TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO PLANO Desde el punto de vista del material, las c aracterísticas propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un es tado de tensiones general en otro particular que puede ser m ás desfavorable para un material. Se considera un trozo plano y u n cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo ð.
El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente σx' σy' ðx'y' que deben calculars e en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que :
Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo p or el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. involucradas. Considerando que los esfuerzos esfuerzos incógnitos se aplican en una área `da'. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal `da cos ð' y un área lateral `da sen ð' Suma de fuerzas en la dirección x' :
σx' da = σx da cos ð cos ð + σy da sen ð se n ð + ðxy da cos ð sen ð + ðxy sen ð cos ð σx' = σx sen2ð + σy cos2ð + 2 ðxy cos ð sen ð σx' = ( σx + σy )/2 + ( σx - σy )/2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð)
Suma de fuerzas en la dirección y' : ðx'y' da = σy da cos ð sen ð - ðxy da sen ð sen ð + ðxy cos ð cos ð - σx da sen ð cos ð
ðx'y' = σy cos ð sen ð - ðxy sen2ð + ðxy cos2ð- σx sen ð cos ð ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - ( σx - σy )/2 (sen 2ð) Con estas expresiones es posible calcular cualquier es tado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicación permite calcular estos valores automáticamente. Compruebe los resultados que se obtienen. ESFUERZOS PRINCIPALES Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando. El esfuerzo normal máximo se deduce derivando σx' con respecto al ángulo ð : dσx' /dð = 0 = - ( σx - σy ) (sen 2ð) +
2 ðxy (cos 2ð)
tan 2ð = 2 ð xy / ( σx - σy ) La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen : ð y ð + 90 Al evaluar usando estos valores para el ángulo ð se obtienen los esfuerzos normales máximo ( σ1) y mínimo (σ2). Es importante destacar que si se iguala ðx'y' = 0 se o btiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (σ1 y σ2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero.
En definitiva :
σ1 , σ2 = ( σx + σy ) / 2 + / -
El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo ð. dtx'y' / dð = 0 = -2 ðxy (sen 2ð) - ( σx - σy ) (cos 2ð) tan 2ð = - ( σx - σy ) / 2 ðxy Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definitiva :
ð1 y ð2 = + / -
ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS El esfuerzo cortante máximo difiere del esfuerzo cortante mínimo s olo en signo, como muestran las formulas explicadas el tema Esfuerzo s Principales. Además, puesto que las dos raíces de la ecuación tan 2ð = - ( σx σy ) / 2 ðxy sitúan el plano a 90°, este resultado significa también que son iguales los valores numéricos de los esfuerzos cortantes en planos mutuamente perpendiculares. En esta deducción, la diferencia de signo de los dos esfuerzos cortantes surgen de l a convención para localizar los planos en que actúan estos esfuerzos. Desde el punto de vista físico dichos signos c arecen de significado, por esta razón al mayor esfuerzo c ortante, independientemente de su signo, se llama esfuerzo cortante máximo. El sentido definido del esfuerzo cortante siempre se puede determinar por la sustitución directa de la raíz particular de ð en la ecuación ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - ( σx - σy )/2 (sen 2ð) un esfuerzo cortante positivo indica que este actúa en el sentido supuesto y viceversa. La determinación del esfuerzo cortante máximo es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al corte. A diferencia de los esfuerzos principales cuyos planos no ocurren esfuerzos c ortantes, los esfuerzos cortantes máximos actúan en planos que usualmente no están libres de esfuerzos normales. La situación de ð de la ecuación tan 2ð = - ( σx - σy ) / 2 ðxy en la σx' = ( σx + σy )/2 + ( σx - σy )/2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð)
muestra que los esfuerzos normales que actúan en los planos de los esfuerzos cortantes máximos son
σ* =( σx + σy )/2
por consiguiente, el esfuerzo normal actúa simultáneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que se anule σx + σy.
Si σx y σy de la ecuación ð1 y ð2 = + / son esfuerzos principales, ðxy es cero y la ecuación se simplifica en ðmax =( σx - σy )/2
CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO. Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden resc ribirse para formar una ec uación de circunferencia : Se tiene que : σx' = ( σx + σy )/2 + (( σx - σy )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð)
ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - (( σx - σy )/2 ) (sen 2ð) La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma : σx' - ( σx + σy )/2 = (( σx - σy )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð)
Elevando al cuadrado se tiene : (σx' - (σx + σy)/2)2 =(σx - σy)2/4 (cos 2ð)2 + (σx - σy) (cos 2ð) ðxy (sen 2ð) + ðxy2 (sen 2ð)2
Elevando al cuadrado la segunda ecuación se tiene : ðx'y'2 = ðxy2 (cos 2ð)2 - ðxy (cos 2ð) (σx - σy) (sen 2ð) + (σx - σy)2/4 (sen 2ð)2 Sumando ambas expresiones : (σx' - ( σx + σy )/2)2 + ðx'y'2 = ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2
Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces : ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2 = b2 ( σx + σy )/2 = a
Rescribiendo queda : (σx' - a)2 + ðx'y'2 = b2
Si los ejes son : x = σx'
y = ðx'y' Tenemos : ( x - a )2 + y2 = b2 Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0 con un radio r = b. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes características : Centro en : x = ( σ x + σy )/2 ; y = 0
Radio de : r2 = ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2 La figura siguiente muestra el círculo de Mohr creado a partir de un pr oblema :
ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PRESION DE PARED DELGADA Los recipientes de pared delgada constituyen una aplicación importante del análisis de esfuerzo plano. Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexión, puede suponerse que las fuerzas internas e jercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente. El análisis de esfuerzos en recipientes de pared delgada se limitará a los dos tipos que se encuentran con mayor frecuencia: recipientes cilíndricos y esféricos .
Considerando recipiente cilíndrico de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido a presión Se van a determinar los esfuerzos ejercidos s obre un pequeño elemento de pared con lados respectivamente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro. Debido a la simetría axial del recipiente y de su contenido, no se ejercen esfuerzos cortantes sobre el elemento.
Los esfuerzos 1y 2 mostrados en la figura son por tanto esfuerzos principales. El esfuerzo 1 se conoce como esfuerzo de costilla y se presenta en los aros de los barriles de madera. El esfuerzo 2 es el esfuerzo longitudinal.
Para determinar los esfuerzos de costilla se retira una porción del recipiente y su contenido limitad o por el plano xy y por dos planos paralelos al plano yz con una distancia X de separación entre ellos. Se aclara que p es la presión manométrica del fluido.
La resultante de las fuerzas internas es igual al producto de y del área transversal 2t x. Con la ecuación de sumatoria de fuerza en z se concluye que para el esfuerzo de cos tilla:
Con el propósito de determinar el esfuerzo longitudinal 2, haremos un corte perpendicular al eje x y se considerará el cuerpo libre que consta de la parte del recipiente y de su contenido a la izquierda de la sección. Tomando en cuenta las fórmulas del área y longitud del cilindro y la sumatoria de fuerzas en z, finalmente se concluiría que: 2 = pr / 2t El esfuerzo en la costilla es el doble del esfuerzo longitudinal. Luego se dibuja el Círculo de Mohr y se llega a que: max(en el plano)= ½
2= pr / 4t
Este esfuerzo corresponde a los puntos D y E y se ejerce sobre un elemento obtenido mediante la rotación de 45°del elemento original de dicha figura, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente. EL esfuerzo cortante máximo en la pared del recipiente es mayor. Es igual al radio del círculo de diámetro OA y corresponde a una rotación de 45°alrededor de un eje longitudinal y fuera del plano del esfuerzo.
Considerando ahora un recipiente esférico, de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido bajo presión manométrica p. Haciendo un corte por el centro del recipiente determinamos el valor del esfuerzo.
Así concluye que, para un recipiente 1=
2 = pr / 2t
Ya que los esfuerzos principales
1y 2 son iguales, el circulo de Mohr par a la transformación de esfuerzos, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente, se reduce a un punto. El esfuerzo normal en el plano es constante y que el esfuerzo m áximo en el plano es cero. Podemos concluir max= ½
1 = pr / 4t
