METODO DEL KRIGING
GEOESTADISTICA
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METODO DEL KRIGING
INTRODUCION
El Kriging es un término que ha sido acuñado para designar al “m ejor
estimador lineal insesgado” (BLUE, en inglés). Esta es una técnica de estimación espacial desarrollada por G. Matheron en los sesentas a partir de los trabajos de D. G. Krige quién fue pionero en el uso de la correlación espacial para propósitos de predicción. Matheron le asigna el nombre de Kriging en honor a Krige. El Kriging es un tipo de interpolación que consta de métodos Geoestadísticos, está basado en modelos estadísticos que incluyen la autocorrelación, es decir, las relaciones estadísticas entre los puntos medios. Gracias a esto, las técnicas de estadística geográfica no solo tienen la capacidad de producir una superficie de predicción sino que también proporcionan una medida de certeza o precisión de las predicciones. Cuando describimos y exponemos el MÉTODO DE KRIGING, estamos citando específicamente un método de estimación local. La estimación local busca estimar o predecir el valor de la variable regionalizada en un sector del campo estudiado, a partir de los datos disponibles (problema de “interpolación” espacial).
El estimador Kriging se considera óptimo ya que: 1. Es insesgado, es decir, el valor esperado del error es cero. 2. Garantiza la mínima varianza de la estimación, es decir, reduce al mínimo la varianza del error de la estimación En el presente trabajo, describiremos el MÉTODO DE KRIGING bautizado así en honor de uno de los precursores de la geoestadística Daniel Krige.
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I.
OBJETIVOS: ✓
En el campo de las ciencias de la tierra es muy común encontrar variables distribuidas espacialmente, para el estudio de estas variables son usados diversos procedimientos geoestadísticos.
✓
Es interpolar la ley a partir de muestras que lo rodean, asignando pasos a cada muestra que se reduzca al mínimo la varianza de estimación. En otras palabras, se interpola la ley con la máxima precisión posible.
✓
El presente trabajo busca explicar uno de las principales teorías en las cuales se ha desarrollado esta ciencia sobre todo para el cálculo de estimación.
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II.
FUNDAMENTOS DE LA GEOESTADISTICA
Geoestadística: Es una ciencia que comprende un conjunto de herramientas y técnicas que sirven para analizar y predecir los valores de una variable que está distribuida en el espacio de una forma continua, es conocida también como estadística espacial. La aplicación de la geoestadística está orientada información Geográfica”
a los SIG
“Sistemas de
(Conjunto de programas informáticos que sirven para
captar, almacenar, recuperar, transformar, Mostrar y analizar diversos tipos de datos espaciales), por esto se la puede definir también como estadística relacionada con datos geográficos.
Para realiza un trabajo estadístico es necesario llevar a cabo los pasos siguientes:
➢
Análisis Exploratorio de los datos:
Básicamente es una etapa de aplicación de la estadística, se estudian los datos puros sin tener en cuenta su distribución geográfica en el espacio. Se verifica la normalidad de los datos y se aplica la transformada de los datos si fuera necesario.
➢
Análisis Estructural
Se estudia la continuidad espacial, es indispensable conocer la distribución geográfica de las variables para realizar esta etapa del estudio. Se calculan los variogramas que expliquen la variabilidad espacial y se ajustan a un variograma teórico. ➢
Kriging
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Estima la variable en los puntos no muestrales, considerando la estructura de correlación espacial seleccionada e integrando la información obtenida de forma directa en los puntos muéstrales.
III.
MARCO TEÓRICO:
I.1 RESEÑA HISTÓRICA La Geoestadística surge en la década del 50 a partir de estudios previos de H. Sichel, D.G. Krige, y B. Matern, con el objetivo de obtener una mayor precisión en la estimación de las reservas minerales. Su punto de partida es el análisis de los fenómenos distribuidos en el espacio, por ejemplo la Geoestadística surge en la década del 50 a partir de estudios previos de H. Sichel, D.G. Krige, y B. Matern, con el objetivo de obtener una mayor precisión en la estimación de las reservas minerales. Su punto de partida es el análisis de los fenómenos distribuidos en el espacio, por ejemplo la La Geoestadística surge en la década del 50 a partir de estudios previos de H. Sichel, D.G. Krige, y B. Matern, con el objetivo de obtener una mayor precisión en la estimación de las reservas minerales. Su punto de partida es el análisis de los fenómenos distribuidos en el espacio, por ejemplo la Hoy por hoy, los dominios de aplicación de la Geoestadística son amplios, ya que a partir del estudio de la variabilidad de sus variables, se obtienen elementos para predecir sus características. Además de la minería que es el campo que le dio origen, se pueden mencionar otras áreas de estudio tales como: el petróleo, (estimaciones de sismos), la pesca (estimación provisiones de peces, profundidad, temperatura del agua), la salud (distribución espacial de enfermedades) ingeniería civil (obras de grandes dimensiones que exigen del conocimiento de la variabilidad espacial del terreno), las finanzas (relación entre el análisis técnico con el análisis económico), la cartografía, la hidrogeología, el medio ambiente, entre otros. En su surgimiento y desarrollo hay tres elementos importantes que destacar: la consolidación de la Geoestadística con los trabajos de G. Matheron en 1965, D.G. GEOESTADISTICA
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Krige, el establecimiento de la escuela de Fontainebleau, y finalmente el desarrollo de la Geoestadística asociada con la informática.
IV.
EL KRIGING
Es un método analítico donde la función de interpolación depende de la autocorrelación espacial de la variable, que se representa en variogramas. Las técnicas de estadística geográfica no solo tienen la capacidad de producir una superficie de predicción sino que también proporcionan alguna medida de certeza o precisión de las predicciones. El kriging es un método de interpolación Geoestadístico, que está asociado con las siglas en inglés B.L.U.E (Best linear unbiased estimador), es lineal porque los estimadores se forman por la combinación lineal de los datos disponibles; tiene 2 características básicas: o
Minimiza la varianza del error (el cuadrado de las desviaciones).
o
Es insesgado porque trata que la suma de los errores sea cercana
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➢
¿Cómo funciona el kriging?
Es un procedimiento geoestadístico avanzado que genera una superficie estimada a partir de un conjunto de puntos dispersados con valores z. A diferencia de otros métodos de interpolación en el conjunto de herramientas de Interpolación, utilizar la herramienta Kriging en forma efectiva implica una investigación interactiva del comportamiento espacial del fenómeno representado por los valores z antes de seleccionar el mejor método de estimación para generar la superficie de salida.
V.
CLASIFICACIÓN DE KRIGING 1. Según el soporte de la medición de los datos. 2. Según la forma del estimador.
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SEGÚN EL SOPORTE DE LA MEDICIÓN DE LOS DATOS. Puntual
Por Bloques
SEG N LA FORMA DEL ESTIMADOR Lineales
No Lineales
Simple Ordinario
Disyuntivo Indicador
Universal
Probabilístico
Residual
VI.
TIPOS DE KRIGING
➢
KRIGING PUNTUAL
➢
KRIGING DE BLOQUES
➢
KRIGING SIMPLE
➢
KRIGING ORDINARIO
➢
KRIGING UNIVERSAL
➢
KRIGING RESIDUAL
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Según el soporte de la medición de los datos 1. PUNTUAL: Opera través de la utilización de unos factores de ponderación. Estos factores de ponderación, para obtener el valor de la variable, se calculan a partir de un sistema de ecuaciones, denominadas ecuaciones de krigeaje, en las que las incógnitas para resolver el sistema se obtienen a partir del semivariograma modelizado. Un ejemplo del citado sistema de ecuaciones para una estimación a partir de 3 puntos, sería el siguiente:
K1Y1,1+K2Y1,2+K3Y1,3+µ=Y0,1 K1Y2,1+K2Y2,2+K3Y2,3+µ=Y0,2 K1Y3,1+K2Y3,2+K3Y3,3+µ=Y0,3 K1+K2+K3=1 donde Ki son los factores de ponderación (Z *=∑KiZi, siendo Z* el valor estimado y Zi los valores conocidos para llevar a cabo la estimación), Y i,j son valores del semivariograma, obtenidos a partir de la ecuación del modelo correspondiente para una instancia i a j. 2. POR BLOQUES:
Según La Forma Del Estimador
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METODO DEL KRIGING 3. LINEALES:
➢
Simple:
Asume que las medias locales son relativamente constantes y de valor muy semejante a la media de la población que es conocida. La media de la población utilizada para cada estimación local, en conjunto con los puntos vecinos establecidos como necesarios para la estimación.
También se conoce el variograma g (h), el cual presenta una meseta:
( ) = 2
Existe una función de covarianza, dada por C(h) = 2 – (h) El caso más simple y la hipótesis básica es la estacionalidad junto con el hecho de que se asume que la media de la función aleatoria es conocida. Esto es:
(()) ➢
Ordinario: Las medias locales no son necesariamente próximas de la media de la población, usándose apenas los puntos vecinos para la población es el método más ampliamente utilizado en los problemas ambiental.
El valor esperado del error de estimación es:
E{Z*(u)-Z(u)}=a+
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∑= .{()} −{()} Página 10
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+ . − =
PROPIEDADES DEL KRIGING ●
●
●
Interpolación Exacta: La estimación en un sitio con dato es igual al valor del dato y la varianza de Kriging en este sitio vale 0. Aditividad: La estimación de la ley de un bloque es igual al promedio de las estimaciones de leyes puntuales en este bloque.
Suavizamiento: La dispersión de los valores estimados es menor que la dispersión de los valores verdaderos, sobre todo en las zonas donde hay pocos datos. En consecuencia, se tiende a subestimar las zonas de altas leyes y sobreestimar las zonas de bajas leyes. El kriging es inapropiado para evaluación de procesos donde los valores extremos son importantes (→ simulaciones).
●
●
Insesgo y Precisión: Por construcción Sesgo Condicional: El error promedio puede no tener esperanza nula cuando se considera sólo los sitios donde la ley estimada es alta (o baja). En general, el sesgo condicional es pequeño si se usa suficientes datos (>15)
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Todos los lo tipos de modelos de Krige comparten el objetivo de minimizar la varianza del error (o de la estimación), , con la restricción de un estimador insesgado, ósea:
( )
( ) [∗( ) − ( )] → Con la restricción,
[∗( ) − ( )] 0 KRIGING DE BLOQUES El kriging de bloques consiste en estimar directamente el valor promedio de la variable sobre un soporte mayor que el soporte de los datos (bloque). Este Kriging tiene interés en varios dominios de aplicación, como la evaluación de recursos minerales (estimar leyes de mineral sobre unidades selectivas de explotación) o las GEOESTADISTICA
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ciencias medio-ambientales (estimar la concentración de un contaminante sobre unidades de remediación). Para que los cálculos tengan un sentido físico, es necesario que la variable estudiada sea aditiva; por ejemplo, la estimación en un bloque de una variable como el pH no se podrá realizar, pues el pH de un bloque no es igual a la media aritmética de los pH puntuales en ese bloque. A modo de ejemplo, supongamos que se desea estimar el valor en un bloque V a partir de datos puntuales ubicados en los sitios x1... xn. El sistema de kriging ordinario de bloques es muy similar al de Kriging puntual, salvo por el segundo miembro:
( − ) … ( − ) 1 1 ( ,) ( − ) … ( − ) 1 ( ,) 1
1
µ
1
1 1 ( ,) ( − ) ( − ) =
siendo {u1... uM} un conjunto de puntos que discretizan el bloque V.
El Kriging (simple, ordinario…) puede ser extendido a la estimación directa del valor
promedio en un bloque:
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Z (V )
1
Z ( V
u
V
) d u
El sistema de Kriging sólo difiere del sistema de Kriging puntual en el miembro de la derecha: hay que reemplazar la covarianza punto-punto C (ui – u) por la covarianza punto-bloque:
C (u i , V)
1
V
V
C (u i , u) d u
1
N
C ( N
u
i
, x k )
k 1
Hemos visto hasta el momento estimaciones en un punto, en el caso cuando se desea conocer el valor promedio sobre una región o bloque, se formulan las ecuaciones del Kriging de manera análoga al caso puntual.
En el kriging por bloques en lugar de estimar el valor en un punto se considera una región de área con centro en el punto . El estimador tiene la siguiente forma:
∗ ( ) =
En las ecuaciones del Kriging puntual el vector del miembro derecho las semivarianzas son reemplazadas por las semivarianzas promedios con respecto al bloque V K que se
Expresan como: GEOESTADISTICA
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, = ∫ ( − ) Entonces las ecuaciones del Kriging por bloques serán:
[012 ⋯ 1 1 12 0 ⋯ 2 1 ⋯ 1 1 ⋯ 2 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 01 10 ][1 2 ⋯ ] [,1 ,2 … , 1 ] Y la varianza de la estimación se expresa como:
= , + − , =
Donde:
= ( − )
Los ponderadores y la varianza de kriging en bloque toman en cuenta:
●
Aspectos Geométricos: Distancias entre el sitio a estimar y los datos; distancias (redundancias) entre los datos mismos.
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●
Aspectos Variográficos: Continuidad Espacial, anisotropía, mediante la covarianza o el variograma.
No toman en cuenta:
●
Información Local: Valores de los datos (→ en particular, son indiferentes a la presencia de un
efecto proporcional).
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METODO DEL KRIGING Ejercicios Propuestos
EJERCICIO 1:
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EJERCICIO 2:
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EJERCICIO 3:
En un yacimiento de Au se ha realizado es estudio Geoestadístico y se ha determinado que la variable tiene un comportamiento exponencial con nugget de , sill de 0,11 , alcance de 48.6m en la dirección W-E y 43.6m 0.01 en la dirección N-S. El grafico que muestra las dimensiones de un bloque, se dispone de una muestra con ley de . Expresar la ley estimada con una probabilidad de en el caso siguiente:
∕
∕
2.81 ∕
95%
a) La muestra en cualquier parte del bloque. DATOS:
2.81 → 0.01 ∕ 0.11 ∕ 48.6 43.6 Encontramos las dimensiones del gráfico:
35 48.6 0.72 47.5mts
.. 1.09
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METODO DEL KRIGING 35mts
+ ( ) = 0.01+ (.11×0.6) 0.076 Sacamos la raíz cuadrada se tiene que la ley media es:
0.275→95% se obtiene ± 2.81 ±0.275 →
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EJERCICIO 4:
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GRAFICO POR ESCALA: GEOESTADISTICA
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