Trabajo t2 Kriging

KEVIN ROJAS ATALAYA

INTRODUCCIÓN El kriging es un término término que ha sido au!ado "ara designar designar al #me$ #me$or or esti estima mado dorr line lineal al inse insesg sgad ado# o# de un "unt "unto o % al me$or "romedio lineal m&'il "onderado de un (loque) Este nom(re a"arei& alrededor de *+,- "ara nom(rar una tén téni ia a rea reada da en .ran rania ia "or "or /ath /ather eron on a "art "artir ir de los los tra(a$os tra(a$os de 0) 1) Krige quién 2ue "ro(a(lemen "ro(a(lemente te el "rimero "rimero que hi3o i3o uso uso de la orrela lai&n es"a s"aial % del me$or $or estimador estimador lineal insesgado en el am"o de la e'aluai&n e'aluai&n de %aimientos minerales) El kriging es una ténia de estimai&n loal que o2ree el me$or me$or estima estimado dorr linea lineall inse insesga sgado do de una una ara arate ter4 r4st stia ia des deson ono oid ida a que que se estu estudi dia) a) La limi limita tai i&n &n a la las lase e de est estimad imador ores es line lineal ales es es (ast (astan ante te nat natural ural %a que que esto esto signi signi5 5a a que que solam solamen ente te se requier equiere e el ono onoim imien iento to del del mome moment nto o de segu segund ndo o orde orden n de la 2un 2uni& i&n n alea aleato tori ria a 6la 6la o'arian3a o el 'ariograma7 % que en general en la "r8tia es "osi(le in2erir a "artir de una reali3ai&n de la misma)

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MÉTODO DEL KRIGING

DEFINICIÓN.

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MÉTODO DEL KRIGING

DEFINICIÓN.

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El krigea$e o krige igeado 6del 2ranés krigeage7 es un método

geoestadístico de estimación de !ntos "!e !ti#i$a !n mode#o de %a&iog&ama a&a #a o'tención de datos ) 9alula los "esos que se dar8n a ada "unto de re2erenias usadas en la 'alorai&n) Esta ténia de inter"olai&n se (asa en la "remisa de que la 'ariai&n es"aial ontin:a on el mismo "atr&n) .ue desarrollada iniialmente "or 0anie 1) Krige a "artir del an8lisis de regresi&n regresi&n entre muestras % (loques (loques de mena; las uales 5$aron 5$aron la (ase de la geoestad4stia lineal)

GENER(LID(DE) )O*RE EL KRIGING La toma de muestras da la in2ormai&n de lo que ourre en ada "unto "unto)) Sin em(ar em(argo; go; no da in2or in2orma mai&n i&n aer aera a de la rela relai&n i&n que "ueda e si las muestras son igualmente es"aiadas se alan3a una me$or o(ertura; dando ma%o ma%orr in2o in2orrmai mai&n &n aer aera a de la 3ona 3ona que que aque aquell lla a que que se o(te o(tend ndr4a r4a de mues muestr tras as mu% mu% agru agru"a "ada das s en unos unos set setor ores es % se"aradas en otros) Sin em(argo; en la "r8tia; de(ido a las arat arater4 er4sti stias as de las region regiones es de estudi estudio; o; muhas muhas 'ees 'ees es "reiso tomar muestras irregular i rregularmente mente es"aiadas)  Las distancias entre las muestras;   "ara la "redii&n es m8s on5a(le usar muestras 'einas que muestras distantes; esto es; es; la "re "reis isi& i&n n me$o me$ora ra uan uando do la er eran an4a 4a de las las mues muestr tras as aumenta; % se deteriora uando esta disminu%e) La e
TÉCNIC( DEL KRIGING DE M(T+ERON 9ons 9onsid ider eran ando do las las 'ari 'aria( a(le les s @ 6
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CL()IFIC(CIÓN DEL KRIGING )eg,n e# soo&te de #a medición de #os datos. -!nt!a#.

-o& '#o"!es emos 'isto hasta el momento estimaiones en un "unto; en el aso uando se desea onoer el 'alor "romedio so(re una regi&n o (loque; se 2ormulan las euaiones del Kriging de manera an8loga al aso "untual) En el kriging "or (loques en lugar de estimar el 'alor en un "unto

Z k 

se onsidera una regi&n

on entro en el "unto



Z k 

V k   de 8rea

 A k 

)

K&iging sim#e

6/edia m onoida7 Asume que las medias loales son relati'amente onstantes % de 'alor mu% seme$ante

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a la media de la "o(lai&n que es onoida) La media de la "o(lai&n es utili3ada "ara ada estimai&n loal; en on$unto on los "untos 'einos esta(leidos omo neesarios "ara la estimai&n) Es un método utili3ado en los 9asos mineros)  K&iging o&dina&io /edia m desonoida) Las medias loales no son neesariamente "r&
K&iging t&igonom0t&ico

La deri'a es una 2uni&n

"eri&dia)

K&iging con de&i%a e1te&na

La

deri'a

es

"ro"orional a una 'aria(le seundaria K&iging no #inea# A"lia kriging a una trans2ormada de la 'aria(le) K&iging #ogno&ma# 9uando el logaritmo de los datos tiene una distri(ui&n normal) K&iging de indicado&es A"lia kriging a datos (inarios 6indiadores7 que odi5an "ro(a(ilidades de "erteneer a un ti"o de roa o de so(re"asar una le% de orte) K&iging dis2!nti%o A"lia kriging a 2atores que desom"onen la 'aria(le a estimar) K&iging m!#ti/Ga!ssiano A"lia kriging a la trans2ormada 1aussiana de los datos) •

•

K&iging m!#ti%a&ia'#e 3 co4&iging 9on'eniente uando la 'aria(le "rimaria no se ha su5ientemente) La "reisi&n de la 'alorai&n "uede ser me$orada onsiderando las orrelaiones es"aiales entre la 'aria(le "rimaria % la me$orBmuestreada 'aria(le) E$em"lo= datos e
-asos de Co4&iging a&a datos de 'a&&enos 2 sonda5es de %o#ad!&a  Regularie los datos de sonda$es de 'oladura en un tama!o de (loque es"ei5ado) El tama!o de (loque "odr4a ser igual que el tama!o de los (loques del modelo uales ser8n e'aluados; o una su(di'isi&n disreta de tales (loques) Cna nue'a (ase de datos de los 'alores Ing) 0e minas

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medios del (loque de sonda$es de 'oladura se esta(lee as4) An8lisis de Variograma de los datos de (arrenos) An8lisis de Variograma de los datos de sonda$e de 'oladura) An8lisis del 'ariogramaBru3ado entre el (arreno % los datos de sonda$e de 'oladura) A"aree ada 'alor del (arreno on todos los 'alores de sonda$es de 'oladura) Selei&n de los "ar8metros de la (:squeda % de inter"olai&n) 9okriging)

  

 

E5em#os de K&iging #inea# m6s !s!a#es  Todos los estimadores #kriging# "ueden ser inter"retados omo "ro%eiones de un 'alor desonoido @ 6<7 en el on$unto de los "osi(les estimadores) /ientras m8s am"lio sea el on$unto en el ual es heha la "ro%ei&n m8s erano estar8 el estimador kriging orres"ondiente del 'alor desonoido % se neesitar8n m8s requisitos)

KRIGING )IM-LE El aso m8s sim"le se denomina kriging sim"le % la hi"&tesis (8sia es la estaionaridad $unto on el heho de que se asume que la media de la 2uni&n aleatoria es onoida)

+iótesis *) Se onoe el 'alor "romedio m de la 'aria(le regionali3ada) D) Tam(ién se onoe el 'ariograma γ  6h7; el ual "resenta una meseta= γ 

2

 67F σ   E
2

σ 

B

γ 

6h7

Gueremos onstruir el Hme$or estimador lineal insesgado "ara estimar el 'alor en un sitio u) a$o estas ondiiones; el 'alor estimado ser8 una om(inai&n lineal "onderada de los 'alores onoidos= n

¿

Z  ( u ) =a +

 λ . Z ( u ) ∑ = i

i

i

1

Se asume iniialmente; que la media es nula) Ing) 0e minas

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ara determinar el oe5iente a % los "onderadores 

λi

; iF*)))nM; se

e
Condición de insesgo Se tiene entones que la 'arian3a de estimai&n es la 'arian3a de la di2erenia entre el 'alor estimado 6om(inai&n lineal de los "untos medidos7 menos el 'alor real desonoido del "unto a estimar) Esta 'arian3a se "uede desom"oner en la do(le suma "onderada de las o'arian3as de las distanias entre las muestras m8s la o'arian3a a "riori del modelo 'ariogr85o utili3ado; menos dos 'ees la suma "onderada de las o'arian3as entre el "unto a estimar % los "untos medidos= El 'alor es"erado del error de estimai&n es= n

n

i= 1

i=1

 E { Z  ( u )−Z ( u ) }= a + ∑  λ i . E { Z ( ui ) }− E {Z ( u ) }=a + ∑  λi .m −m ¿

 ara que este 'alor es"erado sea nulo; se de(e "lantear

{

n

}

 λi . m ∑ =

a= 1−

i

1

Condición de %a&ian$a mínima La 'arian3a del error de estimai&n se e<"resa en 2uni&n de la o'arian3a

{

¿

Var Z  ( u )− Z ( u )

}

Los "onderadores &"timos 6que minimi3an la 'arian3a del error7 "ueden determinarse tomando deri'adas "ariales on res"eto a los "onderadores) n

∂[ ] =2 . ∑ λ j C ( ui−u j ) −2 . C ( u −ui ) , i =1, … n ∂ λi  j = 1

e igual8ndola a ero=

Ing) 0e minas

KEVIN ROJAS ATALAYA n

∑ λ C ( u −u ) =C ( u −u ) ,i =1, … n  j

i

 j

i

 j =1

Este sistema de n euaiones on n "onderadores desonoidos es el sistema de 4&iging sim#e 6KS7

En notación mat&icia#

E# estimado& se esc&i'e n

¿

{

n

 λ . Z  ( u ) + 1−∑  λ ∑ = =

Z  ( u ) =

i

i

i

1

i

1

i

}

.m

La media a"aree on un "onderador que es el om"lemento de la "onderai&n aumulada de los datos) /ientras m8s le$os el sitio ! de los datos; menores ser8n sus "onderadores % ma%or ser8 la "onderai&n de la media) 0e ierto modo; la media Hom"ensa la 2alta de in2ormai&n a"ortada "or los datos)

7a&ian$a de# e&&o&. Error Asimismo; es "osi(le determinar el 'alor de la 'arian3a del error 6que se minimi3&7) Esta 'arian3a lle'a el nom(re de H'arian3a de kriging; aunque se re5ere a la 'arian3a del error de kriging= n

σ  KS ( u ) = σ  2

2

−∑  λ i . C ( ui−u ) i=1

uede alularse sin onoer los 'alores de los datos) Se demuestra que esta 'arian3a siem"re es menor o igual a

2

σ 

)

KRIGING ORDIN(RIO De8nición

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Kriging ordinario es un estimador dise!ado es"eialmente "ara la estimai&n de las le%es de (loques) Es una om(inai&n lineal de los datos dis"oni(les dentro o era al (loque; tal que la estimai&n es im"arial % tiene 'ariai&n m4nima)  Lineal "orque sus estimaiones son om(inaiones lineales de los datos dis"oni(les)  Im"arial "uesto que la suma de los "esos "onderados es *)  Es el me$or "osi(le "orque tiene omo o($eti'o el reduir al m4nimo de la 'arian3a de los errores) El kriging ordinario se usa uando la 'aria(le es estaionaria on o'arian3a onoida % media desonoida) Aunque el "roeso es similar al del kriging sim"le; no "odemos entrar la 'aria(le; %a que no onoemos ; as4 que es neesario tra(a$ar diretamente on la 'aria(le en estudio @)

+iótesis 9. No se onoe el 'alor "romedio m de la 'aria(le regionali3ada) Esto "ermite generali3ar el kriging a situaiones donde esta media no es onstante en el es"aio= la media "uede 'ariar de una regi&n a otra; siem"re que sea a"ro
Condición de insesgo El 'alor es"erado del error de estimai&n es= n

n

i= 1

i=1

 E { Z  ( u )−Z ( u ) }= a + ∑  λ i . E { Z ( ui ) }− E {Z ( u ) }=a + ∑  λi .m −m ¿

 Siendo

 desonoida; "ara que este 'alor es"erado sea nulo se de(e "lantear) m

n

a =0 ∑  λi= 1 i= 1

Condición de %a&ian$a mínima La 'arian3a del error de estimai&n se e<"resa en 2uni&n de la o'arian3a)

{

¿

Var Z  ( u )− Z ( u )

}

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Los "onderadores &"timos 6que minimi3an la 'arian3a del error su$eto a que la suma de los "onderadores sea igual a *7 "ueden determinarse introduiendo un multi"liador de Lagrange 

 Y anulando las deri'adas "ariales on res"eto a los "onderadores % on res"eto al multi"liador de Lagrange)

Las de&i%adas a&cia#es son

)e desem'oca en e# sistema de 4&iging o&dina&io ;KO<

En notación mat&icia#

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)e !ede esc&i'i& tam'i0n en t0&minos de %a&iog&ama.

No es "reiso que el 'ariograma tenga una meseta "ara que e
7a&ian$a de# e&&o&. La 'arian3a del error 6H'arian3a de kriging7 'ale=

uede alularse sin onoer los 'alores de los datos) En oasiones; esta 'arian3a "uede ser ma%or que

2

σ  .

O*)ER7(CIÓN )O*RE EL )I)TEM( DE KRIGING Los "onderadores % la 'arian3a de kriging toman en uenta= •

(sectos geom0t&icos distanias entre el sitio a estimar %

•

los datos> distanias 6redundanias7 entre los datos mismos (sectos %a&iog&68cos ontinuidad es"aial; anisotro"4a; mediante la o'arian3a o el 'ariograma

No toman en uenta •

In=o&mación #oca# 'alores de los datos 6en "artiular; son indi2erentes a la "resenia de un e2eto "ro"orional7

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A ontinuai&n; se "resenta un estudio de la sensi(ilidad de los resultados a am(ios en la on5gurai&n geométria de los datos % del modelo 'ariogr85o)

-RO-IED(DE) DEL KRIGING •

•

•

• •

Inte&o#ación e1acta  La estimai&n en un sitio on dato es igual al 'alor del dato % la 'arian3a de kriging en este sitio 'ale -) (diti%idad La estimai&n de la le% de un (loque es igual al "romedio de las estimaiones de le%es "untuales en este (loque) )!a%i$amiento La dis"ersi&n de los 'alores estimados es menor que la dis"ersi&n de los 'alores 'erdaderos; so(re todo en las 3onas donde ha% "oos datos) En onseuenia; se tiende a su(estimar las 3onas de altas le%es % so(reestimar las 3onas de (a$as le%es) El kriging es ina"ro"iado "ara e'aluai&n de "roesos donde los 'alores e
Al tener sesgo ondiional; se inurre en una mala a"reiai&n del negoio) La le% media del material mandado a "lanta 6material u%a estimai&n su"era una le% de orte7 es in2erior a la le% media estimada de este material; mientras que la le% media del material mandado a (otadero es su"erior a la le% media estimada de este material) Ilustrai&n del sua'i3a miento

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-L(N DE KRIGING 9u8les son los datos a utili3ar en la estimai&n • •

7ecindad ,nica se usa todos los datos 7ecindad mó%i# se usa s&lo los datos eranos al sitio 6(loque7 a estimar  En general; se toma una 'eindad en 2orma de e#ise 6D07 o e#isoide 6U07; orientado seg:n la anisotro"4a o(ser'ada en el 'ariograma)  Se suele di'idir la 'eindad en secto&es ang!#a&es 6uadrantes en D0 u otantes en U07 % (usar datos en ada setor)  Los &adios de la eli"se 6eli"soide7 no neesariamente orres"onden a los alanes del 'ariograma; sino que se de5nen de manera de "oder enontrar su5ientes datos "ara haer la estimai&n) E$em"lo de 'eindad m&'il)

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7(LID(CIÓN DEL KRIGING ara 'alidar los "ar8metros del kriging 6modelo de 'ariograma; 'eindad elegida7; se "uede usar los siguientes métodos= •

•

7a#idación c&!$ada se estima suesi'amente ada dato onsiderando solamente los datos restantes  >ac4/4ni=e se di'ide la muestra iniial en dos "artes 6"or e$em"lo; uando ha% dos am"a!as de sonda$es7; % se estima una "arte a "artir de la otra

Luego; se hae un estudio estad4stio de los errores ometidos "ara sa(er si el kriging 2ue Hsatis2atorio 6(uena "reisi&n; "oo sesgo ondiional7

C&ite&ios de %a#idación Medias de #os e&&o&es 2 de #os e&&o&es estanda&i$ados = de(en ser eranas a ero entones estimador sin sesgo) 7a&ian$a de #os e&&o&es de(e ser la m8s (a$a "osi(le entones estimador "reiso 7a&ian$a de #os e&&o&es estanda&i$ados  de(e ser erana a *entones el 'ariograma uanti5a adeuadamente la inertidum(re N!'e de dise&sión ent&e %a#o&es &ea#es 2 estimados la regresi&n de(e aerarse a la diagonal entones insesgo ondiional)

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+istog&amas de #os e&&o&es cometidos

Las medias de los errores son asi nulas insesgo La ma%or "reisi&n se alan3a en los "lanes D % U)

N!'es de co&&e#ación ent&e #e2es &ea#es 2 estimadas

El sesgo ondiional % la dis"ersi&n de la nu(e son m4nimos en los "lanes D % U)

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MODELO) TEÓRICO) DE 7(RIOGR(M()

()-ECTO) -R?CTICO) DEL KRIGING

9.

De8ni& !na ma##a de estimación

@ @

Si (ien no ha% restriiones "ara la malla de estimai&n usualmente se eligen mallas regulares de(ido a que su geometr4a 2ailita la re"resentai&n gr85a de los resultados en 2orma de ma"as de ontornos; relie'es; et) Cna reomendai&n "r8tia res"eto al tama!o de la elda de la malla es que de(e ser de un orden a"ro
E$em"lo de malla de estimai&n retangular=

:. De8ni& !na %ecindad de ',s"!eda Ing) 0e minas

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La 'eindad de (:squeda se de5ne on res"eto al "unto a estimar % determina uales "untos 'einos "otenialmente ser8n tomados en la estimai&n)

@ @

9aso isotr&"io= tomar una irun2erenia on entro en el "unto a estimar % radio igual o menor al alane del 'ariograma) 9aso anisotr&"io= tomar una eli"se on entro en el "unto a estimar % semie$es iguales o menores a los alanes del 'ariograma anisotr&"io)

E$em"lo de 'eindad de (:squeda "ara el aso anisotr&"io)

A. De8ni& cantidad de !ntos de #a estimación Cna 'e3 de5nida la 'eindad de (:squeda ha% que es"ei5ar uantos "untos inter'endr8n en la estimai&n) Esto determina el tama!o de la matri3 del Kriging) ara toda la 'eindad se "ueden tomar omo 'alores "r8tios=

@ @

/4nimo de "untos= entre W % , "untos) /8
 Tam(ién se "ueden esta(leer antidades min) Y m8<) or uadrante; otante; et)

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7ENT(>() DE KRIGING •

• • • •

9onsidera las arater4stias es"aiales ontinuidad) Estimador e
de

DE)7ENT(>() DE KRIGING • • • •

Requiere om"utadora Requiere 'ariogra5a "re'ia 9onsume m8s tiem"o E2eto sua'i3ante de la 2uni&n

En general; el kriging es &"timo uando la 'aria(le en estudio "ro'iene de una "o(lai&n on distri(ui&n normal) La alternati'a on ual se de(e tra(a$ar es a"liarle a la 'aria(le una trans2ormai&n que la lle'e a una normal % a "artir de la nue'a 'aria(le trans2ormada estimar el semi'ariograma % a"liarle las euaiones del kriging) Al 5nal; el an8lisis requiere lle'ar la 'aria(le a su esala original) Cn aso que surge (astante en asos "r8tios es el de la distri(ui&n logXnormal)

E>EM-LO)

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