UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Universidad Nacional de Trujillo FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUEL A A CA DÉMICO PROFESION AL DE INGENIERÍA META LU RGICA
EJERCICIOS RESUELTOS CURSO
: Mec á ni ca
DOCENTE
: B ric eñ o
De Me tal es .
Ro ld an B rau lio .
INTEGRANTES: INTEGRANTES: Alvarez Rodriguez, Jose Luis. Baca Garcia Luis Angel. Carranza Chanca, Omar Antonio. Mejia campos, Jose Aderlin.
CICLO
Sanches Estrada, Diego. Zavala Rios; Miguel Angel.
: IV
Trujillo- Perú
MECANICA DE METALES
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CIRCULO DE MOR PARA ESFUERZOS PLANOS. 5-2.1.- Los componentes de esfuerzos plano en un punto p de un material son , Y Y ¿Cuáles son los esfuerzos
? Solución
Según enunciados del problema:
Calculamos
utilizamos la siguiente formula:
Calculamos
utilizamos la siguiente formula:
Calculamos
utilizamos la siguiente formula:
MECANICA DE METALES
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5-2. 5-2.2. 2.-- Los com ponentes de los esfuerzos planos en un pun to p d e un material material so n: y . ¿Cu áles so n lo s
esfuerzos en el pun to? Solución
Según enunciados del problema:
Calculamos utilizamos la siguiente formula:
Calculamos
utilizamos la siguiente formula:
Calculamos
utilizamos la siguiente formula:
MECANICA DE METALES
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5-2.3.- Los componentes de los esfuerzos planos en un punto p de un material son: Y . ¿Cuáles
son los esfuerzos en el punto? Solución
Según enunciados del problema:
Calculamos
utilizamos la siguiente formula:
utilizamos la siguiente formula:
Calculamos
Calculamos
utilizamos la siguiente formula:
MECANICA DE METALES
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5-2.4.- Durante el despliegue, los medidores de la deformación situados en la tobera del motor principal del transbordador espacial determinan que las componentes de esfuerzo plano son: Y
. ¿Cuáles son los esfuerzos en ese
punto?
Solución
Según enunciados del problema:
Según las ecuaciones:
Sumando (1) y (2) obtenemos:
……………………………………(4)
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Restamos (1) y (2) obtenemos y luego copiamos (3):
…………(5)
( ) ( ) ) ( Luego de la ecuación (5)
Por ultimo sumamos la ecuación (4) y (6)
MECANICA DE METALES
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5-2.5.- Los componentes de los esfuerzos planos en un punto p de un material con referencia al sistema de coordenadas son:
y y las componentes con referencia al sistema de coordenadas son Y ¿Cuál es el ángulo Solución
Según enunciados del problema:
Usando las formulas tenemos:
MECANICA DE METALES
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De la ecuación (3) tenemos:
En la ecuación (1) remplazamos la ecuación (4).
MECANICA DE METALES
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5-2.6.- Las componentes de esfuerzo plano en un punto p de una broca durante una perforación son σx=40Ksi, σy= -30Ksi, y las componentes son referencia al sistema de coordenadas x´ y´ y z´ son σ´x=12.5Ksi, σ´y=2.5Ksi y τ´xy=45.5Ksi. ¿Cuál es el angulo ϴ ? Según enunciados del problema:
σx=40Ksi
σ´y=-2.5Ksi
σ´x=12.5Ksi
τxy=30Ksi
σy=-30Ksi
τ´xy=45.5Ksi
Ahora:
Reemplazamos:
=>
MECANICA DE METALES
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5-2.7.-las componentes de esfuerzo plano en un punto p de un material con referencias al sistema de coordenadas son: Y Si ¿cuáles son los esfuerzos ?
Solución
Según enunciados del problema:
Según las ecuaciones
Sumando (1) y (2) resulta:
Luego restamos (1) de (2)
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Luego restamos las ecuaciones (5) de (3)
( ) Luego restamos ecuación (4) y (6)
Usando ecuación (3); despejamos y reemplazamos:
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5-2.8. Un punto p del chasis del automóvil que se muestra abajo se encuentra sujeto a las siguientes componentes del esfuerzo plano σ´x=32MPa, σ´y=-16MPa y τ´xy= -24MPa. Si ϴ= 20°, ¿Cuáles son los esfuerzos σx,σy,τxyen el punto p? Según enunciados del problema: σ´x=-32MPa σ´y=-16MPa τ´xy=--24MPa ϴ=20°
Ahora:
= τxy
MECANICA DE METALES
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5-2.9.En el problema 5- 2.8. ¿Cuáles son los esfuerzosσx,σy,τxyen el punto p si ϴ= -40°? En el problema anterior: ϴ= -40°
=>ϴ= 140°
5-2.18. Un punto p del ala de un aeroplano se encuentra sujeto a un esfuerzo plano. Cuando ϴ= 55°, σx=100 psi, σy= -200psi y σ´x= -175psi.Determinar los esfuerzos τxyyτ´xyen el puto p. Según enunciados del problema:
σx=100 psi
σy=-200psi
σ´x=-175psi
ϴ= 55°
MECANICA DE METALES
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5.2.19.- en condiciones diferente de vuelos el aeroplano del problema 5-2.18, las componentes de esfuerzos , Y
. Determine el esfuerzo y el ángulo . Solución Datos:
-80 = -20 + 100 cos 2 - 100 sin 2 40 = -20 - 100 cos 2 +100 sen 2 = -100 sen 2 – 100 cos 2
() () ()
√ √ √ √ √ √
MECANICA DE METALES
= -100 sen 2 – 100 cos 2
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5-3.1. Las componentes de esfuerzo plano en un punto “p” de un material son =20MPa, =0 y = 0, y el ángulo es . Utilice el círculo de
Mohr para determinar los esfuerzos y en el punto “p”. Solución. Datos:
P: (20.0) Q: (0.0)
P’ = (10, -10)
P (20, 0)
Q ’ = (10, 10)
MECANICA DE METALES
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5-3.2.-Las componentes de esfuerzo plano en un punto en un punto p de un material son , Y Y el ángulo º. Utilice el
circulo de mohr para determinar los esfuerzos es las componentes con referencia al sistema de coordenadas son en el punto p.
Solución
º
P: (0,25) Q: (0,-25)
Q = (0, -25)
Q ’ (-25, 0)
P’ (25, 0)
P= (0, 25)
MECANICA DE METALES
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5-3.3.- Las componentes de esfuerzo plano en un punto en un punto p de un
, Y Y las componentes con referencia al sistema de coordenadas son y . Utilice el círculo de mohr para determinar el ángulo . material son
Solución
P: (240,240)
’ : (347,-887)
Q: (-120,-240)
Q’ : (-227, 87)
.
Q = (120, -240) P’ (317,-87)
Q ’ (-227, 87)
P= (240, 240)
MECANICA DE METALES
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5-3.4.-Utilice el circulo de mohr para determinar las componentes de esfuerzo en un punto de una de las toberas del motor principal del transbordador espacial del problema 5-2.4. Solución
.
Los esfuerzos hallados en un punto
Coordenadas: (64,0)
(66.46, 675)
(-120,-240)
: (82.54, -675
Q ’ (82.54, -675)
P= (64, 0)
Q = 85, 0
P’ (66.46, 675)
MECANICA DE METALES
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5-3.5 Las componentes de esfuerzo plano en un punto (p) de un material con referencia al sistema de coordenadas son
y , y el ángulo º utilice el circulo de mohr para determinar los esfuerzos , en el punto (p). Solución
Según enunciados del problema:
Los esfuerzos hallados
( ; )
P’
40
( ; )
P’= -8 -16
Q’= 6,16
MECANICA DE METALES
Q’
P= 4 -10
Q= -6, 10
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5-3.6 los compnentes de esfuerzo plano en un punto de (p) de una broca durante una perforación son , Y ,y las
componentes con referencia la sistema de coordenadas son y utilice el circulo de mohr para determinar el angulo Solución:
Datos:
(64,0)
(66.46, 675)
(-120,-240)
: (82.54, -675)
Q’
Q
2Ɵ
P P’
MECANICA DE METALES
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2-2.2 la deformación longitudinal correspondiente a un punto de un material y a la dirección de una línea de longitud en el estado de referencia es ¿cuál es la longitud en la línea en el estado de deformación?
Solución: Datos:
= ¿?
′
′
2-2.4 la longitud de una línea curva en un material que se encuentra en el estado de referencia es L=0.2 m. el material sufre una deformación de manera que el valor de la deformación longitudinal en la dirección tangente a la línea curva es =0.03 en cada punto de la línea ¿Cuál es la longitud de la línea en el estado de deformación?
Solución: Datos:
MECANICA DE METALES
∫ ∫
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2.2.6. En la figura la coordenada mide la distancia a lo largo de la línea curva en el estado de referencia. La longitud de la línea es =0.2m. El material sufre una deformación de manera que el valor de la deformación longitudinal en la dirección tangente a la línea curva es . ¿Cuál es la longitud ´ de la línea en el estado de
deformación?
Solución: Datos:
MECANICA DE METALES
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2-2.8 una barra prismática de 4 pie de longitud se encuentra expuesta a fuerzas axiales que incrementan su longitud a 4.025 pie. Si se asume que la deformación longitudinal en la dirección del eje de la barra es uniforme (constante) a lo largo de su eje, ¿cuál es el valor de
Solución: Datos:
∫ ∫
2-2.10 una barra prismática se encuentr4a sujeta a cargas que causas deformaciones axiales uniformes en su mitad izquierda y en su mitad derecha ¿Cuál es el cambio resultante en longitud de la barra de 28 pulgadas. Solución: Datos:
Derecha:
14 pulg
Izquierda:
14 pulg
MECANICA DE METALES
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2-2.12. En un experimento de ondas de choque, el lado izquierdo de una lámina de acero con un espesor de 100 mm se somete a una velocidad constante de 1.5 km/s hacia la derecha en el tiempo t=0. Como resultado, una onda de choque recorre la lámina con una velocidad constante U>1.5 km/s. Hacia la derecha de la onda de choque, el material de la lámina permanece invariable y no esta deformado. Hacia la izquierda de la onda de choque, el material se mueve con una velocidad uniforme de 1.5 km/s y se encuentra sometido a una deformación longitudinal homogénea (uniforme) ϵ. Si los instrumentos ópticos indican que la onda de choque llegara al lado derecho de la lámina en el tiempo . ¿Cuál es el valor de ϵ?
Solución.
MECANICA DE METALES
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2-2.14 cuando se encuentra sin cargas. La barra no prismática de la figura tiene una longitud de 12 pulgadas. Las cargas causan una deformación axial que es dada por la ecuación =0.04 /(x + 12), dodne x es la distancia desde el extremo izquierdo de la barra en pulgadas. ¿cuál es el cambio en la longitud de la barra? Solución:
12 pulg
∫ ∫ ||
2.2.20 un tubo acero(a) tiene un radio extremo r=20 mm. El tubo se presuriza. Aumentando su radio extremo a r =20.04mm (b). ¿Cuál es la deformación longitudinal resultante de la circunferencia exterior de la barra en la dirección tangente a la circunferencia. Solución: r
∫ ∫
r= 20mm
r¨
r¨=20.04mm
MECANICA DE METALES
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2-2.21. El ángulo entre dos líneas infinitesimales dL1 y dL2, que son perpendiculares en un estado de referencia, es igual a 120° en un estado de deformación. ¿Cuál es el valor de la deformación por esfuerzo cortante en este punto correspondiente a las direcciones dL1 y dL2? Solución. Según los enunciados del problema:
dL2
dL’2
90 º
dL1 ESTADO DE REFERENCIA
º
dL’1
ESTADO DE DEFORMACION:
MECANICA DE METALES
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2-2.22. Cuando el ala de un avión no está cargada (el estado de referencia), las líneas perpendiculares L1 y L2 sobre la superficie superior del ala izquierda tienen, cada una, una longitud de 600 mm. En el estado cargado, L1 tiene 600.2 mm de largo y L2 tiene 595 mm de largo. Si se supone que son uniformes, ¿cuáles son las deformaciones longitudinales en las d2direcciones L1 y L2? Solución. Según los enunciados del problema:
*Cuando el ala de un avión no está cargada: (ESTADO DE REFERENCIA)
*Cuando está cargada: (ESTADO DE DEFORMACION)
L1= 600 mm
L’1= 600.2 mm
L2 = 600 mm
L’ 2 = 595 mm
L
L’
L1
L’1
L2
MECANICA DE METALES
L’2
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2-2.23. En el problema 2-2.22, el ángulo entre las líneas L1 y L2 en el punto donde se cruzan es 90.2° en el estado cargado. ¿Cuál es la deformación por esfuerzo cortante relativa a las direcciones L1 y L2 en ese punto? Solución.
Según enunciados del problema anterior y este: *En estado de referencia:
*En estado de deformación:
Θ=90.2º=90.2/180(π)
90º=π/2
Dado que piden deformación de esfuerzo cortante usamos:
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2-2.24. Dos líneas infinitesimales dL1 y dL2 aparecen ilustradas en el estado de referencia y en el estado de deformación. (Las líneas dL1 dL2, dL’1 y dL’2 están contenidas en el plano x-y). ¿Cuál es la deformación por esfuerzo cortante en este punto correspondiente a las direcciones dL1 y dL2? Solución. Según enunciados:
*Estado de referencia:
*En estado de deformación:
`
30º
θ
10º
`
*Según la gráfica:
Luego:
MECANICA DE METALES
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2-2.27. Dos líneas infinitesimales dL1 Y dL2 en un material son paralelos a los ejes “x” y “y” en un estado de referencia [figura(a)]. Después de un movimiento y de una deformación del material, dL1 apunta en la dirección del vector unitario e1=0.667i +0.667j+0.333k, y dL2 apunta en la dirección del vector unitario e2=-0.408i+0.816j-0.408k [figura (b)]. ¿Cuál es la deformación por esfuerzo cortante relativa a las direcciones dL1 y dL2? Solución. Ordenando los enunciados:
Y
Y
e1
e2 Ɵ
dL2
dL2 dL1
dL1
X
X
Z
Z ESTADO DE REFERENCIA
ESTADO DE DEFORMACIÓN
⃗ ⃗ Obteniendo módulo de los vectores
⃗ y ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MECANICA DE METALES
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Luego reemplazando valores en:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2-2.28. En el problema 2-2.27, supóngase que des pués del movimiento y de la deformación del material, dL1 apunta en la dirección del vector unitario e1=0.667i +0.667j+0.333k, y dL2 apunta en la dirección del vector unitar io e2=-0.514i+0.686j+0.514k. ¿Cuál es la deformación por esfuerzo cortante relativa a las direcciones dL1 y dL2? Solución. Ordenando los enunciados:
Y
Y
e1
e2 Ɵ
dL2
dL2 dL1
dL1
X
X
Z Z
MECANICA DE METALES
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ESTADO DE REFERENCIA
ESTADO DE DEFORMACIÓN
⃗ ⃗ Obteniendo módulo de los vectores
⃗ y ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Luego reemplazando valores en:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
MECANICA DE METALES
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2-2.30. Para el rectángulo infinitesimal en un punto en el estado de referencia del material citado en el problema 2-2.29, supóngase que en un estado de deformación, las deformaciones longitudinales en las direcciones dL1, dL2, dL son є1=0.030, є2=0.020 y є=0.038, respectivamente. ¿Cuál es la deformación por esfuerzo cortante relativa a las direcciones dL1 y dL2? Solución. :
=0.030 =0.020 =0.038
40º
θ=40º
:
MECANICA DE METALES
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2-2.31. Un rectángulo infinitesimal en un punto en el estado de referencia de un material se convierte en el paralelogramo que se representa en el estado de deformación. Determine (a) la deformación longitudinal en la dirección dL1; (b) la deformación longitudinal en la dirección dL2; (c) la deformación por esfuerzo cortante correspondiente a las direcciones dL1 y dL2. Solución. Según enunciados del problema: Estado de referencia
Estado de deformacion.
120°
°
CASO(A):La deformación longitudinal de la dirección
CASO (B): La deformación de la dirección
sera:
sera:
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO CASO (C): Estado de referencia.
y
y
x
°
x
Luego:
6-2.2. Las componentes de deformación plana en un punto p son ϵx=0, ϵy=0, y ϒxy=0.004.Si ϴ=45°, ¿Cuáles son las deformaciones ϵ´x, ϵ´y, y ϒ´xy en el punto p?. Solución
′xy
MECANICA DE METALES
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO 6-2.4 Las componentes de deformación plana en un punto p de una broca durante una perforación petrolera son y y las
componentes con referencia al sistema de coordenadas son y . Si ¿Cuáles es el ángulo ? Solución
P: (0.004; 0.003) Q: (-0.003; 0.003) P’ :(0.00125; 0.00455) Q’ : (-0.00025; -0.00455)
Q’
Q
2Ɵ = 320 Ɵ = 160 = -20
2Ɵ
P P’
MECANICA DE METALES
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO 6-2.6 Durante el despegue, la deformimetros acoplados a una de las toberas del motor principal del transbordador espacial determinan que las componentes de deformación plana en un punto y para
orientado con ángulo ¿Cuáles son
un sistema de coordenadas deformaciones son y ?
las
Solución Según enunciado del problema:
De (1) y (2)
De (3)
En (1)
MECANICA DE METALES
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y . Determinar y el ángulo . 6-2.8. las deformaciones
Solución Según enunciado del problema:
) Q (-0.006; -0.012) P’ (0.0014; ) Q’ (-0.012; ) P(
Q
) Q’ () P(
P’’
Q’
2Ɵ
2Ɵ =38 Ɵ = 19,
Ɵ 2Ɵ’ =81 P’
Ɵ = 40.5,
Q’’
P
MECANICA DE METALES
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO 6-2.10 Un punto P de la cubierta de un cojinete está sujeto a un estado de esfuerzo plano y las componentes de la formación son y
. Si ¿Cuáles son las deformaciones son y en p ? Solución Según enunciado del problema:
;) Q: (; )
P: (
;) Q (; ) P(
P Q 40°
Q’
P’
MECANICA DE METALES
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO 6-2.12 Los puntos P y Q se encuentran separados 1mm en el estado de referencia de un material. Si el material está sometido a un estado homogéneo de deformación plana y . ¡Cuáles la distancia entre los puntos
P y Q en el material deformado?
Solución Según enunciado del problema
Y
Q
60 ° P
MECANICA DE METALES
X
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6-2.14. Los puntos P y Q del ala del avion Concorde del problema 6-2.13 están separados 2 mm cuando el ala no está sometida a esfuerzo. En una condición particular de vuelo, se encuentran separados 1.992 mm. El material esta en esfuerzo plano. Si ϵx=-0.0088 y ϵy=0.0024, ¿Cuál es el valor de ϒxy?. Solución: Según lo planteado en el problema :
ϵx=-0.0088 ϵy=0.0024 ϒxy=? Resolviendo:
L´=1.992 L=2 mm
∫ 1.992-2=∫ L´-L=
ϵx=0.004 ϴ=50°
-0.004 = -0.0088.cos250 + 0.0029.sen250 + ϒxy.sen50°.cos50° ϒxy = -0.00360
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