Matem´ Mat em´ aticas atic as Avanzadas Avanza das para par a Ingenier´ Inge nier´ ıa ıa Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 1. Indique Indique la transform transformada ada Z Z inversa inversa para cada funci´on on de variables compleja de la siguiente lista. a) b) c) d) e)
z z +6 z z
−1
6z 6 z+1 6z 6 z −1 z z 5 (z
−1)
Indique su transformada inversa dentro de la siguiente lista: 1) ( 6)n u(n)
2. Determine Determine la transform transformada ada Z Z inversa x inversa x((n) de: 2
X (z ) = D´ e sus primeros 4 valores iniciando en 0.
z − 4zz − 1 4
1 2
Soluci´ on on
Apliquemos fracciones parciales a Z ( Z (x)/z: /z : X (z ) =
4 z2 1 z 4
z − − = z · 1 2
16 2 z 1
− −
16 16 z = 4 z 1 2 z 1
−
16 z − − 4 z − 1
2
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
Por tanto x(n) = =
Z −1 16 2
16 z 2 z −1
· Z −1
16 z 4 z −1
− − z
z
− 12
16 4
· Z −1
3. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X (z) =
3 z2
D´e los primeros 4 valores iniciando en 0.
= 8 1 2
z
z
− 14
n
n
− 4 14 · u(n)
z 6 z + 3
−
Soluci´ on
Al intentar aplicar fracciones parciales sobre X (z)/z en la TI obtenemos: 3 z2
z = z 6 z + 3 3 (z 2
·
−
1 2 z + 1)
−
esto se debe a que el denominador es un binomio al cuadrado: 3 z2
z 1 1 = z 6 z + 3 3 (z 1)2
· −
−
Por ello es que debemos buscar otros caminos. La clave de este problema est´a en las f´ormulas siguientes: n
{a
Z
u(n) =
}
z z
− a
y
{n x(n) u(n)} = −z · dzd Z {x(n) u(n)}
Z
De ellas deducimos la f´ormula n
{n a
Z
u(n) =
}
az (z a)2
−
3
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
Si ahora regresamos a nuestro problema: Z −1
{X (z)}
=
Z −1
=
1 3
4. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
D´e los primeros 4 valores iniciando en 0.
=
1 z 3 (z−1)2
· F −1
z
(z−1)2
1 3
· n · 1 · u(n) = 31 n · u(n) n
3 z + z 2 X (z) = 2 z 2 z + 2
−
Soluci´ on
Al aplicar fracciones parciales a X (z)/z en la TI obtenemos la misma expresi´on. Y al revisar las ra´ıces del denominador vemos que son complejas. Estas ra´ıces las salvaremos en las variables v1 y v2 y cambiaremos el denominador de la expresi´on original para buscar fracciones parciales con ellas.
4
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
Agrupando el resultado obtenemos: X (z) = z = Por tanto x(n) =
1 2
−
·
r2 +3 r1
r2 +3
r1
− r2
−r2
+1
+1 ·
·
1
−r1
1 n i (1 + i) u(n) 2
− r1
−
−r2
z
z
z
r2 +3
−
r1
r2 +3
r1
1 2
− − −
−r2
·
z
z
·
1 z
−r2
−r2
1 i (1 2
− i)
n
u(n)
Simplificando: x(n) = O bien x(n) = y observando que (1
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
5. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X (z) = D´e los primeros 4 valores iniciando en 0.
−3 z2 z 2 − 9
Soluci´ on
Aplicamos fracciones parciales a
X (z ) z
:
−3 z2 = z · − 3 z = z · − 3 · 1 − 3 · 1 = − 3 · z − 3 · z z 2 − 9 z 2 − 9 2 z + 3 2 z − 3 2 z + 3 2 z − 3 Por lo tanto y usando linealidad: Z −1
{X (z)}
Por lo tanto x(n) =
− · − · − · − ·
=
Z −1
=
3 2
3 2
z z +3
Z −1
z z +3
} −32 · (−3)
−1 X (z) =
Z
{
6. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X (z) = D´e los primeros 4 valores iniciando en 0.
z2
n
3 2
z
z
3 2
u(n)
−3
Z −1
− 32 · 3
z
z
n
−3
u(n)
−2 z − 9 z + 9
Soluci´ on
Este es un problema ilustrativo para hacerlo en la calculadora. Si intentamos aplicar fracciones parciales a X (z)/z en la TI obtenemos la misma expresi´on:
El algoritmo se basa en la factorizaci´on en base a polinomios con coeficientes racionales. Que no haya obtenido una expresi´on nueva puede significar dos cosas: que el denominador es un binomio al cuadrado o bien que las ra´ıces son irracionales o complejas. Para probar busquemos las ra´ıces complejas del denominador:
6
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
Observamos que en nuestro caso las ra´ıces son irracionales. Para seguir en el ambiente de la calculadora, imaginemos que la primera de ella es r1 y la segunda r2 ; bajo este supuesto y debido a que el coeficiente de z 2 en del denominador es 1, podemos pensar que la expresi´on original es 2z X (z) = (z r1 ) (z r2 )
−
Si aplicamos fracciones parciales a X (z)/z obtenemos: X (z) = z
·
2
1 z r2
−
2
Por tanto =
Z −1 2 r1
Y as´ı: x(n) =
−r2
{X (z)} = Z −1 · Z −1 − − z r2
z
2
1 2 z = z r1 r1 r2 z r2
· − r1 − r2 · − r1 − r2 −
x(n) =
−
n
· (r2) r1 − r2
u(n)
2 r1
−r2 2
r1
−r2
2 z · − · − − r1 − r2 z − r1
z z r2
· − − · Z −1
2
r1
− · r2
z z r1
z z
− r1 −2 r2 · (r1)
−
−r1
n
u(n)
Si asumimos los valores de r1 y r2 para hacer los siguientes c´alculos (observe que calculadora!):
r1
y
r2 son
palabras reservadas en la
7
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
7. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X (z) =
−10 z + 21 z2 −1 + 8 z − 21 z2 + 18 z3
D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on
Aplicando fracciones parciales a X (z)/z tenemos: X (z) = z
3
9
2
· − 3 z − 1 + (3 z − 1)2 + 2 z − 1
De donde (si hacemos que los coeficientes de z en los denominadores sean 1 factorizando la constante y simplificando): X (z) =
− z −z 1 + 3
z z
−
1 2 3
+
z z
− 21
8
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
8. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X (z) = D´e los primeros 4 valores iniciando en 0.
n
u(n)
n
−4 z + 20 z2 −z 2 + 4 z 3
Soluci´ on
Aplicando fracciones parciales a X (z)/z obtenemos: X (z) = z
·
16 4 z 1
− −
De donde:
4 4 z + 2 = 4 z z z
· − 1 − 4 · 1 + 4 z−1 4
n
x(n) = 4
1 4
u(n)
− 4 δ (n) + 4 δ (n − 1)
9
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
9. Determine la transformada Z inversa x(n) de: 6z 23 10 z + z 2
X (z) =
−
D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on
√
Como las ra´ıces del denominador de X (z) no son enteras (son r 1 = 5 + 2 y r 2 = 5 para hacer el desarrollo en fracciones parciales a X (z)/z: X (z) X (z) = z = z z
1 y(n) = x(n) + y(n 1) 4 n si y ( 1) = 3 y x(n) = ( 1) u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen ( 1)n y (1/4)n .
−
−
−
−
Soluci´ on
Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos:
{y(n)} = Z
Z
Por la propiedad de linealidad:
1 x(n) + y(n 1) 4
−
{y(n)} = Z {x(n)} + 14 Z {y(n − 1)}
Z
10
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
Por la propiedad de adelantamiento de se˜nales: = z −1 Z x(n) + x( 1) = z −2 Z x(n) + z −1 x( 1) + x( 2) = z −3 Z x(n) + z −2 x( 1) + z −1 x( 2) + x( 3) .. .
{x(n − 1)} Z { x(n − 2)} Z { x(n − 2)}
{ { {
Z
Al aplicarla a
} } }
−
· − · −
−
· −
· −
{y(n − 1)} nos queda:
Z
{y(n)} = Z {x(n)} + 14 · z−1 Z {y(n)} + y(−1) Si pasamos los t´erminos con Z {y(n)} y los factorizamos queda: Z
1
−
1 −1 z 4
Por lo tanto
{y(n)} = Z {x(n)} + 14 y(−1)
Z
1 1 −1 4 z
{y(n)} = 1 − · Z { } Como los datos son: y(−1) = 3 y x(n) = (−1) u(n); la expresi´on queda: Z
1 x(n) + y( 1) 4
−
n
{y(n)} =
Z
1
−
1 1 −1 4 z
z 3 + ( 1) 4
· z − −
Y haciendo ´algebra y fracciones parciales nos queda:
{
Z
z (7 z + 3) y(n) = = z (z + 1)(4 z 1)
}
−
·
19 4 + 5 (4 z 1) 5 (z + 1)
−
Por tanto, la soluci´on para y(n) nos queda: y(n) = =
En la u ´ ltima imagen del siguiente grupo de cuatro, se comprueba que la soluci´on encontrada al menos satisface los primeros valores.
11
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
11. Resuelva la ecuaci´ on en diferencias:
1 y(n) = x(n) + y(n 1) 5 n si y( 1) = 4 y x(n) = ( 1/5) u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen ( 1/5)n y (1/5)n .
−
−
−
−
Soluci´ on
Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos:
{y(n)} = Z
Z
1 x(n) + y(n 1) 4
−
Por la propiedad de linealidad:
{y(n)} = Z {x(n)} + 15 Z {y(n − 1)} Por la propiedad de adelantamiento de se˜nales a Z {y(n − 1)} nos queda: 1 −1 Z { y(n)} = Z { x(n)} + · z Z { y(n)} + y(−1) 5 Si pasamos los t´erminos con Z {y(n)} y los factorizamos queda: 1 −1 1 Z { y(n)} = Z { x(n)} + y(−1) 1 − z 5 5 Z
Por lo tanto
1 1 −1 5 z
{y(n)} = 1 − · Z { } − Como los datos son: y(−1) = 5 y x(n) = (−1/5) u(n); la expresi´on queda: 1 z 4 · z + 1 + 5 Z { y(n)} = 1 − 1 z −1 Z
1 x(n) + y( 1) 5
n
5
5
Y haciendo ´algebra y fracciones parciales nos queda:
{
Z
z (45 z + 4) y(n) = = z (5 z 1)(5 z + 1)
}
−
·
5 13 + 2 (5 z + 1) 2 (5 z 1)
−
Por tanto, la soluci´on para y(n) nos queda: y(n) = =
5 Z −1 Y (z) = 2·5 Z −1
{
1 2
1 5
n
−
}
u(n) +
13 10
1 5
+ z
1
z+ 5
n
u(n)
13 −1 2·5 Z
z
z
− 15
12
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
12. Resuelva la ecuaci´ on en diferencias: y(n + 1) = x(n) + 3 y(n) si y(0) = 3 y x(n) = 3n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 3 n u(n) y n 3n u(n).
·
· ·
Soluci´ on
Si suponemos que la se˜nal y(n) es cero para n < 0, podemos pensar que y(n) = y(n) u(n), y as´ı Z y(n) z y(0). Entonces al aplicar la transformada Z a la ecuaci´on de recurrencia tenemos:
{
·
} − ·
{y(n + 1)} = Z {x(n) + 3 y(n)}
Z
As´ı: z
· Z {y(n)} − z · y(0) = Z {x(n)} + 3 · Z {y(n)}
De donde z
· Z {y(n)} − 3 · Z {y(n)} = Z {3
n
u(n) + 3 z =
}
·
z
z
− 3 + 3 · z
{y(n + 1)} = z ·
Z
13
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
Por lo tanto
{y(n)} =
Z
Y as´ı
z
z −3 + 3 z
z
− 3
y(n) = Z −1 Z y(n)
{ {
Como
As´ı −1 Z
n
z = (z 3)2
−
−1 Z
1
=
z z +3 2 (z 3) z 3
z z +3 2 (z 3) z 3
· −
−
{a · u(n)} = z −z a
y
Z
3 z 1 = 2 3 (z 3) 3
· −·
· −
−
= Z −1
a · z {n · a · u(n)} = (z − a)2
Z
y por tanto
}}
·
·
−1 Z
n
3 z 1 = n 3n u(n) 2 (z 3) 3
· −
· · ·
y(n) = 31 n 3n u(n) + 3 3n u(n) = 3 3n u(n) + 31 n 3n u(n) = 3 + 31 n 3n u(n)
· · · · · · · · · · · · ·
De acuerdo a lo solicitado, en la forma cerrada de y(n) el coeficiente de 3n u(n) es 3, mientras que el coeficiente de n 3n u(n) es 1/3.
