INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ACAPULCO. Ingenieria de biorreactores. 3.1.TRANSERENCIA DE CANTIDAD DE !O"I!IENTO. AGITACIÓN. "ELOCIDAD # POTENCIA DE AGITACIÓN. E$%i&o '1( Car)ona Pa*o)ares +os, -a*a). L&e/ So*0s Iris A*eandra. Rendn Rob*es G%sta2o Ger)n. Treo "/$%e/ !ari%. Ing. Caro*ina Pin/n !aga4a.
Acapulco, Guerrero a 25 de Mayo de 2015.
5ndice Introd%ccin66666666666666666666&g. 3 1
Trans7erencia de cantidad de )o2i)iento66666.&g. 8 Cantidad de )o2i)iento en )ecnica re*ati2ista66.&g. 9 Cantidad de )o2i)iento en )ecnica c%ntica66..&g. : Trans7erencia de cantidad de )o2i)iento; 7riccin6666666666666666666666...&g.< E$%i&o de agitacin6666666666666666&g. = Ti&os de 7*%idos en tan$%es agitados66666666&g. 13 "e*ocidad > &otencia de agitacin666666666661: Ca*c%*o de &otencia666666666666666666..1< Conc*%sin66666666666666666666.1? -ib*iogra70a6666666666666666666666..1=
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7actor
de
Introd%ccin La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que descrie el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mec!nica. "n mec!nica cl!sica, la cantidad de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. #ist$ricamente, el concepto se remonta a Galileo Galilei. "n su ora Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias , usa el t%rmino italiano impeto, mientras que &saac 'e(ton en Principia Mathematica usa el t%rmino latino motus1 )movimiento* y vis motrix )fuer+a motri+*. Momento y momentum son palaras directamente tomadas del latín mōmentum, t%rmino derivado del vero mŏvēre mover. La definici$n concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulaci$n mec!nica a otraen mec!nica ne(toniana se define para una partícula simplemente como el producto de su masa por la velocidad, en la mec!nica lagrangiana o amiltoniana se admiten formas m!s complicadas en sistemas de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definici$n es m!s comple/a aun cuando se usan sistemas inerciales, y en mec!nica cu!ntica su definici$n requiere el uso de operadores autoad/untos definidos sore un espacio vectorial de dimensi$n infinita. La cantidad de movimiento oedece a una ley de conservaci$n, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado )o sea uno que no es afectado por fuer+as eteriores, y cuyas fuer+as internas no son disipadoras* no puede ser camiada y permanece constante en el tiempo. "n el enfoque geom%trico de la mec!nica relativista la definici$n es algo diferente. Adem!s, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagn%ticos, que carecen de masa en reposo.
TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO DEINICIÓN( La transferencia de cantidad de movimiento est! caracteri+ada por estudiar el movimiento de fluidos y las fuer+as que lo producen, a ecepci$n de las fuer+as que actan a distancia )campo gravitatorio, campo el%ctrico*. Las fuer+as que actan sore un fluido como las presiones y el esfuer+o cortante, provienen de una transferencia microsc$pica a nivel molecular de cantidad de movimiento.
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Cantidad de )o2i)iento de %n )edio contin@o i estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por e/emplo, un fluido que se mueve segn un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal-
Cantidad de )o2i)iento en )ecnica re*ati2ista. La constancia de la velocidad de la lu+ en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuer+a aplicada y la aceleraci$n adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de 'e(ton epresada como34ma no es la m!s adecuada. La ley fundamental de la mec!nica relativista aceptada es 34dpdt. "l principio de relatividad estalece que las leyes de la 3ísica conserven su forma en los sistemas inerciales )los fen$menos siguen las mismas leyes*. Aplicando este principio en la ley 34dpdt se otiene el concepto de masa relativista, variale con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definici$n cl!sica )ne(toniana* de la cantidad de movimiento. "n el enfoque geom%trico de la mec!nica relativista, puesto que el intervalo de tiempo efectivo perciido por una partícula que se mueve con respecto a un oservador difiere del tiempo medido por el oservador. "so ace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del oservador inercial y la fuer+a medida por %l no coincidan. 6ara que la fuer+a sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto al tiempo propio de la partícula. "so conduce a redefinir la cantidad de movimiento en t%rminos de la masa y la velocidad medida por el oservador con la correcci$n asociada a la dilataci$n de tiempo eperimentada por la partícula. Así, la epresi$n relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un oservador inercial viene dada por-
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donde son respectivamente el m$dulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la lu+ al cuadrado y es el factor de Lorent+. Adem!s, en mec!nica relativista, cuando se consideran diferentes oservadores en diversos estados de movimiento surge el prolema de relacionar los valores de las medidas reali+adas por amos. "so s$lo es posile si en lugar de considerar vectores tridimensionales se consideran cuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente /unto con la energía constituye el cuadrivector momento7 energía o cuadrimomento P-
Los cuadrimomentos definidos como en la ltima epresi$n medidos por dos oservadores inerciales se relacionar!n mediante las ecuaciones suministradas por las transformaciones de Lorent+.
Cantidad de )o2i)iento en )ecnica c%ntica. La mec!nica cu!ntica postula que a cada magnitud física oservale le corresponde un operador lineal auto ad/unto , llamado simplemente 8oservale8, definido sore un dominio de espacio de #ilert astracto. "ste espacio de #ilert representa cada uno de los posiles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cu!ntico. Aunque eisten diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma m!s frecuente es usar como espacio de #ilert para una partícula el espacio de #ilert y usar una representaci$n de los estados cu!nticos como funciones de onda. "n ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como-
9esulta interesante advertir que dicos operadores son autoad/untos s$lo sore el espacio de funciones asolutamente continuas de
que constituyen un dominio denso de dico espacio. :uidado con
esto, pues los autovalores del operador momento, salvo que nos limitemos a ser reales. ;e eco, en general pueden ser comple/os.
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, no tienen por qu%
6or lo tanto, se deducir!n las ecuaciones que vinculen dica transferencia de cantidad de movimiento con las fuer+as que la generan. "isten tres m%todos para acerlo-
1. Microsc$pico 2. Macrosc$pico <. imilitud
TRANSERENCIA DE CANTIDAD DE !O"I!IENTO( ACTOR DE RICCIÓN ;eseamos una definici$n general, que incluya tanto el flu/o interno, como el flu/o eterno, o sea pasando alrededor de un o/eto )tal como alrededor de una partícula de catali+ador o del ala de un aeroplano*. 6ara este caso se utili+a el nomre de coeficiente de arrastre )o de resistencia*, en lugar de factor de fricci$n, y la fuer+a de fricci$n o arrastre del s$lido actuando en el fluido es la variale deseada en lugar de la caída de presi$n por unidad de longitud. "l factor de fricci$n puede definirse entonces como el factor de proporcionalidad entre la fuer+a resistente por unidad de !rea y la energía cin%tica del fluido por unidad de volumen-
3c 4 f = >c
;onde 3c es la fuer+a e/ercida por el fluido en virtud de su movimiento, es el !rea característica que, para el flu/o en conducciones )o interno*, es la superficie mo/ada? para el flu/o pasando o/etos sumergidos )o eterno* es el !rea proyectada en un plano perpendicular a la velocidad de aproimaci$n del fluido? y >c es la energía cin%tica característica por unidad de volumen. 6
AGITACIÓN La agitaci$n se refiere a for+ar un fluido por medios mec!nicos para que adquiera un movimiento circulatorio en el interior de un recipiente. Los o/etivos de la agitaci$n pueden ser@
Me+cla de dos líquidos misciles )e/- alcool y agua*
@
;isoluci$n de s$lidos en líquido )e/.- a+car y agua*
@
Me/orar la transferencia de calor )e/.,en calentamiento o enfriamiento*
@
;ispersi$n de un gas en un líquido )e/.,oígeno en caldo de fermentaci$n*
@
;ispersi$n de partículas finas en un líquido
@
;ispersi$n de dos fases no misciles )e/.,grasa en la lece*
E$%i&o de agitacin Generalmente el equipo consiste en un recipiente cilíndrico )cerrado o aierto*, y un agitador mec!nico, montado en un e/e y accionado por un motor el%ctrico. Las proporciones del tanque varían ampliamente, dependiendo de la naturale+a del prolema de agitaci$n. "l fondo del tanque dee ser redondeado, con el fin de eliminar los ordes rectos o regiones en las cuales no penetrarían las corrientes del fluido. La altura del líquido, es aproimadamente igual al di!metro del tanque. ore un e/e suspendido desde la parte superior, va montado un agitador. "l e/e est! accionado por un motor, conectado a veces, directamente al mismo, pero con mayor frecuencia, a trav%s de una ca/a de engrana/es reductores.
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Ti&os de agitadores Los agitadores se dividen en dos clases- los que generan corrientes paralelas al e/e del agitador y los que dan origen a corrientes en direcci$n tangencial o radial. Los primeros se llaman agitadores de flu/o aial y los segundos agitadores de flu/o radial. Los tres tipos principales de agitadores son, de %lice, de paletas, y de turina. :ada uno de estos tipos comprende mucas variaciones y sutipos que no consideraremos aquí. "n algunos casos tami%n son tiles agitadores especiales, pero con los tres tipos antes citados se resuelven, qui+!s, el 5B de los prolemas de agitaci$n de líquidos.
Agitadores de ,*ice Cn agitador de %lice, es un agitador de flu/o aial, que opera con velocidad elevada y se emplea para líquidos pocos viscosos. Los agitadores de %lice m!s pequeDos, giran a toda la velocidad del motor, unas 1.150 $ 1.E50 rpm? los mayores giran de F00 a 00 rpm. Las corrientes de flu/o, que parten del agitador, se mueven a trav%s del líquido en una direcci$n determinada asta que son desviadas por el fondo o las paredes del tanque. La columna de remolinos de líquido de elevada turulencia, que parte del agitador, arrastra en su movimiento al líquido estancado, generando un efecto consideralemente mayor que el que se otendría mediante una columna equivalente creada por una oquilla estacionaria. Las palas de la %lice cortan o friccionan vigorosamente el líquido. ;eido a la persistencia de las corrientes de flu/o, los agitadores de %lice son eficaces para tanques de gran tamaDo. 6ara tanques etraordinariamente grandes, del orden de 1500m< se an utili+ado agitadores mltiples, con entradas laterales al tanque. "l di!metro de los agitadores de %lice, raramente es mayor de F5 cm, independientemente del tamaDo del tanque. "n tanques de gran altura, pueden disponerse dos o m!s %lices sore el mismo e/e, 8
moviendo el líquido generalmente en la misma direcci$n. A veces dos agitadores operan en sentido opuesto creando una +ona de elevada turulencia en el espacio comprendido entre ellos.
Agitadores de &a*etas 6ara prolemas sencillos, un agitador efica+ est! formado por una paleta plana, que gira sore un e/e vertical. on corrientes los agitadores formados por dos y < paletas. Las paletas giran a velocidades a/as o moderadas en el centro del tanque, impulsando al líquido radial y tangencialmente, sin que eista movimiento vertical respecto del agitador, a menos que las paletas est%n inclinadas. Las corrientes de líquido que se originan se dirigen acia la pared del tanque y despu%s siguen acia arria o acia aa/o. Las paletas tami%n pueden adaptarse a la forma del fondo del tanque, de tal manera que en su movimiento rascan la superficie o pasan sore ella con una olgura muy pequeDa. Cn agitador de este tipo se conoce como agitador de ancla. "stos agitadores son tiles cuando se desea evitar el dep$sito de s$lidos sore una superficie de transmisi$n de calor, como ocurre en un tanque encaquetado, pero no son uenos me+cladores. Generalmente traa/an con/untamente con un agitador de paletas de otro tipo, que se mueve con velocidad elevada y que gira normalmente en sentido opuesto. Los agitadores industriales de paletas giran a una velocidad comprendida entre 20 y 150 rpm. La longitud del rodete de un agitador de paletas es del orden de 50 al 0B del di!metro interior del tanque. La ancura de la paleta es de un seto a un d%cimo de su longitud. A velocidades muy a/as, un agitador de paletas produce una agitaci$n suave, en un tanque sin placas deflectoras o cortacorrientes, las cuales son necesarias para velocidades elevadas. ;e lo contrario el líquido se mueve como un remolino que gira alrededor del tanque, con velocidad elevada pero con poco efecto de me+cla.
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Agitadores de t%rbina La mayor parte de ellos se aseme/an a agitadores de mltiples y cortas paletas, que giran con velocidades elevadas sore un e/e que va montado centralmente dentro del tanque. Las paletas pueden ser rectas o curvas, inclinadas o verticales. "l rodete puede ser aierto, semicerrado o cerrado. "l di!metro del rodete es menor que en el caso de agitadores de paletas, siendo del orden del <0 al 50B del di!metro del tanque. Los agitadores de turina son eficaces para un amplio intervalo de viscosidades? en líquidos poco viscosos, producen corrientes intensas, que se etienden por todo el tanque y destruyen las masas de líquido estancado. "n las proimidades del rodete eiste una +ona de corrientes r!pidas, de alta turulencia e intensos esfuer+os cortantes. Las corrientes principales son radiales y tangenciales. Los componentes tangenciales dan lugar a v$rtices y torellinos, que se deen evitar por medio de placas deflectoras o un anillo difusor, con el fin de que el rodete sea m!s efica+. "l agitador de turina semiaierto, conocido como agitador de disco con aletas, se emplea para dispersar o disolver un gas en un líquido. "l gas entra por la parte inferior del e/e del rodete? las aletas lan+an las uru/as grandes y las rompen en mucas pequeDas, con lo cual se aumenta grandemente el !rea interfacial entre el gas y el líquido.
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Ti&os de 7*%o en tan$%es agitados "l tipo de flu/o que se produce en un tanque agitado, depende del tipo de rodete, de las características del fluido y del tamaDo y proporciones del tanque, placas deflectoras y agitador. La velocidad del fluido en un punto del tanque tiene tres componentes y el tipo de flu/o gloal en el mismo, depende de las variaciones de estas tres componentes de la velocidad, de un punto a otro. La primera componente de velocidad es radial y acta en direcci$n perpendicular al e/e del rodete. La segunda es longitudinal y acta en direcci$n paralela al e/e. La tercera es tangencial o rotacional, y acta en direcci$n tangencial a la trayectoria circular descrita por el rodete. 6ara el caso corriente de un e/e vertical, las componentes radial y tangencial est!n en un plano ori+ontal y la componente longitudinal es vertical. Las componentes radial y longitudinal son tiles porque dan lugar al flu/o necesario para que se produ+ca la me+cla. :uando el e/e es vertical y est! dispuesto en el centro del tanque, la componente tangencial de velocidad es generalmente per/udicial para la me+cla. "l flu/o tangencial sigue una trayectoria circular alrededor del e/e y crea un v$rtice en la superficie del líquido que deido a la circulaci$n en flu/o laminar, da lugar a una estratificaci$n permanente en diferentes niveles, de sustancias sin me+clar, sin que eista flu/o longitudinal de un nivel a otro. i est!n presentes partículas s$lidas, las corrientes circulatorias tienden a lan+ar las partículas contra la pared del tanque, deido a la fuer+a centrífuga, desde donde caen acumul!ndose en la parte central del fondo del tanque. 6or consiguiente en ve+ de me+cla, se produce la acci$n contraria. "n un tanque sin placas deflectoras, el flu/o circulatorio es inducido por todos los tipos de rodete, tanto si el flu/o es aial como radial. i los remolinos son intensos, el tipo de flu/o dentro del tanque es esencialmente el mismo, independientemente del diseDo del rodete. 6ara velocidades de giro del rodete elevadas, la profundidad del v$rtice puede ser tan grande que llegue al rodete mismo, dando lugar a que en el líquido se introdu+ca el gas que est! encima de %l, lo cual normalmente dee evitarse.
or)as de e2itar re)o*inos d%rante *a agitacin •
•
:olocando el agitador fuera del e/e central del tanque- "n tanques pequeDos se dee colocar el rodete separado del centro del tanque, de tal manera que el e/e del agitador no coincida con el e/e central del tanque. "n tanques mayores el agitador puede montarse en forma lateral, con el e/e en un plano ori+ontal, pero no en la direcci$n del radio. &nstalando placas deflectoras- "stas son placas verticales perpendiculares a la pared del tanque. "n tanques pequeDos son suficientes F placas deflectoras, para evitar remolinos y formaci$n de v$rtice. "l anco de las placas no dee ser mayor que un doceavo del di!metro del tanque. :uando se usan agitadores de %lice, el anco de la placa puede ser de un octavo del di!metro 11
del tanque. i el e/e del agitador est! despla+ado del centro o inclinado, no se necesitan placas deflectoras. :uando no se presentan remolinos, el tipo de flu/o específico depende del tipo de rodete•
•
•
Los agitadores de %lice impulsan el líquido acia el fondo del tanque, desde donde la corriente se etiende suiendo por las paredes y retornando acia la %lice. e emplean cuando se desean intensas corrientes verticales, por e/emplo para mantener en suspensi$n partículas s$lidas pesadas. 'o se emplean cuando la viscosidad del líquido es superior a los 5.000 centipoises. Los agitadores de paletas producen un flu/o radial intenso en el plano pr$imo a las palas, pero pr!cticamente no dan lugar a corrientes verticales. "stos agitadores no son eficaces para mantener s$lidos en suspensi$n. Los agitadores de turina impulsan al líquido radialmente contra las paredes laterales del tanque, desde donde la corriente se divide, una parte fluye acia arria y otra parte acia el fondo, retornando amas al rodete. 6or lo que producen dos corrientes de circulaci$n separadas. ;an ecelentes resultados en la me+cla de líquidos que tienen aproimadamente la misma densidad relativa.
De7*ectores o ba7*es •
•
•
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:uando se emplean agitadores de aspas para agitar fluidos de a/a viscosidad en tanques sin deflectores )o afles* se genera un v$rtice. La profundidad del v$rtice crece con la velocidad asta que eventualmente el v$rtice pasa por el agitador. La eficiencia del me+clado en un sistema con v$rtice es usualmente menor que la correspondiente en el sistema sin ella. 6ara eliminar esta prolem!tica, comnmente se colocan cuatro deflectores al tanque con un anco de 110 el di!metro del tanque. 6ara líquidos de alta velocidad su misma resistencia natural a fluir amortigua la formaci$n del v$rtice al grado que el anco de los afles puede reducirse a 120 del di!metro del tanque. 6ara fluidos viscosos se recomienda colocar los deflectores a una distancia de la pared igual al anco del deflector para evitar +onas estancadas detr!s de estos.
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"ELOCIDAD # POTENCIA DE AGITACIÓN Las variales que pueden ser controladas y que influyen son• •
• •
;imensiones principales del tanque y del rodete- ;i!metro del tanque );t*, ;i!metro del rodete );a*, altura del líquido )#*, anco de la placa deflectora )H*, distancia del fondo del tanque asta el rodete )"*, y dimensiones de las paletas. Iiscosidad )J* y densidad )K* del fluido. Ielocidad de giro del agitador )'*.
Cálculo de Potencia 13
@
"l c!lculo de la potencia consumida se ace a trav%s de nmeros adimensionales, relacionando por medio de gr!ficos el nmero de 9eynolds y el 'mero de 6otencia. "stas gr!ficas depender!n de las características geom%tricas del agitador y de si est!n presentes o no, las placas deflectoras.
'mero de 9eynolds 4 esfuer+o de inercia esfuer+o cortante
'mero de 3roude 4 esfuer+o de inercia esfuer+o gravitacional
'mero de 6otencia 4 esfuer+o de frotamiento esfuer+o de inercia
Esquematización de una curva de potencia
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Conc*%sin La transferencia de cantidad de movimiento está caracterizada por estudiar el movimiento de uidos las fuerzas !ue lo producen" a e#cepci$n de las fuerzas !ue act%an a distancia &campo 'ravitatorio" campo el(ctrico)* Las fuerzas !ue act%an so+re un uido como la presi$n el esfuerzo cortante" provienen de una transferencia microsc$pica a nivel molecular de cantidad de movimiento*
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Re7erencias bib*iogr7icas. •
ttp-es.(iipedia.org(ii:antidaddemovimientoN:antidaddemovimientodeunmediocon tinuo
•
ttp-es.(iipedia.org(iiAgitador
•
ttp-es.(iipedia.org(iiAgitadorB2laoratorioB2
•
ttp-(((.eicsa.comagitadoressuperiores.tml
•
ttp-(((.crismet.com.ar
•
ttp-(((.savinoarera.comespanolagitatori
•
ttp-(((.trevisin.comagitadores.tml
•
ttps-procesosio.(iispaces.comfilevie(OanquesPconPagitaciB:
•
ttp-procesosio.(iispaces.comOransferenciaPdePcantidadPdePmovimiento
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