Transformada Z
Ejemplos 2.
Ejemplos de cálculo
Antitransformada Z.
2.1. Determinar la secuencia secuencia unilateral derecha x[n] calculando la antitransformada antitransformada de X(z)
1. Transformada Z. 1.1. Calcular la transformada transformada Z de x[n], por definición, definición, indicando la región región de convergencia convergencia x n
π = cos n u [n ] 2
2.1.1.
Utilizando la propiedad de diferenciación en el dominio Z.
2.1.2.
Por desarrollo en series de potencias.
2.1.3.
Por expansión en serie de z± mediante división decreciente de polinomios. 1
X( z ) =
Solución: Por definición ∞
X (z ) =
x [n ]z − ∑ = −∞
n
n
=
1
∞
∑e 2 =
j
π
2
n
−n
z
∞
∞
π
cos n u [n ]z − = ∑ ∑ 2 = −∞ =
=
n
∑e 2 =
+
n 0
j
π
2
n
π
− j n 2
−n
z
=
n 0
1 2
1 1− e
j
+
π
2
z −
1
− j n
1 2
2
π
+e
2
2
n 0
n
∞
1
e
1
1 −1 1 − z 2
2
z − n
W ( z ) 1
1− e
Solución: 2.1.1. Utilizando una función auxiliar W(z) con W (z)=X(z)
=
− j
=
π
2
z −
1
1 −2
1 + z
;
z
=
>1
Z
1
1 −1 1 − z 2
1
n
↔ w [n] = u [n] 2
por propiedad de diferenciación en la frecuencia 1.2. Calcular la transformada Z de las secuencias utili zando las propiedades −2
π x 1[n ] = cos (n − 3)u [n − 3] 2
π x 2[n ] = cos− n u [− n] 2
Solución: Utilizando Utilizando la propiedad de desplazamiento en el tiempo X 1(z ) =
z −
3
; 1 < z
1 + z − 2
X 2(z ) =
;
1 + z 2
z
1 −2
1 + (4z )
n
∂W ( z ) 1 −1 1 −1 Z 1 = z 1 − z ↔ nw [n ] = n u [n] ∂z 2 2 2
Si a la función anterior la llamamos V(z)=–z ∂W(z)/ ∂z, entonces X(z) puede escribirse escribirse en la forma X(z)=2zV(z), X(z)=2zV(z), y por propiedad del desplazamiento desplazamiento en el tiempo
2.1.2.
= 1+
1 1 16
z − 2
;
z
<
1 1 1 = v = z − ⇒ X (v ) = 2 (1 − v )2
1 4
X ( z ) =
∞
1
∑= [n + 1] 2
n 0
2.1.3.
n +1
u [n + 1]
Tomando una variable intermedia v
X (0) = 1 X ' (0) = 2 ∞ ⇒ ⇒ X (v ) = ∑ [n + 1]v n = ' ' ( 0 ) 6 X n =0 X ( n ) (0) = (n + 1)!
<1
Utilizando la propiedad de escalado en el dominio Z X 3(z ) =
− z
Z 1 X ( z ) = 2zV (z ) ↔ x [n ] = 2v [n + 1] = 2[n + 1] 2
<∞
Utilizando la propiedad de reflexión 1
n
1 π x 3[n] = cos n u [n] 4 2
n
∞
∑
n =0
( )
X n (0)v n n! n
Z 1 z − n ↔ x [n ] = [n + 1] u [n + 1] 2
Calculando el binomio al cuadrado en el denominador y dividiendo
X ( z )
1
= −1
1 − z
+
1 4
−2
= 1 + z −1 +
z
3 4
z − 2
+
n
4 8
z − 3
+
5 16
n
z − 4
1 + ... + [n + 1] z − 2 + ... 2
n
∞ Z 1 1 ⇒ X ( z ) = ∑ [n + 1] z − n ↔ x [n] = [n + 1] u [n + 1] 2 2 1 n=
3. Característica de los sistemas de tiempo discreto.
3.2. Un promediador móvil es definido por la ecuación en diferencias siguiente. Determinar un sistema recursivo equivalente. Determinar la posición de los polos y ceros del sistema. y[n] =
1 (x[n] + x[n − 1] + ... + x[n − N + 1]) N
Solución: Calculando la transformada Z 1
[1 + z − N
+ ... + z −N +1 ] = X(z )
3.1. Calcular H(z) para determinar la cantidad de retardos que requeriría la implementación de un oscilador discreto cuya respuesta impulsiva sea
Y (z ) = X(z )
h[n] = 1,2,3,1,2,3,...
Despejando y antitransformando
Solución: h[n] toma los siguientes valores para 0 ≤n≤2
Y (z ) 1 − z −1 = X(z )
1
1 N−1
∑ z− N = i 0
i
= X(z )
1 1 − z −N N 1 − z −1
↑
si
0≤n≤2
1 si n = 0 ⇒ h [ n ] = δ [ n] + 2[ n − 1] + 3 [ n − 2] = 2 si n = 1 3 si n = 2
Para n>2, h[n]=h[n-3]. Entonces la respuesta impulsiva puede expresarse en forma recursiva
(
H(z ) =
1 + 2z −1 + 3z −1 1 − z−3
=
1 1 − z−3
(1 + 2z −
1
1
z
(1 − z − )↔ y[n] − y [n − 1] = N1 (x[n] − x [n − N]) N N
La transferencia tiene un cero de orden N en z=1, un polo de orden 1 en z= 1 y otro de orden N-1 en z=0
H(z ) =
h[n] = δ[n] + 2δ[n − 1] + 3δ[n − 2] + h [n − 3 ] Su transformada puede escribirse como producto de términos que representan dos sistemas -3 -1 -2 H1(z) y H2(z)en cascada, el primero con un retardo (z ) y el segundo con dos (z y z )
)
z1(N) = 1 (1) Y(z ) 1 N−1 − i 1 1 − z −N 1 zN − 1 = = ⇒ z = p1 = 1 X(z ) N i = 0 N 1 − z −1 N zN −1(z − 1) p2(N−1) = 0
∑
3.3. Diseñar un sistema causal que, ante la entrada x[n] siguiente, elimine las dos primeras componentes y deje inalterada la magnitud de la tercera (pudiendo sufrir un desplazamiento de fase)
+ 3z −1 ) = H1(z )H2(z )
πn 3πn + cos 4 + cos[πn] 2
x[n] = cos
Solución: Los ceros de la función transferencia deben situarse en las frecuencias a suprimir z = e jω
⇒ C1,2 = e
± j
π 2
; C3,4 = e
± j
3π 4
La función de transferencia debe tener la forma siguiente
10
3π 3π π π z − e j 2 z − e − j 2 z − e j 4 z − e − j 4 = H(z ) = k N Π (z − pk )
(z =k
2
k =1
(
)=k z
+ 1) z 2 + 2 z + 1 N
4
Π (z − pk )
+ 2 z 3 + 2z 2 + 2 z + 1 N
Π (z − pk )
k =1
k =1
Para que el sistema sea causal, el polo debe ser de cuarto orden y situarse en z=0
H(z ) = k
1 + 2 z −1 + 2z −2
+ 2 z −3 + z −4
z−4
El argumento de H(z) es el fasor z=e ω, que puede considerarse como un número complejo de módulo unitario. La tercer componente tiene frecuencia angular digital ω=π. Entonces, imponiendo la condición de que la transferencia sea unitaria para esa componente, j H(e ω)ω=π=1, se puede despejar k j
( ) = k 1+
H e jπ
2 e − jπ
+ 2e − j2π + 2 e − j3 π + e − j4 π e − j 4π
(
)
=k4−2 2 =1 ∴ k =
1 4−2 2
11
Ejemplos de simulación 1. Transformada de Fourier de Tiempo Discreto. 1.1. Simular un sistema promediador móvil calculando la respuesta al impulso y graficando la transferencia y el diagrama de polos y ceros y[n] =
1 (x[n] + x[n − 1] + ... + x[n − N + 1]) N
Solución: %Programa para el calculo y grafica la TZ %Ejemplo de Simulacion 1.: Sistema promediador movil clc, clear, close all %Especificaciones ninicial=0; %instante inicial nfinal=63; %instante final puntos=64; %cantidad de puntos para calculo de la H(e^jw) %Tiempo n=ninicial:1:nfinal; %tiempo discreto N=nfinal-ninicial; %cantidad de muestras %Coeficientes de la ecuacion en diferencias del sistema bn=zeros(1,N); bn(1:20)=1/20; an=1; %Respuesta al impulso del sistema hn=impz(bn,an,n); %Transferencia y respuesta en frecuencia del sistema [Hz,Hw,z,w,c,p]=zt(bn,an,0,1); %Graficos figure stem(n,hn,'k.-') xlabel('n') ylabel('h[n]') title('Respuesta al impulso del sistema') %Grafica de los polos y ceros figure zplane(c,p) title('Diagrama de polos y ceros')
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