ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO Teorema 1
La ecuación del plano α perpendicular al vector no nulo de coordenadas n=(a,
Directo
b, c) y que pasa por el pto. P0 (x0, y0, z0) es α: a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Recíproco
Toda ecuación lineal de la forma a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
en donde a, b y c no son todos nulos, representa un plano que pasa por el pto. (x0, y0, z0) y tiene como vector vector normal el (a, b, c).
RECTA ORTOGONAL A OTRAS DOS NO PARALELAS Ejercicio 1.
Hallar un vector perpendicular al plano que contiene al triángulo cuyos vértices
son P(2, -1, 1); Q(-3, 2, 2) y S (3, 3, -2). Explicaremos como resolver este ejercicio de tres formas diferentes.
R1.1 Primera (PRODUCTO ESCALAR) PQ (3 2, 2 1, 2 1) (5, 3,1) PR (3 2, 3 1, 2 1) (1, 4, 3) Observar que los vectores no son proporcionales, o sea que efectivamente P, Q y R determinan un triángulo. Sea v ( a , b, c) el vector buscado, para que que una recta paralela paralela a v sea perpendicular al (PQR) es suficiente que sea perpendicular a dos rectas de dicho plano, por ejemplo PQ y PR. Traducido esto al lenguaje de vectores, hay que determinar v de forma tal que se cumpla:
v PQ v, PQ 0 a( 5) b.3 c.1 0 v PR v, PR 0 a.1 b.4 c(3) 0 Por tanto, para hallar a, b y c se debe resolver el sistema
5a 3b c 0 a 4b 3c 0 a
a
Despejando a de la 1 ec. y sustituyendo en la 2 Simplificando 23b 14c 0
b
14 23
c a 4.
14 23
5(4b 3c ) 3b c 0 a
despejando b y sustituyendo sustituyendo en la 2 ec.
c 3c 0 a
(56 69) 23
c 0 a
13 23
c
El n° c lo podemos escoger de manera arbitraria (porque hay infinitas soluciones para v , todas proporcionales), escogiendo c=23 obtenemos la solución v (13,14, 23) .
R1.2 Segunda (PLANO DETERMINADO POR TRES PUNTOS) Plantemos la ecuación normal del plano
que es perpendicular al vector v
( a , b, c) y que
pasa por P y luego hallamos las relaciones que deben cumplir a, b y c para que =(PQR).
: a( x 2) b( y 1) c( y 1) 0 Q a( 3 2) b(2 1) c(2 1) 0 R a(3 2) b(3 1) c(2 1) 0
5a 3b c 0 a 4b 3c 0
Resolviendo el sistema se determina v el vector buscado, pero el sistema es el mismo sistema que el anterior, ¿Por qué? Alcanza con recordar la demostración de la ecuación normal del plano para darse cuenta que los dos caminos son esencialmente el mismo. Teorema 2.
Si ( a1 , b1 , c1 ) y ( a2 , b2 , c2 ) son los vectores directores de dos rectas no paralelas, l1 y l2, respectivamente, las coordenadas del vector director (a, b, c) de cualquier recta l ortogonal con ambas están dadas por los determinantes
a
b1 c1 b2 c2
;
b
c1 a1 c2 a2
;
c
a1 b1 a2 b2
(a , b, c) Nota: el determinante de una matriz 2x2 (2 filas y 2 columnas) cuyos elementos son los números e, f, g y h es el número que se calcula de la forma siguiente
e
f
g
h
eh gf
R1.3 Tercera (APLICANDO EL TEO. ANTERIOR) Se deja como ejercicio para el estudiante.
EL PLANO Y LA RECTA (primera parte)
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UN PLANO ax by cz d 0 en donde al menos uno de los números a, b o c es diferente de 0. Teorema 3. Vector normal a un plano
Toda ecuación lineal de la forma ax by cz d 0 en la que por lo menos uno de los tres coeficientes a, b y c es diferente de 0, representa un plano que es normal al vector que tiene por coordenadas ( a , b, c) .
CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO Y ENTRE PLANOS: MANERA VECTORIAL Ejercicio 2. Dar definiciones vectoriales para los conceptos señalados en el título de arriba. Sean los planos α y β cuyos vectores normales son respectivamente nα y nβ y sea r una recta que tiene como vector director vr.
_____
r _____
_____
_____
Ejercicio 3. Sean el plano : 2 x 3 y z
1 y el punto P (1, 2,8) , se pide:
a) Probar que el pto. P es exterior a
.
b) Hallar las coordenadas del punto Q, intersección de la recta s||α por P, con el eje Ox. c)
Hallar la ecuación gral. de del plano que contiene a la recta s y es perpendicular a
, utilizando la ecuación normal del plano.
Resolución a) P
2.1 3.2 8 1; 2.1 3.2 8 4 1 P
b) Considere Q(λ, 0, 0) y sea n=(2, -3, 1) un vector normal de α, se deja al lector su resolución. c) Halle primero un vector perpendicular a los vectores PQ y n, mediante el método que se explicó en el Ejercicio 1. Se deja al lector su resolución.
