FASE FASE 1 TRABAJO COLABORATIVO 1 PRESENTADO PRESENTADO INDIVIDUAL ALGEBRA LINEAL
ESTUDIANTE CARLOS TOBIAS FERNANDEZ SALGUERO COD. 1106892560
TUTOR YERMAN AUGUSTO HERNANDEZ GRUPO COLABORATIVO 10008!25"
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA #UNAD$ ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CONTABLES Y DE NEGOCIOS ADMINISTRACION DE EMPRESAS 2016
2
OBJETIVOS Comprender los fundamentos conceptúales de la teoría de vectores, matrices y determinantes en el estudio, análisis e interpretación de situaciones problemas en contextos del desarrollo profesional. Aplicar los principios de los sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales en el estudio y análisis de diferentes objetos para la resolución de los problemas relacionados con la ingeniería y campos disciplinares donde es relevante y pertinente su aplicación.
D%&'(()**) +% *' ',-/+'+ U+'+
F%,'
C'-+'+
%ectores
! al " de eptiembre
" /
%ectores
"/ al 2# de eptiembre
"21$
5atrices
2" al 2! de eptiembre
"2
5atrices
2- de eptiembre al #/ de 6ctubre
2
)eterminantes
#1 al "" de 6ctubre
2
F%,' ! al " de septiembre de 2#"$ U+'+ %ectores EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO 1 &n topógrafo tomo los siguientes datos del perfil de una monta'a(
)eterminar la altura de la monta'a *altura del pico C+. a. acaremos la medida del Angulo c c( "-#*/201/+ ("-#$ (-/ b. A3ora sacaremos la medida del lado ac ac
1.6
ac( sen ( 84 ° ) 4 sen ( 42 ° ) (
sen ( 42 ° )
1.6
sen ( 84 ° )
/ ( 1.07651 km c. A3ora 3allaremos la altura h:
1.07651
sen ( 90 ° )
: sen (54 ° )
=
h sen ( 54 ° )
1.07651
sen ( 90 ° )
:0,870915 km
7a altura del pico C es
0,870915 km
EJERCICIO A'*,% *' &34%-% 3(,' 7 ,) '&% % *)& (%&4*-'+)& +% &4& '*&& +%-%(% *'& ,):)%-%& +%* /%,-)( ;< &4 '3-4+ 7 &4 +(%,,=
i cada cuadro de la cuadricula e8uivale a " tenemos w =(−24,9 ) 5agnitud( 2 2 v = √ (−24 ) + 9 v =√ 576 + 81
1 v =√ 657 v =25.63
7a magnitud del vector v =(−24,9 ) es
25.63
)irección( Como v =(−24,9 ) esta ubicado en el segundo cuadrante su dirección se 3alla Φ =180−θ 9
¿
∨¿ −24 −1 θ= tan ¿ 42#.19 7a dirección del vector v =(−24,9 ) es 2#.19
F%,' "/ al 2# de septiembre de 2#"$ U+'+ %ectores EJERCICIO 1 D'+)& *)& /%,-)(%& a¿.
1 3
u= 8 i + 4 j − 3 k
(u+6 v)
)esarrollo( 1 3
( 8 i + 4 j −3 k + 6 (2 i + 7 j −3 k )) 1
¿ (8 i + 4 j−3 k + 12 i +42 j −18 k ) 3 1
¿ (20 + 46 −21) 3
6.7 + 14.3 −7
¿¿
¿ 14
b ¿ . ( 2 u + v ) ∙ ( 4 u −v )
7 v =2 i +7 j −3 k +%-%(% %* (%&4*-'+) '* ):%('(
$
¿(2 ( 8 i + 4 j − 3 k )+( 2 i + 7 j −3 k )) ∙ ( 4 (8 i +4 j−3 k )−(2 i + 7 j−3 k )) 1=2 ( 8 i + 4 j − 3 k ) + 2 i + 7 j −3 k =18 i + 15 j +(− 9 k )
2= 4 ( 8 i + 4 j −3 k ) −( 2 i + 7 j −3 k )=30 i −23 j + 15 k
A3ora " y 2
( 18 i+15 j+ (−9 k ) )∗30 i−23 j+15 k =60
|+|
c ¿.
|
u v 2
3
| − |
8 i + 4 j −3 k 2 i +7 j −3 k
+
2
|
3
3
2
7
2
3
3
) +(
7 2 j + j 3
¿ 4 i + 2 j − k + i + j k
|(
¿
4i+
2 3
i
)+(−
3
2
|
k −k )
¿|4.7 i + 4.3 j +(− 2.5 )|
¿ √ 4.72 + 4.32+(−2.5 )2 ¿ √ 46.84 ¿ 6.844
EJERCICIO 2 S%' u=7 i + 3 jyv = 4 i − j E,4%-(% α -'* >4% a ¿ .uyv ean ortogonales. ∝
b ¿ .uyv ean paralelos.
! Desarrollo : a
.
u∗ v = 0 u∗ v =28 −3 α 28−3 α = 0
α =
−28 3
Comprobamos
( 7,3 )∗(4, − 28 ) 3
¿ 28 + (−28 ) ¿0
. u 2 v 2 u1 3 7
=
=
v1
−α 4
3∗ 4 =−α ( 7 )
12 7
=−α
:l Angulo entre uy v es
12 π 7
2 2 ;u;4 √ ( 7 ) +(3 )
4 √ 58 4!.$ ;v;4 √ 16 + α Cos*u,v+4
12 π 7
Cos*#-,$+4#.$2/
EJERCICIO 5 ?C4* %& *' +&-',' +%* /%,-)( W +% *' &34%-% 3(,'@
‖´v‖= √ a 2+ b2+ c 2 ‖´v‖= √ 52 +162 +222
‖´v‖= √ 25 +256 + 484 ‖´v‖= √ 765
EJERCICIO 6 D%-%(% %* :()+4,-) ,(4 u × v &'%+) >4% a ¿ .u =5 i + 3 j − 8 k ; v =3 i −6 j−2 k i
j
3
3 −6
u∗ v =¿ 5
k
−8 ∨¿ −2
|− −− | −| −− | +| − |
¿
3 6
8 i 2
5 3
8 j 2
5 3
3 k 6
¿ [ ( 3 ) (−2 )− ( 8 ) (−6 ) ] i −[ ( 5 ) (−2 )−(−8 ) ( 3 ) ] j +[ ( 5 ) (−6 ) −(3 )( 3 )] k ¿ [ (−6 )−( 48 ) ] i −[ (−10 )− (−24 ) ] j + [ (−30 ) −( 9 ) ] k ¿ 42 i −¿ "/j<
b ¿ .u = πi +
i u∗ v =¿ π 1
π 2
j + 3 πk ; v =i + j −k
j π 2 −1
| || π
¿
2 1
3
−1
i−
π 1
k 3∨¿ 1
|
| |
π 3 j + −1 1
π
2 k 1
"#
¿
[( )
¿
[( ) ]
π 2
π 2
]
(−1 )−( 3 ) ( 1 ) i − [ ( π ) (−1 )−( 3 ) (1 ) ] j +[ ( π ) ( 1 )−( π )( 1 )] k 2
[ ( )]
π k −( 3 ) i −[ (−π ) −( 3 ) ] j+ ( π )− 2
¿− 4,6 i+ 6,141 j + 1,6 k F%,' 2" al 2! de septiembre de 2#"$ U+'+ 5atrices EJERCICIO 1 L' (,' +% '*%-)& NUTRINAT -%% 4' :()+4,,= +'(' '4-)'-'+' +% 25000 7)34(%&< 16000 '/%'& % )*&'< 500 >4%&**)& 7 9200 *%,%& ',),)*'-'+'&. S%3 :()7%,,)%& %,)=,'& +%* +%:'(-'%-) +% %(,'+%)< *'& 3'','& %-'& :)( ,'+' 4+'+ +%* :()+4,-)< 4' /% :4%&-'& % %* %(,'+) %& +% 50 :)( 7)34(-< 80 :)( )*&' +% '/%'< 2"0 :)( >4%&**) 7 20 :)( )*&' +% *%,% ',),)*'-'+'. ' E:(%&% *' :()+4,,= +'(' ,)) 4 /%,-)( (%3*=. =4
yogurt
x4
avena en bolsa
y4
8uesillos
>4
lec3es ac3ocolatadas
A 4 *21###
"$###
/1##
2##+
E:(%&% *'& 3'','& %-'& :)( ,'+' :()+4,-) ,)) 4 /%,-)( ,)*4'. /1# ?
-# 2!# 2#
, D%-%(%< +%&+% *' -%)(' +%* :()+4,-) %&,'*'(< *'& 3'','& %-'& >4% -%+(' *' %:(%&' % 4 +' :)( *' :4%&-' % %(,'+) +% %&-)& :()+4,-)&.
""
A . ? 4 @*21###+*/1#+0*"$###+*-#+0*/1##+*2!#+0*2##+*2#+ 4 @"".21#.###0$.#-#.###0".2"1.###02.//.### 4 2"./-.### :B:CDCD6 2
D'+' *' '-( A =
(
4 0 −3
6 5 1
)
−1 3 7
a+ :xprese la matri> como una matri> triangular superior, 3aciendo uso únicamente de operaciones elementales.
( ) 2
4
0
B= 2
1
−3
1
1
3
2 b+ Calcule B sabiendo 8ue(
2. A 4
(
6 3 1
A4
(
7 3 1
4 0 −3
1 0 −3
−1
6 5 7
5 7
)
)
2
f" 4 f" 0 f
f 4 f" 0 f
3
4
"2
A4
(
1 0 0
A4
(
1 0 0
7 3 1
A4
(
1 0 0
A4
(
1 0 0
)
f 4 !f2 0 f
6 5 −10
)
f2 E f
7 1 3
6 −10 5
)
f F f F f2
7 1 0
6 −10 35
)
7 3 22
6 5 25
F%,' 2- de septiembre al / de octubre de 2#"$ U+'+ 5atrices EJERCICIO 2 )ecir si la siguiente matri> es invertible, justificando cada uno de los pasos y los conceptos para su determinación. 5 −2 4 A = 3 −1 6 10 −8 1
(
)
" 5−2 4 1 0 0 3− 1 6 0 1 0 10− 8 1 0 0 1
1 0 8 0 −1 20 3−1 6 0 1 0 10− 8 1 0 0 1
1 0 8 0 −1 20 01180 −3 5 0 0 8 7 9 0−10201
1 0 8 0 −1 20 01180 −24 −1 0 0 0 6 5 0−14 201
1 0 8 0 −1 20 01180 −24 −1 0
¿ ¿ ¿ 0 0 1 0 14
"/
¿ ¿ ¿ 1 0 0 0 47 6 8
¿ ¿ ¿ 01 0057 7 18
¿ ¿ ¿ 0 0 1 0 14
6 −5 1
−2
3 −3 0
0 1 1
24 −3 −6 0 18 −3
10 −10 0
0 8 8
80 −10 20 −1 0 0 79 −10 20
0 0 0
8 −8 0
3 5
1 3
12 0 − 4 −1 8 −1
2 0
2 0 2
0 0 0
6 −1 5
0 0 0
144 −24 −79 10 65 −14
−1 −2
0 −1
60 41
8−1 6 0
0 −1 −1
40 −20 20
1 0
2 1
0 0
0 0
0 1 1
"1
1 10
0 0
1 8
8 −1 1 0
0 −8
18 −3 79 −10
2 0
5 20
0 1
0 −1
F%,' 1 al "" de octubre de 2#"$ U+'+ )eterminantes EJERCICIO 2 ". Gome la siguiente matri> y resuelva los siguientes casos( A =
(
8 7 −1
6 5 9
)
3 −2 10
a+ Halle su determinante 863 7 5−2
86386 7 5− 2 7 5
1910
191019 400 −12189 −15 144
Σ
−420286
b+ Dntercambie la fila " con la fila 2 y vuelva 3allar el determinante 7 5− 2 7 5 7 5−2
86386
"$ 863 1910
191019
42015 −14412189
−400−286
c+ Dntercambie la fila " con la fila y vuelva 3allar el determinante 191019 1 910
7 5−2 7 5
7 5− 2
86386
863
15−144 420 − 400 12
−189 −286
d+ Dntercambie columnas según su criterio y 3alle los determinantes 68368 5 7−2 5 7 683
9 110 9 1
5 7− 2
420 −1441518912
9110
−400−286
"!
CONCLUSIONES A travIs del desarrollo del presente trabajo correspondiente a la &nidad " se logró comprender los fundamentos conceptúales de la teoría de vectores, matrices y determinantes en el estudio, análisis e interpretación de situaciones problemas en contextos del desarrollo profesional. Así mismo y gracias a las tutorías y lecturas de la unidad se puede aplicar los principios de los sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales en el estudio y análisis de diferentes objetos para la resolución de los problemas relacionados con la ingeniería y campos disciplinares donde es relevante y pertinente su aplicación. Jor último y aun8ue implicó bastante estudio y dedicación se pudo entregar el trabajo final con los ejercicios completos.
"-
BIBLIOGRAFA Kú'iga, Camilo *2#"#+. 5ódulo Algebra 7ineal. ?ogotá, &LA). ecuperado de( 3ttp(MM3dl.3andle.netM"#1$M!" 5esa, N., Alirio, :., O Nernánde>, . 6. *2#"2+. Dntroducción al álgebra lineal. ?ogotá, C6( :coe :diciones. Jáginas 1 a "-. ecuperado de( 3ttp(MMbibliotecavirtual.unad.edu.co(2#!!MlibMunadspMdetail.actionP docD)4"#1-/2$1Op##4algebra0lineal Kú'iga, Camilo *2#"#+. 5ódulo Algebra 7ineal. ?ogotá, &LA). ecuperado de( 3ttp(MM3dl.3andle.netM"#1$M!" 5esa, N., Alirio, :., O Nernánde>, . 6. *2#"2+. Dntroducción al álgebra lineal. ?ogotá, C6( :coe :diciones. Jáginas 1/ a $-. ecuperado de( 3ttp(MMbibliotecavirtual.unad.edu.co(2#!!MlibMunadspMdetail.actionP docD)4"#1-/2$1Op##4algebra0lineal ?arrera, 5. N. *2#"/+. Qlgebra lineal. 5Ixico, ).N., 5R( 7arousse Srupo :ditorial Jatria. Jáginas " a 11 3ttp(MMbibliotecavirtual.unad.edu.co(2#!!MlibMunadspMdetail.actionP docD)4""#"2"1Op##4algebra0lineal
