Transformación de esfuerzo plano

Transformación de esfuerzo plano plano Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material. Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo a.

El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente s x’ sy’ tx’y’ que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que :

Cruz Hernández Jorge Uriel

Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en una área ‘da’. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal ‘da cos a’ y un área lateral ‘da sen a’ Suma de fuerzas en la dirección x’ :

sx’ da = sx da cos a cos a + s y da sen a sen a + t xy da cos a sen a + t xy sen a cos a sx’ = sx sen2a + sy cos2a + 2 t xy cos a sen a sx’ = ( sx + sy )/2 + ( sx - sy )/2 (cos 2a) + t xy (sen 2a) Suma de fuerzas en la dirección y’ :

tx’y’ da = sy da cos a sen a - t xy da sen a sen a + t xy cos a cos a - s x da sen a cos a tx’y’ = sy cos a sen a - t xy sen2a + t xy cos2a- sx sen a cos a tx’y’ = txy (cos 2a) - ( s x - sy )/2 (sen 2a) Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial.


Esfuerzos principales en un elemento esforzado Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando. El esfuerzo normal máximo se deduce derivando s x’ con respecto al ángulo a : dsx’ /da = 0 = - ( sx - sy ) (sen 2a) +

2 t xy (cos 2a)

tan 2a = 2 t xy / ( sx - sy ) La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen : a y a + 90


Al evaluar usando estos valores para el ángulo a se obtienen los esfuerzos normales máximo ( s 1) y mínimo (s2). Es importante destacar que si se iguala t x’y’ = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (s 1 y s2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero. En definitiva : s1 , s2 = ( sx + sy ) / 2 + / El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo a. dtx’y’ / da = 0 = -2 txy (sen 2a) - ( s x - sy ) (cos 2a) tan 2a = - ( sx - sy ) / 2 txy Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definitiva : t1 y t2 = + / -



Transformación de esfuerzo plano

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