TRANSFORMADA Z Puede decirse que la transformada z es, para los sistemas de tiempo discreto, el equivalente de lo que la transformada de Laplace representa para los sistemas de tiempo continuo. Constituye entonces una herramienta muy útil para el análisis y diseño de sistemas de control en tiempo discreto. La transformada z de una función de tiempo continuo x(t), donde t ≥ 0, o de la señal de tiempo discreto x(kT), producto del muestreo de una señal x(t) de tiempo continuo, con k entero y mayor o igual a cero, siendo T el período de muestreo, se define mediante la siguiente expresión matemática: X ( z ) Z x (t ) Z [ x ( kT )]
x(kT ) z
k
k 0
Para una secuencia de números x(k), la transformada z se define como:
X ( z ) Z [ x (k )]
x(k ) z
k
k 0
Como puede demostrarse muy fácilmente a partir de su definición, la transformada z tiene la propiedad de linealidad, es decir, que cumple con las características de aditividad y homogeneidad: Z[x1(t) + x2(t)] = Z[x1(t)] + Z[x2(t)], y Z[λx(t)] = λ Z[x(t)] (λ es una constante).
TRANSFORMADA Z DEL IMPULSO UNITARIO El impulso unitario en el tiempo discreto se define como: δ(kT) = δ(k) = 1, k = 0 0, k ≠ 0 Aplicando la definición de transformada z resulta: X ( z ) Z ( kT )
(kT ) z
k
1 z 0 1
k 0
TRANSFORMADA Z DEL ESCALÓN UNITARIO Como se sabe, la señal 1(t) está definida como: 1(t) = 1, 0≤t 0, t<0 Sustituyendo en la definición de transformada z:
X ( z ) Z [1(t )]
k
1 z
z k 1 z 1 z 2 ...
z
1
z 1 1 z 1 En donde se ha utilizado la convergencia de la conocida serie infinita: x 1 2 3 n 1 x x x ... x ... x i x 1 i 0 k 0
k 0
TRANSFORMADA Z DE LA RAMPA UNITARIA La definición de la rampa unitaria es: ramp(t) = t, 0 ≤ t 0, t < 0 La correspondiente señal muestreada es: ramp(kT) = kT, 0 ≤ k 0, k<0 Sustituyendo en la definición de transformada z:
X ( z ) Z [ramp(t )]
x(kT ) z
k
kTz T kz k
k 0
k
k 0
k 0
T z 1 2 z 2 3 z 3 ... Tz 1 (1 2 z 1 3 z 2 4 z 3 ...) 1
Tz
z 2
z 1 2
Tz
T
z 1 2
z 1
1 z
1 2
En este caso se utilizó la serie infinita:
(k 1) x
k
1
1 2 x 3 x
2
4 x
3
...
k 0
x 2 ( x 1) 2
TRANSFORMADA Z DE LA FUNCIÓN POLINOMIAL La función polinomial corresponde a la siguiente definición (a es una constante): k x(k) = a , 0 ≤ k 0, k<0 Entonces, X ( z ) Z [a (k )]
a z
k
k
1 az 1 a 2 z 2 a 3 z 3 ...
k 0
1 az 1 az 1 az 1 ... 2
3
z
z a Expresión que se deriva de la serie infinita: x ( ax) k x a k 0
1 1 az 1
TRANSFORMADA Z DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL En este caso, la señal a estudiar es: x(t) = e at , 0≤t 0, t<0 La correspondiente señal muestreada es: x(kT ) e akT ,k = 0, 1, 2, 3, … Al sustituir en la definición de transformada z:
e
X ( z ) Z e
at
k aT 1 2 aT 2 3 aT 3 z 1 e z e z e z ...
akT
k 0
1 e aT z 1 e aT z 1 e aT z 1 ... 2
3
z z e
aT
1 1 e aT z 1
TRANSFORMADA Z DE LA FUNCIÓN SENO La función sinusoidal está definida en nuestro caso como: x(t) = sen (ω t), 0≤t 0 t<0 Según la fórmula de Euler: e j t e j t sen( t ) j 2 Esta igualdad se sustituye a la hora de calcular la transformada z de la señal sinusoidal, a la vez que se hace uso de la propiedad de linealidad de la transformada. Además, se empleará la fórmula de la transformada z de la función exponencial.
e j t e j t 1 X ( z ) Z [ sen( t )] Z Z (e j t ) Z (e j t ) j 2 j 2 1 1 1 1 1 e j T z 1 1 e j T z 1 j 2 1 e j T z 1 1 e j T z 1 j 2 1 e j T z 1 1 e j T z 1
e j T z 1 sen( T ) z 1 j 2 1 e j T e j T z 1 z 2 1 2 cos( T ) z 1 z 2 1
e
j T
sen( T ) z z 2 2 cos( T ) z 1
TRANSFORMADA Z DE LA FUNCIÓN COSENO Sea: x(t) = cos(ωt), 0≤t 0, t<0 La fórmula de Euler para el coseno es: e j t e j t cos( t ) 2 Sustituyendo:
e j t e j t 1 X ( z ) Z [cos( t )] Z Z (e j t ) Z (e j t ) 2 2
1 1 e j T z 1 1 e j T z 1 2 1 e j T z 1 1 e j T z 1 2 1 e j T z 1 1 e j T z 1 1
1
1
1 cos( T ) z 1 2 1 e j T e j T z 1 z 2 1 2 cos( T ) z 1 z 2 z 2 cos( T ) z 2 z 2 cos( T ) z 1 1
2 e j T e j T z 1
