Esfuerzo Plano.
Las condiciones de esfuerzo que se han analizado previamente en barras a tensión o compresión, ejes en torsión o vigas en flexión y corte son casos de esfuerzo plano. Consideremos un elemento de un cuerpo sometido a esfuerzo plano, como el mostrado en la fig.1. Este elemento es infinitesimal en tamaño y puede representarse por un cubo o un paral paralel elep epíp íped edo o recta rectang ngul ular ar.. Supo Supond ndrem remos os que que se encu encuen entra tra some someti tido do a los los esfuerzos mostrados.
De acuerdo con la convención de signos para los esfuerzos, tanto los esfuerzos normales σ como los esfuerzos cortantes τ actuantes son positivos y están dispuestos de tal manera que el elemento se encuentra bajo equilibrio de fuerzas. De esta condición podemos afirmar que τxy = τyx
Supongamos ahora que en el mismo punto del cuerpo, seleccionamos un elemento cuyas caras están inclinadas un ángulo θ respecto del elem elemen ento to orig origin inal al.. Los Los esfu esfuer erzo zos s en este este nuev nuevo o elem elemen ento to está están n representados en la fig. 2
Los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre este nuevo elemento son σ x1 , σy1
τx1y1 y τy1x1. Nuevamente se cumple que τ x1y1 = τy1x1 Los esfuerzos que actúan sobre el elemento inclinado x 1y1 pueden expresarse en función de los esfuerzos sobre el elemento xy. Para ello, escogemos un elemento de esfuerzo en
1
forma de cuña, que tiene una cara inclinada igual a x 1 y las otras dos paraleles a los ejes x y y respectivamente (fig.3)
Sea A0 el área de la cara izquierda. El área de la cara inferior es A0tanθ y el área de la cara inclinada es A0secθ. Las fuerzas normales y cortantes que actúan sobre las caras de la cuña se obtienen multiplicando el esfuerzo respectivo por el área, resultando los valores mostrados en la figura 4.
Aplicando las condiciones de equilibrio según el eje x 1 tenemos: σ x A0 sec θ − σ x A0 cos θ − τ xy A0 se nθ − σ y A0 tan θ se nθ − τ yx A0 tanθ cosθ 1
Sustituyendo convenientemente, simplificando y despejando σ x1: 2 2 σ x = σ x cos θ + σ y se n θ + 2τ xy se nθ cosθ 1
De igual forma, sumamos las fuerzas en la dirección y1: τ x y A0 sec θ + σ x A0 se nθ − τ xy A0 cosθ − σ yA0 tan θ cosθ 1 1
= 0
(1)
(2)
+ τ yx A
0
tanθ se nθ
= 0
2
Resultando: τ x
1 y1
σy =− σx −
) se nθcos θ +τxy (cos
(
2
2
θ −se n θ)
(3)
Las ecuaciones (2) y (3) dan los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el plano x1 en términos del ángulo θ y los esfuerzos σx , σy y τxy que actúan sobre
los planos x y y. Las ecuaciones (2) y (3) para los esfuerzos sobre una sección inclinada pueden expresarse de manera más conveniente con las siguientes identidades trigonométricas: 1
=
cos 2 θ
2
(1 + cos 2θ )
se n 2θ
=
se nθ cos θ
1 2
=
1 2
(1 − cos 2θ )
sen 2θ
Las ecuaciones resultantes son: 1
+σy
σ x
−
σ x
=
2
−σ y
σx
cos 2θ
2
+ τ xy sen2θ
2
2
σ x + σ y σ x −σ y σ τ − + = x ÷ x y 2 ÷ + τ xy 2 2
1
2
1 1
=
σ prom
σ x
2
+σ y
σ x − σ y R = ÷ + τ xy 2
2 2
( − σ prom ) + τ x y = R σ x = σ prom τ x y = 0 2
σ x
1
2
2
1 1
1
1 1
σ x
=
1
σ x
+ σy
+
2
τ x
y 1 1
=
σ x
σx
−σ y
2
−σ y
2
cos 2θ +τ xy sen2θ
sen2θ +τ xy cos 2θ
(4)
(5)
El esfuerzo normal σy1 puede obtenerse sustituyendo θ por (θ+90°), resultando: σ y
1
=
σ x
+ σy
2
−
σx
− σy
cos 2θ
2
−τ xy sen2θ
(6)
Sumando (4) + (6) se obtiene: σ
x1
+σy
1
=σx +σy
(7)
Esta ecuación muestra que la suma de los esfuerzos normales que actúan sobre caras perpendiculares de elementos de esfuerzo plano en un punto, es constante e independiente del ángulo θ
3
Ejemplo 1. Un elemento en esfuerzo plano sometido a los esfuerzos σ x = 16000 psi, σ y = 6000 psi y
τxy= 4000 psi. Determine los esfuerzos que actúan en un plano inclinado un ángulo θ=45°.
Solución: Sustituyendo los valores se tiene: σ x
+σ y 2
= 11000 psi sen2θ
σx
−σ y 2
= sen 90° = 1
= 5000 psi
τ xy
= 4000 psi
cos 2θ = cos 90 ° = 0
Al sustituir en las ecuaciones (4),(5) y (6) se obtiene: σx1 = 15000 psi, σ y1 = 7000 psi , τx1y1 = - 5000 psi
4
Ejemplo 2. Se tiene una condición de esfuerzo plano en un punto sobre la superficie de una estructura cargada, donde los esfuerzos poseen las magnitudes y direcciones mostradas sobre el elemento de la figura. Determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado a un ángulo de 15° horario con respecto al elemento original.
Solución: Los esfuerzos que actúan sobre el elemento original son: σ x = −46 MPa σ y = 12 MPa τ xy
= −19 MPa
Calculando y sustituyendo en las ecuaciones de transformación: σ x
+σ y 2
sen2θ
= −17 MPa
= sen (−30°) = −0, 5
σx
−σ y 2
= −29MPa
cos 2θ = cos ( −30 °)
= 0,866
σx1 = -32,6 MPa, σy1 =-1,4Mpa, τx1y1 = - 31 Mpa
5
Esfuerzos Principales y Esfuerzos Cortantes Máximos.
Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano muestran que los esfuerzos normales σx1 y los esfuerzos cortantes τx1y1 varían continuamente y de
manera cíclica a medida que se giran los ejes un ángulo θ.,en virtud de su dependencia de funciones trigonométricas seno y coseno, de modo que alcanzan valores máximos y mínimos a intervalos de 90°. Estos valores determinan las condiciones de diseño de elementos de máquinas o miembros estructurales. Los esfuerzos normales máximo y mínimo se conocen como Esfuerzos Principales y pueden determinarse a partir de las ecuaciones de transformación de esfuerzos (4) y (6). Al derivar σx1 respecto de θ en la ecuación (4) e igualar a 0, se obtiene una expresión que permite encontrar los valores de θ para los que σx1 es un máximo o un mínimo: d σ x
1
d θ
= −(σ x − σ y ) sen2θ + 2τ xy cos 2θ
Resultando:
tan 2θ p
=
2τ xy σ x
− σ y
(8)
donde el subíndice p indica que se trata del ángulo correspondiente a un esfuerzo principal. De (8) se obtienen dos valores para el ángulo 2 θp que difieren en 180°, ó dos
valores para θp que difieren en 90°. Sustituyendo estos dos valores en (4) se obtienen los esfuerzos principales máximo y mínimo correspondientes a σx1. Una vez obtenida la ecuación (8), podemos deducir ecuaciones generales para los esfuerzos principales. Para ello construimos un triángulo rectángulo como el de la figura 5, que representa a esa ecuación:
La hipotenusa R es un número positivo y tiene unidades de esfuerzo al igual que los catetos. Del triángulo obtenemos dos relaciones importantes:
cos 2θ p =
σ x
−σ y
2 R
sen 2θ p =
τ xy
2R
6
Sustituyendo estas expresiones en (4) se obtiene el esfuerzo principal más grande algebraicamente, al que llamamos σ1: σ 1
+ σy
σ x
= σ x =
2
1
+σ y
σ x
=
+
+
2
σx
−σ y 2
cos 2θ p + τ xy sen 2θ p
−σ y σ x −σ y τ xy τ + 2 R ÷ xy 2 R ÷ 2
σx
Al sustituir el valor de R del triángulo y ordenar resulta:
+ σ y
σ
x
=
σ
2
σ −σ y + x ÷ + τ xy 2
2
1
2
(9)
El menor de los esfuerzos principales, llamado σ 2 , se encuentra despejándolo de la condición de que la suma de los esfuerzos normales sobre planos perpendiculares es constante (ecuación (7): σ1
σ
=
σ2
+ σ y 2
2τ xy
tan 2θ p = cos 2θ s1
x
σ x
=
− σ y
=
τ xy
+σ = σ x +σ y 2
2
σ −σ y − x ÷ +τ xy 2 2( −4700 psi)
12300 psi − ( −4200 psi) sen 2θ s1
R θ s1 = θ p1 − 45°
2
=−
σx
(10)
= −0,5697
− σ y 2R
2
σ x − σ y σ − σ τ máx = + τ xy = ÷ 2 2 2
σ prom
=
σ x
1
2
+ σ y
2 2θ p = 330,3°
y
θ p
= 1655, 2 °
Derivando τx1y1 respecto de θ de la ecuación (5) e igualando a 0 se
obtiene: d τ x y
1 1
d θ
= − (σ x − σ y ) cos 2θ − 2τ xy sen2θ = 0
De donde: tan 2θ s
=
σ x
− σ y
2τ xy
(11)
7
El subíndice s indica que el ángulo θs define la orientación de los planos de
esfuerzos cortantes máximos positivo y negativo, siendo iguales en valor absoluto. El plano del esfuerzo cortante máximo positivo τ máx está definido por el ángulo θs1 , donde, cos 2θ s1
=
τ xy
sen2θ s1
R
=−
σx
− σ y 2R
Además: θ s1
= θ p − 45° 1
El esfuerzo cortante máximo será: 2
σ x − σ y σ − σ τ máx = + τ xy = ÷ 2 2 2
1
2
(12)
En los planos de esfuerzo cortante máximo también actúa un esfuerzos normale, que se calcula sustituyendo θs1 en la ecuación (4), resultando un esfuerzo
promedio de x y y: σ prom
=
σ x
+ σ y 2
(13)
Ejemplo 3. Un elemento en esfuerzo plano está sometido a esfuerzos σx = 12300 psi, σy = -4200 psi y τxy = -4700 psi., como se ve en la figura. a) Determine los esfuerzos principales y muéstrelos sobre el croquis de un elemento orientado de manera apropiada. b) Determine los esfuerzos cortantes máximos y muéstrelos sobre un croquis de manera apropiada.
Solución: 1. ángulos principales:
8
tan 2θ p =
2τ xy σ x
− σ y
=
2( −4700 psi) 12300 psi − ( −4200 psi)
2θ p = 150, 3 ° y 2θ p = 330,3 ° y
= −0,5697
= 75, 2 ° θ p = 165, 2 ° θ p
Sustituyendo valores en la ecuación (4): Para 2θ p = 150, 3° Para 2θ p = 330,3° σ x
1
= 13540 psi
1
σ x + σ y
σ x −σ y
cos 2θ + τ xy sen 2θ 2 2 = 4050 + (8250)(cos150,3 °) − (4700)( sen150,3 °)
σ x =
−
= −5440 psi
Los esfuerzos principales y los ángulos de sus planos son: σ1 σ2
= 13540 psi = −5440 psi
= 165, 2 ° θ p = 75, 2 °
θ 1 p
2
Esfuerzos cortantes máximos: 2
σ x − σ y τ máx = ÷ + τ xy = 2 = 9490 psi 2
8250 2 + ( −4700 )
2
El ángulo θ s1 del plano del esfuerzo cortante máximo positivo es: θP1 – 45°=165,2°-45°=120,2° E El ángulo θ s2 del plano del esfuerzo cortante máximo negativo es: θs2=120,2°-90°=30,2°
9
Esfuerzo normal en esa cara: σ prom
=
σ x
+ σ y 2
= 4050 psi
Círculo de Mohr para Esfuerzo Plano.
Las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano pueden representarse gráficamente mediante el Circulo de Mohr., que permite visualizar las relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes para varios planos inclinados en un punto y para calcular los esfuerzos principales, los esfuerzos cortantes máximos y los esfuerzos en los planos inclinados. Ecuaciones: La ecuación (4) reordenada σ x
1
−
σ x
+σ y 2
=
σx
−σ y 2
cos 2θ
+ τ xy sen2θ
…. (14)
Y la (5) σ x
=
τ x y
1 1
− σ y 2
sen2θ
+ τ xy cos 2θ ……15)
Corresponden a la ecuación de un círculo en forma paramétrica. Para eliminar el parámetro 2θ, elevamos ambos miembros de cada ecuación al cuadrado y luego las sumamos, resultando: 2
2
σ x + σ y σ x −σ y σ τ − + = x ÷ x y 2 ÷ + τ xy 2 2
1
2
(16)
1 1
Haciendo: σ prom
=
σ x
2
+σ y
σ x − σ y R = ÷ + τ xy 2
2
2
Nos queda:
(
2
σ x
1
− σ prom ) + τ x y = R …….(17) 2
2
1 1
Que es la ecuación del círculo en forma algebraica, con centro en
= σ prom τ x y = 0 σ x
1
1 1
y radio R.
10
Procedimiento para construir el Círculo de Mohr.
1. Trace los ejes coordenados, con σx1 como abscisa (positivo hacia la derecha) y τx1y1 como ordenada (positivo hacia abajo). 2.
= σ prom Localice el centro C del círculo en el punto con coordenadas τ x y = 0 σ x
1
1 1
3. Localice el punto A, que representa las condiciones de
esfuerzo sobrela cara x del elemento, marcando sus coordenadas σx1= σx y τx1y1= τxy. Note que el punto A corresponde a θ=0
4. Localice el punto B que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara y del elemento, trazando sus coordenadas σ x1= σy y τx1y1= -τxy Note que el punto B sobre el círculo corresponde a θ=90° 5. Dibuje una línea del,punto A al punto B. Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el centro C. 6. Con el punto C como centro, trace el círculo de Mohr por A y B. En la figura siguiente se ve el elemento girado un ángulo θ y el círculo correspondiente.
11
12
