UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL HAEDO
Investigación de Operaciones Programación Lineal Guía de Trabajos Prácticos
Autora: Lic. Mabel SHARPE
Programación Programación Lineal – Guía de Trabajos Prácticos
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS
Ejercicio 1: Una empresa de muebles fabrica dos productos: sillas y escritorios. La empresa tiene cuatro departamentos: El departamento de Corte, donde se corta la madera y preparan los esqueletos de sillas y escritorios. El departamento de Armado, donde se ensamblan las piezas de cada artículo. El departamento de Tapicería, donde se terminan las sillas, incluyendo el lustre. El departamento de Linóleum, donde se preparan las cubiertas de los escritorios.
Las contribuciones marginales de cada producto, consumos por unidad y disponibilidades se muestran en la tabla siguiente: Tiempo requerido Tiempo disponible Departamentos (Trimestre) en Sillas Escritorios minutos min/silla min/escritorios
Corte
27.000
15
40
Armado
27.000
12
50
Tapicería
27.000
18,75
-
Linóleum Contribución por unidad
27.000
-
56,25
25
75
Se pide: 1. Identificar todas las variables y las medidas de eficiencia. 2. Formular el modelo en forma gráfica, considerando que se desea formular un plan de producción que permita maximizar maximizar la contribución marginal. marginal. 3. Formular el modelo en forma analítica y resolverlo. 4. Presentar el correspondiente informe.
Ejercicio 2: Un panadero empieza el día con una provisión segura de harina, grasa, huevos, azúcar, leche y levadura. Se especializa en hacer pan, pasteles, panecillos y galletitas. Desea determinar cuánto debe hacer de cada producto para maximizar su utilidad. Las recetas están dadas en la tabla siguiente (no se especifican aquellas provisiones que son abundantes, como son la sal, el agua, etc.) Escriba la formulación correspondiente, por medio de programación lineal y discuta la adaptabilidad de tal modelo a una situación de la vida real. Identifique claramente cada elemento del modelo. Lic. Mabel SHARPE
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Programación Lineal – Guía de Trabajos Prácticos INGREDIENTES
PAN
PASTELES
PANECILLOS GALLETITAS DISPONIBILIDAD
(por 4 kg. de producto)
Harina Grasas
12 tazas
3 tazas
9/2 tazas
3/2 tazas
2 cucharadas 12 cucharadas 3 cucharadas 4 cucharadas
b1 tazas
b2 cucharadas
Huevos
0
3
1
1
b3
Azúcar
1/2 taza
3/2 tazas
1/8 taza
1 taza
b4 tazas
Leche
2 tazas
3/4 taza
1 taza
0
b5 tazas
Levadura
1 pan
0
1 pan
0
b6 panes
Utilidad por kg. de producto
C 1
C 2
C 3
C 4
Ejercicio 3: Formule el siguiente problema de preparación de dietas Gass (Gass, S. I. “An illustred guide to Lineal Programming” ). Una madre desea que sus niños obtengan ciertas cantidades de elementos nutritivos de sus cereales de desayuno. Los niños pueden escoger entre comer Tronados o Dorados, o una mezcla de los dos. De su desayuno deben obtener, cuando menos, 1 mg de tiamina, 5 mg de niacina y 400 calorías. Una onza de Tronados contiene 0,10 mg de tiamina, 1 mg de niacina y 110 calorías; 1 onza de Dorados contiene 0,25 mg de tiamina, 0,25 mg de niacina y 120 calorías. Una onza de Tronados cuesta 3.8 pesos y 1 onza de Dorados de 4.2 pesos. Hallar el modelo que representaría al sistema real, con su funcional. Realizar la representación gráfica. Resolverlo por Método Simplex. Interpretar la tabla óptima, elaborando el informe correspondiente.
Ejercicio 4: Un fabricante de muebles desea determinar cuántas mesas, sillas, escritorios y libreros debe hacer para optimizar el uso de sus recursos disponibles. En estos productos, se utilizan dos tipos de madera diferente y tiene en existencia 15.000 pies del primer tipo y 10.000 pies del segundo. Para hacer el trabajo total cuenta con 800 horashombre. Su pronóstico de ventas más sus órdenes pendientes de entrega hacen necesario fabricar, al menos, 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y no más de 10 libreros. Cada mesa requiere 3 horas-hombre para ser fabricada, una silla requiere 2, un escritorio 5 y un librero 10. A su vez, se necesita por cada mesa 15 pies de madera del primer tipo y 5 pies del segundo, por cada silla se necesitan 8 pies de madera del primer tipo, mientras que cada escritorio necesita 7 pies de cada tipo de madera. Los libreros requieren 10 pies del segundo tipo por unidad. El fabricante obtiene una utilidad total de $1.200 por mesa, $500 por silla, $1.500 por escritorio y $1000 por librero. Escriba la formulación completa de este problema, en términos de maximizar la utilidad. Resuélvalo e interprete los resultados.
Ejercicio 5: Una organización fabril tiene centros de distribución localizados en Atlanta, Chicago y la ciudad de Nueva York. En esos centros tiene disponibilidades de 40, 20 y 40 unidades de su Lic. Mabel SHARPE
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producto, respectivamente. Sus detallistas requieren los siguientes números de unidades para cada una de sus localidades: Cleveland, 25 unidades; Louisville, 10 unidades; Memphis, 20 unidades; Pittsburgh, 30 unidades y Richmond, 15 unidades. El costo de transporte por unidad, expresado en dólares, entre cada centro y las localidades de los detallistas, está dado en la siguiente tabla:
Cleveland
Louisville
Memphis
Pittsburgh Richmond
Atlanta
55
30
40
50
40
Chicago
35
30
100
45
60
Nueva York
40
60
95
35
30
Se pide: a. Formular el modelo que representaría al sistema real, con su funcional. b. Resolver en forma analítica. c. Interpretar la tabla óptima y elaborar el informe.
Ejercicio 6: El Banco BANSUD está desarrollando una política de préstamos por un máximo de $12 millones. La tabla siguiente muestra los datos pertinentes acerca de los distintos tipos de préstamo. Tipo de Préstamo Tasa de Interés % de Deuda Impagable
Personal Automóvil Casa Agrícola Comercial
0,140% 0,130% 0,120% 0,125% 0,100%
0,100% 0,070% 0,030% 0,050% 0,020%
Las deudas impagables no se recuperan y no producen ingresos por intereses. Para competir con otras instituciones financieras, se necesita que el banco asigne un mínimo de 40% de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales. Para ayudar a la industria de la construcción de la región los préstamos familiares deben ser iguales, cuando menos, al 50% de los préstamos personales, para automóvil y para casa. También el banco tiene una política explícita que no permite que la relación general de préstamos impagables entre todos los préstamos sea mayor que 4%. Se pide: a. Plantear las condiciones del modelo. b. Resolver utilizando Método Simplex. c. Interpretar la solución mediante el correspondiente informe.
Ejercicio 7: Se desean invertir 2 millones de dólares en 6 tipos de inversión cuyas características son las siguientes:
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Programación Lineal – Guía de Trabajos Prácticos Tipo de Inversión 1 2 3 4 5 6
Factor de Plazo Promedio 8.5 9.0 8.5 14.3 6.7 13.0
Inversión Anual (%) 0.02 0.01 0.38 0.45 0.07 0.35
Riesgo de Inversión 8 2 5 2 2 4
El factor de riesgo indica la probabilidad de que el rendimiento real sea inferior al esperado. Se considera ventajoso un período promedio ponderado de inversión de cuanto menos 5 años; pero el factor promedio ponderado de riesgo no debe ser superior a 0.20. La ley prohíbe que la suma de las inversiones de los tipos 4 y 6 sea mayor al 25% del monto total de la inversión. Formule un modelo de P.L para decidir cómo invertir el dinero disponible, con el fin de maximizar el rendimiento de los 2 millones de dólares. Resuelva y confeccione el informe correspondiente.
Ejercicio 8: Una compañía manufacturera local produce cuatro productos metálicos diferentes que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. Los requerimientos de tiempo (en horas) por unidad, son los siguientes: Horas de Maquinado
Horas de Pulido
Horas de Ensamble
Producto 1
3
1
2
Producto 2
2
1
1
Producto 3
2
2
2
Producto 4
4
3
1
La compañía dispone semanalmente de 480 horas para el maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinación de los productos 1, 2 y 3, según sea la producción, y un máximo de 25 unidades del producto 4. Se pide: a. Formular el modelo y resolverlo. b. Interpretar económicamente la solución obtenida.
Ejercicio 9: La Empresa América S.A. produce dos tipos de fertilizantes agrícolas, DAP y MAP. El DAP está compuesto de 25% de ingredientes activos y 75% de ingredientes inertes, mientras que el MAP contiene 40% de ingredientes activos y 60% de ingredientes inertes. La capacidad de bodega limita los inventarios a 500 toneladas de ingredientes activos y 1.200 toneladas de ingredientes inertes, y las bodegas se cargan completamente una vez a la semana. El DAP es similar a otros fertilizantes en el mercado y tiene un precio competitivo de $250 por tonelada. El precio del producto MAP, más exclusivo, es de $350 por tonelada. Lic. Mabel SHARPE
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Se pide: a. Formular el modelo que permita maximizar el ingreso bruto semanal. b. Resolver gráficamente. c. Hallar la solución analítica y elaborar el informe correspondiente.
Ejercicio 10: Se fabrican dos productos, A y B, que requieren dos operaciones de maquinado para estar en condiciones de ser vendidos. Estas operaciones se realizan en tres equipos diferentes, según se indica en la tabla adjunta. La operación 2 puede efectuarse en horas normales de equipo 2, en horas extras del mismo equipo, o usando en cambio el equipo 3. En la tabla también se indican las disponibilidades de cada uno de los equipos, expresadas en horas, y la utilidad de cada producto según el método de producción seguido, expresada en $/1.000 piezas. Tiempos de Producción (horas/1000 piezas)
disponible
Operación
Equipos
1
1
2
2
2
5
5
5
1.000
2
2
3
-
-
8
-
-
600
2 (extr.)
-
3
-
-
8
-
200
3
-
-
4
-
-
10
800
1.400
1.300
Utilidad
Producto A
Tiempo
($/1.000 p) 850
600
Producto B
700 1.600
(horas)
Se pide: a. Construir el modelo matemático que responde al anunciado dado, en forma canónica y estándar. Medida de eficiencia: Máxima utilidad para la empresa. b. Presentar el informe correspondiente.
Ejercicio 11: Es necesario alimentar racionalmente un rebaño de cabezas de ganado. La alimentación debe contener, imprescindiblemente, cuatro componentes nutritivos: fósforo, potasio, magnesio y vitaminas. Se encuentran disponibles en el comercio dos alimentos, A y B, cuyas propiedades son: - Un kilogramo de alimento A contiene 100 gramos de fósforo, 100 gramos de magnesio y 200 gramos de vitaminas. - Un kilogramo de alimento B contiene 100 gramos de potasio, 100 gramos de magnesio y 200 gramos de vitaminas. Cada animal debe consumir, como mínimo, 400 gramos de fósforo, 600 gramos de potasio, 2.000 gramos de magnesio y 1.700 gramos de vitaminas por día. El alimento A cuesta $10 el kilogramo y el alimento B cuesta $4 el kilogramo. Se pide: a. Resolver en forma gráfica y analítica. b. ¿Cómo se modifica el planteo del problema si se limitan las disponibilidades de los alimentos A y B a 3000 y 7.000 kg respectivamente, el número total de cabezas de Lic. Mabel SHARPE 5
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ganado es de 10.000, y manteniendo el consumo por cabeza en 5 kg. de alimento diarios como máximo? Presentar el modelo modificado. c. Presentar el informe para ambos puntos.
Ejercicio 12: Un fraccionador de whisky importa el licor en tres distintas graduaciones: M, N y P. Mediante la mezcla de éstos, de acuerdo con sus fórmulas, se obtienen los whiskys de marcas comerciales llamadas Glenn, Finn y Markus. Las citadas fórmulas especifican las siguientes relaciones entre l os elementos a mezclar: Marca
Especificación
Precio de venta $/litro
Glenn
No menos del 70%de M
700
No más del 20% de N Finn
No más del 50% de P
600
No menos del 20% de M Markus
No más del 40% de P
420
Se conocen, asimismo, las disponibilidades y precios de los licores M, N y P, que se indican en el siguiente cuadro (se supone que estos licores se encuentran en tanques, ya comprados). Tipo
Litros disponibles Precio de compra $/litro
M
3.000
600
N
2.500
500
P
1.800
400
Se desea definir la composición de cada marca para obtener el máximo beneficio. Nota: el
problema anterior se conoce en P.L como “formulación de mezclas”, está vinculado al Nº11, sólo que en este caso se deben encontrar las cantidades de cada licor que integran los whiskys, mientras que en el caso anterior, la mezcla ya está dada.
Ejercicio 13: Una empresa de productos alimentarios desea programar su producción de conservas. Existen tres tipos básicos de las mismas, que siguen el siguiente proceso: -
Fabricación de pastas en cocinas. Envasado en llenadoras semiautomáticas. Incubación (las latas deben permanecer en depósito durante 15 días a 36º C de temperatura, a fin de verificar las condiciones sanitarias del producto). Se dispone de una hojalatería que provee a la planta de los envases necesarios.
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Datos sobre capacidad e insumos: -
Fabricación de pastas: la instalación permite llegar a 1.200.000 latas mensuales de productos A, B y C. Línea de envasado: funcionan dos equipos idénticos durante dos turnos de ocho horas. Se trabaja cinco días por semana. Un 10% del tiempo disponible debe considerarse perdido en mantenimiento, reparaciones, preparación, etc. La velocidad de llenado es la siguiente: Producto A Producto B Producto C
minutos/lata -
0,05
0,08
0,1 3
Incubación: la capacidad de la instalación es de 150m . Las latas permanecen allí durante 15 días luego de su elaboración. El volumen ocupado por las latas es el siguiente: Producto A Producto B Producto C 3
m /100 latas -
0,03
0,06
0,08
Hojalatería: funciona una línea continua durante un turno diario de ocho horas, cinco días por semana. Un 10% del tiempo disponible se considera perdido por idénticas razones a las consideradas en el caso de las llenadoras. El tiempo de producción de cada tipo de lata es el siguiente: Producto A Producto B Producto C
minutos/lata -
0,01
0,02
0,03
Comercialización de los productos: La demanda máxima conjunta de los productos A y B es de 600.000 latas/mes. No existe límite superior para la demanda de producto C, pero se sabe que de este producto deben entregarse a un cliente, por lo menos, 40.000 latas/mes. El margen de contribución a gastos generales de cada producto es el siguiente: Producto A Producto B Producto C
$/lata
25
30
10
Se pide: a. Identificar hipótesis, variables reales y slacks y dar el significado físico-económico de dichas variables. b. Formular matemáticamente el problema para: 1. Hacer máximo el margen de contribución a gastos generales de la Empresa. 2. Hacer máximo el volumen físico de producción (medido en latas). 3. Hacer máximo el uso de los equipos.
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Ejercicio 14: La fábrica de pinturas Pintalux desea mejorar sus beneficios mediante una programación adecuada de su producción. La fábrica elabora tres tipos de pinturas mediante el siguiente proceso: La pintura está compuesta de dos elementos fundamentales: los pigmentos, que le otorgan color y poder cubriente, y el vehículo, que es el componente incoloro necesario para la formación de una película que le otorgue la elasticidad, la dureza y el brillo requeridos. La fabricación comienza con la mezcla de los pigmentos con parte de los vehículos, hasta obtener la consistencia adecuada para la molienda. Efectuada la mezcla, se prosigue con la molienda, operación mediante la cual se logra una adecuada dispersión de los pigmentos y una distribución homogénea. Se emplean en esta operación molinos a bolas, en los que la mezcla, juntamente con cierta cantidad de bolas de material cerámico o de acero, gira durante varias horas hasta conseguir la dispersión deseada. Una vez molido el material se procede al adelgazamiento, operación que consiste en agregar la cantidad de vehículos y solventes faltantes. Finalmente, se efectúa el ajuste de color necesario. Durante la fabricación, y luego de terminada ésta, se realizan sucesivos y variados controles con la finalidad de asegurar y verificar que el producto final responda a las especificaciones prefijadas. Cumplido este proceso, se procede al envasado. Tiempos de proceso y capacidad de equipos: Proceso
Mezcla rápida
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Disponibilidad horas/mes
1
0,8
2
1.000
3,5
1,5
5
1.500
Adelgazado
3
2
1
1.800
Envasado
1
1,5
2,5
1.000
Molienda
Los datos están dados en horas/1.000 litros. Existe una demanda máxima mensual conjunta para los productos 1 y 2 de 600.000 litros/mes; la demanda mínima que debe satisfacerse con los tres productos es de 300.000 litros/mes. Margen de contribución a gastos generales de los productos ($/100 litros): Producto 1 Producto 2 Producto 3
50
40
100
Se pide: a. Establecer las hipótesis que permitan modelar el problema. b. Dar el significado físico-económico de las variables reales y slacks del problema. c. Construir el modelo matemático y establecer como medida de eficiencia la maximización de la contribución marginal total de la empresa a gastos generales. Lic. Mabel SHARPE
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Ejercicio 15: Nota: una
de las aplicaciones más tempranas y hoy más difundidas de la Programación Matemática es el caso de las refinerías de petróleo. Existen desde hace más de cien años consultoras que elaboran la planificación de una refinería partiendo de una estructura general que se ajusta a las condiciones particulares del cliente. Los modelos de refinación -integrados en muchos casos con los de suministro de crudo y distribución de productos- son, por lo tanto, una de las aplicaciones frecuentes descriptas en la bibliografía y que se encuentran en el mundo real. El ejercicio siguiente es una muestra simplificada de estos casos:
Una empresa petrolera elabora naftas normal y extra mezclando tres componentes distintos. La empresa pretende determinar cómo mezclar o combinar los tres componentes para obtener las dos naftas de manera que se maximicen las utilidades. Componente
$/litro
Disponibilidad
1 2 3
0.30 0.35 0.49
50000 100000 100000
Las especificaciones siguientes restringen las cantidades de cada componente que se puede utilizar en cada nafta: Nafta Común: No más de un 40% del componente 1. Por lo menos un 30% del componente 2. Por lo menos un 20% del componente 3.
Nafta Súper: No más de un 25% del componente 1. No más de un 40% del componente 2. Por lo menos un 35% del componente 3.
Los compromisos actuales de la refinería con las estaciones de servicio requieren que la empresa elabore por lo menos 100 000 litros de nafta común. Se pide: a. Establecer las hipótesis que permiten modelar el sistema real. b. Identificar las variables reales y slacks. c. Construir el modelo matemático del sistema real descripto. Establecer como medida de eficiencia la maximización del ingreso total de la refinería. d. ¿Convendría comprar 10 000 litros de nafta común a $0.9 el litro a una refinería de la competencia a fin de satisfacer el requerimiento mínimo establecido por el mercado? En tal caso, ¿cuál sería el monto máximo que se podría pagar, por encima de los $0.9?
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Ejercicio 16: En la sección Larga Distancia de una central telefónica, se ha registrado la carga de trabajo promedio a lo largo del día. En base a esta información, se han dimensionado los planteles de personal correspondientes a cada uno de los tres turnos diarios existentes. Así se obtuvo: Turno de 00.00 a 08.00:
8 operadores
Turno de 08.00 a 16.00:
10 operadores
Turno de 16.00 a 24.00:
14 operadores
De acuerdo con lo que se observa en la figura, los turnos se han dimensionado para absorber un pico que es generalmente único por turno. 16 12 8 4 0
4
8
12
16
20
24
Se pide: Construir el modelo matemático que representa el sistema físico descripto. Establecer como medida de eficiencia para este caso obtener el mejor aprovechamiento de la dotación (minimizar el número de operarios necesarios).
Ejercicio 17: Una papelera produce papel en bobinas de un ancho definido por las características de sus equipos de proceso. De acuerdo con la política de ventas de la compañía, a determinados compradores se les preparan bobinas de un ancho menor al de las bobinas estándar, por lo cual éstas deben ser cortadas para obtenerlas. Esta operación produce recortes de anchos no comercializables, con la consiguiente pérdida. Por lo tanto, la empresa desea hacer la cantidad total de recortes desechables tan pequeña como sea posible. El caso en estudio presenta una producción de bobinas de 215 cm de ancho, debiéndose cumplimentar los siguientes pedidos: Longitud pedida (m)
Ancho (cm)
18.000
64
9.000
60
9.000
35
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Programación Lineal – Guía de Trabajos Prácticos
Se aclara que los cortes deben efectuarse en sentido longitudinal y que los mismos no necesitan estar formados por una única tira. Establecer un programa de producción, valiéndose de un modelo matemático que permita hacer mínima la superficie de recortes no utilizables. Nota: los
problemas 16 y 17, constituyen situaciones típicas: en el primer caso, es un problema de nivelación de mano de obra (¿qué tipo de P.M. resulta?) y el segundo caso es de optimización de desperdicios cuando se efectúan recortes, aplicable entre otras a las industrias textiles y del papel. Los ejemplos fueron adaptados del autor Va jda, de su libro “Readings in Lineal Programming”. El problema Nº15, ha sido adaptado del libro “Introduction to Lineal P rogramming” por W.W. Garvin.
Ejercicio 18: La empresa “Supercars” vende sus autos en cuatro tamaños. Las características se pueden resumir en los siguientes tipos: -
2
Sub Compacto: Cuesta $ 4.500, se vende a $5.000, requiere 11 m de almacenamiento y 4 horas de vendedor. 2 Compacto: Cuesta $ 5.500, se vende a $6.000, requiere 15 m de almacenamiento y 6 horas de vendedor. Intermedio: Cuesta $6.500, se vende a $ 7.500, requiere 17 m2 de almacenamiento y 9 horas de vendedor. 2 Lujo: Cuesta $8.000, se vende a $9.000, requiere 19 m de almacenamiento y 12 horas de vendedor.
La compañía posee 2.400 m2 de espacio para exhibiciones. Para atraer a los clientes se deben tener por lo menos 10 autos de cada marca en exposición. La empresa tiene un capital operativo de $700.000, se mantiene abierta 225 horas por mes y cuenta con 5 vendedores. Establecer un modelo de programación matemática que permita representar al modelo físico y calcular el beneficio máximo para la empresa. Resolverlo y presentar el informe correspondiente.
Ejercicio 19: Una cooperativa establecida recientemente posee 20 acres de campo. Los productos que pretende obtener, cultivando el campo, son los siguientes: lechuga, tomates, maíz, cebollas, sandías y papas. Los últimos datos correspondientes a este tipo de cosechas pueden obtenerse de la tabla adjunta.
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Programación Lineal – Guía de Trabajos Prácticos Cultivo rinde por acre
Necesidades por acre agua (gal)
Precio de venta
costo horas hombre (u$s) por unidad U$S
Lechuga
40.000
1.100
16.000
4.000
0,49/planta
Tomates
7.000
1.300
3.500
5.000
0,59/lb
Maíz
25.000
1.500
2.000
5.000
10/planta
Cebollas
24.000
800
7.000
3.500
30/lb
Sandias
12.000
1.600
15.000
2.500
1,25/unid
Papas
20.000
1.200
1.300
3.000
0,08/lb
El costo y el valor-hora por persona incluyen la preparación de los suelos, fertilización, aplicación de insecticidas, recolección y costo de comercialización. La cooperativa pude consumir a lo sumo 21.000 galones de agua y posee 12.000 u$s de capital operativo. La disponibilidad de mano de obra está limitada a 50.000 horas-hombre. No pueden venderse en esta temporada más de 30.000 sandías. Establecer el modelo que permita hacer máxima la utilidad de la cooperativa. Indicar el significado de todas las variables que intervengan en el modelo. Resolverlo y presentar el informe correspondiente.
Ejercicio 20: Una empresa de cosmética ha elaborado la fórmula para un nuevo champú y ha preparado una campaña publicitaria para promover el producto. La Dirección ha destinado $1.500.000 para esta campaña. Los medios posibles y sus costos se describen a continuación: - Televisión en horario nocturno: Una intervención breve de 30 segundos cuesta $12.000 y alcanza a 600.000 personas. Se supone que el 1% de ellos usará el champú. - Un semanario de gran tirada: Una página completa en colores, cuesta $15.000, y llega a 400.000 personas. Se supone que el 2.5% de ellos usará el producto. - Propaganda radial: Un minuta de propaganda cuesta $7.200 y llega a 200.000 personas. Se supone que el 2,5% comprará el producto. - Revista mensual de gran tirada: Una página en colores cuesta $7.200 y alcanza a 40.000 personas. Se supone que el 3% utilizará el producto. Suponiendo que cada medio alcanza un segmento diferente de la población, de modo que el efecto es acumulativo, se desea hacer máximo el número de compradores inducidos. La Dirección insiste que la cantidad gastada al comprar la publicidad, cumpla las condiciones siguientes: - La publicidad gráfica sea al menos el 30% del total, pero no más del 70% de lo invertido en radio y T.V. - No comprar para el periodo más de 20 avisos en T.V. o 30 avisos radiales. Hay solo seis domingos (cuando el semanario llega a sus lectores) durante el periodo. La revista mensual puede llegar en dos oportunidades. Se pide formular el modelo matemático que permita hallar la mezcla más rentable de inversión publicitaria.
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Ejercicio 21: Una empresa fabrica tres tipos de sombreros. Se sabe que tres sombreros de tipo 1, dan tanto beneficio como cuatro de tipo 2 o seis de tipo 3. Un sombrero de tipo 1 necesita 1 hora de trabajo de taller, 0.3 m2 de espacio de almacenamiento y $6 de gastos de material. El tipo 2 necesita 0.75 horas de taller, 0.3 m2 de espacio y $5 de gastos. El tipo 3 precisa 0.55 horas de taller, 0.66 m2 de almacenamiento y $4 de gastos. La compañía insiste en que al menos el 30% de los sombreros sean de tipo 2. Ellos emplean 40 personas que trabajan 8 horas diarias, y el espacio de almacenamiento está limitado a 1600 m2. La compañía dispone a lo sumo $3.000 en materiales cada día. Construir el modelo matemático que permita hallar la mezcla de productos más rentable. Resolverlo y presentar el informe.
Ejercicio 22: Una bodega comercializa vinos elaborados a partir de mezclas. Ellos manufacturan y venden sus vinos bajo tres marcas: Toro Negro, La Frontera y Cinta Azul. Cada uno es una mezcla de cuatro componentes: A, B, C y D. Habitualmente se dispone de 1.200 litros de A, 1.600 litros de B, 1.000 litros de C y 1.300 litros de D. La bodega vende el producto mezclado en botellas de 750 cm3. El mercado acepta por lo menos 6.000 botellas de “Toro Negro”, 7.000 botellas de “La Frontera” y 4.500 botellas de “Cinta Azul”. Los contenidos de alcohol de A, B, C y D son 10%, 12%, 14% y 20% respectivamente. El “Toro Negro” debe contener no menos de 12% de alcohol y no más de 16%. “La Frontera” contiene como mínimo 16% de alcohol, y el “Cinta Azul” no más del 14%. La tabla de beneficios que se adjunta debe interpretarse como el beneficio resultante de incorporar una unidad de 750 cm3 de cada componente en cada tipo de vino. Por ejemplo, si se incorpora 750 cm3 de componente A en “Toro Negro”, el beneficio es $0,50. Las otras cifras deben interpretarse del mismo modo. Marca de vino Componente Toro Negro
La Frontera
Cinta Azul
A
0,5
0,35
0,55
B
0,4
0,25
0,45
C
0,65
0,5
0,7
D
0,55
0,4
0,6
Construir el modelo matemático que permita calcular cuánto debe incorporarse de cada componente en cada vino, de modo que se obtenga el beneficio máximo (definir la mezcla). Nota: Usar
dobles subíndices para establecer las variables de mezcla. Por ejemplo, llamar X A ,T al número de componente A que se incorporara en “Toro Negro”.
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Ejercicio 23: La Empresa “Inversiones Unidas” dispone de 20.000 miles de pesos para invertir. Sus opciones son las siguientes: - Comprar bonos del Estado. El retorno sobre la inversión (ROI) es 6% al año (en moneda ajustable). Esto significa que $100 invertidos hoy se convertirían en $106 en un año. Esta inversión, al estar garantizada por el Estado, no tiene riesgo de pérdida. - Comprar valores de fondos privados de inversión. Estos valores tienen una renta esperada (ROI) del 11%. Existe sin embargo un riesgo de pérdida del 4%. - Devolver una hipoteca sobre un edificio de la Compañía. La empresa debe 2.500 miles de pesos a los bancos y está pagando el 8% anual de interés. Esta obligación puede cancelarse total o parcialmente. Hay un 2% de riesgo de no poder luego vender la propiedad. - Invertir en títulos hipotecarios. El retorno sobre la inversión es del 15%, debido al incremento probable en los precios de los terrenos. Hay un 7% de riesgo de perder el capital. - Comprar valores comunes. El retorno sobre la inversión es del 10%. El riesgo de perder el capital del 6%. La compañía desea maximizar el retorno sobre la inversión. Por ejemplo, si invierte 8.000 miles de pesos en hipotecas y 12.000 miles de pesos en valores comunes, su riesgo promedio sería: 8.000 7 12.000 6 8.000 12.000
6,4%
La empresa no quiere trabajar con un riesgo de más del 5%. Construir el modelo matemático que permita responder a las condiciones planteadas.
Ejercicio 24: Un mayorista compra rollos de 2 m. de ancho de papel autoadhesivo y los vende a los minoristas, luego de cortarlos en anchos de 40 cm., 60 cm., 80 cm. y 1,20 m. Este papel decorativo puede usarse, por ejemplo, en una medida de 40 cm. para forrar estantes de placard, o en 1,20 m. para proteger mesas de madera aglomerada. Comúnmente el mayorista recibe pedidos para producir 1.000 rollos de 40 cm., 1.500 rollos de 60 cm., 1.600 rollos de 80 cm. y 1.200 rollos de 1,20 m. Los rollos que tengan menos de 10 cm. de ancho no tienen valor comercial. Los excesos de producción, en cualquier tamaño, pueden almacenarse hasta llegar a 1.500 metros. Construir el modelo matemático que permita obtener la mejor distribución (mínimo de desperdicio) para satisfacer la demanda.
Ejercicio 25: La empresa Radio Lux ha colocado una orden para comprar 20.000 unidades de radios banda ciudadana, y 12.000 unidades de radios para largo alcance (onda corta). El contratista, Alfa Radio, no puede enviar el total de la orden solicitada, sin embargo otra empresa, Gamma Radio, puede venderle a Alfa Radio las unidades solicitadas a los precios de $85 por unidad en banda ciudadana y $109 por unidad de largo alcance. Lic. Mabel SHARPE 14
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La Dirección de Alfa radio debe resolver cuantas unidades fabricará y cuantas adquirirá en Gamma radio. Los detalles del costo de manufactura se detallan en la tabla siguiente. Alfa radio recibirá de Radio Lux $95 por cada radio de banda ciudadana y $120 por cada radio de largo alcance. Horas hombre
necesarias por unidad
banda ciudadana
largo alcance
Horas hombre disponibles propias
Producción
3
4
90.000
Inspección
0,5
0,75
17.000
Envase
0,75
0,25
7.500
Costo unitario $/radio
80
100
Departamento
Formular el modelo matemático que permita, mediante su solución, establecer la mezcla más conveniente para Alfa radio. Resolverlo y presentar el informe.
Ejercicio 26: Las enfermeras de un hospital trabajan normalmente seis horas por turno. Por ejemplo, una enfermera comienza a trabajar a las 16 hs. y se libera a las 22 hs. El salario que recibe es $5 por hora. El administrador del hospital ha dividido cada día en 8 periodos de 3 horas cada uno. El número mínimo requerido en cada periodo se muestra, expresado en horas, en la siguiente tabla. Observe que el periodo 1 sigue al periodo 8, o sea, los períodos son cíclicos. Periodo Desde Hasta Número requerido
1
7
10
30
2
10
13
50
3
13
16
60
4
16
19
50
5
19
22
35
6
22
1
35
7
1
4
30
8
4
7
25
Las enfermeras pueden trabajar horas extras, a un costo de 8 $/hora, pero si se las contrata deben cumplir las tres horas del turno. Construir el modelo matemático que permita establecer el número de enfermeras que ingresan a las 7, 10, 13, etc. ¿Cuántas enfermeras deberán trabajar horas extras? El objetivo es hacer mínimo el costo de operación del hospital. Nota: Indicar
con X j el número que comienza a trabajar al inicio del periodo j, y E j las que trabajaran en horas extras.
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Ejercicio 27: El Directorio de una empresa que realiza servicios en domicilios, desea efectuar un estudio para evaluar con cuantos clientes puede contar. En la tabla se muestran las probabilidades de éxito luego de efectuar la entrevista para obtener nuevos clientes. Los estudios se realizan en la mañana, tarde y fines de semana. Se ofrecen también el número de entrevistas que deben cumplirse en cada segmento.
Segmento
Probabilidad de éxito Mañana
Tarde
Nº mínimo Fines de semana de entrevistas
Solteros Familias en Departamentos Familias en Casas
0,1
0,5
0,3
75
0,3
0,7
0,4
125
0,4
0,7
0,8
200
Ancianos
0,8
0,8
0,9
50
Cada vez que se visita un hogar, se puede obtener una respuesta favorable o no. Una visita en el fin de semana cuesta dos veces más que a la mañana o tarde. Para asegurar representatividad a la muestra se desea que al menos el 20% de las visitas se efectúen en el fin de semana, también debe cumplirse que las visitas en la mañana sean un 30% superior a las realizadas en la tarde, por lo menos. Determinar mediante un modelo de P.L. cuantas visitas deben realizarse en cada categoría para hacer mínimo el costo del estudio (cumpliendo las restricciones planteadas por el modelo).
Ejercicio 28: Una empresa de electrónica fabrica 3 tipos de t elevisores. Para los próximos tres meses se conoce el pronóstico de ventas, que se adjunta a continuación: Mes Tipo de televisor
1
2
3
1
2.000
1.500
1.500
2
1.200
1.500
1.000
3
900
800
500
Suponemos que el pronóstico se cumplirá exactamente. En la actualidad hay 100 aparatos de cada tipo en stock (inventario actual). La Dirección quiere mantener (o exceder) ese nivel al final de cada mes. Para cada mes se dispone de 11.000 días-hombre de trabajo con un costo de $50 el día-hombre. Un conjunto tipo 1, lleva 2,5 días-hombre de producción, el tipo 2 necesita 3 días, el tipo 3 lleva 4 días. Debido a las condiciones del mercado, la empresa no quiere producir ningún televisor del tipo 3, en el 3º mes (se desmantelará la línea de producción en ese mes). Existe un costo de almacenamiento que implica erogar $5 por televisor que queda en stock al fin de mes.
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Se pide: a. Construir el modelo matemático del sistema real, para una medida de eficiencia que haga mínimo el costo de la empresa. b. Resolverlo y presentar el informe correspondiente.
Ejercicio 29: Una refinería obtiene tres tipos de fuel-oil, F1, F2 y F3, mezclando adecuadamente cuatro tipos diferentes de gasolina cruda que produce, C1, C2, C3 y C4. Se venden al exterior todos los tipos de fuel-oil, y también la gasolina cruda que no se utiliza para la producción de los mismos. Se conocen los siguientes datos: Gasolina cruda
Calidad (octanos/barril) 68 86 91 99
C1 C2 C3 C4
Fuel
F1 F2 F3
Producción (barriles/día) 4000 5050 7100 4300
Calidad mínima(octanos/barril) 95 90 85
Costo (U$D/barril) 1.02 1.15 1.35 2.75
Precio de venta (U$D/barril) 5.15 3.95 2.99
Demanda (nro. de barriles) 10000/día, a lo sumo Vende todo lo que produce 15000/día, al menos
La gasolina cruda la puede vender a U$D 2.95 el barril si el número de octanos es mayor o igual a 90, y a U$S 1.85 si es menor de 90. Se pide: a. Plantear un modelo que maximice el beneficio total por ventas. b. Resolverlo y presentar el informe correspondiente.
Ejercicio 30: Una empresa cuenta con dos fábricas que manufacturan indistintamente 2 productos con rendimientos diferentes. Los insumos principales pueden reducirse a: - Materia prima - Mano de obra - Gastos variables generales - Gastos fijos (de estructura) Los valores unitarios (medidas en $/unidad de producto) se muestran en la siguiente tabla:
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Programación Lineal – Guía de Trabajos Prácticos Fábrica 1
Fábrica 2
Disponibilidad máxima
P1
P2
P1
P2
(en $)
Materia prima
10
17
16
22
270.000
Mano de obra
6
9
7
2
190.000
Gastos variables
4
6
2
2
500.000
Gastos fijos $/mes Precio de venta $/u Capacidad máxima (u)/mes
100.000 60.000 190.000 117.000 32
47
32
47
3.500
7.000
14.000
13.000
300.000
Cant. demandada máxima (u) 10.000 18.000
Se pide: a. Plantear un programa matemático que maximice el beneficio total. b. ¿Cómo modifica al planteo la incorporación de las siguientes condiciones?: 1. Introducción de un impuesto a las ganancias que se paga al final del periodo (33% del beneficio total). 2. Incorporar la desgravación de materia prima (se considera ésta como un costo duplicado). 3. Agregado de una fabrica 3 con los mismos datos que la segunda. 4. Posibilidad de anular la fabrica 2 (sólo para el Producto 1, iguales gastos proporcionales). 5. Posibilidad de sustituir una fábrica con un contratista externo a un costo 20% superior al de la fábrica 1 en los proporcionales, y una prima del 10% como beneficio para el mismo.
Ejercicio 31: Un florista se dedica a comprar flores al por mayor en un mercado. Con esas flores arma ramos que vende a sus clientes. Los precios actuales, por cada ramo de flores, así como la cantidad de flores de cada uno, son los siguientes: Tipo de flor
$/atado
Cant. flores/atado
Rosas de tallo largo Rosas amarillas Rosas rojas Crisantemos Margaritas
20 20 10 5 3
20 50 50 100 100
Los ramos que arma el florista son una creación propia. Arma siete tipos de ramos, y para cada uno definió una composición, basada en la cantidad y tipo de flores, y estudió cuál podría ser la demanda máxima diaria. Esto se refleja en el siguiente cuadro:
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Tipo de ramo
Demanda máxima (estimada)
Rosas tallo largo Rosas amarillas Rosas rojas Crisantemos Ramos chicos
650 350 250 600 1100
Precio de venta ($ por ramo o $ por unidad) 3 10 8 3 2
Ramos medianos
990
4
Ramos grandes
625
6
Composición del ramo
Por unidad Ramo de 9 rosas Ramo de 7 rosas Ramo de 18 crisantemos 6 crisantemos y 8 margaritas 10 crisantemos, 10 margaritas y 2 rosas rojas 15 margaritas, 10 crisantemos y 5 rosas amarillas
Se pide: a. Armar un modelo que maximice el beneficio total. b. Resolver el problema y presentar el correspondiente informe.
Ejercicio 32: Para la fabricación de los artículos A1 y A2 es dispone de 500 hs/hombre mensuales, utilizándose 2 hs y 4 hs respectivamente por unidad de producto. La demanda global de ambos productos es de 200 unidades mensuales. La sección Envase puede procesar como máximo 100 unidades de A2, no existiendo limitación para A1. El precio de venta de cada unidad de producto es de $100, para cualquiera de los dos; sus costos variables ascienden a $80 y $60 respectivamente. Se pide: a. Determinar un programa óptimo de producción mensual que maximice el beneficio. b. Resolver en forma gráfica. c. Resolver en forma analítica. d. Presentar el informe correspondiente.
Ejercicio 33: Una fábrica produce dos tipos de alfajores: A1, de chocolate amargo y A2, mezcla de chocolate amargo y blanco. Cada alfajor insume 20 gr. de chocolate. El alfajor mezcla lleva igual cantidad de ambas clases. Se dispone de 10 kg. de chocolate amargo y 6 kg. de chocolate blanco. La máquina que envasa lo hace a razón de 300 alfajores/hora, con un máximo de 3 hs. diarias. La contribución marginal es de $3 y $2 para A1 y A2 respectivamente. Determinar el programa óptimo de producción que maximice la contribución marginal de la fábrica. Resolverlo y presentar el informe correspondiente.
Ejercicio 34: Un estudiante debe preparar dos exámenes: matemática y contabilidad, para lo que dispone de 40 hs. Estima que cada hora dedicada a matemática le rinde 0,25 puntos y a contabilidad 0,5 puntos. Ambas se aprueban con puntaje mínimo 4. Determinar el programa de estudio que maximice el promedio general.
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Ejercicio 35: Se dispone de $10.000 para invertir en dos empresas (A y B), que reditúan el 50% y el 40% respectivamente sobre el capital invertido. Dichas utilidades se hallan gravadas con una tasa impositiva del 40% y 10%, en ese orden. Existe un compromiso de aporte obligatorio mínimo en B de $2.000. Por razones de vinculación económica, la inversión en B no puede superar en su monto a la inversión en A. Determinar el programa óptimo de inversión.
Ejercicio 36: Para preparar una dieta óptima se dispone de dos ingredientes (I1 y I2). El análisis químico determinó que contienen tres tipos distintos de nutrientes, N1, N2 y N3, por cada kilo, a saber: 4 gr. de N1, 7 gr. de N2 y 1,5 gr. de N3 para I1; 8 gr. de N1, 2 gr. de N2 y 5 gr. de N3 para I2. La empresa consigue en el mercado I1 a $3.00 el kilo y el I2 a $4.00. Así mismo se determinó el contenido mínimo de nutrientes para que la dieta sea eficaz: 32 gr de N1, 14 gr de N2 y 25 gr. de N3. Se pide: a) Elaborar el programa óptimo que minimice el costo. b) Si la empresa se ve obligada a incorporar un nuevo nutriente con coeficientes de 1,5 y 5 gr. y un requerimiento mínimo de 18 gr. determinar qué efectos produce en la solución óptima.
Ejercicio 37: Una empresa dedicada a la fabricación de cosméticos ha decidido lanzar al mercado un nuevo tipo de crema anti-age. El gerente de publicidad debe determinar el número óptimo de anuncios de cada uno de los medios de información seleccionados, a los efectos de minimizar el costo de llegar como mínimo a 15 millones de clientes potenciales, de los cuales 12 millones deberán tener necesariamente ingresos superiores a $10.000 por año. Para ello, se ha confeccionado el siguiente cuadro indicado los medios de información seleccionados, con los datos referentes a las variables en cuestión. MEDIO
COSTO POR AVISO (miles de $)
ALCANCE
CON ING. SUP. A $10.000/año
(millones de personas)
Revista Gente
15
1
0,5
Radio del Plata
25
4
1
Canal 13
10
1
0,5
Ejercicio 38: Para la fabricación de dos productos se utilizan tres insumos según los valores consignados en la siguiente matriz: Lic. Mabel SHARPE
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Producto Insumo
P1
P2
Disponibilidad
1
5
10
80
2
40
20
360
3
10
10
100
Beneficio
2
3
En base a esta información se pide: 1. Determinar el programa óptimo de producción que maximice el beneficio. 2. Resolver en forma gráfica y analítica. 3. Presentar el correspondiente informe. 4. ¿Cuánto debe fabricarse de cada producto para utilizar la totalidad de los insumos 2 y 3? 5. ¿Cuál es la cantidad máxima que puede fabricarse del producto 1? 6. ¿Las disponibilidades de qué recursos podrían disminuirse sin modificar el beneficio máximo? ¿en cuánto y por qué? 7. ¿Cuáles son los recursos saturados? ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por una unidad más de ellos? ¿Por qué? 8. ¿Podrían utilizar el total de las disponibilidades de los tres insumos? ¿Por qué? 9. Si el beneficio del producto 2 se mantiene constante, ¿cuál debería ser el del producto 1 para que existan soluciones alternativas? 10. Si el beneficio del producto 1 se mantiene constante, ¿cuál debería ser el del producto 2 para que convenga fabricarlo exclusivamente? 11. Si el precio de ambos productos varía en igual proporción, ¿se modifica la solución óptima? ¿Cómo y por qué?
Ejercicio 39: Tasmania es una empresa que se dedica a fabricar muñecos de peluche. El directorio de la compañía desea planificar la producción de sus muñecos para los próximos dos meses. Cada muñeco insume 2 horas en el sector costura y 1,5 kg. de materia prima. Por mes se puede dispones de 150 kg. de materia prima y 800 horas de costura. El primer mes, la empresa se comprometió a entregar 70 muñecos y el segundo mes la entrega asciende a 110 muñecos. Puede vender más de lo pedido, pero no menos. Cada muñeco es vendido a $25, y se incurren en $18 de costos totales por cada uno de ellos. Se pide: a. Construir un modelo para lograr una planificación que maximice el beneficio. b. Resolverlo en forma gráfica. c. Resolverlo en forma analítica y presentar el informe correspondiente.
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