CONTROL DIGITAL Universidad de Cuenca Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomuni Telecomunicaciones caciones SESIÓN 2 TRANSFORMADA Z
Ismael Minchala Avila
AGENDA • Introducción • Definición Transformada Z • Transformada de Funciones Elementales • Propiedades de la Transformada Z • Transformada Z Inversa – División Directa – Método Computacional – Fracciones Parciales – Integración Compleja
• Tarea 02 2
INTRODUCCIÓN(1) • En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuación en diferencias lineal caracteriza la dinámica del sistema. Para determinar la respuesta del sistema a una entrada dada, se debe resolver dicha ecuación en diferencias. • Señales en Tiempo Discreto. Las señales en tiempo discreto surgen si el sistema involucra la operación de muestreo de señales en tiempo continuo. La señal muestreada es x(0), x(T), x(2T), ... , donde T es es el período de muestreo.
3
INTRODUCCIÓN(2) x(t)
… t T
2T
3T
4T
5T
kT
0 "
$ T
=
! $ (t # kT ) k 0
4
TRANSFORMADA Z(1) • Tren de pulsos (señal portadora) "
$ T
=
! $ (t # kT ) k 0 =
• Señal continua (moduladora), x(t) • Señal muestreada, x*(t):
()
x * t
=
() ()
x t $ T t
"
=
( )! $ (t # kT )
x t
k 0 =
"
"
( ) ! x (t )$ (t # kT ) ! x (kT )$ (t # kT )
x * t
=
=
k 0 =
k 0 =
5
TRANSFORMADA Z(2) ()
L x t
$ Z x(kT )
=
()
X z
"
( ) ! x (t )e #
X z
*
=
st
dt
#"
()
X z
# #
=
! "
( ) (
)$
x kT % t $ kT e
k 0 0
st
#
dt
=
! k 0
=
=
#
( )" % (t $ kT )e $
st
x kT
dt
0
"
( ) ! x(kT )e #
X z
kTs
=
k 0 =
6
TRANSFORMADA Z(3) • Considerando eTs como un adelanto temporal y e-Ts como un operador de retardo: z
=
1
e
Ts
#
z
=
e
#Ts
"
Operador de Adelanto
"
Operador de Retraso
!
s
1 =
T
ln z "
X ( z )
=
# x (kT ) z
! k
k 0 =
7
FUNCIONES ELEMENTALES(1) • Delta de Kronecker
% 0
#1 (k ) " !0
k
=
{ ( )} # $ (k ) z ! =
0
k $ 0
"
Z $ 0 k
=
k
0
!0
= 1 z
+
!1
0 z
+ ... +
! k
0 z
k = 0
!0
() z
=
1
8
FUNCIONES ELEMENTALES(2) • Escalón Unitario kT $ 0
#1 x(kT ) = " !0
kT < 0
"
{ ( )} # x(kT ) z !
Z x kT
=
k
!1
= 1 + z
!2
+ z
! k
+ ... + z
k = 0
Considerando que la serie: 1 + r + r 2 + r 3 + … + r k = (1 – r)-1, siempre que |r| > 1, entonces:
()
X z
1 =
z !1
1 ! z
=
z ! 1 9
FUNCIONES ELEMENTALES(3) • Rampa Unitaria kT $ 0
#kT x(kT ) = " !0
kT < 0
"
{ ( )} # x(kT ) z !
Z x kT
=
"
k
=
k = 0
()
X z
=
(
!1
T z
+
()
X z
!2
2 z
+
# kTz
! k
=
k = 0
!3
3 z
! k
+ ...kz
!1
Tz =
"
# kz
T
! k
k = 0
)
Tz =
(1 ! z ) ( z ! 1) !1
2
2
10
FUNCIONES ELEMENTALES(4)
11
FUNCIONES ELEMENTALES(5)
12
PROPIEDADES(1) • Linealidad Z f (k )
=
F ( z )
Z { g (k )} = G ( z ) Z {" f (k ) + ! g (k )} = " F ( z ) + ! G ( z )
• Prueba X ( z ) = Z x(k )
=
Z " f (k ) + ! g (k )
$
X ( z ) = # [" f (k ) + ! g (k )] z
% k
k =0
$
=
" # f (k ) z k = 0
% k
$
+
! # g (k ) z % k k =0
X ( z ) = " Z { f (k )}+ ! Z { g (k )} X ( z ) = " F ( z ) + ! G( z ) 13
PROPIEDADES(2) • Multiplicación por ak
{
}
Z a k f (k )
=
& z # F $ ! %a"
• Prueba
()
X z
=
{
"
k
"
( )} ! a x(k ) z
Z a x k
k
=
k
=
# k
=
! ( )(
#1
)
x k a z
# k =
( ) #1
X a z
k 0
0
=
• Ejemplo: Z a
k
k
=
{ ( )}
Z 1 k
1 =
!1
1 ! z
{a 1(k )}
" Z
( )
Z a 1 k
1
k
=
(
!1
z
1
)
1 ! a z
!1
=
!1
1 ! az
=
z ! a
14
PROPIEDADES(3) • Traslación Real Z { f (k ' n )} = z ' n F ( z ) Z { f (k + n )} = z n F ( z ) ' z n f (k = 0 ) ' z n '1 f (k = 1) ' ... ' zf (k = n ' 1) n' & # Z { f (k + n )} = z $ X ( z ) ' ( x(k ) z ' k ! k % " 1
n
=0
• Ejemplo
( ) x(k ) ! x(k ! 1) Z {" x(k )} X ( z ) ! z X ( z ) " x k
=
!1
=
( ) x(k 1) ! x(k ) { ( )} () ()
" x k
=
=
( )(
!1
X z 1 ! z
)
+
()
( )(
)
()
15
PROPIEDADES(4) • Traslación Compleja
{
Z e
"
} ! x(kT )e
f (t )
# at
=
k
=
# akT # k
z
"
=
! x(kT )( ze ) k
0
=
aT # k
=
(
X ze aT
)
0
• Ejemplo Z e
! at
=
{ ( )}
Z 1 k
()
F z
=
Z e
( )
! at
1 k
1 =
!1
1 ! z
(
F ze
aT
)
z
1 =
!1 ! aT
1 ! z e
=
z ! e
! aT
16
EJERCICIO • Hallar la transformada z de la función sin( !t ). - e j t ! e ! j t * Z {sin (. t )} = Z , ) 2 j + ( .
F ( z ) = F ( z ) = F ( z ) =
.
2 2 j T j T $ 1 ' z ! e ! z ! z + e z $ = ! % z 2 ! (e j T + e ! j T ) z + e j T ! j T " T ! j T " 2 z ! e j # & # $ 1 ' 2 j sin (. T ) z % 2 " 2 j & z ! 2 z cos(. T ) + 1 #
' z j % 2 j & z ! e 1
.
z
.
.
.
.
.
.
.
z sin (. T ) z ! 2 z cos(. T ) + 1 2
17
PROPIEDADES(5) • Valor Inicial
()
lim f t t "0
=
()
lim F z
z "!
• Ejemplo
()
X z
1 =
1' e
' aTz '1
1 & x(0 ) lim$ )( 1 ' e ' % =
z
# '1 ! z "
aT
=
1
18
PROPIEDADES(6) • Valor Final
()
lim f t t "#
1
!
=
lim 1 ! z z "1
F ( z )
• Ejemplo
()
X z
1 =
1' e
' aTz '1
1 & '1 x(t ) ( ) lim (1 ' z ) ' )1 $ 1' e % =
z
# '1 ! z "
aT
=
0
19
PROPIEDADES(7) • Diferenciación Compleja Z {tf (t )} Z {kTf (kT )} ! zT =
=
dF ( z ) dz
• Ejemplo
{}
Z t
=
()
F z
{ ( )}
Z kT 1 kT
=
! zT
' 1 $ % ! " dz & 1 ! z # d
1
!1
Tz =
(1 ! z ! ) 1
2
20
TRANSFORMADA Z INVERSA(1) • Método de División Directa – Numerador y denominador en potencias ascendentes de z -1 – El método no produce una expresión en forma cerrada para x(k), excepto en casos especiales.
• Ejemplo. Hallar la transformada z inversa de la siguiente función de transferencia:
()
F z
!1
=
z
!1
1 ! 0.03533 z
+
!2
0.135 z
! 0.2135 z ! 2 + 0.027 z !3
21
TRANSFORMADA Z INVERSA(2)
22
TRANSFORMADA Z INVERSA(3) • Método Computacional – Numerador y denominador de X(z) en potencias de z -1 – X(z) = G(z) U(z), con U(z) = 1, u(kT) = " 0(kT)
– Se obtiene una ecuación de diferencias para x(k), que posteriormente se evalúa y luego a través de un programa en un computador se hallan los valores de x(k), para k = 0, 1, 2…
• Ejemplo
()
X z
=
8 z + 3 2
z
! z + 0.24
23
TRANSFORMADA Z INVERSA(4) ()
X z
!1
8 z =
!1
1 ! z
+
+
!2
3 z
!2
()
U z
0.24 z
( ) ! z ! X ( z ) ! 0.24 z ! X ( z ) 8 z ! U ( z ) 3 z ! U ( z ) x (k ) x(k ! 1) ! 0.24 x(k ! 2) 8u(k ! 1) 3u(k ! 2) 1
X z
=
() x (1) x (2 ) x 0
=
=
2
=
+
1
+
2
+
0 8
= 11
24
TRANSFORMADA Z INVERSA(5) • Expansión en Fracciones Parciales – Utilizar X(z)/z si X(z) posee al menos un cero en el origen. – Recuperar X(z) para relacionar cada término de la expansión con una forma reportada en tablas, pe: 1
( )
1 k
!1
1 ! z 1
!1
a
k
a
k !1
1 ! az !1
z
!1
1 ! az
!1
z
(1 ! az ) !1
2
ka
k !1
25
TRANSFORMADA Z INVERSA(6) • Ejemplo
()
X z
k 1
=
=
8 z + 3 2
z
! z + 0.24
=
8 z + 3
( z ! 0.6)( z ! 0.4)
=
k 1 z ! 0.6
' $ 8 z + 3 ( ) ! z 0 . 6 % " ( ! )( ! ) z z 0 . 6 0 . 4 & # z
=
39
' $ 8 z + 3 ( ! ) z 0 . 4 % " ( ! )( ! ) z z 0 . 6 0 . 4 & # z
=
!31
k 2
+
z ! 0.4
= 0.6
k 2
=
= 0.4
()
X z
39 =
z ! 0.6
!
!1
31
z ! 0.4
=
( )
x k
39
=
!1
z
!1
1 ! 0.6 z
(
39 0.6
! 31
z
!1
1 ! 0.4 z
) ! ! 31(0.4) ! k 1
k 1
26
TRANSFORMADA Z INVERSA(7) • Método de Integración Compleja x (k ) x(kT ) =
1
=
2 j " $
x (k )
=
X ( z ) z k #1dz
k 0,1,2,... =
c
! [residuos de X ( z ) z
en polos de X ( z ) z k #1
k #1
]
• Si el polo z j es simple, el residuo K j es: K j
=
lim
z z j "
z z j X ( z )z k 1 !
!
• Si el polo z i es un polo múltiple de orden ni, el residuo K i es: ' d n ! # * 1 n k ! % lim ( K i ( z ! zi ) X ( z ) z &+ n! $ " z z , ( ni ! 1)! ) dz 27 1
i
i
=
i
i
1
1
TRANSFORMADA Z INVERSA(8) • Se recomienda aplicar este método cuando no hay polos en el origen, de haberlos utilizar fracciones parciales. • Ejemplo X ( z ) =
8 z + 3
=
8 z + 3
( z ! 0.6)( z ! 0.4) x(k ) ( [residuos de X ( z ) z k ! en polos X ( z ) z k ! ] 2
z ! z + 0.24
1
=
1
' 8 z + 3 k ! $ K = %( z ! 0.6) z " ( z ! 0.6)( z ! 0.4) # z &
=
65 0.6
' 8 z + 3 k ! $ K = %( z ! 0.4) z " ( z ! 0.6)( z ! 0.4) # z &
=
!77.5(0.4)
1
1
(
)k
= 0.6
1
2
k
= 0.4
x(k ) = K 1 + K 2
=
(
65 0.6
)k ! 77.5(0.4)k
28
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS(1) • Obtener x(k) tal que: x ( k + 2 ) + 3 x ( k + 1) + 2 x ( k ) = 0
x ( 0 ) = 0; x (1) = 1
z X ( z ) ! z x ( 0 ) ! zx (1) + 3" #zX ( z ) ! zx ( 0 )$% + 2 X ( z ) = 0 2
X ( z ) = X ( z ) =
2
z z
2
+
z z + 1
3 z + 2
!
=
z
1
( z
+
2 ) ( z + 1)
z z + 2
( ) (! 1)
x k
k
=
(! 2)
k
+
29
TAREA 02 • En grupos de dos personas, realizar los siguientes ejercicios: 1.
Resolver la siguiente ecuación de diferencias:
( ) ! x (k 1) 0.25 x (k ) x ( 0 ) 1; x (1) 2 u ( k ) 1 k 0,1, 2,.... x k + 2 =
=
+
+
=
(
u k + 2
)
=
=
2.
Encontrar la transformada Z de la curva que se presenta en la figura.
3.
Utilizando los teoremas de valor inicial y final, encontrar los valores iniciales y finales de la función. 30
