U NIVERSIDAD PRIVADAA NTENOR ORREGO FACULTAD DE I NGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE I NGENIERÍA ELECTRÓNICA
TEORÍA DE CONTROL II LABOTARIO N° 4
Transformada Z Inversa Mé todo tod o de E x pans pan si ón en F r accion acci one es Par cial ci ale es
Docente:
Ing. Guillermo EVANGELISTA ADRIANZÉN
Trujillo 11 de Abril del 2014
1. OBJETIVO Conocer los métodos de desarrollo para la Transformada Z Inversa, haciendo énfasis en el método de Expansión en Fracciones Parciales, así como su aplicación a ejercicios propuestos y la validación de los mismos mediante scripts de MATLAB.
2. MARCO TEÓRICO 2.1. Transformada Z Inversa
,la transformada z de o , está dada, la operación que determina la o correspondiente se denomina . Un método obvio Cuando
transformación z inversa
para encontrar la transformada z inversa es referirse a una tabla de transformada z. Sin embargo, a menos que uno se refiera a una tabla de transformada z muy extensa, no sería uno capaz de encontrar la transformada z inversa de una función complicada [1]. De otro lado, existen otros cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa que no implican el uso de tablas:
Método de la División Directa
Método Computacional
Método de Expansión en Fracciones Parciales
Método de la Integral de Inversión.
Para obtener la transformada z inversa, se supone, por lo regular, que la secuencia de tiempo
o es cero para .
2.1.1. Ceros y Polos
puede tener la forma:
En aplicaciones de ingeniería, la
También, la siguiente:
Donde son los cerosy son los polos. 1
2.1.2. Método de Expansión en Fracciones Parciales Para encontrar la transformada z inversa, si
tiene uno o más ceros en el origen
, entonces ⁄ o se expande en la suma de términos sencillos de primero o
segundo orden mediante la expansión de fracciones parciales y se emplea una tabla de transformada z para encontrar la función del tiempo correspondiente para cada uno de los términos expandidos. Un procedimiento de uso muy común para los casos donde todos los polos son diferentes y
) es decir ambos miembros de entre z y entonces expandir ⁄ en fracciones parciales. Una vez que ⁄ se ha hay por lo menos un cero en el origen (esto es, expandido, ésta será de la forma:
Cuando los polos son simples, el coeficiente se determina de la forma: Si ⁄ involucra un polo múltiple, por ejemplo, un polo doble y no tiene más polos, entonces ⁄tendrá la forma: Los coeficientes y se determinan a partir de: { } 3. MATERIALES Y EQUIPOS Es necesario un ordenador con el software MATLAB2011a (o superior) instalado. Para el desarrollo de esta guía no se requierede librerías adicionales. 2
4. PROCEDIMIENTO a) Desarrolle de manera práctica la función
y realice la codificación necesaria para
obtener los ceros, polos y ganancias, ambos con la finalidad de obtener su Transformada Z Inversa.
Desarrollo:
| | | () ( ) [ ] Scriptde MATLAB: z=tf('z'); Fz=12*z/((z+1)*(z-1)^2); [z,p,k]=zpkdata(Fz,'v') [num,den]=tfdata(Fz,'v'); zplane(num,den) syms Z k TZ=12*Z/((Z+1)*(Z-1)^2); pretty(TZ); iztrans(TZ,k)
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Ejercicio 2: Desarrolle de manera práctica la función y realice la codificación necesaria para obtener los ceros, polos y ganancias, ambos con la finalidad de obtener su Transformada Z Inversa.
Solución práctica:
| | [ ] Script deMATLAB parael ejercicio 2: z=tf('z'); Fz=3.5*z/((z-1)*(1+z^-1)); [z,p,k]=zpkdata(Fz,'v') [num,den]=tfdata(Fz,'v'); zplane(num,den) syms Z k TZ=3.5*Z/((Z-1)*(1+Z^-1)); pretty(TZ); iztrans(TZ,k)
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Ejercicio 3: Desarrolle de manera práctica la función y realice la codificación necesaria para obtener los ceros, polos y ganancias, ambos con la finalidad de obtener su Transformada Z Inversa.
Solución práctica:
| | * + Script deMATLAB parael ejercicio 3: z=tf('z'); Fz=10.75*z/((z-1)*(1-2*z^-1)); [z,p,k]=zpkdata(Fz,'v') [num,den]=tfdata(Fz,'v'); zplane(num,den) syms Z k TZ=10.75*Z/((Z-1)*(1-2*Z^-1)); pretty(TZ); iztrans(TZ,k)
5
Ejercicio 4: Desarrolle de manera práctica la función y realice la codificación necesaria para obtener los ceros, polos y ganancias, ambos con la finalidad de obtener su Transformada Z Inversa.
Solución práctica:
| | | ( ) [ ] Script deMATLAB parael ejercicio 4: z=tf('z'); Fz=z^2/((z+1)*(z-0.75)^2); [z,p,k]=zpkdata(Fz,'v') [num,den]=tfdata(Fz,'v'); zplane(num,den) syms Z k TZ=Z^2/((Z+1)*(Z-0.75)^2); pretty(TZ); iztrans(TZ,k) collect(ans,k)
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5. Resultados Del ejercicio 1, la figura 1 muestra la ubicación de ceros y polos en el plano de z, de otro lado la tabla 1 muestra una comparativa de resultados del cálculo práctico con el método computacional.
Figura 1. Ceros y Polos del Ejercicio 1. TABLA I R ESULTADOS DEL EJERCICIO N°1 Método
Ceros
FraccionesParciales
0
MATLAB
0
Polos -1 1 1 -1.0000 1.0000 1.0000
7
Ganancias 12
12
[ ] 6*k + 3*(-1)^k – 3
Del ejercicio 2, la figura 2 muestra la ubicación de ceros y polos en el plano de z, de otro lado la tabla 2 muestra una comparativa de resultados del cálculo práctico con el método computacional.
Figura 2. Ceros y Polos del Ejercicio 2. TABLA II R ESULTADOS DEL EJERCICIO N°2 Método FraccionesParciales
MATLAB
Ceros 0 0 0 0
Polos -1 1 -1 1
8
Ganancias 3.5 3.5000
[ ]
(7*(-1)^k)/4 + 7/4
Del ejercicio 3, la figura 3 muestra la ubicación de ceros y polos en el plano de z, de otro lado la tabla 3 muestra una comparativa de resultados del cálculo práctico con el método computacional.
Figura 3. Ceros y Polos del Ejercicio 3. TABLA III R ESULTADOS DEL EJERCICIO N°3 Método FraccionesParciales
MATLAB
Ceros 0 0 0 0
Polos 2 1 2 1
9
Ganancias 10.75 10.7500
[ ] (43*2^k)/2 43/4
Del ejercicio 4, la figura 4 muestra la ubicación de ceros y polos en el plano de z, de otro lado la tabla 4 muestra una comparativa de resultados del cálculo práctico con el método computacional.
Figura 4. Ceros y Polos del Ejercicio 4. TABLA IV R ESULTADOS DEL EJERCICIO N°4 Método
Ceros
FraccionesParciales
0 0
MATLAB
0 0
Polos Ganancias -1.0000 0.75 1 0.75 -1.0000 0.7500+0.0000i 1 0.7500-0.0000i
10
[ ] ((4*(3/4)^k)/7)*k + (16*(3/4)^k)/49 (16*(-1)^k)/49
6. Conclusiones Esta guía permitió identificar y conocer los métodos para obtener una función de dominio real a partir de la Transformada Z; ysegún el desarrollo realizado, se puede concluir en lo siguiente:
El método de expansión en fracciones parciales permite llevar el desarrollo a una forma fraccionaria conocida y así obtener la transformada z inversa haciendo una búsqueda en tablas. Los scripts realizados permitieron obtener los ceros, polos y ganancias de los ejercicios propuestos así como la transformada z inversa de cada uno de ellos; sin embargo, debido a las características propias del cálculo simbólico se recomienda usar el comando collect para factorizar a conveniencia a los elementos o simple para buscar la manera más simple de una expresión dada. Ambos procedimientos utilizados coinciden en sus resultados, corroborando así que estos son correctos.
Referencias [1] Katsuhiko Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Prentice Hall, Segunda edición, 1995, pp. 37-50. [2] Sanjit K. Mitra, Digital Signal Processing A Computer-Based Aproach, 2nd Edition, McGraw-Hill, pp. 167-171.
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