III. La Transformada Z 1. Definición de la Transformada Z 2. Propiedades de la Transformada Z 3. La Transformada Z inversa 4. Sistemas LTI LTI y dominio Z 5. Estructuras para la realización de sistemas discretos
Módulo 3
1. Definición de la Transformada Z. La Transformada Z directa. La transformada Z de de una señal discreta x(n) está definida como una serie de potencias X ( z )
"
$ Z { x(n)} $
!
n
=
#n
x( n) z
#"
Donde z es es una variable compleja. La transformada es llamada directa directa por por transformar una X(z).. señal del dominio del tiempo x(n) al plano complejo X(z) El proceso inverso es llamado transformada inversa inversa Z. Z.
Módulo 3
Al ser la transformada Z una una serie infinita de potencias, existe solo para valores de z donde donde la serie converge. La región de convergencia (ROC) convergencia (ROC) de X(z) es el conjunto de valores de z para el cual X(z) alcanza valores finitos. Ejemplos: x1(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}
X 1(z) = 1 + 2z -1 + 5z -2 + 7z -3 + z -5
x2(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}
X 2(z) = z 2 + 2z + 5 +7z -1 + z -3
x3(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1}
X 3 (z) = z -2 + 2z -3 + 5z -4 + 7z -5 + z -7
x4(n) = {2, 4, 5, 7, 0, 1}
X 4(z) = 2z 2 + 4z +5 +7z -1+z -3
x5(n) = !(n)
X5(z) =1
x6 (n) = !(n - k), k > 0
X 6 (z) = z -k , k > 0
x7 (n) = !(n + k), k > 0
X 7 (z) = z k , k > 0
¿Cuál es la ROC en cada caso?
Módulo 3
• La ROC de señales de duración finita es todo el plano Z salvo salvo en ocasiones z = {0, " } }.. • Estos puntos quedan excluidos pues z k (k > 0) no está acotada para " y z -k (k > 0) para 0. • La transformada Z es es una forma alternativa de representar una señal. • El exponente de z tiene tiene la información necesaria para identificar las muestras de la señal. • La suma finita o infinita de la transformada Z puede expresarse en forma compacta.
Módulo 3 Determina la transformada Z de la señal x(n) = #n u(n).
Módulo 3
Expresemos la variable compleja z en forma polar z = re j$ donde r = |z| y $ = % z . La transformada Z puede expresarse entonces como "
X ( z ) z
=
re
j$
=
!
# n # j$ n
x(n) r e
n #" =
En la ROC de X(z), |X(z)| < ". Pero "
X ( z )
=
!
# n # j% n
x(n)r e
n #" =
"
$
!
n #" =
# n # j% n
x(n)r e
"
=
!
#n
x(n)r
n #" =
Entonces |X(z)| es finita si x(n)r -n es en absoluto sumable.
Módulo 3
La ROC de X(z) se determina con el rango de valores de r donde la secuencia x(n)r -n es en absoluto sumable. #1
X ( z )
$
! x(n)r
n = #"
#n
"
+
! n =0
x ( n) n
r
"
$ ! x(#n)r
n
n =1
"
+
! n =0
x ( n) n
r
• Si X(z) converge en alguna región del plano complejo, entonces los dos sumandos son finitos en esa región. • Si converge el primer sumando, los valores de r son lo suficientemente pequeños para que la secuencia x(-n)r n, 1 & n < ", sea en absoluto sumable y la ROC correspondiente es una circunferencia de radio r 1 < ". • Si converge el segundo sumando, los valores de r son lo suficientemente grandes para que x(n)/r n, 1 & n < ", sea en absoluto sumable y la ROC son todos los puntos fuera de una circunferencia de radio r < r 2.
Módulo 3
Im(z )
La convergencia de X(z) exige que los sumandos sean finitos.
Plano z
r 1
Re(z ) Región de convergencia
Entonces la ROC de X(z) es la región anular del plano z: r 2 < r < r 1, que es la zona donde las sumas son finitas. Im(z ) Plano z
"
!
x
(#n)r
n
1
n=
Im(z )
r 1
Plano z
r 2
Re(z ) Región de convergencia "
! n=
0
( )
x n r
n
r 2
Re(z ) Región de convergencia de |X(z)| r 2 < r < r 1
Si r 2 > r 1 no existe región de convergencia común y X(z) no existe.
Módulo 3 Determina la transformada Z de la señal x(n) = 'n u(n). Determina la transformada Z de la señal x(n) = - 'n u(-n-1). Determina la transformada Z de la señal x(n) = 'n u(n) + b n u(-n-1).
Módulo 3
Una señal discreta x(n) queda unívocamente determinada por su transformada z , X(z), y la región de convergencia de X(z). La ROC de una señal anticausal es el interior de una circunferencia de radio r 1 mientras que la ROC de una señal causal es el exterior de un círculo de radio r 2. La ROC para una señal que se extiende hasta el infinito por los dos lados es un anillo (región anular) en el plano z. "
Transformada Z unilateral: X ( z ) = +
! n =0
#n
x( n) z
Módulo 3
Señales de duración finita
Plano z excepto z = 0
Causal
Plano z excepto z = "
Anticausal
Plano z excepto z = " y z = 0
Bilateral
Señales de duración infinita Causal
r 2 !
|z| > r 2
Anticausal !
Bilateral !
r 1
|z| < r 1 r 1
!
r 2 < |z| < r 1
r 2
La Transformada Z inversa.
Módulo 3
El procedimiento para transformar una señal del dominio z al dominio del tiempo se denomina transformada Z inversa. Se emplea el teorema integral de Cauchy. "
Tenemos:
X ( z )
!
=
k
=
# k
x ( k ) z
#"
Multiplicamos por z n-1 e integramos sobre un contorno cerrado C en el interior de la ROC y que contiene al origen.
!
C
n $1
X ( z ) z
dz
#
! "
=
C
k
=
n $1$ k
x( k ) z
dz
$#
Al converger la serie en los puntos de C podemos tener
"
C
n $1
X ( z ) z
dz
#
=
!
k
=
$#
"
n $1$ k
x( k ) z C
dz
Módulo 3
La integral de Cauchy dice:
1
#1, k n dz " !0, k $ n
n &1& k
z % 2 j '
C
=
=
Aplicando esta integral tenemos finalmente:
x(n)
1
=
n "1
X ( z ) z ! 2 j #
C
dz
Im(z ) Plano z
r 1
r 2
C Re(z ) Contorno C para la integral
Módulo 3
2. Propiedades de la Transformada Z. Linealidad. Si
x1 (n)
z
X 1 ( z ) y x2 (n)
# !"
z
X 2 ( z )
# !"
Entonces x(n)
=
z
a1 x1 (n) + a2 x2 (n) # !" X ( z )
=
a1 X 1 ( z ) + a2 X 2 ( z )
Determina la transformada Z y la ROC de la señal x(n) = [3(2n ) – 4(3n )]u(n). Determina las TZ de las señales x(n) = (cos (n )u(n) y x(n) = (sen (n)u(n).
Módulo 3
Desplazamiento en el tiempo. Si
z
x(n) # !" X ( z )
Entonces z
!
k
x(n ! k ) $ X ( z ) "# z
La ROC de z -k X(z) es la misma que la de X(z) salvo para z = 0 si k > 0 y z = " si k < 0. Determina las transformadas Z de las señales x1(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1} y x2(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} a partir de la TZ de x0(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} . Determina la transformada Z de la señal:
x( n)
=
#1, 0 % n % N $ 1 " !0, en el resto.
Módulo 3
Escalado en el dominio z. Si
z
x(n) # !" X ( z )
ROC : r 1
<
z
<
r 2
Entonces n
z
1
$
a x(n) # z ) !" X (a
ROC : a r 1
<
z
<
a r 2
Para cualquier constante a real o compleja. Determina la TZ de las señales x(n) = an(cos (n )u(n) y x(n) = an(sen (n)u(n).
Módulo 3
Inversión temporal. Si
z
x(n) # !" X ( z )
ROC : r 1
<
z
<
r 2
Entonces z
1
$
!" X ( z x( $ n) #
)
Determina la TZ de la señal x(n) = u(-n)
ROC :
1 r 2
<
z
<
1 r 1
Módulo 3
Diferenciación en el dominio z. Si
z
x(n) # !" X ( z )
Entonces z
nx(n) $ "# ! z
dX ( z ) dz
Determina la TZ de la señal x(n) = nanu(n). Determina la señal x(n) si X(z) = log(1 + az -1 ) con |z| > |a|.
Módulo 3
Convolución de dos secuencias. Si
z
z
x1 (n) # !" X ( z ) 1
x2 (n) # !" X ( z ) 2
Entonces x(n)
z
=
!" X ( z ) x1 (n) $ x2 (n) #
=
X 1 ( z ) X 2 ( z )
La ROC de X(z) es, cuando menos, la intersección de las de X 1(z) y X 2(z) Determina la convolución de x1(n) = {1, -2, 1} y x2(n) = {1, 1, 1, 1, 1, 1} .
Módulo 3
El cáculo de la convolución de dos señales empleando la transformada z exige los siguientes pasos: 1. Calcular las transformadas z de la señales a convolucionar X 1(z) = Z{x1(n)}
X 2(z) = Z{x2(n)}
(Dominio del tiempo
Dominio z)
2. Multiplicar las dos transformadas z X(z) = X 1(z) X 2(z) (Dominio z) 3. Encontrar la transformada z inversa de X(z) x(n) = Z -1{X(z)}
(Dominio z
Dominio del tiempo)
Módulo 3
Correlación de dos secuencias. Si
z
x1 (n) # !" X ( z ) 1
z
x2 (n) # !" X ( z ) 2
Entonces "
r x x 1
(l ) 2
=
&
n
=
z
x1 ( n) x2 ( n ! l ) % #$ R x x ( z ) 1 2
=
!1
X 1 ( z ) X 2 ( z
)
!"
La ROC de R x1x2(z) es, como mínimo, la intersección de las de X 1(z) y X 2(z -1 ).
Multiplicación de dos secuencias. z
x1 (n) # !" X ( z ) 1
Si
z
x2 (n) # !" X ( z ) 2
Entonces z
)* X ( z ) x(n) x1 (n) x2 (n) + =
( z % !1 X 1 (v) X 2 & #v dv " 2, j C 'v$ 1
=
C es un contorno cerrado que encierra al origen y se halla en la región de convergencia común a X 1(v) y X 2(1/v).
Módulo 3
Relación de Parseval. Si x1(n) y x2(n) son dos secuencias complejas, entonces %
" x (n) x (n) $
1
n #% =
2
+ 1 ( #1 X 1 (v) X 2 ) $ &v dv ! 2, j C *v ' 1
=
$
Siempre que r 1l r 2l < 1 < r 1ur 2u, donde r 1l < |z| < r 1u, y r 2l < |z| < r 2u, son las ROC de X 1(z) y X 2(z).
El teorema del valor inicial. Si x(n) es causal, es decir, x(n) = 0 para n < 0, entonces x(0)
=
lim X ( z )
z "!
Módulo 3
Transformadas Z racionales. Polos y ceros. Los ceros de la transformada z son los valores para los cuales X(z) = 0. Los polos de la transformada z son los valores para los cuales X(z) = ". Si X(z) es una función racional entonces, M
X ( z )
=
N ( z ) D( z )
=
"1
b0
+
b1 z
a0
+
a1 z
"1
+
... + b M z " M
+
... + a N z " N
! =
" k
bk z
k = 0 N
! k = 0
" k
ak z
Módulo 3
Si a0 ) 0 y b0 ) 0, se pueden evitar las potencias negativas de z sacando factores comunes: X ( z )
=
N ( z ) D( z )
=
! M
z
! N
z
b0 z
a0 z
M N
+
(b1 / b0 ) z M !1 + ... + b M / b0
+
(a1 / a0 ) z N !1 + ... + a N / a0
Al ser N(z) y D(z) polinomios de z entonces:
X ( z ) =
N ( z ) D( z )
=
b0 a0
! M + N
z
( z ! z 1 )( z ! z 2 )...( z ! z M ) ( z ! p1 )( z ! p2 )...( z ! p N ) M
! ( z " z ) k
X ( z )
=
Gz N " M
k 1 N =
! ( z " p ) k
k 1 =
Donde G * b0 /a0.
Módulo 3
• X(z) tiene M ceros en z = z 1 , z 2 ,…,z M , N polos en z = p1 , p2 , …,p N y |N - M | ceros (si N > M ) o polos (si N < M ) en el origen z = 0.
• Puede haber polos o ceros en z = !: •
Existe un cero en z = ! si X(!) = 0
•
Existe un polo en z = ! si X(!) = !
• Si contamos los polos y ceros, incluyendo los que están en z = 0 y z = ", veremos que X(z) tiene exactamente el mismo número de ceros y polos. • X(z) puede representarse gráficamente con el diagrama de polos ( ! ) y ceros ( " ) en el plano complejo.
• Por definición, la ROC de una transformada z no puede contener ningún polo.
Algunos pares de transformada Z.
Módulo 3
#a Determina el diagrama de polos y ceros de x(n) = anu(n) y x(n) " !0 para a > 0
n
0 % n % M $ 1
=
el resto
Módulo 3
Localización de polos y comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales. Existe una relación entre la localización de un par de polos en el plano z y la forma de la señal en el dominio del tiempo. El comportamiento de la señales causales depende de si los polos se hallan en la región |z| < 1, en |z| > 1, o sobre la circunferencia unidad |z| = 1. Si la TZ de una señal real tiene un solo polo, este debe ser real . La única señal así es la exponencial real: x(n)
=
n
z
a u ( n) $ "# X ( z )
=
1 1
!
1
!
az
ROC : z
>
a
Que tiene un cero z 1 = 0 y un polo p1 = a sobre el eje real.
Módulo 3
¿Cómo es la señal con respecto a la localización del polo? Plano z
Plano z
0
x
x
1
0 1
!
Plano z
Plano z
0
x
x
!
1
0 1
1
x
!
Plano z
Plano z
0
!
!
x
!
0 1
Módulo 3
Una señal causal con doble polo es de la forma:
( )
x n
n
=
( )
na u n
Plano z
Plano z
0
m=2
x
1
x
0 1
!
!
m=2
Plano z
Plano z
0
x
m=2
m=2
!
1
x
0 1
Plano z
0
m=2 1
x
!
Plano z !
m=2
x
! 0 1
Módulo 3
Par de polos conjugados Plano z r
0
r n
x !
!
1
x
Plano z r=1
x r
0
!
!
1
x
r n
Plano z
x
!
r
0
!
1
x
Módulo 3
Doble par de polos conjugados sobre la circunferencia
Plano z
x m=2 r
! 0
!
1
x
m=2
Módulo 3
Función de transferencia de un sistema LTI. La propiedad de convolución nos permite expresar: Y(z) = H(z)X(z); H(z) = Y(z)/X(z)
Como
"
H ( z )
=
!
n
=
#n
h( n) z
#"
H(z) caracteriza al sistema en el plano z. H(z) y h(n) son descripciones equivalentes del sistema. H(z) se denomina función de transferencia del sistema.
Si describimos al sistema mediante edlcc: entonces
N
M
k =1
k =0
y (n) = "! ak y (n " k ) + ! bk x(n " k ) N
Y ( z )
=
M
"! ak Y ( z ) z
" k
k =1
+
! k = 0
" k
bk X ( z ) z
&
N
Y ( z )$1 +
%
M
'
( k
ak z
k =1
# & # ! = X ( z )$ ' bk z (k ! " % k 0 "
Módulo 3
=
M
H ( z )
=
Y ( z ) X ( z )
!
" k
bk z
k =0
=
N
1 + ! ak z " k k =1
El sistema LTI descrito por una edlcc tiene una función de transferencia racional. Si ak = 0 para 1 & k & N tenemos M
H ( z )
=
! k
=
0
" k
bk z
1 =
M
z
M
! k
=
M " k
bk z
0
En este caso H(z) tiene M ceros, determinados por {bk } y un polo de orden M en z = 0. Este sistema se denomina sistema de todo ceros, o sistema FIR o sistema MA (media móvil).
Módulo 3
Si bk = 0 para 1 & k & M tenemos H ( z )
=
N
b0
b0 z
=
N
1 + ! ak z "k k =1
N
!
N " k
a0 * 1
ak z
k =0
En este caso H(z) tiene N polos, determinados por {ak } y un cero de orden N en z = 0. Este sistema se llama sistema de todo polos, o sistema IIR . La forma general M
! H ( z )
=
" k
bk z
k = 0
N
1 + ! ak z
" k
k =1
se denomina sistema de polos y ceros con N polos y M ceros. Los polos y/o ceros en z = 0 y z = " no se cuentan explícitamente. Es un sistema IIR.
Determina la función de transferencia y la respuesta al impulso del sistema descrito por y(n) = # y(n-1) + 2x(n) . Determina la función de transferencia y respuesta al escalón de y(n-1)=+ y(n-2)+x(n)
Módulo 3
3. La Transformada Z inversa (TZI). La transformada Z inversa está dada por
x(n)
1
=
n "1
X ( z ) z ! 2 j #
C
dz
una integral de contorno sobre el camino cerrado C que encierra al origen y se halla en la ROC de X(z). Por simplicidad C puede ser una circunferencia dentro de la ROC de X(z) en el plano z . Existen tres métodos empleados su cálculo: 1. Cálculo directo, mediante la integración del contorno. 2. Expansión en serie de términos en z y z -1 3. Expansión de fracciones simples y búsqueda en tabla.
TZI por integración.
Módulo 3
Teorema del residuo de Cauchy. Sea f(z) una función de variable compleja z y C un contorno en el plano z . Si la derivada df(z)/dz existe dentro y sobre C , y si f(z) no tiene polos en z = z 0, entonces:
# f ( z 0 ) si z 0 está dentro de C dz " % 2& j C z $ z 0 ! 0 si z 0 está fuera de C 1
f ( z )
=
De forma general, si existe la derivada de orden (k + 1) de f(z) y ésta no tiene polos en z = z 0, entonces
$ 1 d k %1 f ( z ) si z está dentro de C 1 f ( z ) ! 0 k %1 dz # (k % 1)! dz k & C si z 0 está fuera de C 2' j ( z % z 0 ) !" 0 =
Módulo 3
Si suponemos que el integrando de la integral de contorno es P(z) = f(z)/g(z), donde f(z) no tiene polos dentro del contorno C y g(z ) es un polinomio con raices distintas z 1 , z 2 , …, z n dentro de C . Entonces,
f ( z )
1
dz " 2 j g ( z ) *
) n Ai ( z ) & '! $ dz " C 2* j ( i 1 z # z i % 1
=
C
=
n
=
! 2 j " z # z dz i 1 n =
=
Ai ( z )
1
*
C
i
! A ( z ) i
i
i 1 =
donde
Ai ( z )
=
( z ! z i ) P ( z )
=
( z ! z i )
f ( z ) g ( z )
Módulo 3
Los valores {Ai(z )} i son los residuos de los correspondientes polos en z = z ,i i = 1, 2, …, n. Por eso la integral es igual a la suma de los residuos de todos los polos dentro de C . Para el caso de la transformada Z inversa tenemos:
x(n)
1 =
X ( z ) z n #1dz
"
j 2$
C
! [residuo de X(z)z
n-1
=
en z
=
z i
]
todos los polos z i dentro de C =
! i
( z # z i ) X ( z ) z n #1
z z i =
siempre que los polos {z } i sean simples. Si X(z)z n-1 no tiene polos dentro del contorno C para uno o más valores de n, entonces x(n)=0 para esos valores.
Módulo 3
TZI por expansión en serie de potencias. Dada X(z) con su ROC, la podemos expandir como: "
X ( z )
=
!
n
=
#n
cn z
#"
la cual cual converge en la ROC dada. Entonces, x(n) = cn para toda n. Si X(z) es racional, la expansión se puede realizar a través de la división.
Determina la transformada Z inversa de Cuando ROC: |z| > 1 y |z| < 0.5
X ( z )
=
1 1 ! 1.5 z !1 + 0.5 z !2
Módulo 3
TZI por expansión de fracciones simples. Tratamos de expresar X(z) como una combinación lineal: X(z) = '1 X 1(z) + '2 X 2(z) + … + ' K X K (z)
donde X 1 ,…, X K (z) son expresiones con TZI x1(n),…,x K (n) disponibles en tablas. Si la descomposición es posible, tendremos: x(n) = '1 x1(n) + '2 x2(n) + … + ' K x K (n) El método es útil si X(z) es racional. Sin pérdida de generalidad, suponemos a0 = 1, entonces X ( z )
=
N ( z ) D( z )
=
si a0 ) 1, dividimos entre a0.
b0
+
!1
b1 z
+
... + b M z ! M
1 + a1 z !1 + ... + a N z ! N
Módulo 3
X ( z )
=
N ( z ) D( z )
=
b0
+
!1
b1 z
+
... + b M z ! M
1 + a1 z !1 + ... + a N z ! N
La función es propia si a N ) 0 y M < N . M , N Una función racional impropia ( ) es la suma de un polinomio y una función racional propia, y en general puede expresarse como: X ( z )
=
N ( z ) D( z )
=
c0
+
!1
c1 z
+
! ( M ! N )
... + c M ! N z
+
N 1 ( z ) D( z )
Expresa la transformada racional impropia en términos de un polinomio y una función propia.
X ( z )
=
1 + 3 z !1 + 116 z !2 + 13 z !3 1 + 56 z !1 + 16 z !2
Módulo 3
Primer paso: Sea X(z) una función racional propia, esto es: X ( z )
=
N ( z )
=
D( z )
!1
b0
+ b z
+
1
... + b M z ! M
1 + a1 z !1 + ... + a N z ! N
con a N ) 0 y M < N . Eliminamos las potencias negativas multiplicando por z N : N
X ( z )
=
N !1
b0 z
+ b z
1
N
z
+
+
... + b M z N ! M
N !1
a1 z
+
... + a N
Como N > M , entonces X ( z ) z
N !1
=
es siempre propia.
N ! 2
b0 z
+ b z
1
N
z
+
+
N !1
a1 z
... + b M z N ! M !1 +
... + a N
Módulo 3
El objetivo es obtener una suma de fracciones simples. Para eso, factorizamos el polinomio denominador en factores que contengan los polos p1 , p2 , …, p N de X(z). Tenemos dos casos: polos diferentes y de orden múltiple. Polos diferentes. Suponemos a los polos p1 , p2 , …, p N todos diferentes. Buscamos la expansión de la forma:
X ( z ) z
=
A1 z ! p1
+
A2 z ! p2
Debemos determinar A1 , A2 , ..., A N .
+
... +
A N z ! p N
Módulo 3
Podemos obtener los coeficientes A1 , A2 , …, A N si multiplicamos por los términos ( z - pk ), k = 1, 2, …, N , y calculamos las expresiones resultantes en las posiciones de los polos p1 , p2 , …, p N . Así tenemos:
( z ! pk ) X ( z ) z
=
( z ! pk ) A1 z ! p1
+
... + Ak + ... +
( z ! pk ) A N z ! p N
Entonces, si z = pk , obtenemos los k -ésimos coeficientes
Ak
=
( z ! pk ) X ( z ) z z p k
k 1,2,..., N =
=
Este proceso es aplicable tanto a polos reales como complejos que sean distintos. Los polos conjugados complejos producen coeficientes de la expansión en fracciones simples que son conjugados complejos.
Módulo 3
Polos de orden múltiple. Si X(z) tiene un polo de multiplicidad l , esto es, aparece en el denominador un factor de la forma (z-pk )l , entonces la expansión ha de tener los términos:
A1k z ! pk
+
A2 k ( z ! pk )
2
+
... +
Alk ( z ! pk ) l
Ak } se obtienen de derivaciones sucesivas. Los coeficientes {
Módulo 3
Segundo paso: Polos diferentes. De la expansión se sigue que:
X ( z ) = A1
1 !1
1 ! p1 z
+
A2
1 !1
1 ! p2 z
+
... + A N
1 1 ! p N z !1
La TZI, x(n) = Z -1{X(z)}, se obtiene invirtiendo cada término y efectuando combinación lineal. De tablas, los términos se invierten usando la fórmula: n # ( p ) u (n) si ROC : z > pk # ' 1 k $1 Z " = " n $1 & $ ( p ) u ($n $ 1) si ROC : z < pk 1 p z $ k k ! % !
Módulo 3
Si x(n) es causal, la ROC es |z| > pmax, donde pmax = max { |p1|, |p2|, …, |p N | } y la señal viene dada por:
x(n) = ( A1 p1n + A2 p2n
+
... + A N p N n )u ( n)
y si todos los polos son reales, podemos decir que una señal causal, que tiene una transformada Z con polos diferentes y reales, es una combinación lineal de exponenciales reales. Si algunos polos son complejos, tendremos exponenciales complejas, pero si la señal es real debemos reducirlos. Si p j es un polo, su conjugado complejo p j* lo es también. La contribución de los dos polos es entonces:
xk (n) = [ Ak ( pk ) n + Ak ( pk ) n ]u (n) !
!
Módulo 3
Con estos términos se puede formar una señal real. Usando notación polar tenemos:
Ak
=
pk
Ak e
=
r k e
j" k
j ! k
donde 'k y - k son las fases de Ak y pk . Sustituyendo:
xk (n) = Ak r k n [e j ( " k n =
! k )
+
+
e
# j ( " k n +! k )
]u (n)
n 2 Ak r k cos( " k n + ! k )u (n)
Por lo tanto, * ( % A A )1 n k k # Z && + = 2 A r cos( " n + ! )u ( n) k k k k )1 * )1 # ) ) 1 p z 1 p z k k ' $
si la ROC es |z| > |pk | = r k
Módulo 3
Polos múltiples, reales o complejos. La TZI necesita términos de la forma:
A ( z ! pk ) n Para polos dobles es útil la transformada: '1 & # pz '1 n Z % np u ( n) '1 2 " $ (1 ' pz ) ! =
Valida si la ROC es |z| > |p|.
Determina la expansión en fracciones simples de:
X ( z )
=
X ( z )
X ( z )
=
1 1 ! 32 z !1 + 12 z ! 2
=
1 + z !1 1 ! z !1 + 12 z !2 1
(1 + z !1 )(1 ! z !1 ) 2
Determina la TZI de: X ( z )
X ( z )
=
=
1 1 % 32 z %1 + 12 z % 2
1 + z !1 1 ! z !1 + 12 z !2
$ | z |> 1 ! si ROC es # | z |< 12 ! 1 <| z |< 1 "2
X ( z )
=
1 (1 + z !1 )(1 ! z !1 ) 2
Módulo 3
Descomposición de TZ racionales. Si tenemos
M
M
# k b z " k
#1 ( 1 z z # ! k )
k = 0 N
X ( z ) =
=
b0
1 + " ak z #k
k =1 N
#1 ( 1 p z ) # ! k
k =1
k =1
donde suponemos a0*1. Si M , N , entonces M " N
X ( z ) =
" k c z ! k + X pr ( z ) k = 0
Si los polos de X pr (z) son distintos
X pr ( z ) = A1
1 !1
1 ! p1 z
+
A2
1 !1
1 ! p2 z
+
... + A N
1 1 ! p N z !1
Módulo 3
Puede haber pares de polos conjugados complejos, y al tratar con señales reales debemos evitarlos, agrupando los términos con dichos polos. "
A 1
!
1 ! pz
+
1 ! p
"
A ! Ap z 1 + A "
A
1
!
z
=
1
!
"
!
A pz 1 "
!
p z 1 + pp z 2 b0 + b1 z 1 !
1 ! pz
"
!
!
"
!
!
=
donde
b0 b1
=
2 Re( A)
a1
"
2 Re( Ap )
!
=
1
!
1 + a1 z
=
+
a2 z 2 !
2 Re( p)
!
a2
=
p
2
El resultado general es: M " N
X ( z )
=
!
" k
ck z
k = 0
donde K 1+2K 2=N .
K 1
+
!1 k =1
K 2
bk +
" k
ak z
+
!1 k =1
b0 k +
+
"1
a1k z
"1
b1k z +
"2
a2 k z
