REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MATURÍN
Metodo de las Fuerzas o de las Flexibilidades
Profesor: Ing. Lorenzo Mantilla Bachiller(s): Castillo, Luisangela C.I.: 18.926.166 Cátedra: Estructura II
Maturín, Junio de 2013.
Índice
Introducción…………………………………………………………………………… Método de la Flexibilidad o de las Fuerzas.
Coeficientes de flexibilidad……………………………………………….…. Compatibilidad de deformaciones externas con internas……….. Presentación del método por ecuaciones y por matrices………. Ecuaciones de desplazamiento consistente………………………….. Formulación matricial del método de carga unitaria……………… Identificar las características de las estructuras Hiperestáticas…………………………………………………………………… Elaborar diagramas de fuerzas internas de estructuras estáticamente indeterminadas………………………………………….. Aplicar el método de las fuerzas para resolver estructuras hiperestáticas……………………………………………………………… Aplicar el método de las fuerzas en estructuras hiperestáticas sometidas a cargas, variación de temperatura, movimiento de soporte, error de construcción y resorte……………………………… Aplicar la superposición de diagramas en el método de las fuerzas……………………………………………………………………….. Interpretar el concepto factor de flexibilidad……………………….. Construir la matriz de flexibilidades y la forma matricial del método de la fuerza……………………………………………………….
Conclusión…………………………………………………………………………….
Introducción Las bases teóricas y métodos numéricos que se utilizan en el análisis estructural han sido formulados desde hace mucho tiempo. Estos principios plantearon la solución de las estructuras a partir de grandes sistemas de ecuaciones. Generalmente este planteamiento corresponde a un enfoque matricial; sin embargo, debido a las dificultades inherentes a la solución de los sistemas de ecuaciones simultáneas resultantes, surgen alrededor de los años 50‟s los métodos iterativos. Entre los más conocidos se tienen, el método de Hardy Cross, el método Kani, el método de Takabeya, etc. También surgen algunos métodos simplificados especiales para el análisis de estructuras sujetas a cargas laterales (viento o sismo), entre ellos se puede citar el método de Bowman, el método del portal, el método del factor, etc. También a partir de los años 50‟s comienza, un gran desarrollo de las computadoras las cuales alcanzan una gran expansión a partir de los años 80‟s. Esta herramienta ha modificado grandemente el planteamiento de la solución de muchos problemas de la ingeniería. Se hace entonces posible la utilización de métodos matriciales para el análisis estructural. En la actualidad la posibilidad de resolver estructuras complejas en un tiempo relativamente corto ha permitido incluir dentro de este análisis conceptos de comportamiento no lineal que hasta algunos años se consideraban impracticables. Hoy en día, el continuo desarrollo de la tecnología, nos permite encontrar equipo sofisticado, como es el caso de las calculadoras programables, las cuales nos permiten resolver problemas no tan complejos como los que resuelve una computadora personal, pero sí en forma cómoda y con resultados confiables.
METODO DE LAS FUERZAS O METODO DE FLEXIBILIDADES
Coeficientes de flexibilidad a) La ley de Hooke aplicada a una barra de longitud L y sección A que, sometida a un esfuerzo axil de valor N, sufre un alargamiento ∆L, establece que: ∆L = NL/(EA) o, lo que es lo mismo, ∆L = L/(EA) N. El coeficiente L/(EA) de proporcionalidad entre el alargamiento de la barra ∆L y el esfuerzo axil N que lo produce se denomina “flexibilidad bajo esfuerzos axiles” de la barra. Este coeficiente representa físicamente el “valor del alargamiento que sufriría la barra sometida a un esfuerzo axil unidad”. b) Aplicando el teorema de Mohr a una ménsula de longitud L con una sección cuyo momento de inercia es I, sometida a una fuerza P aplicada en el extremo libre, se obtiene la flecha f de este extremo como: f = PL3/(3EI) o, lo que es lo mismo, f = L3/(3EI) P El coeficiente L3/(3EI) de proporcionalidad entre la flecha f y la carga P que la produce se denomina “flexibilidad bajo carga aplicada en su extremo” de la ménsula. Este coeficiente puede obtenerse como el valor de la flecha que sufriría la barra sometida a una carga en su extremo de valor unidad. c) Aplicando el teorema de Mohr a la ménsula anterior sometida, en este caso, a un momento M aplicado en el extremo libre, se obtiene el giro θ de este extremo como: θ = ML/(EI) o, lo que es lo mismo, θ = L/(EI) M El coeficiente L/(EI) de proporcionalidad entre el giro θ y el momento M que lo produce se denomina “flexibilidad bajo momento 4 aplicado en su extremo” de la barra ó ménsula. Este coeficiente representa el giro que sufriría la sección extrema de la ménsula cuando se encuentra sometida a un momento de valor unidad actuando en dicho extremo. La flexibilidad es pues un valor que caracteriza el comportamiento deformacional de una estructura con un cierto sistema de apoyos sometida a una carga (fuerza o momento) aplicada en una sección y que permite conocer, por proporcionalidad, el movimiento (desplazamiento o
giro de la sección de aplicación de la carga en la dirección de aplicación de esta. La unidad de medida de la flexibilidad es el m/N ó rad/Nm. El coeficiente de proporcionalidad existente entre el valor de una carga (fuerza o momento) aplicada en una sección de una estructura sencilla (barra) y el movimiento (en dirección de la carga) de la sección en la que se aplica la carga, y que se deducen de las expresiones obtenidas por aplicación de los teoremas de Mohr, son ejemplos de valores de coeficientes de flexibilidad. Un método alternativo para expresar las ecuaciones del movimiento de una estructura es la formulación de flexibilidad. En esta formulación, las propiedades elásticas de la estructura se describen por medio de los coeficientes de flexibilidad, que se definen como las deformaciones producidas por una fuerza unitaria aplicada a una de las coordenadas. Específicamente, el coeficiente de flexibilidad fij se define como el desplazamiento de la coordenada i, cuando una fuerza estática unitaria es aplicada a la coordenada j. Usando los coeficientes de flexibilidad correspondientes a una fuerza unitaria aplicada al nivel de cada uno de los pisos del edificio simple y aplicando la superposición, podemos calcular el desplazamiento de una de las coordenadas como la suma de los productos de los coeficientes de flexibilidad de esa coordenada multiplicándolos por las fuerzas correspondientes. Las fuerzas que actúan en el edificio simple de tres pisos (incluidas las fuerzas de inercia). Por lo tanto, los desplazamientos para el edificio de tres pisos pueden expresarse en función de los coeficientes de flexibilidad como
Ordenando los términos en estas ecuaciones y usando matrices, obtenemos
Donde [M] es la matriz de masa, ecuación (9.4), f es la matriz de flexibilidad dada por
e {y}, {ÿ} y {F} son, respectivamente, los vectores de desplazamiento, aceleración y fuerza dados en la ecuación (9.6).
Compatibilidad de deformaciones externas con internas La compatibilidad de deformaciones de las diversas partes y de cualquiera de ellas con las ligaduras exteriores, que se traduce en ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones que relacionan las deformaciones entre sí por medio de la geometría del conjunto. Llegar a la expresión matemática de esas ecuaciones requiere en ocasiones estudiar como se desplaza la estructura, planteando las ecuaciones que ligan los desplazamientos de puntos significativos de la estructura. La relación entre esos desplazamientos y las deformaciones, permitirán finalmente obtener las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones.
Deformaciones Dentro del campo elástico y lineal se verifica la ley de hooke:
E
l
N E
EA
, donde N (z)
l
l 0
N dz EA
l l l
N l dz EA 0
NL AE
Si N = cte.
Que es el caso de los elementos de las celosías ó estructuras articuladas, cuando las uniones se pueden considerar articuladas y las cargas actúan sólo en los nudos. Equilibrio del nudo: Fhor = 0 N1 cos + N2 = P sen Fvert = 0 N1 sen = P cos
N1 .
A
N2
P
1
.
N1
N 1 y N2
2 1
P
N2
2
Equilibrio barras: en todas sus secciones N1
N2
P C
1
1' 3
30°
A
2
2'
B
P/2
P/2 L/2
L/2
N = cte Equilibrio nudo A :
N1 sen 30º = P/2 N1 = P N1 cos 30º =N2 N2 = P
Dada la simetría: N1 = N1´ Equilibrio nudo C:
(compresión) 3 2
y N2 = N2´
N 1 = N1 ´ = P 2P cos 60º + N3 = P N3 = 0
(tracción)
La resolución se complica en los casos HIPERESTATICOS, cuando no bastan las ecuaciones de equilibrio. RA + RB = Q (1)
hiperestaticidad grado 1
Hay que acudir a las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. total = AC + CB = 0
(2)
En (1) las incógnitas son fuerzas; en la (2) son deformaciones.
Las relacionamos con la ley de comportamiento del material.
AC
N l AC R A l AC EA EA Sustituidas en (2)
CB
N lCB R l B CB EA EA
R A l AC RB lCB 0 Ecuación que con (1) nos resuelve el problema. EA EA
Presentación del Método por Ecuaciones y por Matrices.
Formulación en fuerzas (método de flexibilidad) El número de fuerzas desconocidas en una estructura depende de las reacciones y de las fuerzas en las barras, en tanto que, el número de ecuaciones independientes que ofrece la estática es el mismo. Para el caso de estructuras estáticamente indeterminadas el número de fuerzas desconocidas es siempre mayor al de las ecuaciones de equilibrio (estática). Las fuerzas desconocidas en la estructura estáticamente determinada pueden obtenerse en forma directa de estas ecuaciones, aún sin considerar las dimensiones y propiedades del material de las barras. La deformación depende de las propiedades elásticas de sus miembros constitutivos, sin embargo, esta información no se requiere al determinar las fuerzas internas de una estructura estáticamente determinada, ya que éstas se obtienen a partir de la geometría original de la estructura.
La situación es diferente en el caso de una estructura estáticamente indeterminada. Si se insiste en que las fuerzas desconocidas sean consideradas como las incógnitas primarias, se requerirán condiciones adicionales a las de la estática. Éstas son las relativas a la compatibilidad de deformaciones. Si la indeterminación es interna, el concepto implica: 1. - El corte de barras de modo que la estructura permanezca estáticamente determinada y estáticamente estable. 2. - La determinación de la magnitud del movimiento relativo (separación o traslape) de los cortes debido a las cargas aplicadas, y 3. - La determinación de las fuerzas en las barras cortadas, las cuales, cuando se aplican en los cortes, eliminarán la separación o traslape habidos. Entonces, las fuerzas desconocidas en las barras seleccionadas para ser cortadas pueden ser consideradas como las super-incógnitas primarias y deben de ser determinadas primero por las condiciones de compatibilidad. De acuerdo a este método, se necesitan las propiedades elásticas de los miembros de la estructura durante la evaluación y eliminación posterior de los movimientos relativos de los cortes de la estructura derivada estáticamente determinada. Para el caso de una estructura estáticamente indeterminada externamente, si se quitan los apoyos y se sustituyen por acciones (fuerzas o momentos), se obtiene una estructura determinada bajo la acción de las cargas aplicadas y de las acciones desconocidas o incógnitas. Sin embargo, la estructura determinada, debe satisfacer los requisitos geométricos o de frontera en los puntos de los apoyos redundantes reemplazados por reacciones redundantes. Si un apoyo de rodillo se remueve en cierto punto, el requisito es que la deflexión en la dirección perpendicular a la superficie de apoyo debe ser cero. Si se remueve un empotramiento, los tres requisitos, son que la deflexión horizontal, la deflexión vertical y el giro sean cero. Siempre hay un número de condiciones geométricas igual al número de redundantes. Después de encontrar las componentes de las redundantes,
usando las condiciones geométricas o de frontera, las demás reacciones pueden determinarse por las ecuaciones de la estática. Si la estructura es estáticamente indeterminada interna y externamente, se eliminarán tantas redundantes (internas y externas) como sea necesario hasta obtener una estructura estáticamente determinada y estable. Este método es considerado como uno de los básicos, el cual puede describirse por los siguientes pasos. 1. Se identifican las acciones redundantes (reacciones o acciones internas) y se reduce la estructura original a un sistema estable y determinado estáticamente. 2. Se analiza la estructura liberada, sujeta a la carga original. Las liberaciones producen incongruencias en desplazamientos por lo que deben calcularse estos errores en la estructura liberada. Los desplazamientos se calculan en la dirección de las reacciones redundantes. 3. Se asigna un valor unitario a cada una de las acciones redundantes y se calculan los desplazamientos que cada una de estas fuerzas unitarias produce en todos los puntos donde actúan las acciones redundantes. 4. Para cada restricción suprimida se define una ecuación de compatibilidad. Esta ecuación representa la superposición de los efectos de las fuerzas redundantes y los efectos de la carga externa en la estructura liberada. 5. Se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas de donde se obtiene el valor de las acciones redundantes. 6. Se completa el análisis calculando las reacciones de los apoyos y acciones internas que no se determinaron en el paso 5.
Formulación en desplazamientos (método de rigidez) El método de desplazamiento puede aplicarse a estructuras estáticamente indeterminadas o determinadas, siendo más útil en las primeras, donde el grado de indeterminación estática es alto. En este método las cantidades desconocidas son los desplazamientos (la translación y la rotación de los nudos). El número de desplazamientos independientes en una estructura se conoce como grado de indeterminación cinemática, o número de
grados de libertad. Este número es la suma de los grados de libertad de translación y rotación. En general, en un marco plano deben considerarse tres grados de libertad por nudo; un desplazamiento longitudinal (axial), uno perpendicular (corte) y una rotación (flexión). En un marco tridimensional serán seis por nudo; tres desplazamientos y tres rotaciones. El método puede describirse por los siguientes pasos: 1. Se establece un sistema de coordenadas para identificar la ubicación y dirección de los desplazamientos de los nudos. Se define después el grado de indeterminación cinemática. 2. En las coordenadas se introducen fuerzas restringentes en igual número que el grado de indeterminación cinemática para impedir el desplazamiento de los nudos. Se determinan las fuerzas restringentes como una suma de las fuerzas en extremos fijos que se juntan en un nudo. A diferencia del método de la fuerza, este procedimiento no exige que se haga una selección con respecto a las fuerzas restringentes. Este hecho favorece el empleo del método de desplazamiento en programas generales de análisis. 3. Se supone ahora que la estructura esta deformada de tal modo que un desplazamiento en una de las coordenadas es igual a la unidad y todos los demás desplazamientos tienen valor cero. Se determinan entonces todas las fuerzas necesarias para mantener a la estructura en esa configuración. Estas fuerzas se aplican en las coordenadas que representan los grados de libertad. Se repite ahora este procedimiento para un valor unitario de desplazamiento en cada uno de los grados de libertad por separado. 4. Se determinan los valores de los desplazamientos necesarios para eliminar las fuerzas restringentes introducidas en el punto 2. Esto requiere el uso de ecuaciones de superposición en que se suman los efectos de los desplazamientos separados sobre las fuerzas restringentes. 5. Se obtienen las fuerzas sobre la estructura original sumando las fuerzas aplicadas sobre la estructura restringida a las fuerzas producidas por los desplazamientos de los nudos determinados en el punto 4. En el método de los desplazamientos hay siempre tantas ecuaciones de equilibrio como desplazamientos desconocidos ya que a cada coordenada de carga le corresponde una coordenada de desplazamiento, sin tomar en
cuenta el hecho de que la estructura sea determinada o indeterminada estáticamente. Para comparar ambas formulaciones, se plantearán las ecuaciones requeridas según los procedimientos descritos antes. Es importante observar que cada uno de los procedimientos representan el inverso del otro, lo que corresponde con la relación conocida entre flexibilidad y rigidez. Para comparar las ecuaciones resultantes en ambos métodos, se ignorará la deformación axial de las barras y sólo se considerará una incógnita por nudo, para obtener sistemas de ecuaciones comparables. Acción en Flexibilidad
Se eliminan todas las incógnitas quedando una estructura isostática. En la estructura liberada, aparecen unos desplazamientos incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los desplazamientos son debidos a la carga real.
Para eliminar los desplazamientos incongruentes, se aplican fuerzas (incógnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en donde se presentan. Utilizándose así, unos valores unitarios.
La suma de todas las configuraciones, deben satisfacer las condiciones geométricas de la estructura real, los desplazamientos en cada apoyo deben ser nulos.
Acción en Rigidez
Se sujetan todos los nudos para impedir cualquier movimiento, resultando en una estructura empotrada en todos sus nudos. En la estructura empotrada, aparecen fuerzas de empotramiento incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los momentos son debidos a la carga real.
Para eliminar estas fuerzas ficticias, se aplican desplazamientos (incógnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en las que aparecen las fuerzas. Utilizándose así, unos valores unitarios.
La suma de todas las configuraciones debe satisfacer las condiciones de equilibrio de la estructura real, es decir, la suma de los momentos en cada apoyo, debe ser nula (equilibrio).
Para el método de flexibilidad, la suma de desplazamientos en cada apoyo que fue removido, debe ser nula, lo que resulta en: forma compacta : [ f ]{ R } = { δo }
2.3)
donde : [ f ] es la matriz de coeficientes de desplazamiento o matriz de flexibilidad, { R } es el vector de fuerzas ( reacciones incógnita ) y { δo } es el vector de desplazamientos debido a la carga real en la estructura liberada (desplazamientos incongruentes o ficticios). Para el método de rigidez se tiene que la suma de momentos en cada nudo, representa las condiciones de equilibrio, lo que resulta en : en forma compacta : [ K ] { θ } = { MF }
2.6)
donde [ K ] es la matriz de coeficientes de fuerza o matriz de rigidez, { θ } es el vector de desplazamientos incógnita y { MF } es el vector de términos independientes que depende de la carga en la estructura. Tanto [ f ] como [ K ] tienen propiedades importantes quienes por el momento no se aprecian. Estas propiedades se discutirán más adelante. Por el momento se muestra, paso a paso, las características propias de cada formulación (fuerza o desplazamiento) para plantear las ecuaciones necesarias para resolver una estructura hiperestática. Ecuaciones de desplazamiento consistente. Con frecuencia, en problemas mecánicos o de resistencia de materiales hiperestáticos el cálculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a partir de las condiciones de equilibrio. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto que la situación física real sí presenta una solución unívoca, es decir, las piezas mecánicas toman valores de tensión concretos y las reacciones reales tienen valores totalmente determinados, concluimos que
las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas con algún otro tipo de información adicional que haga que el problema sea determinado. De hecho, muchos problemas se vuelven completamente determinados si tenemos en cuenta que los desplazamientos observados en la realidad tienen valores determinados. Así si introducimos ecuaciones que expresen ciertos desplazamientos en función del resto de variables, podemos llegar a construir un sistema de ecuaciones compatible determinado. Dicho sistema estaría formado por las ecuaciones de equilibrio, y varias ecuaciones adicionales llamadas ecuaciones de compatibilidad.
(Fig. 1) Problema unidimensional estáticamente indeterminado. Por ejemplo en la figura (Fig. 1) se muestra un problema unidimensional consistente en la aplicación de una fuerza en un punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el problema es estáticamente indeterminado o hiperestático el análisis de fuerzas lleva a una única ecuación para las dos reacciones incógnita existentes: En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las reaciones observamos que la parte izquierda (entre RAy P) está traccionada y por tanto se estirará, mientras que la parte derecha (entre P y RB) está comprimida y por tanto se encogerá. Puesto que la pieza es un único sólido deformable el estiramiento de parte izquierda compensará exactamente el estiramiento de la parte derecha, de lo contrario la pieza se rompería. Por tanto estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, ésa es precisamente la condición de compatibilidad adicional que resuelve el problema:
Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos métodos, por ejemplo usando el teoremas de Castigliano o usando la ecuación de la curva elástica. Si el problema es suficientemente sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la ecuación de compatibilidad directamente.
Formulación matricial del método de carga unitaria. Suponga una estructura sometida a un sistema de cargas que generan los esfuerzos internos N0, M0, Q0 y T0. Para calcular el desplazamiento (o giro) δi en un punto i donde no actúa ninguna fuerza del sistema se procede de la siguiente manera: Se aplica una carga virtual pv en el punto y dirección del desplazamiento (Desplazamiento Carga puntual; Giro Momento). Esta carga virtual generará en una sección cualquiera los esfuerzos internos Nv, MV, QV y Tv. Si no se excede el límite elástico dichos esfuerzos serán proporcionales a la carga virtual.
Donde N,M,Q,T son valores característicos para cada sección de la estructura y cada variable, obtenidos a partir del análisis del efecto de un carga virtual unitaria. La energía de deformación de la estructura debido al sistema original y la carga virtual será:
Del segundo teorema de Castigliano se sabe:
Identificar las características de las Estructuras Hiperestáticas. Cuando una estructura tiene más reacciones externa o fuerzas internas que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la estática, la estructura es estáticamente indeterminada o hiperestática o continua producirá fuerzas cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las otras partes de la estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una columna afectan a las vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa. Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestáticas. Las losas de concreto, las vigas de apoyo, así como parte de las columnas pueden colarse al mismo tiempo. Las barras de refuerzo se extienden de elemento a elemento estructural así como de claro a claro. Cuando se tienen juntas de construcción, las barras de refuerzo se dejan sobresalir del concreto para poder ser empalmadas a las barras del concreto para colarse posteriormente. Además, el concreto viejo se limpia de manera que el nuevo se adhiera a él tanto como sea posible. El resultado de todo esto es que las estructuras de concreto reforzado son generalmente monolíticas o continuas y por ello estáticamente indeterminadas. Inicialmente se debe identificar cuando es una estructura indeterminada. Las estructuras rígidas se componen de miembros rectos conectados por medio de conexiones rígidas (que resisten los momentos), o bien, por conexiones articuladas, para formar configuraciones estables. Por lo general, los miembros de las estructuras se conectan por uniones rígidas, aun cuando a veces se usan las conexiones articuladas. Una unión rígida impide las traslaciones y rotaciones relativas de lo miembros conectados a ellas, de modo que la unión es capaz de transmitir dos componentes rectangulares de fuerza y un par entre los miembros conectados.
En general, bajo la acción de cargas externos, los miembros de una estructura pueden quedar sujetos a momento flexionante, fuerza, cortante y tensión o compresión axiales. Se considera que una estructura es estáticamente determinada, si los momentos flexionantes, las fuerzas cortantes y las fuerzas axiales, en todos sus miembros, asi como las reacciones externas, se pueden determinar mediante las aplicaciones de las ecuaciones d equilibrio y de condición. ∑Fx=0 ; ∑Fy=0 ; ∑M=0. Se considera una estructura internamente estable o rígida, si mantiene su forma y sigue siendo un cuerpo rígido cuando se separa de los apoyos. De manera inversa, una estructura de denomina inestable (o no rígida), sino pede conservar su forma y puede sufrir grandes desplazamientos bajo pequeñas perturbaciones cuando no esta apoyada desde el exterior. Para una estructura, si el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones, es decir: 6m + r = 3 (m + j) + ec
( 1)
Siendo: . m = Nº de miembros. . r = Nº de reacciones. . j = Nº de juntas. . ec= ecuaciones de condición. O bien: 6m + r = 3m + 3j + ec Despejando se tiene: 3m + r= 3j + ec Entonces se pueden determinar todas las incógnitas al resolver las ecuaciones de equilibrio y las de condición y la estructura es estáticamente determinada.
Para una estructura, si el número de incógnitas es menor que el número de ecuaciones disponibles; esto es: 3m + r < 3j + ec Se dice que esa estructura es estáticamente inestable. Si una estructura tiene más incógnitas que ecuaciones de las que dispone; es decir, 3m + r > 3j +ec No se pueden determinar todas las incógnitas mediante la resolución de las ecuaciones disponibles, (ecuaciones de equilibrio) y se dice que la estructura es estáticamente indeterminada. Las estructuras estáticamente indeterminadas tienen más miembros o reacciones externas, o más de ambos, que las mínimas requeridas por la estabilidad. Se dice que los miembros y reacciones en exceso son redundantes y el número de miembros y reacciones en exceso se menciona como grado de indeterminación estática, i, el cual se puede expresar como: .- i = (3m + r) – (3j + ec) Las condiciones para la inestabilidad, la determinación y la indeterminación de las estructuras se pueden resumir como lo siguiente: 3m + r < 3j + ec → 3m + r – 3j – ec < 0 → estáticamente inestable 3m + r = 3j + ec → 3m + r – 3j – ec = 0 → estáticamente determinado 3m + r > 3j + ec → 3m + r – 3j – ec > 0 → estáticamente indeterminado Es decir; .- i < 0, inestable. .- i= 0 , determinado. .- i> 0 , indeterminado En la aplicación de las ecuaciones (a, b, c); los extremos de la estructura sujetos a los apoyos, asi como cualquier extremo libre; se tratan como (nodos) juntas. Las condiciones para la determinación e indeterminación
estáticos, como lo expresaron las ecuaciones (a,b,c), son necesarios, pero no suficientes. Para que estos criterios en relación con la determinación e indeterminación estáticos sean validos, la disposición de los miembros, las reacciones en los apoyos, y las articulaciones y rodillos internos (si los hay), debe ser tal que la estructura seguirá siendo geométricamente estable bajo un sistema general de cargas coplanares. Recordemos que las ecuaciones de condiciones que se generan en una articulación interna proporcionan una ecuación de condición y que un rodillo interno da lugar a dos de esas ecuaciones. Cuando varios de los miembros de una estructura se conectan en un nodo anticuado, el número de ecuaciones de condición en este último es igual al número de miembros que se encuentran en el menos uno. Como ya se ha dicho anteriormente las estructuras indeterminadas tienen mas reacciones en los apoyos o miembros, o ambas cosas, que los requeridos por la estabilidad estática, las ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinación de las reacciones y las fuerzas internas de esas estructuras y deben complementarse por medio de relaciones basadas en la configuración geométrica de la deformación de las estructuras. Estas relaciones adicionales, que se denominan condiciones de compatibilidad, garantizan que se mantenga la continuidad de los desplazamientos de uno u otro lado de la estructura y que las diversas partes de esta se ajustan entre si. Por ejemplo: En un Nodo o junta rígida, las deflexiones y las rotaciones de todos los miembros que se unen en este nodo deben ser las mismas. Por lo tanto el análisis de una estructura indeterminado comprende, además de las dimensiones y la disposición de los miembros de la estructura, sus propiedades y de los materiales (como las áreas de las secciones transversales, los momentos de inercia, los módulos de elasticidad, etc); las cuales a su vez, dependen de las fuerzas internas de la estructura. Por lo tanto, el diseño de una estructura estáticamente indeterminada, se lleva a cabo de manera iterativa, con la cual inicialmente se suponen el tamaño (relativos) de los miembros estructurales y se usan para revisar el tamaño de los miembros; si el tamaño revisado de estos no están cercanos a los que se supusieron en
un principio, entonces se vuelve a analizar la estructura usando el tamaño mas reciente de esos miembros, se continua la iteración hasta que el tamaño de los miembros basado en los resultados de un análisis son cercanos a los supuestos para este análisis. Análisis de las Estructuras Indeterminadas Relaciones fundamentales: Sin importar si una estructura es estáticamente determinada o indeterminada, su análisis completo requiere el uso de tres tipos de relaciones:
Ecuaciones de Equilibrio. Condiciones de Compatibilidad. Relaciones de fuerza. Deformación de los miembros.
1. Las ecuaciones de equilibrio relacionan las fuerzas que actúan sobre la estructura o sus partes), garantizando que la estructura completa así como sus partes permanezcan en equilibrio. 2. Las ecuaciones de compatibilidad relacionan los desplazamientos de la estructura de modo que sus diversas partes se ajustan entre si. 3. Las relaciones de fuerza - deformación en los miembros, las cuales comprenden las propiedades de los materiales y de las secciones transversales (E, I y A) de los miembros, proporcionan el enlace necesario entre las fuerzas y los desplazamientos de la estructura. En el análisis de las estructuras estáticamente indeterminadas, las ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinación de las reacciones y las fuerzas internas. Por lo tanto, se vuelve necesario resolver las ecuaciones de equilibrio en conjunción con las de condiciones de compatibilidad de la estructura, para determinar su repuesta. En virtud de que las ecuaciones contienen las fuerzas desconocidas, en tanto que las condiciones de compatibilidad comprenden los desplazamientos como incógnitas, se utilizan las relaciones fuerzadeformación de los miembros para expresar las fuerzas desconocidas en términos de los desplazamientos desconocidos o viceversa. Entonces se resuelve el sistema resultante de ecuaciones, que solo contiene un tipo de incógnitas, para las fuerzas o desplazamientos desconocidos, los cuales entonces se sustituyen en las relaciones
fundamentes para determinar las características restantes de respuestas de la estructura. Métodos de análisis Desde mediados del siglo XIX, se han desarrollado muchos métodos para analizar las estructuras estáticamente indeterminadas. Estos métodos se pueden clasificar en términos generales en dos categorías, a saber:
Los métodos de las fuerzas (flexibilidad). Los métodos de los desplazamientos (rigidez).
Dependiendo del tipo de incógnitas (fuerza o desplazamiento, respectivamente) que intervengan en la solución de las ecuaciones que rigen. Vigas Estáticamente Indeterminadas Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el número de reacciones en los soportes superan al número de ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es: el número de incógnitas es mayor que: FX
0
FY
0
M 0
La figura 1, muestra una viga de este tipo con un extremo simple “A” y el otro empotrado “B” bajo una carga puntual P. P
a A
b B
Fig. 1. Viga apoyada-empotrada.
A continuación se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el soporte “A” existe sólo reacción vertical puesto que el rodillo no impide el desplazamiento horizontal. En el empotramiento en “B” hay dos reacciones dado que este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones. P
MB
VA
VB
Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes V A y VB y el momento flexionante MB y sólo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio; M y Fy, la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay más incógnitas que ecuaciones). Otro tipo de viga hiperestática es aquella que tiene más de dos soportes, y que se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura 2. P
L1 A
P
w
L2 B
L3 C
D
Fig. 2. Viga continua
Este caso corresponde a una barra mucho más compleja de analizar puesto que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en “A”. P
P
w
MA VA
VB
VC
VD
Para la solución de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio estático, un camino a seguir consiste en hacer el análisis de las deformaciones angulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas. Este análisis se plantea más adelante. INDETERMINACIÓN ESTATICA. Se define como el número de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio estático. Se puede decir que es la diferencia entre el número de incógnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio estático. Por ejemplo la viga de la figura 1 tiene tres reacciones desconocidas y solo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado 1: Número de incógnitas = NI = 3 Ecuaciones de equilibrio = EE = 2 Grado de indeterminación = GI = NI – EE = 3 – 2 = 1
Viga de la figura 2: NI = Reacciones verticales y momento en el empotramiento = 5 EE = Equil. vertical y suma de momentos = 2 GI = 5 – 2 = 3 En ambos casos los GI representan el número de ecuaciones adicionales para su solución. Elaborar diagramas de fuerzas estáticamente indeterminadas.
internas
de
estructuras
La cuantificación de las fuerzas internas producidas por la flexión en las vigas (fuerza cortante y momento flector) es un estudio más complejo que el necesario para estudiar la fuerza axial o el momento torsor, ya que las fuerzas varían de una sección a otra de la viga. Esta fuerza cortante y el momento flector de la viga producen dos tipos de efectos importantes para el diseño. Para definir la fuerza cortante y el momento flector es necesario aplicar la forma de estudio al caso de una viga. En el caso de las vigas el análisis comienza por realizar un corte aa en un punto cualquiera donde se estudia el equilibrio del diagrama de cuerpo libre obtenido del corte en la porción de la izquierda. Las fuerzas internas que equilibran las cargas en cada eje son: la fuerza cortante (V) obtenido por las fuerzas perpendiculares al eje; la fuerza axial (P) obtenida por las fuerzas paralelas al eje y el momento flector (M) obtenido por la suma de los momentos de las cargas con respecto al punto donde se realizó el corte. Por equilibrio estas fuerzas internas son iguales a las originadas en la porción de la derecha pero con sentido contrario al obtenido. En tal sentido, la fuerza cortante representa la suma de las fuerzas perpendiculares al eje que están ubicadas a la izquierda de la sección analizada. Asimismo, el momento flector representa la suma de los momentos de todas las fuerzas con respecto a la sección analizada que actúan en la parte izquierda. En el diseño de elementos estructurales, se debe buscar el mayor efecto producto de las fuerzas internas, por ello determinar la fuerza cortante y el momento flector máximo es imprescindible. Obtener estos valores se facilita mucho mediante un análisis gráfico de la variación de V y M a lo
largo de la viga. Estos gráficos se denominan Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) y Diagrama de Momento Flector (DMF). Ejemplo.Obtenga los momentos y reacciones verticales para la viga de la figura 5). Trace también los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante. Si la sección transversal es compacta rectangular de 15x25 cm, calcule la flecha al centro del claro para un módulo elástico de 250,000.00 cm4. 800 kg 5.00 m
5.00 m
1
2 Fig. 5)
Ecuaciones de momento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuación de momentos y se le integra sucesivamente. 800 kg
Criterio de signos: +
M1
M2 V1
M x V1 x M1
x
V2
0 x 5 1) X1
M x1 V1 x1 M1 800( x1 5) 5 x1 19 2)
Integrando la ecuacion 1). EId 2y dx 2
V1 x M1
V x2 EIdy 1 M1 x C1 3) dx 2 EIY
V1 x 3 M1 x 2 C1 x C2 4) 6 2
En las ecuaciones 3) y 4), la pendiente (dy/dx) y la felcha (Y) son cero en el apoyo 1, esto es cuando x = 0. Para esta condición C1 y C2 son cero. C1 = C2 = 0 Integrando la ecuación 2).
EId 2y dx12
V1 x1 M1 800( x1 5)
V x2 800( x1 5)2 EIdy 1 1 M1 x1 C 3 5) dx1 2 2
EIY
V1 x13 M x2 800( x1 5) 3 1 1 C 3 x1 C 4 6) 6 2 6
En las ecuaciones 3) y 5) la pendiente es la misma cuando x = x1 = 5. Al comparar estas ecuaciones resulta C3 = 0 En las ecuaciones 4) y 6) la flecha es la misma cuando x = x1 = 5. Al comparar estas ecuaciones resulta C4 = 0 Se requieren ahora 2 ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones se obtienen para x1 = 10 en 5) y 6), ya que en este apoyo la pendienete y la flecha son cero. En 5) cuando x1 = 10, (dy/dx1 = 0): 800 ( 10 5 ) 2 V1 ( 10 ) 2 0 10 M 1 2 2
50V1 - 10M – 10,000.00 = 0 -------- 7) En 6) cuando x1 = 10, (Y = 0): V1 (10) 3 M1 (10) 2 800 (10 - 5)3 10C 3 C 4 0 6 2 6
166.666 V1 - 50 M1 - 16,666.666 = 0 ------- 8) Resolviendo las ecuaciones 7) y 8). V1 = 400 kg
800 kg 1000 kg.m
M1 = 1000 kg.m Diagramas de cortante y de momento.
1000 kg.m
400 kg
400 kg
400 Fuerza Cortante 400 1000 Momento Flector 1000
1000
Flecha al centro del claro. Se obtiene en la ecuación 4) para x = 5.00 m. EIY
V1 x 3 M1 x 2 C1 x C2 4) 6 2
Y
4,1666 .666 EI
E = 250,000.00 kg/cm2 I
Y
15 (25)3 19,531.25 cm4 12 4,1666.666 (10)6 0.853 cm 250,000.00 (19,531.25)
Aplicar el método de las fuerzas para resolver estructuras hiperestáticas. El método de las fuerzas, permite resolver las estructuras hiperestáticas considerando como incógnitas a las fuerzas y momentos. En una estructura hiperestática, tales incógnitas pueden ser exteriores o interiores, estando las primeras asociadas a las componentes de reacción en los apoyos, en tanto las segundas corresponden a fuerzas en los elementos tales como: N, V, M, Mt. Sea la siguiente estructura aporticada mediante la cuál se expondrá el método:
En la figura se muestra a una estructura continua cuyo grado de hiperestaticidad exterior es 3; el procedimiento consiste en isostatizar la estructura incluyendo como cargas a las incógnitas escogidas en la isostatización. En este caso, corresponde a las componentes de reacción del apoyo D, tal como se aprecia en la figura 2. Aplicando el “principio de superposición”, la estructura isostatizada puede descomponerse en tantas estructuras parciales como cargas existan en
ella. Así, en la figura 2a se muestra la estructura isostatizada con todas las cargas externas actuantes. En las figuras 2b, 2c y 2d se muestra la estructura con cada una de las fuerzas incógnitas actuantes en el apoyo D. A continuación, se determinan los desplazamientos horizontal, vertical y giro en D para cada estructura parcial, con lo cuál aplicando el „principio de compatibilidad‟ se originan las siguientes ecuaciones:
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene las reacciones o incógnitas hiperestáticas de la estructura propuesta. Aplicando luego las ecuaciones de equilibrio que nos da la estática, se pueden encontrar las reacciones restantes. Aplicar el método de las fuerzas en estructuras hiperestáticas sometidas a cargas, variación de temperatura, movimiento de soporte, error de construcción y resorte. Para este método se considera, en primer lugar, una estructura que llamaremos primaria. Esta se obtiene a partir de la estructura original eliminando las reacciones redundantes para obtener una estructura estáticamente determinada, y conservando el sistema de cargas original. Esta estructura primaria deberá ser estable y las reacciones redundantes serán aquellas que exceden el numero posible de determinar mediante las ecuaciones de equilibrio. Luego, aplicado el principio de superposición, se irá incluyendo el efecto de cada una de las redundantes, modeladas como fuerzas de magnitud desconocida. De esta forma se obtendrá un set de ecuaciones para cada una de las redundantes. Superponiendo cada uno de estos efectos y aplicando las condiciones de borde impuestas por los apoyos será posible resolver la estructura. El método considera entonces una estructura isostática, denominada primarias, en la que se calculan desplazamientos (lineales y/o angulares)
en los apoyos que se eliminaron de la estructura hiperestática inicial, y en las direcciones en las que se eliminaron dichas restricciones. Estos desplazamientos se calculan también en estructuras de misma geometría que la estructura primaria, siendo las cargas las reacciones redundantes correspondientes. La corrección de los desplazamientos de la estructura primaria con los generados por las reacciones redundantes, aplicadas de manera que se cumplan las condiciones geométricas de la estructura original, permite establecer un sistema de ecuaciones cuyo número es igual al número de reacciones redundantes. La solución del sistema de ecuaciones permite determinar los valores de las reacciones redundantes. Una vez determinadas estas reacciones en los apoyos, los esfuerzos se pueden calcular en todos los miembros de la estructura por medio de las ecuaciones de equilibrio de la estática, pudiendo aplicarse, también, el principio de superposición.
Ecuaciones de compatibilidad geométrica:
Aplicando el teorema de Castigliano y método de la carga unitaria podemos obtener el desarrollo de las ecuaciones para el desplazamiento en la redundante 1:
Finalmente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Expresado matricialmente:
Método: 1. A partir de la estructura hiperestática, definir la estructura primaria, eliminando las restricciones redundantes y reemplazándolas por fuerzas o momentos Xk. 2. Obtener las distribuciones de esfuerzos internos (axial, flexión, corte y torsión) de la estructura primaria bajo el efecto de las cargas externas originales. 3. Aplicar en cada una de las k redundantes una carga unitaria y obtener los diagramas de esfuerzos internos (axial, flexión, corte y torsión) de la estructura.
4. Calcular las deformaciones en las redundantes debido al sistema de carga original.
5. Calcular las deformaciones en las redundantes debido a una carga unitaria sobre el mismo punto y las demás redundantes.
6. Aplicar las condiciones de compatibilidad geométrica para obtener el sistema de ecuaciones.
7. Resolver el sistema de ecuaciones para obtener el valor de las redundantes Xk. 8. Obtener el valor de las demás restricciones (no redundantes) mediante las ecuaciones de equilibrio estático. 9. Aplicar superposición. Efectos adicionales a las ecuaciones de compatibilidad 1.- Asentamientos Este caso se refiere a los efectos provocados por un desplazamiento de la redundante en estudio. Se analizara el efecto de los desplazamientos anelásticos (independientes de la magnitud de la carga). Supongamos un desplazamiento (asentamiento o giro) del grado de libertad k. Para esta situación, en la ecuación de compatibilidad geométrica correspondiente al grado de libertad en cuestión, se conservara a expresión:
con la diferencia de que el valor de ∆k será distinto de cero y conocido.
2.- Defectos de fabricación, montaje o construcción. Un desplazamiento de un grado de libertas, provocará, además del efecto sobre la ecuación de compatibilidad correspondiente, un efecto sobre las demás ecuaciones. Pues generará deformaciones y desplazamientos en toda la estructura, por lo tanto un trabajo. Este es el típico caso de tensiones generadas por defectos de fabricación, montaje o construcción. Este efecto se deberá incluir en las demás ecuaciones mediante le término ∆ka. Vale decir las demás ecuaciones adoptaran la forma:
El valor de este término de corrección se determinara mediante el principio de los trabajos virtuales (Carga unitaria).
Ejemplo 1
Ejemplo 2 Problema típico de error de fabricación.
3.- Efecto Térmico Para incluir los efectos asociados a la variación de temperatura (dilatacióncontracción) se deben agregar términos relativos a los esfuerzos axiales y de flexión. Si el elemento estructural esta sometido a una variación de temperatura uniforme, esta generará una dilatación-contracción uniforme expresada de la siguiente forma:
Ahora bien, si el elemento estructural esta sometido a una variación de temperatura no uniforme, vale decir, existe un gradiente de temperatura
entre las caras de la barra. Se generará una dilatación-contracción de diferente magnitud:
4.- Apoyo Elástico En este caso se modelaran los efectos propios de apoyos elásticos. Este tipo de apoyo corresponde a los que realmente se generan en el suelo, en que la reacción generada en el vínculo es proporcional a la deformación.
Expresión General
Aplicar la superposición de diagramas en el método de las fuerzas. El principio de superposición establece que el efecto de un conjunto de cargas que actua simultáneamente, es el mismo cuando se suman los efectos de cada una de ellas actuando por separado. Bajo este concepto, es posible solucionar una viga continua analizando las rotaciones en los extremos de las barras para las cargas dadas considerando a cada barra simplemente apoyada. Para su aplicación es necesario conocer las formulas de estas rotaciones para vigas simples y cualquier tipo de carga. A continuación se dan las de uso común. Notación.
L 1
Carga
2
Rotación Extremo Izquierdo
Rotacion Extremo Derecho
1.- Carga uniforme. w
φ1
w L3 24 EI
φ2
φ1
9 w L3 384 EI
φ2
L
2. -Carga parcial uniforme. w L/2
7 w L3 384 EI
L/2
3.-Carga parcial uniforme. w a
w L3 24 EI
b
φ1
w a2 4 L2 4 aL a 2 24 EIL
φ2
w a2 2 L2 a 2 24 EIL
Carga
Rotación Extremo Izquierdo
Rotacion Extremo Derecho
4.- Carga puntual. P L/2
P L2 16 EI
φ1
P L2 16 EI
φ2
L/2
5. Carga puntual. P a
φ1
Pb 2 L b2 6 EIL
φ2
Pa 2 L a2 6 EIL
b
6.- Carga variable. w
φ1
7 w L3 360 EI
φ2
8 w L3 360 EI
L
7.- Carga variable. w a
EI φ1
waL2 wabL 7wa2L wa 4 wa3 12 12 36 24L 8
EI φ2
wabL 2wa2L waL2 wa 4 6 9 6 24L
b
8.- Momento en extremo.
φ1
ML 3EI
φ2
ML 6 EI
φ1
ML 6 EI
φ2
ML 3EI
M L
9.-Momento en extremo. M L
10.- Momento en la barra.
φ1
M a
M L2 3b 2 6 EIL
φ2
M 6 b L 3b 2 2 L2 6 EIL
b
Ejemplo 1.- Calcule los momentos y las reacciones verticales en los nodos de la viga continua de la figura 21).
3.00 1
500 kg
300 kg/m
3.00
8.00 m.
2 Fig. 21). Viga continua.
3
Incógnitas en la viga. Se dibujan los claros “1-2” y “2-3” por separado indicando cargas y momentos desconocidos. En este caso solo hay un momento desconocido, el momento del nodo 2; “M2” y se obtienen las vigas equivalentes simplemente apoyadas. Habrá tantas vigas equivalentes como momentos de extremo y cargas haya en el claro correspondiente. En la figura siguiente se muestra esta condición. P M2
w M2
L1 = 6
L2 = 8
=
=
P
w θ23
θ21
+ β21
1
M2
β23
M2
+
2
2
3
Se hacen las siguientes consideraciones: 1.- La rotación o pendiente es cero en extremos empotrados. 2.- En un soporte interior la pendiente es la misma a la izquierda y a la derecha de dicho soporte. 3.- Se indican las pendientes en los extremos de cada soporte con el criterio siguiente: a.- Carga cualquiera.
b).- Momento en extremo.
P M
Θ12
Θ21 Pendientes positivas
Θ12
Θ21
Pendiente negativa
Para nuestro caso solo se necesita plantear una ecuación de equilibrio, pues solo hay un momento desconocido, M2. Esta ecuación se obtiene sumando las pendientes en el apoyo 2, igualando las pendientes de la izquierda con las pendientes de la derecha.
θ2Izq θ2 Der .
θ21 β21 θ23 β23
P L21 M L 2 1 16 EI 3EI
w L32 M L 2 2 24 EI 3EI
6M2 8M2 500 (6) 2 300 (8) 3 16 3 24 3
M2 = 1,612.50 kg.m Reacciones verticales. Se obtienen por equilibrio estático mediante suma de momentos a la izquierda o a la derecha de los soportes. 500 kg
3.00
3.00
1
Criterio de signos:
300 kg/m
8.00 m. 2
3
1612.50
+
V1
V2
V3
Sumando momentos a la ezquierda del soporte 2: M2 6 V1 1612.50 500 (3) 0
V1 = - 18.75 kg. Sumando momentos a la derecha del soporte 2: M2 300 (8) 4 1612.50 8 V3 0
V3 = 998.4375 kg Sumando cargas verticales: V1 + V2 + V3 - 500 - 300(8) = 0 V2 = 1,920.3125 kg. Ejemplo 2.- Calcule los momentos y las reacciones verticales en los nodos de la viga continua de la figura 22). 300 kg/m 5.00 1
5.00 2
8.00 m 3
3.00 4
Figura 22. Viga continua con carga uniforme en todo el claro.
5
Vigas equivalentes: w
Θ12
Θ21
Interpretar el concepto factor de flexibilidad. Supongamos que tenemos una estructura donde hemos establecido tres direcciones, y sobre las mismas actuarán fuerzas de valor unitario. Aplicaremos a la estructura una carga unitaria por vez y observaremos los desplazamientos que se producen como consecuencia del estado de carga. Los desplazamientos originados en cada dirección los denominaremos flexibilidades y que indicaremos fij, donde i indica la dirección donde se produce y j donde actúa la causa unitaria que lo produce. De esta manera la definición de estos desplazamientos sería: La flexibilidad fij es el efecto cinemático en i producido por una causa estática unitaria que actúa en j. Basándonos en la anterior definición de flexibilidades y aplicando el principio de superposición, los desplazamientos totales Ui que se producirán cuando actúan cargas Pi (fig 3) valen:
Expresado estas ecuaciones en forma matricial tenemos:
Hemos encontrado una relación entre las fuerzas que actúan en determinadas direcciones y los desplazamientos que ocurren en las mismas direcciones. Esta relación lineal se establece a través de matriz F, que es independiente de las cargas P y sólo depende de la estructura y de las direcciones elegidas. La matriz F se denomina Matriz Flexibilidad y está integrada por las flexibilidades fij cuya definición ya realizáramos anteriormente. Estas flexibilidades tienen las siguientes propiedades: fii: flexibilidad directa: Estos efectos son siempre positivos, dado que son los desplazamientos correspondientes con la causa que los producen fij: flexibilidad cruzada: Estas tienen la propiedad, de acuerdo a la ley de Maxwell, de ser igual a fji. Por esta razón la matriz F es simétrica. F = FT Construir la matriz de flexibilidades y la forma matricial del método de la fuerza. La geometría (deformada) de un sólido deformado puede caracterizarse por los movimientos (desplazamientos o giros) de un conjunto de puntos o secciones particulares. En una estructura plana el movimiento de un punto del sólido (ó sección, si se trata de barras) tiene tres componentes: dos traslaciones y un giro. Las componentes del movimiento de un conjunto representativo de puntos de un sólido (entre ellos, probablemente, los propios puntos de aplicación de las cargas Pi) que caracterizan unívocamente el comportamiento deformacional del sólido sometido a las cargas Pi, se denominan, a efectos de análisis estructural, grados de libertad del sólido. Así, por ejemplo: • La proporcionalidad entre la variación de longitud y la carga aplicada expresada en la ley de Hooke, ∆L = L/(EA) N, implica la caracterización del comportamiento deformacional de la barra mediante el movimiento del
punto extremo en la dirección de aplicación de la carga; este movimiento sería, pues, el grado de libertad elegido para el análisis del problema • La proporcionalidad entre el movimiento perpendicular a la barra y la carga aplicada en el extremo de la ménsula expresada en f = L 3/(3EI) P, implica caracterizar el comportamiento deformacional de la ménsula mediante el desplazamiento del punto extremo en la dirección de aplicación de la carga; este movimiento sería el grado de libertad elegido para el análisis del problema; una alternativa podría ser utilizar como grado de libertad descriptivo del problema, el giro en el extremo de la ménsula. Considérese un sólido como el que se muestra en la figura 8.1 sometido a la acción de diferentes cargas (acciones) externas Pi actuando cada una de ellas en un punto i. Por efecto de aplicación de las cargas, un punto genérico i se desplazaría hasta el punto i´ siendo el vector desplazamiento δi del cual la componente en la dirección de aplicación de la carga es ∆i. Definición.- Se denomina coeficiente de influencia o de flexibilidad fij al desplazamiento del punto de aplicación de la carga Pi, en la dirección de dicha carga, cuando actúa una carga unidad en el punto j en la dirección y sentido de Pj. Cuando actúan varias cargas, el desplazamiento ∆i del punto de aplicación de una de ellas, justo en la dirección de la carga Pi, es suma de los desplazamientos producidos por cada una de las cargas actuantes.
El sistema anterior puede ordenarse en forma matricial resultando
A la matriz constituida por los coeficientes fij se la denomina matriz de flexibilidad del sólido. Propiedad.- Los coeficientes de flexibilidad fij y fji son iguales.
EJEMPLO.- Obtener la matriz de flexibilidad de la estructura sometida al sistema de cargas que se muestra en la figura 8.3.
Aplicando los teoremas de Mohr, se obtiene: y, expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial:
Conclusión Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reacción, las fuerzas internas en todos los puntos y las deformaciones. Para estructuras estáticas solo es necesario plantear las ecuaciones de equilibrio para encontrar fuerzas de reacción ya que estas no sobrepasan en número a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de ahí encontramos las deformaciones por los métodos de la doble integración o trabajo virtual. En la solución de estructuras estáticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultáneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes constitutivas del material). Observe que para las estructuras estáticas los métodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben cumplir en todo tipo de estructura. La manera como se manipulan estos tres tipos de ecuaciones en el proceso de solución determina el método. Por ejemplo, en el método de las fuerzas vimos que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en el sentido de las redundantes y después reemplazamos en estas ecuaciones, los desplazamientos en función de las fuerzas redundantes, quedando como incógnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que aquí se ha resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a ser estáticamente determinada, de ahí debemos completar la solución por medio de las ecuaciones de equilibrio estático. En conclusión, se plantean tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este método el numero de incógnitas es el número de redundantes, y las matrices a resolver son de ese orden. El otro método que plantearemos en este capitulo es el de la rigidez o de los desplazamientos. Se llama de rigidez porque las ecuaciones finales a solucionar tienen como incógnitas los desplazamientos en función de las rigideces de los elementos.
En cualquiera de los dos métodos que planteemos se utiliza el principio de superposición, el cual se cumple para sistemas lineales, elásticos y que experimenten desplazamientos pequeños, o sea que las tangentes son iguales a los ángulos. Debido a que en el método de la rigidez se trabaja con los desplazamientos en un punto determinado es importante definir lo que es un grado de libertad. Los procedimientos de Análisis Estructural pueden clasificarse en dos grandes métodos esencialmente diferentes: a) Método de las Fuerzas b) Método de Rigidez (o de los Desplazamientos) También existen métodos mixtos en los que las incógnitas son simultáneamente fuerzas y desplazamientos, pero no serán tratados en este curso. En muchos casos de aplicación corriente, el Método de las Fuerzas conduce a un sistema de ecuaciones con un número menor de incógnitas que el de Rigidez y por eso en el pasado se lo prefería para cálculos manuales. En la actualidad, la mayoría de los programas de computadora se basan en el Método de Rigidez por ser más sistemático y, por ende, más fácil de programar.
