&!uinas. Si aplicamos el 'todo de los 'nimos %uadrados para estimar los par&metros del modelo resulta μ..= y´ ..= ^
1
r
t
y ∑∑ =
rt i =1
ij
j 1
Donde r representa el n'mero de "lo!ues $ t de los tratamientos. ´ .. ε^ ij = y ij − μ.. −α j− β i= y ij − y´ . j − y´ i .+ y ^
^
^
2ada componente del modelo contri"u$e a la (aria"ilidad total. )a partición de la Suma de 2uadrados 7otal in(olucrar& tres %uentes de (ariación. ( y. j − y..) + ( yi. − y..) + ( yij − y . j − y i. + y.. ) ( yij − y..) =
ariación total
∑∑ ( y i
j
ariación de"ido
ariación ro ia de
− y..) = r ∑ ( y. j − y..) + t ∑ ( yi. − y..) + ∑∑ ( yij − y . j − y i. + y.. ) 2
ij
ariación de"ido
2
j
2
i
i
2
j
$ !ue por ortogonalidad de distancias $ sumando a tra(/s de "lo!ues $ tratamientos se tiene
$ !ue para e%ectos pr&cticos denominamos S27ot C S27rat S2
2
SCTot = ∑∑ ( yij − y..) 2 = ∑∑ yij2 − rt y.. i
j
i
j
2
2
SCTrat = ∑∑ ( y. j − y..) 2 = r ∑ ( y. j − y..) 2 = r ∑ y . j − rt y.. i
j
j
j
2
2
SCBloq = ∑ ∑ ( yi. − y..) 2 = t ∑ ( yi. − y..) 2 = t ∑ y i. − rt y.. i
j
i
i
2
2
2
2
SCEr = ∑∑ ( yij − y . j − y i. + y.. ) 2 = ∑∑ y ij − r ∑ y. j − t ∑ y i. + rt y.. i
j
i
j
j
i
4or tanto con estas ecuaciones se puede escri"ir la ta"la A8GA del D<2A de la siguiente manera
Tabla "e An6lisis "e Varian5a para el D@%A Fuente de *ariación
$uma de %uadrado s
+rados de liertad
%uadrados 'edios
F calculada
7ratamientos
S27rat
tV1
27ratC S27ratXtV1
27ratX2Er
S2
r V1
2
2
Error Experimental
S2Er
+t V 1,+rV1,
2Er C S2ErX+tV1,+rV1,
7otal
S27ot
t.r V1
)os datos para el an&lisis se ordenan de la siguiente manera 4or columna los "lo!ues +> tra"a0adores, $ por %ilas los tratamientos += m&!uinas, con sus c&lculos parciales respecti(os.
Gperario
&!uina
1
6
3
=
5
>
7otal
edias
1
=65
393
39>
399
=69
=3>
6=PQ
=13
6
39Q
=:1
=:5
=63
=65
=31
6=Q3
=1=
3
=:6
=:5
=13
=3=
==9
=51
655=
=6>
=
=63
=36
==5
=56
=>9
=33
6>5=
==6
7otal
1>=Q
1>31
1>59
1P:Q
1PP6
1P51
1:1>9
edias
=16
=:PP5
=1=P5
=6P
==3
=3PP5
65=665
=63P
Gtra %orma de ordenar estos datos es 4or columna los tratamientosH $ por %ilas los "lo!ues con sus c&lculos respecti(os $ !ue se adec'a al es!uema !ue se utili-a en p&rra%os anteriores.
T r r 2 r r 4 r r K
=6.5: 39.3: 39.>: 39.9: =6.9: =3.>:
T2
T
39.Q: =:.1: =:.5: =6.3: =6.5: =3.1:
=:.6: =:.5: =1.3: =3.=: ==.9: =5.1:
y i .
T4 =6.3: =3.6: ==.5: =5.6: =>.9: =3.3:
y´ i .
1>=.Q: 1>3.1: 1>5.9: 1P:.Q: 1PP.6: 1P5.1:
= = = = = =
=1.6: =:.PQ =1.=Q =6.P: ==.3: =3.PQ
..=¿
y ¿
6=Q.3 655.= y . j 6=P.Q: : : 6>5.=: > > > r >
1:1
>.9: rtC6= y´ ..=¿
y´ . j =1.3: =1.3Q =6.5P ==.63
2
4
=
6.3P
6
2
SCTot = ∑∑ ( yij − y..) = ∑∑ y − rt y .. = ∑∑ yij2 −rt y .. 2
i
2 ij
j
i
j
i =1 j =1
*tili-ando las %órmulas de sumas de 2uadrados con los datos se o"tienen
S27otC+=6.5639.36W=>.96=3.36, Y =x>x=6.3P6C=31Q>.>1V=3:Q>.9:C 2 2 2 2 SCTrat = ∑∑ ( y. j − y..) = r ∑ ( y. j − y..) = r ∑ y . j − rt y.. i
j
j
j
CQQ. S27ratC>+=1.36=1.3Q6W==.3=6,V=x>x=6.3P6C C=316:.>P5V=3:Q>.9:C.4 2 2 SCBloq = ∑ ∑ ( yi. − y..) 2 = t ∑ ( yi. − y..) 2 = t ∑ y i. − rt y.. i
j
i
i
S2x=6.3P6C C=316Q.9QP5V=3:Q>.9::=C 42. SCEr =
∑∑ ( y
ij
i
j
2
2
2
2
− y . j − y i . + y.. ) 2 = ∑∑ y ij − r ∑ y . j − t ∑ y i. + rt y .. i
j
j
S2ErC=31Q>.>1V=316:.>P5V=316Q.9QP5=3:Q>.9:C2.4 )uego la ta"la A8GA se completa de la siguiente manera
i
Fuente de *ariación
$uma de %uadrado s
+rados de liertad
%uadrados 'edios
F calculada P.:Q
7ratamientos
33.PP=5Q33
3
2A7ratC 11.65Q1
=6.:QP:Q33
5
2
Error Experimental
63.Q=P91>P
15
2Er C 1.5Q9Q
7otal
99.P1
63
Al reali-ar la comparación del (alor cr#tico Fα, ZtV1 +rV1,+tV1,[ la regla de decisión para recha-ar la : se e%ect'a de la siguiente manera Si
Fα, ZtV1+rV1,+tV1,[bFc se recha-a :.
En el presente caso FcC P.:Q $ Fα, ZtV1+rV1,+tV1,[C F0.05, Z3 15[ C3.69. 4or tanto FcbFα por lo !ue se recha-a la ipótesis 8ula $ existe e%ecto tratamiento. Alguno de los tratamientos tu(o e%ecto. En otras pala"ras alguna o algunas m&!uinas son me0ores !ue las otras. El siguiente paso es reali-ar una prue"a de comparación de medias para seleccionar el me0or tratamiento.
%o'an"os en SPSS $er. En primer lugar se ingresan los datos creando tres (aria"les Ci7 )a columna de las respuestasH %T la columna de los códigos de tratamientos 1 6 3 = seg'n el !ue corresponda a la m&!uinaH %@ la columna de códigos de "lo!ues 1 6 3 = 5 > seg'n el !ue corresponda al operario. De la siguiente manera
A continuación para el procesamiento se sigue la siguiente secuencia de comandos
Anali5ar à'o"elo lineal *eneralàuni$ariane Ci7 a Depen"iene %ODIFO TRATAMIENTO )%T+ a #acores fi7os %ODIFO @LO(ES )%@+ a #acores fi7os Mo"elo 9àaci$ar Personali5a"o Arrasrar %T a Mo"elo Arrasrar %@ a Mo"elo Aci$ar! incluir la inersecci3n en el 'o"elo %oninuar Pos
En el caso de la prue"a de hipótesis para tratamientos el p](alor +:.::3, permite recha-ar la hipótesis nula al 1M lo !ue indica !ue existe un e%ecto tratamiento. En otras pala"ras las m&!uinas tienen di%erentes e%ectos.
)os estad#sticos descripti(os mostrados en el siguiente cuadro indican !ue el tratamiento = tiene la media m&s alta. 4ero es necesario con(alidarlo con una prue"a de di%erencia de medias $ para el presente caso se ha utili-ado la prue"a de Di%erencia Signi%icati(a #nima +DS,.
)as comparaciones del 7ratamiento 1 con los 7ratamientos 6 $ 3 indican !ue sus di%erencias de medias resultan no signi%icati(as en cam"io la di%erencia de medias con el 7ratamiento = +V6.9333, resulta signi%icati(a al 5M. De a!u# se desprende !ue el 7ratamiento = tiene Ime0orJ media. Del mismo modelo al reali-ar las comparaciones del tratamiento 6 con los tratamientos 1 $ 3 resultan no signi%icati(os. An&logamente entre el 7ratamiento 6 $ = existe una di%erencia signi%icati(a +V6.Q5::, al 5M de lo !ue se desprende !ue el Ime0orJ tratamiento es el =. asta a!u# los tratamiento 1 6 $ 3 parecen ser IigualesJ por lo !ue al comparar el tratamiento = con los tratamientos 1 6 $ 3 se aprecian di%erencias signi%icati(as +6.9333 6.Q5:: $ 1.>>>P, con lo !ue el 7ratamiento = tiene me0or ImediaJ o la media m&s alta.
)a (eri%icación del supuesto de homogeneidad de (arian-as se reali-a utili-ando la 4rue"a de )e(ene con las siguientes hipótesis
<)as (arian-as son iguales <!)as (arian-as son di%erentes )a secuencia de comandos es la siguiente
Anali5ar àEsa"isicos "escripi$osàe&plorar Depen"ienes! Ci7 #acores! %T Aci$ar Fr6ficos! Fr6ficos à Dia*ra'a "e ca7a! nin*uno àTallo : /o7a! "esaci$ar Aci$ar! esi'aci3n "e poencia %oninuar Acepar El p](alor asociado al estad#stico de )e(ene de :.661 no permite recha-ar la hipótesis nula por lo !ue se puede concluir !ue las (arian-as son iguales cumpli/ndose el supuesto.
