UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN L UIS POTOSÍ POTOSÍ FACULTAD DE INGENIERÍA ÁREA MECÁNICA ELÉCTRICA
Laboratorio de
INGENIERIA INGENIERIA DE CONTROL II
Práct Práctic ica a #7. Transformada Z
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Nombre: Antonio Sanjuanero Herrera Carrera: Ingeniería en Electricidad y Automatización Instructor: Cristian Ortiz Fecha de entrega: sábado 31 de marzo de 2018
Práctica 7: Transformada Z
Laboratorio De Ingeniería De Control II
Objetivo Emplear herramientas de cómputo para obtener la t ransformada z y la transformada z inversa.
Introducción Al trabajar con sistemas en tiempo continuo se utiliza la transformada de Laplace, de esta manera, las ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas, lo cual simplifica la obtención de la solución de estas. Sin embargo, cuando se trabaja con funciones de transferencia no es necesario resolver las ecuaciones diferenciales asociadas a dicha función, basta con obtener los polinomios de entrada y salida. Para el caso de sistemas en tiempo discreto, la función de transferencia en el dominio “s” no es de utilidad, ya que como se mencionó antes, esto funciona para sistemas en tiempo continuo. Una herramienta muy útil para sistemas en tiempo discreto es la transformada z, que es el análogo de la transformada de Laplace para sistemas en tiempo discreto. La transformada z transforma del dominio s o del dominio del tiempo al dominio en tiempo discreto, por lo tanto, no se tienen valores para la función en todo tiempo, sino que, solo se tienen valores para la función para ciertos valores del periodo m uestreado. Calcular la transformada z de una función es lo mismo que calcular la respuesta de la función ante una entrada delta de Kronecker. Dado lo anterior, se hace uso del software Octave para obtener de manera rápida y sencilla la transformada z de una función de transferencia.
Desarrollo Para el sistema mostrado en la figura:
() =
1
1 −
5
+ 0.1
a) Simular su respuesta en el dominio discreto C(z). b) Verificar la respuesta del sistema discreto por medio de una simulación del sistema continuo y el retenedor de orden cero. c) Repetir a) y b) para = 1.5, = 0.5, = 0.1
Periodo de muestreo de un segundo.
Fig. 7.0 Código para discretización con = 1
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Fig. 7.1 Respuesta al escalón unitario con = 1
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Fig. 7.2 Respuesta al escalón unitario con = 1.5
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Fig. 7.3 Respuesta al escalón unitario con = 0.5
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Fig. 7.4 Respuesta al escalón unitario con = 0.1
A partir de aquí se puede notar que el muestreo es muy pequeño. Realizando un acercamiento para poder observar el muestreo se obtiene lo siguiente.
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Fig. 7.5 Respuesta al escalón unitario con = 0.1 en el intervalo de 0 a 13s
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Práctica 7: Transformada Z
Laboratorio De Ingeniería De Control II
Actividades Suponga que se tiene un filtro analógico basado en amplificadores operacionales con la siguiente función de transferencia:
() =
100 + 10 + 100
Se requiere implementar el filtro e n un dispositivo digital, por lo que es necesario llevar el diseño continuo a un diseño basado en un modelo discreto, suponga que la señal que se desea mantener es una onda sinusoidal con una frecuencia angular de 1 rad/seg. i. ii. iii. iv.
i.
Determine un tiempo de muestreo adecuado para el ADC del dispositivo digital. Encuentre la función de transferencia en el dominio de z que permita implementar el filtro de manera digital. Simule la función de transferencia discreta que se obtuvo en ii. ante una entrada = () + 0.4cos(40). Verifique el correcto funcionamiento del diseño comparando su respuesta simulada con una simulación del modelo continuo.
Determine un tiempo de muestreo adecuado para el ADC del dispositivo digital.
= 1
>
1
= 2 = =
<
2 1
= 0.1
2
= 2
ii.
Encuentre la función de transferencia en el dominio de z que permita implementar el filtro de manera digital.
Fig. 7.6 Código para discretización con = 0.1
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Práctica 7: Transformada Z
Laboratorio De Ingeniería De Control II iii.
Simule la función de transferencia discreta que se obtuvo en ii. ante una entrada = () + . ().
Fig. 7.7 Respuesta a = () + . () con = 1.5
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Práctica 7: Transformada Z
Laboratorio De Ingeniería De Control II iv.
Verifique el correcto funcionamiento del diseño comparando su respuesta simulada con una simulación del modelo continuo.
Fig. 7.8 Respuesta a = () + . () en tiempo continuo y discreto con = 1.5s
Conclusiones La transformada z es una herramienta fundamental para el análisis de sistemas de control en tiempo discreto, ya que permite llevar las funciones de transferencia del tiempo continuo al tiempo discreto. El uso de software computacional, como Octave, permite obtener la transformada z de manera rápida, además de poder visualizar el comportamiento de cualquier sistema ante cualquier entrada. Como se vio en la práctica, el comando que transforma de función continua en el tiempo a función discreta es “c2d” (continuous to discrete). Esta función tiene como entradas una función de transferencia en tiempo continuo y el periodo de muestreo, que como se vio, entre mas pequeño sea, la aproximación es más precisa.
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