DETERMINACION DEL ESFUERZO CORTANTE EN UN PLANO HORIZONTAL:
Considere una viga prismática AB prismática AB con un plano vertical de simetría que soporta varias cargas concentradas y distribuidas (figura 6.5). A una distancia x del
extremo A extremo A se desprende de la viga un elemento CDD C con longitud ∆ x que se extiende a través del ancho de la viga desde la superficie superior de la viga hasta un plano horizontal localizado a una distancia y1 del eje neutro (figura 6.6). Las fuerzas ejercidas sobre este elemento consisten de las fuerzas cortantes verticales V C y V D, una fuerza cortante horizontal ∆H ejercida sobre la cara inferior del elemento, las fuerzas normales elementales horizontales C dA y D dA y posiblemente una carga w ∆x (figura 6.7). Se escribe la ecuación de equilibrio. ’
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Donde la integral se extiende por el área sombreada de la sección localizada Sobre la línea y=y1. Despejando ∆H de esta ecuación y utilizando la ecuación (5.2) de la sección 5.1, _ My/I, para expresar los esfuerzos normales en términos de los momentos flectores en C y D, se tiene:
La integral de la ecuación (6.3) representa el primer momento con momento con respecto al eje neutro de la porción de la sección transversal de la viga que se localiza por encima de la línea y = y1 y se denotará por Q. Por otra parte, recordando la ecuación (5.7) de la sección 5.5, se puede expresar el incremento MD-MC del momento flector como:
Al sustituir en la ecuación (6.3), se obtiene la siguiente expresión para el corte horizontal ejercido sobre el elemento de viga:
El mismo resultado se habría obtenido si se hubiera utilizado como cuerpo libre el elemento inferior C D D C , en lugar del elemento superior CDD C (figura 6.8), ya que las fuerzas cortantes ∆H y ∆H ejercidas por los dos elementos uno sobre el otro son iguales y opuestas. Esto nos lleva a observar que el primer momento Q de la porción de la sección transversal localizada bajo la línea y = y 1 (figura 6.8) es igual en magnitud y opuesto en sentido al primer momento de la porción localizada por encima de dicha línea (figura 6.6). De hecho, la suma de estos momentos es igual al momento del área de t oda la sección transversal con respecto a su eje centroidal y, por lo tanto, debe ser cero. Esta propiedad puede en ocasiones utilizarse para simplificar el cálculo de Q. Se advierte también que Q es máximo para y 1=0, ya que los elementos de la sección transversal localizada por encima del eje neutro contribuyen positivamente a la integral (5.5) que define a Q, mientras que los elementos localizados por debajo de dicho eje contribuyen negativamente. El corte horizontal por unidad de longitud , que se denotará por la letra q, se obtiene de dividir ambos miembros de la ecuación (6.4) entre ∆ x : ’
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Recuerde que Q es el primer momento con respecto al eje neutro de la porción de la sección transversal localizada bien por encima o bien por debajo del punto en el que q se calcula, y que I es el momento centroidal de inercia de toda el área de la sección transversal. Por una razón que se aclarará más adelante (sección 6.7), el corte horizontal por unidad de longitud q también se conoce como flujo cortante.
EJEMPLO:
SOLUCION:
Como la separación entre los clavos es de 25mm, la fuerza cortante en cada clavo es:
DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA:
Considere de nuevo una viga con un plano vertical de simetría, sometida a varias cargas concentradas o distribuidas que se aplican sobre ese plano. Se vio en la sección precedente que, si por medio de dos cortes verticales y uno horizontal, se desprende de la viga un elemento de longitud ∆ x (figura 6.11), la magnitud ∆H de la fuerza cortante ejercida sobre la cara horizontal del elemento puede obtenerse de la ecuación (6.4). El esfuerzo cortante promedio Tprom en dicha cara del elemento se obtiene dividiendo ∆H entre el área ∆ A de la cara. Observando que ∆ A=t ∆ x , donde t es el espesor del elemento en el corte, se escribe:
