I TRABAJO ENCARGADO DE ESTADISTICA II-2018-II (1).docx

I TRABAJO ENCARGADO DE ESTADISTICA II  – DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS (discretas y continuas) VARIABLES ALEATORIAS

1. Una muestra aleatoria con reposición reposición de tamaño n=2 se selecciona del conjunto {1,2,3} produciendo el espacio equiprobable de 9 elementos. S={(1,1),(1,2),(1.3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} Sea X la suma de los dos números. (a) Encuentre la distribución ƒ de X.

(b) Encuentre el valor esperado E(X). 2. Encuentre la media µ = E(X), la varianza σ 2 =var(X) y la desviació n estándar σ= σ x de la distribución

Xi P(Xi)

1 0.3

3 0.1

5 0.4

7 0.2

TOTAL

3. Un servicio de atención al cliente estima que la distribución de probabilidad de la variable X = “Numero de clientes atendidos por hora” es la siguiente:

 A) B) C) D)

Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL T OTAL P(Xi) 0.01 0.12 0.22 0.32 0.20 0.08 0.03 0.02 Halle la función de distribución de la variable X ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora utilice este servicio un mínimo de cinco clientes? clientes? ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora sean atendidos atendidos más de dos y como máximo cinco clientes? Si se sabe que en una hora hora determinada algún cliente ha utilizado el servicio, servicio, ¿Cuál es la probabilidad de que hayan sido más de tres?

4. Una variable aleatoria X queda caracterizada por la función:  A) Determine el valor de K B) Obtenga la función de distribución C) Calcule P(1 ≤ X ˂ 3); P(2 ˂ X ≤ 4); P( X ˃ 2)

P(X)= K/X

si

X=1, 2, 3 y 4.

5. La función de cuantía (función de la distribución de probabilidad) de una variable aleatoria es: 0.05 0.10 P(X) = 0.15 0.20 0

para X = 1 y X = 8 para X = 2 y X = 7 para X = 3 y X = 6 para X = 4 y X = 5 Otros casos

 A) Compruebe que es una función de cuantía (distribución probabilística) B) Determine la función de distribución D) Obtenga las siguientes probabilidades: P(3 ≤ X ˂ 6); P(1 ˂ X ≤ 4); 6. La función de densidad que caracteriza a la variable aleatoria X es: f(X)= 0

P( X ˃ 2)

y

P( X ˂ 4)

1/K 1 ≤ X ≤ 5 Otros casos

 A) Determine el valor de K B) Obtenga la función de distribución probabilística C) Calcule P(X ≤ 3); P(1.5 ≤ X ˂ 4); P( X ˃ 2) DISTRIBUCION BINOMIAL

7. Existe una empresa que produce vasos, y se sabe que históricamente históricamente el 2 % de estos salen fallados. Por otro lado existe un comprador que tolera el 2 % de Nº fallos, si el valor es mayor rechaza el lote completo que quiere comprar. Se decide tomar una muestra de 100 vasos, ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador acepte el lote? 8. El Ministerio del Trabajo reporta que 20% de la fuerza de trabajo en un pueblo está desempleada. De una muestra de 14 trabajadores, calcule las siguientes probabilidades con la fórmula de la distribución binomial (n=14, p=0.2): Resuelva:

a) Tres están desempleados. b) Al menos un trabajador está desempleado. c) A lo más dos trabajadores están desempleados. 9. Si el 15 % de las piezas producidas por una máquina son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo una sea defectuosa? 10. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está com unicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos? 11. La probabilidad de que disco compacto dure al menos un año sin que falle es de 95%. Calcule la probabilidad de que en 15 de estos aparatos elegidos al azar, a. 12 duren menos de un año d. Obtenga la MEDIA y VARIANZA de la b. A lo más 5 duren menos de un año variable aleatoria del problema. c. Al menos 2 duren menos de un año 12. Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica se inyectan ratas albinas con un fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general, 4 de cada 20 ratas mueren a causa del fármaco antes de que el experimento haya concluido. Si se trata a 10 animales con el fármaco, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 lleguen vivas al final del experimento? 13. Dañando los cromosomas del óvulo o del espermatozoide, pueden causarse mutaciones que conducen a abortos, defectos de nacimiento, u otras deficiencias genéticas. La probabilidad de que tal mutación se produzca por radiación es del 10 %. De las siguientes 150 mutaciones causadas por cromosomas dañados, ¿cuántas se esperaría que se debiesen a radiaciones? ¿Cuál es la probabilidad de que solamente 10 se debiesen a radiaciones? 14. El 10% de las personas tiene algún tipo de alergia. Se seleccionan aleatoriamente 100 individuos y se les entrevista. Hallar la probabilidad de que, al menos, 12 tengan algún tipo de alergia. Hallar la probabilidad de que, como máximo, 8 sean alérgicos a algo. 15. Una prueba de laboratorio para detectar heroína en sangre tiene un 92% de pre cisión. Si se analizan 72 muestras en un mes, ¿cuál es la probabilidad de que: a. 60 o menos estén correctamente evaluadas? c. exactamente 60 estén correctamente b. menos de 60 estén correctamente evaluadas? evaluadas? 16. Un informe del National Center forHealthStatistics, basado en los datos de 1985, afirma que 30 por ciento de la población adulta de EUA son fumadores (A-3). Considere una muestra aleatoria simple de 15 adultos seleccionados en ese momento. Encuentre la probabilidad de que el número de fumadores en la muestra sean: a. Tres b. Menos de cinco

c.

Entre cinco y nueve, inclusive

d. Más de cinco, pero menos de 10 e. Seis ó mas

DISTRIBUCION POISSON

17. Se está haciendo un estudio para ampliar una terminal de taxis y se sabe que en las horas de la tarde de 6 -10 PM el número medio de llegadas es 4.0 personas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de 4 llegadas en una hora? 18. La producción de computadoras trae asociada una probabilidad de defecto del 1.5%, si se toma un lote o muestra de 100 computadoras, obtener la probabilidad de que existan 2 o menos computadoras con defectos. 19. Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen afición a mirar T V de noche, si tomamos una muestra de 150 personas al azar ¿Calcular la probabilidad de que 25 de ellos tengan el hábito de mirar TV de noche? 20. El 6% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un aud itor toma una muestra de 50 registros ¿Calcular probabilidad de que existan exactamente tres registros con problemas? 21. Si cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone de promedio 0.5 huevos al día. Si se recogen los huevos cada 24 horas.

¿Cuál es el número medio de huevos que se recogen en cada visita? ¿Cuál es la probabilidad de que x = 5? 22. Como una forma de hacer control de calidad en una empresa comercializadora de puertas de madera, el dueño exige que antes de salir de la fábrica cada puerta sea revisada en busca de imperfecciones en la superficie de madera. El encargado de control de calidad encontró que el número medio de puertas con imperfecciones es de 0.05%. ¿Cuál es la probabilidad de un lote con 100 puertas tenga 4 imperfecciones o menos? 23. Suponga que una empresa aérea, en promedio, 1 de cada 150 vuelos se retrasan más de una hora, si se programan 1500 vuelos en un mes: a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 vuelos se retrasen más de una hora? b. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 3 vuelos se retrasen más de una hora? c. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 5 vuelos se retrasen más de una hora? 24. La cantidad de errores de transmisión de datos en una hora es 5 en promedio. Suponiendo qu e es una variable con distribución de poisson, determine la probabilidad que, a. En cualquier hora ocurra solamente 1 error c. En 2 horas cualesquiera ocurran no más de b. En cualquier hora ocurra al menos 3 errores 2 errores 25. Un cargamento grande de libros contiene 3% de ellos con encuadernación defectuosa. Utilice la aproximación de poisson para determinar la probabilidad que entre 400 libros seleccionados al azar del cargamento, a. Exactamente 10 libros estén defectuosos b. Al menos 10 tengan defectos. 26. Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p =1/100,000. Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500,000 habitantes haya más de 3 personas con dicha enfermedad. Calcular el número esperado de habitantes que la padecen.

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA 27. Se sabe que de un lote de 40 semillas no está en buenas condiciones la cuarta parte. Se toman al azar 8 semillas

y se analizan en el laboratorio. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de las analizadas estén en malas condiciones? 28. Un fabricante de faros para coches informa que en un envío de 4000 faros a un distribuidor, 500 tenían un ligero defecto. Si se compran al distribuidor 20 faros elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos con defecto? 29. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?. 30. A) ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, B) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad? 31. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regresa para verificación? 32. Se elaboró una pasta dental con un nuevo sabor, y se le dio a probar a un grupo de 10 personas. 6 de ellas afirmaron que les gustaba el nuevo sabor, y las 4 restantes indicaron lo contrario. Se seleccionan 4 de las 10 personas para que participen en una entrevista prolongada. ¿Cuál es la probabilidad de que de las persona seleccionadas para la entrevista a 2 les agrade el nuevo sabor y a 2 no? 33. Un partido político local ha recibido 12 solicitudes de respaldo a 4 puestos que serán seleccionados durante la próxima votación general. De estos 12 solicitantes, 4 son mujeres y 8 hombres. A fin de evitar controversias, el

comité acordó seleccionar por lote a los candidatos que recibirán su apoyo, es decir, al azar. Utilice la distribución Hipergeométrica para determinar la probabilidad de que: a. Exactamente 2 de los candidatos respaldados sean mujeres. b. Los 4 candidatos a respaldar sean mujeres c. Al menos uno de ellos sea mujer 34. EL BUFETE LEGAL HAGEL & HAGEL se localiza en el centro de CINCINATI. Hay 10 socios en la firma, 7 viven en OHIO y 3 en el norte de KENTUCKY. La señora Wendy HAGEL, accionista principal quiere nombrar un comité de 3 socios que examine la posibilidad de cambiar la ubicación al norte de KENTUCKY. Si el comité se selecciona al azar de entre los 10 socios. ¿Cuál es la probabilidad de que: a. Uno de los integrantes del comité viva en el norte de KENTUCKY y los otros en OHIO? b. Por lo menos uno de ellos resida en el norte de KENTUCKY? 35. Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado y las restantes defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar de 3 baterías. Calcule la probabilidad de que en la muestra se obtengan, a. Ninguna batería en buen estado b. Al menos una batería en buen c. No mas de 2 baterías en buen estado estado 36. Una caja de 10 alarmas contra robo contiene 4 defectuosas. Si se seleccionan al azar 3 de ellas y se envían a un cliente. Calcule la probabilidad de que el cliente reciba: a. Ninguna defectuosa b. No mas de una c. Al menos una defectuosa defectuosa

DISTRIBUCION NORMAL

37. Si la media de edad de los alumnos de la universidad es de 21 años, con un desvío estándar de 3.2 años. ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante tenga más de 28 años? 38. Una fábrica produce puertas cuya altura tiene una distribución normal con media de 250 cm y una desviación estándar de 2.60 cm ¿Cuál es la probabilidad que una puerta seleccionada de este grupo tenga una altura entre 244 y 255 cm? 39. Una población de niños en edad escolar tiene una media de 11.5 años y un desvío estándar de 3 años. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño sea entre 8.5 y 14.5 años, más de 10, y menos de 12? 40. La media de notas de un grupo de estudiantes es 70 y el desvío estándar es 10. ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante obtenga más de 80 puntos? ¿Cuál es la proporción de aplazados esperados (P<60 puntos)? 41. Se producen quesos con un diámetro es 35cm y se acepta una varianza de 0.1 cm 2. Si por problemas de envase se rechaza productos con diámetros menores a 34.5cm y mayores a 35.5 ¿Cuál es la probabilidad de rechazo de la producción por problemas de envase? 42. La media de un grupo de ingresos semanales con distribución normal para un gran conjunto de gere ntes de nivel medio, es $1000(dólares), la desviación estándar es de $100(dólares). a. ¿Cuál es el valor de Z para un ingreso X ($1100 y $900)? b. Convertir el ingreso semanal de $225 a una cantidad estándar (valor de Z) y el ingreso semanal de $775 a un valor de Z c. ¿Cuál es la probabilidad de que un ingreso semanal específico seleccionado al azar este entre $790 y $1000? d. ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso semanal específico seleccionado al azar sea menor a $790? 43. Una prueba de vida útil para un gran número de pilas alcalinas tipo “D” , reveló que la duración media para un uso específico antes de la falla, es de 19 horas (h). La distribución de las duraciones se aproxima a una distribución normal. La desviación estándar de la distribución fue de 1.2 horas(h) a. ¿entre que par de valores falló aproximadamente 68% de las pilas? b. ¿entre cuales dos valores ocurrió la falla de alrededor de 95% de las pilas? c. ¿Entre que par de valores fallaron prácticamente todas las fallas?

44. El peso de los artículos producidos por una fabrica tiene distribución Normal con una media de 50 gr. y una desviación estándar de 5 gr. a. Calcule la probabilidad que un articulo elegido al azar tenga un peso de más de 60 gr. b. Calcule la proporción de los paquetes que tendrían un peso entre 46 y 54 gr. 45. Entre los diabéticos, el nivel de glucosa en sangre X, en ayunas, puede suponerse de distribución aproximadamente normal, con media 106 mg/100 ml y desviación estándar 8 mg/100 ml, es decir XN(μ = 106, 2 = 64) a. Hallar P(X  120) b. ¿Qué porcentaje de diabéticos tienen niveles comprendidos entre 90 y 120? c. Hallar P(106  X 110). d. Hallar P(X  121). e. Hallar el punto “x” caracterizado por la propiedad de que el 25% de todos los diabéticos tiene un nivel de glucosa en ayunas inferior o igual a “x”. 46. En cierta especie de aves, se ha detectado una contaminación apreciable de mercurio (Hg) en sangre. La concentración de mercurio en sangre está distribuida normalmente con media 0.25 ppm (partes de Hg por millón, en plasma) y desviación típica 0.08 ppm. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un ave presente un nivel de mercurio en sangre superior a 0.40 ppm? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un ave tenga un nivel de mercurio en sangre entre 0.20 y 0.50 ppm? Nota:

El presente trabajo individual debe ser entregado 5 minutos antes del Examen anunciado.