tipos de Kriging

Kriging 

Ge n e r a l i d a d e s d e l K r i g i n g  

  

Método estadístico de interpolación Objetivo: Predecir los valores de la variable de interés en lugares no muestreados Predictor lineal Insesgado Mínima varianza

Ge n e r a l i d a d e s d e l K r i g i n g

Reporta 

Mapa de predicciones en todas las ubicaciones de interés s0

 Z (s0 ) →  Z  (s0 ) = *

n

∑ λ  z(s ) i

i

i =1 

Varianza estimada del error de predicción

Ge n e r a l i d a d e s d e l K r i g i n g 

Media de los residuales de predicción

Cuadrado medio del error 

n

∑ [ Z (s ) − Z  (s )] *

i

i

i =1

→0

n n

2 [ ] ( ) ( ) −  Z  s  Z  s ∑ *

i

i

→ lo menor posible

i =1

n



Error cuadrático medio estandarizado

⎡ n 2⎤ * [  Z (si ) − Z  (si )] ⎥ ∑ ⎢ 1 i =1 ⎢ ⎥ →1 2 ⎢ ⎥ n ⎢ σ  si ⎥⎦ ⎣

( )

Ge n e r a l i d a d e s d e l K r i g i n g 

Coeficiente de Correlación de Pearson entre los n observados y sus prediccciones

r  z (si ), z (si ) → 1 *

También es necesario comparar  máximo y mínimo de los errores de predicción,  diagramas de caja tanto de las predicciones como de los errores, así como todas las medidas involucradas

Di f e r e n t e s t i p o s d e p r e d ic c i ó n

Valor de la variable de interés  Residuos de cada predicción de que la variable  Probabilidad supere o no supere un umbral definido  Cuantiles 

K r i g i n g Si m p l e   





Estacionariedad de segundo orden Media constante y conocida Difícilmente aplicable por requerir demasiado conocimiento de la variable Siempre insesgado (sin ninguna restricción) n No es preciso que se cumpla que ∑ λ i = 1 i =1

K r i g i n g Si m p l e Varianza menor a la de la variable en estudio sin regionalizar 

(

)

Var Zˆ ( s0 ) − Z ( s0 ) = Var ( Z ( si ) ) −

n

∑ λ Cov ( s − s ) i

i

0

i =1

Ejemplo  Z (s ) : Temperatura en el lugar con ubicación espacial s

E[ Z (s )] = µ  : Temperatura media de la región

K r i g i n g Or d i n a r i o  



Media constante pero desconocida Puede usarse ya sea en presencia de estacionariedad de segundo orden o de estacionariedad intrínseca Para cumplir la propiedad de insesgamiento, requiere ser sometido a n la restricción de que

∑ λ  = 1 i

i =1

K r i g i n g Or d i n a r i o n ⎡ ⎤ *  E [ Z  (s0 ) − Z (s0 )] =  E ⎢∑ λ i Z (si ) − Z (s0 )⎥ = ⎣ i =1 ⎦ n

∑ λ  E [ Z (s )] − E [ Z (s i

i

n

0

)] = ∑ λ i µ  −µ  = 0

i =1

i =1

⎡n ⎤ ⎡n ⎤ µ ⎢∑ λ i − 1⎥ = 0 ⇔ ⎢∑ λ i − 1⎥ = 0 ⎣ i =1 ⎦ ⎣ i =1 ⎦ n

Cuando

∑ λ  = 1 i

i =1

V a r i a n za d e l K O Mayor en general que la varianza del kriging simple

(

)

Var Zˆ ( s0 ) − Z ( s0 ) = Var ( Z ( si ) ) −

n

∑ λ Cov ( s − s ) + µ  i

i =1

i

0

K riging residual  





La media no es constante, existe tendencia Se estima la tendencia mediante un modelo de regresión, en general, por Mínimos Cuadrados Ordinarios Se calculan los residuos y se aplica KO a la lista de residuos Se le suma la tendencia a las predicciones de los residuos

K riging residual

ˆ ( s 0 ) + e (s 0 )  Z  (s0 ) = m *

*

e (s0 ) = *

n

∑ λ e(s ) i

i =1

i

K riging Indic ador  

 



El interés recae en el cumplimiento o no de una condición Se define un umbral No tiene ningún supuesto. Se considera un método de predicción no paramétrico Se predice la probabilidad de que en cada punto se cumpla o no la condición

K riging Indic ador  

Se redefine la variable a través de una variable indicadora ⎧1 Si  Z (si ) ≤  zl  I (si ,  zl ) = ⎨ i .

⎩=0

Otro caso

 E ( I (s0 , zl )) = 1 Pr ( I (s0 , zl ) = 1) + 0 Pr ( I (s0 , zl ) = 0 )

Pr ( I (s0 , zl ) = 1) = Pr ( Z (s0 ) ≤  zl ) = F ( zl )

K riging Indic ador  0 ≤  I  (s0 ,  zl ) ≤ 1 *

 I  (s0 ,  zl ) ≤  I  (s0 , zl′ ) *

*

 z l ≤ z l′

cuando

K r i g i n g M u l t i g a u s si a n o 





Se encuentra la función de probabilidad acumulada empírica . Se calculan con base los puntajes normal estándar es decir los valores de una distribución de probabilidad normal estándar para los cuales la probabilidad acumulada corresponde a la empírica Se predice utilizando kriging simple

K riging Transgaussiano

 Z (s ) = φ (Y (s ))

s∈D

donde Y (s ) es una variable aleatoria con distribución de probabilidad normal 2 ⎧ ⎫⎪ σ  ⎪  y ,ko * ⊗ − δ ⎬ Z (s0 ) = φ (Z (s0 )) + φ ' ' (µ  y )⎨ ⎪⎩ 2 ⎪⎭