Descripción: elaboración y análisis del método de kani
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Metodo de KaniDescripción completa
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METODO DE KANI Calculadora HP-50G Vs Hoja de Cálculo en Microsoft Excel El link del blogger: http://renzochavezhurtado.blogspot.com/ MANUAL HECHO POR: RENZO XAVIER, CHÁVEZ HURTADO
Marco teórico…………………………… teórico……………………………………………………… ……………………………………………3 …………………3
Deducción de ecuaciones fundamentales de kany………………………………………7 jem!lo …………………………………………………………………….. ……………..2" #onclusiones…………………………………………………………………………2$ %iblio&raf'a……………………………………………… %iblio&raf'a…………………… ……………………………………………………27 …………………………27
2
Introducción El presente estudio describe dos procedimientos iterativos de análisis estructural en régimen lineal y teoría de primer orden que permiten estudiar de manera aproximada y exacta determinados emparrillados planos y espaciales con varios desplazamientos independientes sin tener que resolver sistemas de ecuaciones. Con el procedimiento aproximado se consiguen unos resultados sucientemente precisos realizando pocas iteraciones! siendo el error cometido estimable en todo momento. En el procedimiento exacto se utilizan dos tablas de aplicaci"n simple! práctica y #ácil de ser implantadas manualmente en una aplicaci"n in#ormática. Con dic$as tablas se obtienen las de#ormadas realizando un n%mero de operaciones menor que el requerido por el álgebra matricial
Objetivos • • •
#onocer las a!licaciones del m(todo de kany #onocer los usos y beneficios de este m(todo Determinar las a!licaciones en vi&as y !órticos
M)*#O +,*I#O 3
l m(todo de -ani es un !roceso iterativo /ue a !artir de las ecuaciones de !endiente deformación y la relación entre los momentos y a!licados en los e0tremos de una vi&a 1oniendo al alcance del estudio demostraciones !ormenoriadas sobre lo /ue emos denominado e0!resiones o ecuaciones fundamentales de -ani !ara las influencias de las rotaciones de las juntas en los momentos llamadas M4i j y !ara las influencias en los momentos !or los &iros de los miembros columnas considerados como cuer!os r'&idos llamadas M44i j . stos !rocedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotación !ara una estructura o sistema estructural del ti!o fundamentalmente llamado 1órtico 1lano !or medio de a!ro0imaciones sucesivas /ue se corri&en tambi(n sucesivamente. 1or tanto es im!ortante recordar las i!ótesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotación como son5 a6 l material es omo&(neo isótro!o y se com!orta como lineal elstico es decir todo el material es de la misma naturalea tiene id(nticas !ro!iedades f'sicas en todas las direcciones y las deformaciones e /ue sufre son directamente !ro!orcionales a los esfueros b6 l !rinci!io de las deformaciones !e/ue8as /ue se8ala /ue una ve car&ada la estructura las deformaciones o des!laamientos lineales y an&ulares de las juntas o nodos y de cada uno de los !untos de sus miembros son bastantes !e/ue8os de tal manera /ue la forma de ella no cambia ni se altera a!reciablemente c6 l !rinci!io de su!er!osición de efectos /ue su!one los des!laamientos y fueras internas totales o finales de la estructura sometida a un conjunto o sistema &
de car&as se !ueden encontrar !or la suma de los efectos de cada una de las car&as consideradas aisladamente d6 9olo se !ueden tomar en cuenta los efectos de !rimer órden como son5 :as deformaciones internas !or fle0ión siem!re mientras /ue las !or fuera a0ial y torsión as' como la e0istencia de se&mentos r'&idos se !ueden tomar en cuenta o no.
M(todo de ;as!ar -ani en la resolución de vi&as i!erestticas de
>.? n este !rimer !aso !ara la solución de vi&as i!erestticas !or medio de este m(todo lo !rimero /ue !rocedemos a realiar es el clculo de los momentos de em!otramiento !erfecto en los tramos en /ue se encuentra la vi&a tomando en cuenta los a!oyos /ue conten&a. )l i&ual /ue tenemos /ue tomar en cuenta la car&a y de cómo este distribuida en la vi&a.
2.? #omo se&undo !aso se !rocede a calcular las ri&ideces /ue e0isten en cada tramo de la vi&a ya /ue no siem!re sern del mismo material y !ara ello se utilia una formula en la cual se describe tanto el módulo de elasticidad y el momento de inercia en los tramos a calcular su ri&ide.
3.? #omo tercer !aso en la resolución de la vi&a se lleva a cabo el clculo de los factores de distribución !ara cada tramo o nudo en /ue se est calculando la vi&a '
tomando los valores obtenido en el caculo de la ri&ide. 1ara ello se utilia la si&uiente fórmula5 FDij =
−1 2
(− Ri / Rj )
Dónde5 *i@ *i&ide inicial en /ue se encuentra *j@ *i&ide /ue lle&a al nudo estudiado A.? n este cuarto !aso se realia el clculo de las iteraciones !ara !oder obtener los valores delos momentos reales de los nudos y as' saber cómo se com!orta la vi&a con la car&a con /ue se est calculando. n este !aso tenemos /ue distribuir los valores obtenidos de los !asos anteriores y los cuales son5?l valor de em!otramiento !erfecto en cada nudo o tramo.?:as diferencias /ue e0isten en valores de momento de em!otramiento !erfecto en el nudo.?:os factores de distribución de cada tramo de la vi&a. 9e arn iteraciones asta /ue las cantidades se ciclen.
DDB##I,C D #B)#IOC9 BCD)MC+):9 D -)CI. (
> E1*9IOC9 1)*) 9+*B#+B*)9 #OC :MC+O9 F *#+O G 9##IOC #OC9+)C+. 9ea la ecuación de rotación !ara un miembro M i j @ Mi j H -O #i / i H -O # / j H -O #i H #6 j i j *edefinamos al&unos t(rminos !ara !roceder se&Jn metodolo&'a !ro!uesta !or -)CI de la si&uiente manera5 - i j @ -O # @ IO # 2 :i j 2 M4i @ 2 / i @ 1artici!ación en los momentos !or influencia del &iro /i de la junta i en los e0tremos i de los miembros /ue lle&an a ella. M4j @ 2 / j @ 1artici!ación en los momentos !or influencia del &iro / j de la junta j en los e0tremos j de los miembros /ue lle&an a ella M44i j @ M44j i @ K $j i j @ 1artici!ación en los momentos en los e0tremos i y j del miembro i j !or influencia de la rotación o &iro j i j del miembro i j. 1or lo tanto de >5 -O @ 2 - i j 6 L # o lo /ue es lo mismo5 -O @ IO L :i j 6 2L#6 donde5 IO @ Inercia de una sección de referencia !ara el miembro considerado en un !unto cual/uiera del eje del miembro usualmente la menor o en el centro del tramo o si el miembro es de sección constante es la inercia de esta sección. sta inercia !uede referirse con relación a un valor cual/uiera arbitrario seleccionado !ara toda la estructura. :i j @ :on&itud del eje del miembro o !ara sim!lificar sim!lemente @ : De tal manera /ue si el miembro es de sección constante no tiene e0tremos r'&idos y no se toman en cuenta los efectos ) de corte se tiene /ue # @ 2 !or tanto5
- i j @ -O 2L26 @ -O 9ustituyendo estas e0!resiones se obtiene /ue el Momento definitivo o final M i j en el e0tremo i de un miembro i j resulta ser5 M i j @ M i j H -i j M4i #i H M4j -i j H -i j M44i j #i H #6 De i&ual manera se obtiene la e0!resión del momento en el otro e0tremo Mj i es decir5 M j i @ M j i H -i j M4j #j H M4i -i j H -i j M44i j #j H #6 #iL# y #jL# son los inversos de lo /ue se denominan en el m(todo de #ross como actores de +rans!orte ri j @ #L#i6 del Momento de i !ara j y rj i @ #L#j6 del Momento de j !ara i res!ectivamente. -ani definió el si&uiente t(rmino como actor de corrección !ara M44i j bi @ #iH#6L 3#6 #onsideremos el caso de un miembro cual/uiera i j 6 de una estructura y su deformada final !ara el cual a!licando el !rinci!io de su!er!osición se !uede indicar sus efectos totales reales como la suma de varios casos aislados5
#aso5 9istema ori&inal real .
*
)!licando el 1rinci!io de 9u!er!osición de fectos este caso ser i&ual o !uede e0!resarse como la suma de los cuatro casos si&uientes vea las ecuaciones de rotación modificadas se&Jn -)CI
#aso5 9istema 6 Miembro con Funtas inmoviliadas.
l sistema 6 se suele llamar sistema !rimario con Momentos de m!otramiento en los e0tremos M 6 y al conjunto de los sistemas o subsistemas >626 y 36 se +
denomina usualmente 9istema #om!lementario /ue toman en cuenta los &iros de las juntas / i / j y rotación del miembro como cuer!o r'&ido j i j .
E1*9I,C BCD)MC+): D -)CI?+)-)%G) 1N) 1)*) M4i M4i @ m i M i H P -i j M4j H P -i j M44i j b i Q ...............".$a6 i 6 i 6 Donde5 m i @ K > .....".$b6 9e le llama factor de &iro 2 P -i j #i6 i 6 2# de la junta considerada. M i @ P Mi j ....".$c6 y se le denomina Momento de i 6 9ujeción del nodo o junta i /ue im!ide el &iro del mismo. b i @ #i H #6 L 3#6 ......".$d6 es el factor de corrección !ara las influencias M44i j de los momentos debidos a los &iros de los miembros j i j !ara miembros de sección variable con o sin e0tremos r'&idos yLo con o sin efectos !or corte. 9i todos los miembros /ue lle&an a una junta i son de 9##IOC #OC9+)C+ sin e0tremos r'&idos y no se toman en cuenta los efectos de corte entonces los valores de las constantes elsticas son5 #i @ #j @ A R # @ 2 resulta entonces /ue5 bi @ bj @ > R m i @ K > >
1,
MODII#)#I,C D :) *I;IDS 1)*) :MC+O9 #OC E+*MO9 )*+I#B:)DO9. De la e0!resión de la ecuación de rotación !ara miembros de sección variable !ara un e0tremo articulado considerando solo la influencia o t(rmino con / i 5 ste momento es - o / i #i K # 2 6 y como - O @ 2- i j 6L# entonces
y si ambos e0tremos son continuos este momento se&Jn e0!resión y caso5 sistema> anterior ser i&ual a - i jM4i #i6 L # 6 y como se&Jn ecuación M4i @ 2 / i es decir este momento !ara ambos e0tremos continuos ser i&ual a
I&ualando estos dos momentos ".$a6 @ ".$b6 resulta /ue la ri&ide -oi j de un miembro articulado deber multi!licarse !or un factor !ara obtener y usar en los clculos una ri&ide e/uivalente - i j como si el miembro tuviera ambos e0tremos continuos o r'&idos es decir5 11
Donde usualmente ri j @ #L#i @ actor de trans!orte Definido as' !or Tardi #ross en su m(todo de anlisis estructural6 de Momentos desde la junta i !ara la junta j o sim!lemente factor de trans!orte de i !ara j. rj i @ #L#j @ actor de trans!orte de j !ara i.
actor de corrección !ara ri&ide modificada !or e0tremo articulado. De tal manera /ue si la 9##IOC 9 #OC9+)C+ sin e0tremos r'&idos y se des!recian los efectos !or deformaciones de corte5 #i @ #j @ A R # @ 2R r i j @ rj i @ >L2 R - i j @ 3LA6 -oi j IC:BC#I) O 1)*+I#I1)#IOC C :O9 MOMC+O9 M44i j D%IDO ) :) *O+)#IOC O ;I*O D :O9 :MC+O9 j i j . n el caso de !órticos solo los elementos verticales o columnas son los /ue sufrirn &iro de miembro j ya /ue los e0tremos de los elementos oriontales se trasladan oriontalmente sin /ue ellos sufran des!laamientos verticales !or lo tanto no rotan. 1or lo antes dico solo las columnas son los Jnicos elementos de los sistemas estructurales a!orticados /ue tendrn influencias M44i j en los momentos e0tremos. sto !artiendo de la i!ótesis de las ecuaciones de rotación 12
/ue no toman en cuenta o des!recian las deformaciones debidas a las fueras a0iales. ste efecto de traslación !or des!laamientos oriontales /ue sufren las juntas de
un
!órtico
se denomina usualmente
des!laabilidad
lateral
o
sim!lemente D91:)S)%I:ID)D. *ecordemos /ue este m(todo resuelve el sistema de ecuaciones rotación !ara toda la estructura !or lo tanto se cum!len las bases del m(todo de los des!laamientos /ue descom!one los efectos del sistema real en la suma de los efectos de otros dos como indicamos a continuación5
ste
sistema
real con
sus solicitaciones e0ternas cuales/uiera 9..6 Ti!er&eom(trico es sistema
!rovocan en al&unos miembros como indicamos al !rinci!io de este !unto en las columnas &iros como cuer!os r'&idos j i j . :os momentos en los e0tremos de cada miembro se llaman usualmente momentosfinales o reales Mi j :os efectos o resultados de este sistema lo !odemos obtener !or el 1rinci!io de 9u!er!osición
1&
como la suma de los efectos de los dos sistemas /ue indicamos a continuación5
1'
#onsideremos una columna cual/uiera i?j en un !iso ! tambi(n cual/uiera y en el sistema com!lementario5
1(
9i tomamos momentos en la junta inferior j resulta5
9umando todos los cortes ueras cortantes6 de todas las columnas de un mismo !iso ! y si todas tienen la misma altura se tiene /ue5 U! @ #orte total del !iso ! @ P Ui j @ P Mi j H Mj i 6 L i j 9ustituyendo a Mi j y a Mj i !6 !6 !or sus valores se&Jn e0!resión ".Aa6 de la ecuación de rotación y como todos los miembros de una mismo !iso #olumnas6 tienen el mismo valor !ara M44i j se&Jn e0!resión ".2c ya /ue tienen los mismos D i j @ D 1 y i j @ 1 !or tanto el mismo j i j @ D i j L i j @ j 1 es decir5 j ! @ D ! L ! llamaremos a este M44i j como M44! influencias de los momentos debidas a los &iros j i j @ j ! y multi!licando y
1)
dividiendo !or tres cada miembro y como en el sistema com!lementario no ay momentos de em!otramientos se tiene /ue5
. ..........".Va6
1or lo tanto se obtiene5
Des!ejando el t(rmino con M44! resulta5
#omo se&Jn ecuación M44! @ ? $ j ! @ ? $ D ! L !. y si se multi!lica cada M44! de cada columna !or el factor -i j biHbj6 L 3 y se suman todos estos t(rminos de las columnas de un mismo !iso se obtiene5
I&ualando los se&undos t(rminos de las e0!resiones y sacando fuera los t(rminos D 1 y 1 de la e0!resión P donde ellos estn y des!ejando de a/u' el cociente D 1 L 1 se obtiene /ue5
1*
D1L1@
sustituyendo este
valor en la e0!resión de M44i j aora llamado M441 resulta5
ordenando y definiendo al&unos t(rminos nuevos se obtiene la #B)#IOC BCD)MC+): D -)CI?+)-)%G)?1N) 1)*) M44! y M44i j de la manera si&uiente5
M 44! @ M44i j @ ? $ D 1 9i todas las columnas de un mismo !iso tienen la 1 misma altura 1 Donde5
@ actor de corrimiento del !iso ! 9e calcula !ara cada !iso.
@
Momento del !iso !6. 9e calcula !ara cada !iso.
9i todas las columnas del mismo !iso tienen sección constante sin e0tremos r'&idos y se des!recian las deformaciones !or corte se tendr5 bi @ bj @ #i H # 6 L 3#6 @ #j H # 6 L 3#6 @ A H 26 L 3026 @ > biHbj6 L2 @ >H>6L2 @ > 1+
E1*9IOC 1)*) M44 1 #OC #O:BMC)9 D DI*C+9 ):+B*)9. #onsideremos el si&uiente es/uema &eneral de columnas con diferentes alturas5
Definamos el actor de corrección !or diferencia de altura !ara cada columna de un mismo !iso # i j como5 #i j > @ ! L i j > @ > R #i j 2 @ ! L i j 2 R !ara una columna k cual/uiera del !iso ! #i j k @ ! L i j k o !ara sim!lificar la nomenclatura5 #i j @ ! L i j i j @ ! L #i j Ui j @ ? Mi jH Mj i6 L i j @ ? Mi jH M j i 6 L ! L #i j 6 M44i j @ M44j i @ K $j i j @ ?$ D 1L i j @ ?$D 1L ! 6#i j @ M44! #i j as' como multi!licando y dividiendo !or tres todos los t(rminos del se&undo miembro y ordenarlos se obtiene5
2,
9um ando todos los cortes Ui j de todas las columnas de un mismo !iso !6 5
y des!ejando de esta e0!resión el t(rmino /ue contiene M441 5
como M441 @ ?$ j 1 @ ?$ D 1 L 1 Multi!licando ambos miembros de -i j #2i jbiHbj6 L 3 y se suman todos estos t(rminos de las columnas de un mismo !iso y sacando del si&no P los coeficientes constantes
!ara
el
mismo
!iso
!6
se
i&ualando los se&undos t(rminos de las ecuaciones y des!ejando D 1L! resulta5
. 21
obtiene5
9ustituyendo este valor de D 1 L ! 6 en la ecuación y multi!licando y dividiendo el denominador !or dos resulta modificada la ecuación fundamental de -ani? +akabeya?1e8a !ara M441 de la manera si&uiente5
9i i&ualamos los momentos en el e0tremo i en cada caso MW @ MWW 6 !roducidos !or los &iros del miembro j i j y j 4i j6 !ara conse&uir el valor de 4i j /ue !roduce el mismo efecto del momento M441 6 se&Jn 22las ecuaciones de rotación5
4i j i j #iH#6 m #i ncontremos una e0!resión !ara M44i j !ara columnas con un e0tremo articulado en el sistema com!lementario5
Des!ejando de (sta el t(rmino /ue contiene M44i j multi!licando y dividiendo !or tres el se&undo t(rmino y ordenando t(rminos se obtiene5
si se suman todos estos t(rminos de todas las columnas de un mismo !iso5
es decir
De e0!resión se tiene5 M44i j @ ? $-i j j i j @ ? $-i j D 4i j M44i j @ ? $ D 1 #i j @ M441 # i j 23
! Multi!licando ambos miembros de esta ecuación !or bi #i j #i H# y sumando #i todos estos t(rminos de todas las columnas de un mismo !iso !6 resulta5
9i dentro de un mismo !iso !6 e0isten columnas articuladas en e0tremos i yLo en e0tremos j yLo con e0tremos no articulados *'&idos6 y como5 M44i j @ ? $ D 1 #i j @ M44! # i j de donde M44! @ M44 i j L # i j T! se !uede decir /ue a continuación se tiene lo /ue emos denominado como5
2&
2'
XB5 m @ 3L2 R -i j @ - 3LA R y #i j @ i j 3 1ara columnas articuladas6 ! 2 m @ > R -i j @ - @ I L : y #i j @ i j L ! 1ara columnas no articuladas
2(
2)
#onclusiones •
9i
las secciones de las columnas son de sección constante no tienen
se&mentos e0tremos r'&idos y no se des!recian las deformaciones !or
• •
•
•
corte. n columnas articuladas en ambos e0tremos su ri&ide es -i j @ o :os m(todos /ue utilian :as ecuaciones de rotación como son el m(todo de las rotaciones #ross -ani y +acabeya se consideran m(todos de ri&ide. ya /ue en ellos las incó&nitas son las rotaciones de las juntas y &iros en las columnas o des!laamientos oriontales de los niveles aun/ue indirectamente se utilia el m(todo de las fueras !ara obtener sus e0!resiones y las ecuaciones de momentos de em!otramiento. l m(todo de fle0ibilidad a!licado a una estructura cual/uiera no es !rctico ya /ue cual/uier estructura comJn indeterminada tiene mucos sistemas !rimarios isostticos.
2*
%iblio&raf'a • •
)nlisis de estructuras Fairo Bribe . )!untes de anlisis estructural José
Luis Camba C. Francisco Chacón G.
Francisco Pérez. •
-nálisis anual -proximado y Exacto de /"rticos Espaciales mediante Cargas0 Agustín G. Lacort.
