TRABAJO ENCARGADO PROBLEMAS PROPUESTOS Y RESUELTOS PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN 1) ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente? a) 7 b) 2 c) 12 d) 8 e) 14 Solución Número de resultados en la moneda = 2 c s Numero de resultados en el dado = 6 1 2 3
4
5
6
Por el principio de multiplicación se tiene: tiene: 2*6 = 12
Por lo tanto: Se tienen 12 resultados diferentes
RESPU RE SPUEST ESTA A c
2) Margarita dispone de 3 blusas distintas, 4 faldas distintas y 2 pares de zapatos también distintos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir Margarita utilizando los tres tipos de prenda? a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 28 Solución Elige una blusa (3 formas diferentes) = 3 Elige una falda (4 formas diferentes) = 4 Elige un zapato (2 formas diferentes) = 2
Por el principio de multiplicación multiplicación se tiene: 3*4*2 3*4*2 = 24
Por lo tanto: Mar arita se uede vest vestir ir de 24 mane maneras ras dife diferent rentes es RE RESPU SPUESTA ESTA d
3) ¿Cuántos números impares de dos cifras existen? a) 84 b) 48 d) 112 e) 45
c) 96
Solución # de columnas del 1 al 9 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 9 # de filas impares (1, 3, 5, 7, 9) = 5
Por el principio de multiplicación se tiene: 9*5 = 45
Por lo tanto: Se tiene 45 números im ares de dos cifras
RESPUESTA e
4) Se lanzan 3 dados simultáneamente. ¿De cuántas formas puede ocurrir que los 3 dados muestren números diferentes? a) 48 b) 54 c) 60 d) 72 e) 120 Solución
Analizando tenemos: dado N° 1 1 2 3 4 5 6
6 opciones dado N° 2 1 2 3 4 5 6
5 opciones dado N° 3 1 2 3 4 5 6
4 opciones
Por el principio de multiplicación se tiene: 6*5*4 = 120
Por lo tanto: Puede ocurrir de 120 formas diferentes
RESPUESTA e
PERMUTACIONES 1) Hallar todas las permutaciones posibles de las cifras del número 325. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Solución
Analizando tenemos: Pn = n! 325 = 3 cifras = n P3 = 3! P3 = 1*2*3 P3 = 6
Por lo tanto: El número de permutaciones posibles es 6 RESPUESTA (c) 2) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar Ángel, Beto, Carlos y Daniel en una fila de 4 asientos? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 24 Solución
Analizando tenemos: Personas
Ángel
Beto
Asientos
Carlos Daniel
1
4
3
4
Permutando tenemos
2
( )
Remplazando
( )
Por lo tanto: Se ueden ubicar de 24 maneras distintas
RESPUESTA e
4
3) 3 mujeres y 3 hombres desean sentarse en una fila de 6 asientos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse si deben quedar sentados en forma alternada? a) 36 b) 72 c) 48 d) 96 e) 84 Solución
Analizando tenemos: H1
6 Asientos M1 H2 M2 H3 M3
Como son intercalados se tiene: 3 mujeres = , 3 hombres = , 2 alternados (hombre y mujer) =
Resolviendo se tiene.
()
(
)
(
)
Por lo tanto: Se ueden ordenar de 72 maneras diferentes
RESPUESTA d
4) Se tienen 7 libros de diferentes autores, siendo tres de ellos de matemática y el resto de física. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en un estante si queremos que los de matemática siempre deben ir juntos? a) 360 b) 480 c) 510 d) 720 e) 840 Solución
Analizando tenemos: M1 M2 M3 F1 F2 F3 F4
Resolviendo se tiene.
( ) ( )
Por lo tanto: Se ueden ordenar de 720 formas diferentes
RESPUESTA d
5) ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda 7 personas? a) 360 b) 480 c) 510 d) 720 e) 840 Solución
Analizando tenemos:
Como es una permutación circular , entonces las 7 personas tienen 6 formas de ubicarse Pc (n) = (n-1)! Remplazando tenemos Pc (7) = (7-1)! Pc (7) = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720
Por lo tanto: Se ueden sentar de 720 formas diferentes
RESPUESTA d
6) Calcular el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden obtener permutando las letras de cada una de las siguientes palabras: I. MANZANA II. ALFALFA III. CATARATA a) 360; 210; 108 b) 420; 210; 840 c) 120; 180; 210 d) 108; 142; 196 e) 180; 172; 240 Solución
Analizando tenemos: I. En MANZANA hay 7 letras M= 1 letra A= 3 letras N= 2 letras Z = 1 letra
II. En ALFALFA hay 7 letras A= 3 letras L= 2 letras F= 2 letras
III. En CATARATA hay 8 letras C = 1 letra A = 4 letras T = 2 letras R = 1 letra
Por lo tanto: El total de alabras obtenidos son: I 420 II 210 III 840 RESPUESTA b
7) Se quiere confeccionar una bandera conformada por 5 f ranjas verticales. Si se dispone de tres franjas de tela de color blanco y dos de color rojo. ¿Cuántas opciones diferentes hay para escoger el modelo de la bandera? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 Solución
Analizando tenemos: B
B
B
R
N=5 K1=3 K2 =2
Permutando tenemos
Por lo tanto: Se tiene 10 o ciones diferentes ara esco er
RESPUESTA b
R
8) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en una fila 7 bolas de billar (de igual forma y tamaño) si dos son rojas, cuatro amarillas y una blanca? a) 120 b) 105 c) 114 d) 124 e) 136 Solución
Analizando tenemos: R=rojo A= amarillo B= blanco
7 bolas de billar R
R
A
A
A
A
B
Permutando tenemos
Por lo tanto: Se uede ordenar de 105 maneras diferentes
RESPUESTA b
TALLER DE PROBLEMAS 1) En la figura mostrada, cada línea representa un camino. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ciudad A a la ciudad C?
A
B
C
Solución
Analizando tenemos: De A a B, Hay 5 Formas De B a C, Hay 7 formas
Por el principio de multiplicación se tiene: 5*7 = 35
Por lo tanto: De la ciudad A a la ciudad C se uede ir de 35 formas
RESPUESTA
2) En una fila de 6 butacas. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar seis personas? Solución
Analizando tenemos: 6 butacas 1 2 3 4
5
6
6 personas Permutando tenemos:
( )
( )
Por lo tanto: Se ueden sentar de 720 formas diferentes
RESPUESTA
3) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 6 amigas en una fila de 6 asientos si María, y Angélica siempre deben estar en los extremos? Solución
Analizando tenemos: M = María A = Angélica Y = amigas
M
Y
Y
Y
Y
A
Permutando tenemos:
Por lo tanto: Se ueden sentar de 48 maneras diferentes
RESPUESTA
4) En una fila de 8 sillas se sientan 5 mujeres y 3 hombres. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar si las mujeres deben estar juntas y los hombres también? Solución Analizando tenemos: M=mujeres H=hombres M
M
M
M
M
H
H
H P33
Permutando tenemos:
Por lo tanto: Se pueden ordenar de 1440 maneras diferentes
RESPUESTA
5) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 9 damas en una fila de 9 asientos, si Mirian y Andrea siempre deben estar juntas? Solución Analizando tenemos: M = Mirian A = Andrea D = damas M
A
D
D
D
D
D
D
D
Permutando tenemos:
Por lo tanto: Se ueden ubicar de 80640 maneras diferentes RESPUESTA
6) ¿Cuántas permutaciones diferentes se pueden realizar con las letras de la palabra BANANA? Solución
Analizando tenemos: En BABANA hay 6 letras B = 2 letras A = 3 letras N = 1 letra
Permutando tenemos:
Por lo tanto: Se ueden realizar 60 ermutaciones diferentes
RESPUESTA
7) ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 5 hombres y 3 mujeres en una fila de 8 asientos, si las mujeres no deben sentarse juntas? Solución
Analizando tenemos:
Permutando tenemos:
Por lo tanto: RESPUESTA
8) ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa Ángel y su cinco amigos?
Solución
Analizando tenemos:
Como es una permutación circular , entonces las 6 personas tienen 5 formas de ubicarse Pc (n) = (n-1)! Remplazando tenemos Pc (6) = (6-1)! Pc (6) = 5! = 1*2*3*4*5 = 120
Por lo tanto: Se ueden sentar de 120 maneras diferentes
RESPUESTA
COMBINACIONES 1) ¿Cuántos grupos de 3 personas se pueden formar de un total de 7 personas? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 Solución
Analizando tenemos: 7 personas 1 2 3 4
5
Grupos de 3 personas Realizando la combinación tenemos: Remplazando:
()
6
Por lo tanto: Se uede formar 35 ru os
RESPUESTA e
7
()
2) En un plano hay 10 puntos ubicados de tal forma que ningún trio de ellos sean colineales. ¿Cuántos triángulos se pueden dibujar con tales puntos como vértices? a) 120 b) 130 c) 140 d) 124 e) 132 Solución Analizando tenemos: Formando triángulos (trio)=3 10 puntos en el plano
Realizando la combinación tenemos: Remplazando:
()
( )
Por lo tanto: Se ueden dibu ar 120 trián ulos
RESPUESTA a
3) En una reunión hay 6 hombres y 8 mujeres. ¿De cuántas maneras se pueden formar grupos de 5 personas donde 3 sean hombres y 2 mujeres? a) 320 b) 380 c) 460 d) 560 e) 580 Solución
Analizando se tiene:
PERSONAS QUE EN LA REUNI N HOMBRES MUJERES TOTAL 6 8 3 2
5
Realizando la combinación tenemos:
Remplazando:
()
()
( )
Por lo tanto: Se uede formar 560 ru os
RESPUESTA d
4) Con 7 fichas negras y 4 blancas se desea formar grupos de 6 fichas cada uno. ¿De cuántas maneras podrán formarse los grupos, si deben haber como mínimo dos fichas blancas? a) 256 b) 324 c) 371 d) 382 e) 400 Solución
Analizando se tiene: SE TIENE LAS FICHAS NEGRAS BLANCAS TOTAL 7 4 2 4 3 3 2 4
6
Realizando la combinación tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
35*6 + 35 *4 + 21*1 210 + 140 + 21 = 371
Por lo tanto: Se deben de formar ru os de 371 maneras
RESPUESTA c
5) ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en total en un campeonato donde participan 20 equipos, sabiendo que se juega a dos ruedas? a) 320 b) 380 c) 420 d) 120 e) 740 Solución
Analizando tenemos: En los torneos se juega un partido con dos equipos = K=2 Los participantes son =20 = n
Realizando la combinación tenemos:
Remplazando:
( )
()
Como dice dos ruedas, entonces 190 * 2 = 380
Por lo tanto: Se ue an 380 artidos de fútbol
RESPUESTA b
