TRANSFORMADA Z Juan Felipe Reyes Ana del Pilar Rodriguez Yul Villalva 11 de julio de 2011
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TRANSFORMADA Z 1. Transformada Z 1. 1 Definición y notación 1. 2 Muestreo: una primera introducción 2. Propiedades de la Transformada Z 3. Transformada Z inversa 3. 1 Técinas de Invesión
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1.
La Transformada Z
Las transformada z se relacionan con las sucesiones. Una sucesión finita {X k }n 0 . Es un conjunto ordenada de n + 1 numeros reales o complejos
{X k }n 0 = {X 0 , X 1 , X 2 , X 3 , ......,X n } El conjunto de números está ordenado, asi que la posición en la sucesión es importe. La posición esta identificada con el índice de posición k, donde k es un entero. Si el numero del conjunto es infinito tenemos una sucesión infinita.
∞
{X k }0 = {X 0 , X 1 , X 2 , X 3 , ......} Cuando trabajamos en función del tiempo t debemos tratar de cualquier manera que t < 0. Por tal razón, permitimos que la sucesión se extienda en ambos sentidos de la posición inicial {X 0 } y escribimos, ∞
{X k }
−∞
= {......, X -3 , X -2 , X -1 , X 0 , X 1 , X 2 , X 3 , ......}
∞
Las sucesiones {X k } para las cuales {X k } = 0, (k < 0) son llamadas sucesiones causales por analogía con las funciones causales f (t)H (t) de tiempo continuo. −∞
0 ()= ()
si (t < 0)
f (t)H t
si (t ≥ 0)
f t
Mientras que para algunas sucesiones finitas es posible especificar la sucesión haciendo una lista de todos los elementos del conjunto, lo normal es que una sucesión estéespecificada por una formula de su elemento general X k .
1.1.
Definicion y notación ∞
La transformada z de una sucesión {X k }
−∞
∞ ∞
Z{X k }
−∞
( )=
= X z
k=−∞
está definida, en general, como X k Z k
(1)
Siempre que exista la sumatoria y donde z es una variable compleja todavía indefinida. 3
El proceso de aplicar la transformada z a una sucesión produce una función de variable compleja z, cuya forma depende de la propia sucesión. El símbolo Z . denota el operador transformada z, que cuando opera sobre la sucesión {X k } transforma la ultima en una función X (z ) de la variable compleja z. Es usual referirce a {X k } , X (z ) como el par de transformadas z que algunas veces se escribe como {X k } X (z ). ↔
∞
Para sucesiones {X k }
−∞
que son causales, esto es X k = 0
(k < 0)
La transformada z dada en la ecuación 1 se reduce a ∞
( )=
∞
Z{X k }0 = X z
k=0
1.1.1.
X k . Z k
Ejemplos:
Ejemplo 1.
Encuentre
1.2.
Muestreo: una primera introducción
Las sucesiones frecuentemente son generadas por medio del muestreo de señles de tiempo continuo, descritas mediante funciones f (t) de una variable t de tiempo continuo. La siguiente figura muestra el proceso de muestreo idealizado en el cual una señal de tiempo continuo f (t) es muestreada instantánea y perfectamente en intervalos uniformes T , el intevalo de muestreo. El muestreo idealizado genera la sucesión
{f (kT )} = {f (0 , f (T )), f (2T ), .......,f (nT ), .......} Usando la definición 1 podemos aplicar la transformada a la sucesión anterior para obtener ∞
( )} =
Z{f (kT
k=0
Siempre que la serie converja. 4
f kT )
Z k
.
2.
Transformada Z Inversa
Si se conoce X (z ), la cual es la transformada Z de una sucesión causal {X k }, mediante la transformada Z inversa, se buscara encontrar la sucesión causal que origino dicha transformada; para tal fin se definira formalmente lo siguiente: El simbolo Z 1 [X (z )] indica una suceción causal {X k } cuya transformada Z es X (z ); esto es, −
si Z { X k } = X (z ) entonces {X k } = Z 1 [X (z )] −
Esta correspondencia entre X (z ) y {X k } es llamada la transformación inversa Z , siendo {X k } la transformada inversa de X (z ), y Z 1 el operador transformación inversa Z. −
2.1.
Técnicas de inversión
Al igual que con la transformada de la laplace existen tablas en las cuales se ilustran las llamadas Transformaciones inmediatas. Vale la pena aclarar que no siempre es posible emplear la tabla directamente, por lo que toca acomodar las expresiones mediante metodos matematicos, como lo son fracciones las parciales y una vez lista la expresión(es) hay si emplear la tabla. 2.1.1.
Ejemplos:
Ejemplo 1.
Encuentre
−1
Z
z z−2
Solución:
Si se observa la tabla de transformada Z inversa se ve que especial de la transformada
z z−a
−1
Z
con a = 2. Así
z
= 2 k
z−2
5
z z−2
es un caso
Ejemplo 2.
Encuentre
−1
Z
z
(z − 1)(z − 2)
Solución: Si se observa la tabla de transformadas para este caso en particular
es evidente que no hay ninguna forma en la tabla que corresponda a este, por lo que hay que emplear fracciones parciales para poder desarrollar la transformada. A continuación se ilustrara el procedimiento: - Aplicamos fracciones parciales, lo cual da como resultado: Y (z )
=
2 1 − z−2 z−1
lo que puede escribirse como Y (z )
=
1 2z 1 z − zz−2 zz−1
como −1
Z
2 z
z−2
−1
= 2Z
z z−2
=2 2 k
se sigue de la primera propiedad de traslación que
2 · 2 2 = 0 −2 k-1
−1
Z
1
z
zz
De manera similar,
1 = {1} = 0 −1 k-1
−1
Z
1
zz
z
si (k > 0) si (k = 0)
si (k > 0) si (k = 0)
combinando estos dos últimos resultados tenemos
2 − 1 = 0 −1 k
Z 1 [Y (z )] = Z −
−1
1
2z − Z zz−2
−1
1
zz
6
z
si (k > 0) si (k = 0)
