Trabajo de Friccion

Mecánica Vectorial Aplicada para Ingenieros FRICCIÓN

FRICCIÓN INTRODUCCIÓN La fricc ricciión o rozam zamiento es una fuerza rza de importancia singular. La estudiaremos en este lugar como una aplicación concreta de los problemas de equilibrio, aun cuando la fricción aparece también mu frecuentemente en los problemas de Cinética. La gran !enta"a de estudiarla en este momento radica en que la fricción est#tica es m#s comple"a que que la ciné cinéti tica ca,, de modo modo que que al lleg llegar ar a los los problemas de mo!imiento no representar# ninguna dificultad. $i una una pers person ona a pued puede e subi subirr una una ramp rampa, a, si un auto automó mó!!il se pued puede e est estacio aciona narr en una call calle e empi empina nada da,, o si pode podemo moss de"a de"arr un libr libro o en un estante inclinado, es debido a la fuerza de fricción. %racias a la fuerza de fricción los !e&'culos pueden frenar( si arro"amos un balón sobre el suelo, terminar# deteniéndose( o podemos apoar una escalera de mano contra una pared sin que se deslice. )s la fricción, como se !e, una fuerza mu com*n. Consideremos un cuerpo colocado sobre una superficie &orizontal. Las fuerzas que act*an sobre él son su peso  la reacción de la superficie( en este caso la reacción es perpendicular o normal a dic&a superficie. $i el cuerpo se empu empu"a "a con con una una fuer fuerza za ) incl inclin inad ada, a, cua cua magn magnititud ud aumente paulatinamente, la reacción de la superficie se ir# des!iando de la dirección !ertical que ten'a originalmente. +urante un lapso, el cuerpo permanece en reposo, pero lleg llegar ar# # un mome moment nto o en el que que el cuer cuerpo po se desl deslic ice. e. Cuando esté a punto de deslizarse, el #ngulo  que la reacción forma con la !ertical tendr# su !alor m#-imo. $i sust ustituimos la rea reacci cción por sus compone onente ntes ortogonales, una en dirección normal  otra en dirección tangente a la superficie, obser!amos que esta *ltima !a creciendo poco a poco &asta llegar a tener una magnitud m#-ima. La fuerza de fricción es la componente tangencial de la reacción de una superficie sobre un cuerpo.

1


iende a mantenerlos unidos. )n la gr#fica de la figura se muestra su comportamiento. Con Fr designamos designamos a la fuerza de fricción. F es la fuerza de fricción est#tica m#-ima, es decir, la maor que se puede generar entre los cuerpos mientras permanecen unidos. es la fuerza de fricción cinética, que act*a mientras un cuerpo se desliza sobre el otro.

OBJETIVOS  /resentar el concepto de fricción seca  mostrar como analizar el equilibrio de cuerpos r'gidos sometidos a esta fuerza. /resentar aplicaciones aplicaciones espec'ficas espec'ficas del an#lisis an#lisis de la fuerza friccional friccional en cu0as,  /resentar tornillos, bandas  c&umaceras.  )studiar el concepto de la resistencia al rodamiento

ROZAMIENTO FLUIDO $e produce entre capas de fluido que se mue!en a diferente !elocidad. La fricción fluida es rele!ante en problemas de flu"o de fluidos a tra!és de tubos  orificios o en problemas relacionados con cuerpos inmersos en fluidos de mo!imiento. ambién es b#sico el an#lisis de mecanismos lubricados.

ROZAMIENTO ESTÁTICO )l rozamiento est#tico posee las siguientes propiedades, conocidas como lees de Coulomb del rozamiento1

- )s tangente a la superficie de contacto. - /osee un !alor m#-imo, proporcional a la componente normal de la fuerza aplicada entre los dos cuerpos

$ien $iendo do 2 una una magn magnititud ud adime adimens nsio iona nall cono conoci cida da como como coef coefici icien ente te de roza rozami mien ento to est#tico. $u !alor depende de los dos materiales que estén en contacto.

- 3n#lisis del coeficiente de rozamiento 4561

2


/ara calcular el coeficiente de rozamiento est#tico, analizaremos una masa de forma cuadrada cuadrada sometida a una fuerza  obser!aremos obser!aremos como 7aparece8 7aparece8 una fuerza, llamada llamada fuerza l'mite de fricción est#tica. )-perimentalmente, &a sido determinado que la fuerza l'mite de fricción est#tica Fs es directamen amentte propo oporci rcional a la fuerza rza nor normal resul sultante N, se e-p e-presa esa matem#ticamente1

)ntonces cuando el bloque est# a punto de deslizarse debido a la fuerza /, la fuerza normal 4Fn6  la fuerza de fricción 4Fs6, se combinan para crear una resultante Rs. )l #ngulo 9:; que Fn forma con Fs se llama #ngulo de fricción est#tica, a partir de la figura1

omando la función tangente a ambos miembros1 )-perimentalmente durante los a0os se &a estudiado este !alor, presentamos los !alores m#s *tiles para la industria1 3


Coeficientes de rozamiento est#tico
2 ?.@ ?.>AB?.A =.? ?.? ?.D?

Es un error común el ens!r "ue el coe#$c$en%e &e ro'!m$en%o no ue&e suer!r ! l! un$&!&( S)* ue&e +!cerlo ,el &e -om! so.re m!%er$!les mu/ !.r!s$0os ue&e lle-!r ! 12( No +!/ n$n-ún $me&$men%o #)s$co !r! "ue l! #uer'! &e ro'!m$en%o suere en m3&ulo ! l! #uer'! norm!l( La le de rozamiento est#tico nos da un !alor m#-imo para la fuerza de rozamiento, mas no nos dice cu#nto !ale ésta. $upongamos que tenemos un bloque de madera de =? Eg en reposo sobre el suelo de cemento  aplicamos lateralmente una fuerza de =? N. $e mo!er# el bloqueG )l !alor m#-imo de la fuerza de rozamiento es

/ero naturalmente eso no es lo que !ale la fuerza de rozamiento en este caso concreto, a que si tu!iera dic&o !alor, superar'a a la fuerza aplicada  el bloque se mo!er'a en la dirección opuesta a la que se le empu"a, lo que es absurdo. Lo que nos dice este resultado es que, puesto que el !alor m#-imo supera a la fuerza aplicada, el bloque no se mue!e. La fuerza de rozamiento !ale, en este caso, =? N 4igual a la fuerza aplicada6. $i la fuerza aplicada &ubiera sido de @? N, este resultado nos dir'a que el rozamiento no es capaz de oponerse a la fuerza aplicada  el bloque empieza a mo!erse, momento a partir del cual se aplica la le del rozamiento din#mico. La situación en la que la fuerza de rozamiento alcanza su !alor m#-imo se denomina de deslizamiento inminente, a que una fuerza aplicada ligeramente superior a las de esta configuración es capaz de conseguir el deslizamiento de las superficies. 4


3sociado a la fuerza de rozamiento se encuentra el #ngulo de fricción : definido por la relación1

)ste #ngulo equi!ale a la maor inclinación que puede tener un plano inclinado antes de que un bloque situado sobre él comience a deslizar, esto es, se encuentre en posición de deslizamiento inminente. )sta relación permite medir e-perimentalmente el coeficiente de rozamiento empleando un plano de inclinación !ariable, que se !a ele!ando lentamente &asta que se produzca deslizamiento.

ROZAMIENTO DINÁMICO )l rozamiento din#mico o por deslizamiento se produce cuando una superficie desliza sobra sobre otra. )ste rozamiento se debe también a los enlaces que se forman entre #tomos de ambos materiales. $in embargo, al ser estos enlaces de menor duración, por el mo!imiento relati!o, la fuerza de rozamiento est#tico es inferior que la m#-ima posible en el caso est#tico. La fuerza de rozamiento din#mico !erifica apro-imadamente las siguientes propiedades1 •

)s proporcional a la fuerza aplicada

•

)s independiente de la !elocidad relati!a

5

Mecánica Vectorial Aplicada para Ingenieros FRICCIÓN •

Ha en sentido opuesto a la !elocidad relati!a

La proporcionalidad puede e-presarse por la relación

$iendo 2E el coeficiente de rozamiento din#mico, que ser# inferior al est#tico para los mismos materiales. +e nue!o, no &a ninguna condición de que sea inferior a la unidad 4aunque suele serlo6. enemos as' para diferentes materiales1 Coeficientes de rozamiento dinámico Material 1

Material

μ

Madera

Madera

0.4−0.5

Goma

Cemento

0.6−0.8

Teflón

Teflón

0.04

Acero

Acero

0.16

3sociado al coeficiente de rozamiento din#mico se encuentra otro #ngulo de rozamiento

ue ser'a el #ngulo que debe tener un plano inclinado para que un bloque descienda por él a !elocidad constante.

$i representamos con"untamente la fuerza de rozamiento est#tico  de rozamiento din#mico, para un bloque, como función de la fuerza tangencial aplicada, obtenemos una gr#fica como la de la figura




La pendiente del primer tramo es la unidad, a que en esa región la fuerza de rozamiento no &a alcanzado su !alor m#-imo  es igual en magnitud a la fuerza aplicada. Cuando se alcanza el deslizamiento inminente se produce un cambio brusco 4que es mu f#cil de e-perimentar al desplazar un mueble, por e"emplo6  a partir de a&' la fuerza de rozamiento es m#s o menos constante, pero con fluctuaciones. La flec&a indica que este resultado se consigue aumentando progresi!amente la fuerza. $i en lugar de aumentar fuéramos ba"ando, resultar'a una gr#fica diferente.

ROZAMIENTO SECO )l rozamiento seco ocurre cuando dos superficies no lubricadas de dos sólidos est#n en contacto deslizando o con tendencia a deslizar. $e genera una fuerza de rozamiento tangente a la superficie en contacto durante el inter!alo de tiempo que dura  que lle!a al deslizamiento inminente, como cuando tiene lugar el deslizamiento. )l sentido de la fuerza siempre es opuesto al mo!imiento inminente. Las lees del rozamiento seco se deben a los criterios de Coulomb. Lees de fricción en seco1 •

La fuerza de fricción est#tica m#-ima es directamente proporcional a la magnitud de la reacción normal  a la rugosidad de las superficies en contacto. La fuerza !


•

•

de fricción cinética es directamente proporcional a la magnitud de la reacción normal  a la rugosidad de las superficies en contacto. La fuerza de fricción est#tica m#-ima es independiente del tama0o del #rea en contacto. La fuerza de fricción cinética es independiente de la !elocidad relati!a de las superficies en contacto.

´

F = μ s N F k = μk N

+onde FJ es la fuerza de fricción est#tica m#-ima, F E, la fuerza de fricción cinética, 2 s, el coeficiente de fricción est#tica,  2 E, el coeficiente de fricción cinética. Ejemplo 1:
tensión de D?? Eg a la cuerda con la que se desea "alar el automó!il K, que tiene aplicado el freno de mano. $abiendo que K pesa =>?? Eg  que los coeficientes de fricción est#tica  cinética entre la superficie inclinada  las llantas de K son ?.D  ?.@, respecti!amente, diga si K asciende, desciende o permanece en reposo. +é también la magnitud  dirección de la fuerza de fricción que act*a sobre el automó!il.

$upondremos que permanece en reposo  que tiende a subir 4por eso dibu"amos la fricción &acia aba"o6

"


)legimos el sistema de referencia que se muestra  empleamos las ecuaciones de equilibrio.

∑ F =0 y

N −1200 cos 20 ° = 0 N =1127.6

∑ F = 0 x

−1200sin 20 °− F r =0

800

F r =389.6

Comparamos la fuerza de fricción que se requiere para mantener el auto en reposo con la fuerza m#-ima de fricción est#tica. ´

F = μ s N ´

F =0.8 × 1127.6 =902.1 ´

Como F > F r

Concluimos que se cumple la &ipótesis, es decir, el automó!il permanece en reposo  la fuerza de fricción es1

Ejemplo 2: Con un tractor se desea

mo!er la ca"a de la figura. +iga cu#l es la m'nima tensión del cable que se requiere para lograrlo, si los coeficientes de fricción est#tica  cinética entre la ca"a  la superficie &orizontal son ?.  ?., respecti!amente

#


$e trata de un problema de equilibrio en el que el cuerpo est# a punto de mo!erse( por eso la fricción es la est#tica m#-ima, 2 sN

∑ F =0 y

N + T × sin15 ° − 850=0 N =850 −T × sin15 °

∑ F = 0 x

T × cos15 ° −0.4 × N =0 T × cos15 ° −0.4 × ( 850−T × sin 15° ) =0 T × ( cos 15 ° + 0.4 × sin 15 ° )=340 T =394 lb

Ejemplo 3: )l bastidor de la figura se inclina

paulatinamente. Calcule el !alor del #ngulo M para el cual el cuerpo K estar# a punto de deslizarse. Calcule también la tensión correspondiente de la cuerda que soporta al cuerpo 3. Los coeficientes de fricción est#tica  cinética son ?.  ?.>A, respecti!amente, entre todas las superficies en contacto.

$upondremos que el cuerpo K est# a punto de deslizarse &acia aba"o.

1$


∑ F =0 y

N 1−120 × cos θ =0 N 1=120 × cos θ … ( 1)

∑ F = 0 x

(

0.3 × 120 × cos θ

)+ ( 120 × sin θ )−T =0

T =40 × cos θ +120 × sin θ … ( 2 )

∑ F =0 y

N 2−120 × cos θ −200 × cos θ=0 N 2=320 × cos θ … ( 3 )

∑ F = 0 x

200 × sin θ

−0.3 × ( 120 × cos θ )−0.3 × ( 320 × cos θ )=0

200 × cos θ −132 cos θ= 0 … ( 4 )

)s necesario que la ecuación sólo contenga una función del #ngulo. +i!idimos los términos entre cosM 200 × tan θ −132=0

tan θ

=

132 200

θ=33.4

+e 4>6

11

Mecánica Vectorial Aplicada para Ingenieros FRICCIÓN T =99.5 kg

MECANISMO DEL ROZAMIENTO SECO )l mecanismo del rozamiento seco, se !a a e-plicar mediante un e-perimento mu sencillo, utilizando un plano inclinado  un peso 9/; de masa 9m; que se descompone en una normal al plano N  /Ocos:    /Osen: que se tiende a &acer deslizar la masa &acia la parte inferior

$i la pendiente del plano aumenta, sen: aumenta igualmente,  la componente 9r; crece &asta un l'mite marcado por el deslizamiento de la masa sobre el plano inclinado. )sto debido a que al aumentar la inclinación, se reduce paulatinamente la componente perpendicular del peso, la fuerza N, que es proporcional al peso del cuerpo  al coseno del #ngulo. )sto es as' independiente del peso del cuerpo, a que a maor peso aumenta, la fuerza que tira el ob"eto cuesta aba"o, como la fuerza normal que genera el rozamiento. +e este modo el coeficiente de rozamiento dado entre dos cuerpos equi!ale a un #ngulo determinado que se conoce como #ngulo de rozamiento, +esignando por f (α) el !alor de la relación 

r N

. 4La figura anterior6(  por el #ngulo

e  correspondiente al estado de equilibrio l'mite de la masa de peso 9/; cuando la fuerza  alcanza su !alor est#tico m#-imo el #ngulo alfa alcanza su !alor m#-imo se denomina e  el deslizamiento es inminente f (α)  e define el coeficiente de rozamiento de la masa sobre el plano inclinado f define el coeficiente de rozamiento de la masa sobre el plano inclinado f c  reemplazando en1 12

Mecánica Vectorial Aplicada para Ingenieros FRICCIÓN f e  tg 4e6

ambién se acostumbra denominar al coeficiente de rozamiento f, con la letra griega u, as'1 2e  f e  tg 4e6

AN4ULO DE FRICCION 5 AN4ULO DE RE6OSO )n algunos problemas de fricción, resulta m#s pr#ctico traba"ar con la reacción de una superficie sobre el cuerpo, sin descomponerla, como &icimos en los e"emplos anteriores. $e llama #ngulo de fricción % al que forma la reacción total con su componente normal. )l #ngulo de fricción est#tica m#-ima, correspondiente a la fuerza de fricción est#tica m#-ima ser# J(  E ser# el de fricción cinética. /or #ngulo de reposo : se entiende el m#-imo #ngulo que forma con la &orizontal un plano sobre el cual puede permanecer un cuerpo en equilibrio. Como puede obser!arse en las figuras, el #ngulo de reposo es igual al #ngulo de fricción est#tica m#-ima, , por tanto, tanα = μ s N / N

P sea que tanα = μ s

Ejemplo 4: )l bastidor de la figura se !a inclinando

paulatinamente. $obre él se encuentra un refrigerador cuo centro de gra!edad tiene la posición mostrada. +iga cu#l ser# el m#-imo !alor que pueda alcanzar el #ngulo sin que el refrigerador se !uelque ni se deslice. $on ?.A?  ?.A los coeficientes de fricción est#tica  cinética, respecti!amente.

13


Como el #ngulo de reposo es #ngulo tan ?.A, entonces el refrigerador estar# a punto de deslizarse cuando el #ngulo sea de >>.@Q. enemos que in!estigar, sin embargo, si no se !uelca antes con un #ngulo menor. +ibu"amos su diagrama de cuerpo libre suponiendo que est# a punto de !olcarse, sin descomponer la reacción del bastidor sobre el refrigerador. tan θ

=0.4

θ= 21.8

ste es el !alor m#-imo que puede alcanzar M( si se aumenta, el cuerpo se !uelca.

AN4ULO DE ROZAMIENTO INTERNO DE LOS MATERIALES +eterminados materiales granulares, como la arena, la gra!a, los suelos  en general los materiales pul!erulentos, tienen un determinado coeficiente de rozamiento entre las part'culas que los conforman. )l #ngulo asociado es precisamente el #ngulo que formar'a la superficie libre de estos materiales amontonados, por ello se conoce a esta propiedad como #ngulo de rozamiento interno.

14


La arena adopta una forma de cono con la

inclinación de su

φ e ángulo de rozamiento interno Este cono de semi-ángulo

recibe

el nombre de cono de rozamiento estático y representa el lugar geométrico de las posiciones posibles de las reacción R para el movimiento inminente.

φ

)l 3ngulo de rozamiento interno define claramente, para cada caso la posición l'mite de la reacción total R entre las dos superficies de contacto. $i el mo!imiento es inminente, R debe ser una generatriz de un cono recto de φ e

re!olución de semiS#ngulo en el !értice

. φ e

$i el mo!imiento no es inminente, R ser# interior al cono de semiS#ngulo ,  recibe el nombre de cono de rozamiento est#tico  representa el lugar geométrico de las posiciones posibles de la reacción R para el mo!imiento inminente.

15


$i se produce el mo!imiento se aplica el 3ngulo del mo!imiento cinético  la reacción φ c

deber# encontrarse sobre la superficie de un cono algo menor del semiS#ngulo cono es el de rozamiento cinético.

. )ste

ANÁLISIS DEL ROZAMIENTO SECO En el escen!r$o( An%es "ue ocurr! el &esl$'!m$en%o7 $e desarrolla una fuerza tangencial, entre las superficies de contacto que presentan cierta rugosidad, de la misma dirección  de sentido contrario( , que impide el F e

deslizamiento, esta fuerza, se denomina fuerza de rozamiento que puede tener un !alor cualquiera desde cero &asta un !alor m#-imo, la cual produce el deslizamiento. La zona &asta el punto de deslizamiento recibe el nombre de dominio de rozamiento est#tico  el !alor de la fuerza de rozamiento queda determinado por las ecuaciones de equilibrio. )sta fuerza de fricción, puede tener un !alor cualquiera entre cero  el !alor m#-imo, en el l'mite inclusi!e. /ara un par dado de superficies no pulidas. La Fuerza de fricción en su !alor m#-imo de rozamiento est#tico la fuerza normal N(  se e-presa as'1 F e

=

ma

F e

ma

resulta ser proporcional a

f e N

 5 e N f e

)sta ecuación se aplica sólo cuando el mo!imiento es inminente( donde1 es la constante de proporcionalidad que recibe el nombre de coeficiente de rozamiento est#tico. Tna !ez que se produce el &esl$'!m$en%o se presenta el ro'!m$en%o c$n8%$co1 F c

=

f c N

 5 c N f c

f 

+onde uc

≤

es el coeficiente de rozamiento cinético se deduce que

ue

1

≤

f e

o también1


Los coeficientes de rozamiento miden la rugosidad de un par de superficies en contacto,  toman en cuenta la !elocidad. Las dos ecuaciones para la fuerza de rozamiento suelen escribirse de la siguiente forma F

=

fN

ó

F  uN

Cu!n&o l! #uer'! &e ro'!m$en%o !lc!n'! su 0!lor es%9%$co m9:$mo* el 9n-ulo

α

φ e

!lc!n'! su 0!lor m9:$mo tg φ e

=

f e

 5 e

FINALMENTE )l an#lisis del rozamiento seco se !a a completar utilizando la figura ==. donde se grafica la Fuerza de Rozamiento en e"e de las coordenadas  en el e"e de abscisas la fuerza . 3l crecer , la fuerza de rozamiento debe ser igual mientras que el sólido no deslice se deber# satisfacer las ecuaciones de equilibrio &asta que finalmente llega a un punto donde el sólido comienza a deslizarse en dirección  sentido de la fuerza . )n este instante la fuerza de rozamiento disminue bruscamente a un !alor ligeramente menor  se mantiene constante &asta cierto periodo  luego disminue al aumentar la !elocidad.

1!


C!r!c%er)s%$c!s mec9n$c!s &e l! #r$cc$3n sec! La fuerza de fricción act*a tangencialmente ala superficies de contacto en una dirección opuesta al mo!imiento relati!o o a la tendencia al mo!imiento de una superficie con respecto a la otra. La fuerza de fricción est#tica m#-ima F que puede ser desarrollada, es independiente del #rea de contacto, siempre que la presión normal no sea mu ba"a ni mu grande como para deformar o aplastar se!eramente las superficies de contacto de los cuerpos La fuerza de fricción est#tica m#-ima es generalmente maor que la fuerza de fricción cinética para dos superficies de contacto cualesquiera. Cuando en la superficie de contacto esta a punto de ocurrir el deslizamiento, la fuerza de fricción est#tica m#-ima es proporcional a la fuerza normal, de manera tal que1 tg φ e

=

f e

por lo que1

F e

=

ma

f e N

o también, se escribe

F e

=

ma

µ e N

Cuando esta ocurriendo el deslizamiento en la superficie de contacto la fuerza de fricción cinética es proporcional a la fuerza normal de manera tal que tg φ c

=

fc

F c

por lo que1

=

F c

f c N

=

µ c N

o también se escribe

La fuerza de rozamiento se encuentra en la dirección de la superficie de apoo )l coeficiente de rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto as' como del estado en que se encuentran sus superficies.

CU;AS 1"


Tna cu0a es una maquina simple que se usa a menudo para transformar una fuerza aplicada en fuerzas muc&o m#s grandes, dirigidas apro-imadamente en 3ngulo recto con respecto a la fuerza aplicada. Las cu0as también pueden ser usadas para propiciar desplazadamente peque0os o a"ustes en cargas pesadas. )n el e"emplo mostrado la cu0a se usa para le!antar un bloque de peso < aplicando una fuerza 6 a la cu0a. )l peso de la cu0a se &a e-cluido a que normalmente el peso de esta es insignificante en comparación con el peso del bloque  las fuerzas de fricción #=  #> se oponen al mo!imiento de la cu0a igual que la fuerza #? sobre el bloque. Las fuerzas normales no tienen importancia a que el bloque ni la cu0a se !oltearan. /or ello, las ecuaciones de equilibrio por momento no ser#n consideradas. Ua siete incógnitas que consisten en la fuerza aplicada 6* necesaria para generar el mo!imiento de la cu0a,  las seis fuerzas normales  de fricción.

Las cu0as son m#quinas simples utilizadas para ele!ar grandes bloques de piedra  otras cargas pesadas. )stas cargas pueden le!antarse mediante la aplicación a la cu0a de una fuerza considerablemente menor que el peso de aquellas. 3dem#s, debido al rozamiento e-istente entre las superficies en contacto, una cu0a permanecer# en su lugar después de &aber sido obligada a introducirse ba"o la carga, si tiene la forma apropiada. Las cu0as, por consiguiente, se utilizan con !enta"a para realizar peque0os a"ustes en la posición de pesadas piezas de maquinaria.

1#


Las cu0as a menudo son usadas a"ustar la ele!ación de partes estructurales o mec#nicas. ambién proporciona estabilidad a ob"etos como este tanque.

FUERZAS DE FRICCION EN TORNILLOS )n la maor'a de los casos los tornillos se usan como su"etadores( sin embargo, en muc&os tipos de maquina son incorporados para transmitir potencia o mo!imiento de una maquina a otra. Tn tornillo puede ser considerado como un plano indicado o una cu0a enrollada alrededor de un cilindro. Tna tuerca que inicialmente que esta localizada en la posición 3 sobre el tornillo que se muestra en la figura se mo!er# a K al girar @?V alrededor del tornillo. )sta rotación es equi!alente a trasladar la tuerca &acia arriba por un plano inclinado de altura L  longitud >Wr, donde r es el radio medio de la rosca. La ele!ación l para una sola re!olución se llama paso del tornillo, donde el 3ngulo de paso esta dado por1 θ= tan

−1

(

I ) 2 πr

An9l$s$s or #r$cc$3n

2$


Cuando un tornillo esta sometido a grandes fuerzas a-iales, las fuerzas desarrolladas en la rosca resultan importantes si se !an a determinar el momento M necesario para girar el tornillo

Mo0$m$en%o &el %orn$llo +!c$! !rr$.! / !.!@o $iempre que < sea lo suficientemente grande, el tornillo puede estar a punto de tener un mo!imiento inminente o estarse mo!iendo. Ka"o estas condiciones, R act*a en cierto 3ngulo 4 φ s 6 desde la !ertical como se muestra en la figura, donde   %!n=

,FN2( 3plicando las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas al bloque, obtenemos1 M =W ×r × ( tan θ + φs )

Como se indico M es el momento necesario para causar el mo!imiento inminente del tornillo &acia arriba, siempre que

φs

 tan S= 5s 4el #ngulo de fricción est#tica6.X la

ecuación cuando el tornillo ba"a ser#1 M ° = W × r ×( tan θ− φs )

RESISTENCIA AL RODAMIENTO $i un cilindro r'gido de peso Y rueda a !elocidad constante a lo largo de una superficie r'gida, la fuerza normal e"ercida en el cilindro por la superficie act*a en el punto tangencial de contacto, como se muestra en la figura( por e"emplo considere que el cilindro esta &ec&o de un material mu duro  que la superficie sobre la cual rueda es relati!amente sua!e. +ebido a su peso, el cilindro comprime la superficie ba"o el  21


cuando el cilindro rueda, el material de la superficie en frente el cilindro retarda el mo!imiento a que esta siendo deformado, mientras que el material en la parte posterior es restaurado del estado deformado  tiende por ello a empu"ar el cilindro &acia delante. La resistencia al rodamiento es causada principalmente por este efecto, aunque s también, en menor grado, el resultado de la ad&esión superficial  el microS deslizamiento relati!o entre la superficie de contacto. Como la fuerza 6 es necesaria para !encer esos efectos es dif'cil determinar. /ara realizar consideraremos la resultante de toda la presión normal N  N&  Nr actuando sobre el cilindro  obtendremos la siguiente formula1 P ≈

W a r

FUERZAS DE FRICCION EN CUMACERAS DECOLLAR* 6IVOTE 5 DISCOS Las c&umaceras de pi!ote  de collar son usadas com*nmente en m#quinas para soportar una carga a-ial sobre una flec&a en rotación. )sos dos tipos de soporte se muestran en la figura. $iempre que las c&umaceras no estén lubricadas o cuando lo estén solo parcialmente, pueden ser aplicadas las lees de la fricción seca para 22


determinar el momento M necesario para girar la flec&a cuando este soporte una carga a-ial 6(

An9l$s$s or #r$cc$3n La c&umacera de collar que se utiliza en la flec&a mostrada en la figura est# sometida a una fuerza a-ial 6  tiene un #rea de contacto o de apoo

π

4R>>SR>=6. )n el

siguiente an#lisis, la presión normal p es considerada uniformemente distribuida sobre esta #rea. Como

∑ F

 ?, entonces p, medida como una fuerza por unidad de

#rea, es1 !=

P 2

2

π × ( "2 − " 1)

)l momento necesario para causar una rotación inminente pude ser determinado a partir del equilibrio por momento con respecto al e"e z. un peque0o elemento de #rea, esta sometida a una fuerza normal dN  p d3  a una fuerza de fricción asociada. #F = μ s #N = μs !#$ =

μ%P π × ( "2− "1 )

23


La fuerza normal no genera un momento con respecto al e"e z de la flec&a( sin embargo, la fuerza de fricción si lo &ace  es dM  r.dF . La integracion es necesaria para calcular el momento total creado por todas las fuerzas de fricción que act*an sobre #reas diferenciales dA. /or lo tanto, para un mo!imiento rotacional inminente1 M=0 & M

❑

−∫ r#F $

3l sustituir para dF  d3 e integrar sobre toda el #rea de apoo obtenemos1 "2

2 π

∫∫ r

M =

"1

2

0

[(

M = μs P 3

μ s P 2

2

π " 2− "1

)]

(r# θ#r )

( ) 3

3

2

2

"2− " 1 "2− " 1

)sta ecuación de la magnitud del momento requerido para la rotación inminente de la flec&a. )l momento de fricción desarrollado en el e-tremo de la flec&a, al girar esta con rapidez constante, puede encontrase sustituendo, 2Z por 2$. Cuando R>  R  R=  ?, como en el caso de una c&umacera de pi!ote la ecuación anterior se reduce a1 2

M = μs P" 3

FUERZAS

DE

FRICCION

SOBRE

BANDAS

6LANAS Las fuerzas de fricción que act*an en una banda plana,  el an#lisis de otros tipos de bandas, como la banda H, se basa en principios similares. 24


$e considerara la banda plana mostrada en la figura, la cual pasa sobre una superficie cur!a fi"a, de manera que el #ngulo total de contacto entre la banda  la superficie es '

en radianes  el coeficiente de fricción entre las dos superficies es

μ .

+eterminaremos la tensión  > que es necesaria en la banda para "alar esta en sentido contrario al de las manecillas del relo" sobre la superficie  a-ial !encer las fuerzas de fricción en la superficie de contacto  la tensión conocida  =. Naturalmente  > [ =.

La fricción en las bandas es determinada cuando se dise0an bandas impulsadas o de frenado libre An9l$s$s or #r$cc$3n( Tn diagramas de cuerpo del segmento de la banda que esta en contacto con la superficie se muestra en la figura. 3qu' la fuerza normal N  la fuerza de fricción F, actuando en puntos diferentes a lo largo e la banda, !ariaran en magnitud  dirección. +ebido a esta distribución desconocida e la fuerza, el an#lisis del problema se resol!er# inicialmente con base en el estudio e las fuerzas que act*an sobre un elemento diferencial de la banda.

+iagrama de cuerpo libre de la banda

Tn diagrama de cuerpo libre de un elemento con longitud ds se muestra en la siguiente figura( suponiendo mo!imiento inminente o mo!imiento de la banda, la magnitud de la fuerza de fricción dF  2dN. )sta fuerza se opone al mo!imiento deslizante de la banda  por ello aumenta la magnitud de la fuerza de tensión que act*a en la banda mediante d. 3plicando las dos ecuaciones de equilibrio  fuerzas, tenemos1

25


T × cos

( ) #θ

+ μ#N −( T + #T ) × cos

2

#N −( T + #T ) × sin

( ) #θ 2

−T sin

( )= #θ 2

( )= #θ 2

0

0

Como dM es de tama0o infinitesimal, sen 4dM\>6  cos 4dM\>6 pueden ser reemplazadas por dM\>  =, respecti!amente. 3dem#s, el producto de los dos infinitesimales d  dM\> puede ser ignorado al compararlo con infinitesimales de primer orden. /or tanto, las dos ecuaciones anteriores se reducen a1 2dN  d

dN  dM

3l eliminar N se obtiene1 #T = μ × #θ T

Integrando esta ecuación entre todos los puntos e contacto que la banda tiene con el tambor,  obser!ando que   =    > en M  ' , resulta1 T 1

∫ T 2

#T = μ × T

'

∫ 0

#θ ln

T 2 = μ × ' T 1

+espe"ando para >, obtenemos1 μ'

T 2 =T 1 ×(

+onde1  S>, =  tensiones en la banda(  = se opone a la dirección del mo!imiento de la banda medido con relación a la superficie, mientras que  > act*a en la dirección el mo!imiento relati!o de la banda( debido a la fricción,  > [=.  2  coeficientes de fricción est#tica o cinética entre la banda  la superficie de contacto. 2


 '  #ngulo entre la banda  la superficie de contacto, medido en radianes.  e  >.]=D^.., base de los logaritmos naturales.

6ROBLEMAS DE FRICCION SECA $i un cuerpo esta en equilibrio cuando es sometido a un sistema de fuerzas que incluen el efecto de la fricción, el sistema e fuerzas debe satisfacer no solo las ecuaciones de equilibrio sino también las lees que gobiernan a las fuerzas de fricción.

T$os &e ro.lem!s &e ro'!m$en%o7 Ua tres tipos de problemas que implican la fricción seca, los cuales son1 )n el r$mer %$o de problemas se debe buscar la condición de mo!imiento inminente. )n el enunciado del problema deber# quedar claro que &a que utilizar el requisito de rozamiento est#tico l'mite. )n el se-un&o %$o de problemas no se precisa que &aa mo!imiento inminente  por f

=

fe

lo tanto la fuerza de rozamiento puede ser menor que dada por la ecuación  )n este caso la fuerza de rozamiento quedar# determinada por las ecuaciones de equilibrio *nicamente. Los problemas de este tipo son estrictamente problemas de equilibrio que requieren que el n*mero total de incógnitas sea igual al n*mero total de ecuaciones de equilibrio disponibles. Tn problema de este tipo se muestra en la figura( aqu' debemos determinar las fuerzas de fricción en 3  C para !erificar si la posición de equilibrio del bastidor de dos miembros puede ser mantenida.

2!


Mo0$m$en%o $nm$nen%e en %o&os los un%os( )n este caso el n*mero total de incógnitas ser# igual al n*mero total de ecuaciones de equilibrio disponibles m#s el n*mero total de ecuaciones de fricción disponibles, F   N( )n el diagrama de cuerpo libre de la izquierda se muestra todas las fuerzas que act*an sobre la barra para que no se deslice( donde se obtiene A incógnitas.

Mo0$m$en%o $nm$nen%e en !l-unos un%os( 3qu' el n*mero total de incógnitas ser# menor que el n*mero de ecuaciones disponibles de equilibrio m#s el n*mero total de ecuaciones de fricción o ecuaciones de condición para el !olteo. /or lo tanto &abr#n carias posibilidades para que se produzca un mo!imiento( por e"emplo considérese el bastidor de dos miembros mostrados en la figura, donde se requiere &allar la fuerza 6. )n el diagrama de cuerpo libre de la izquierda se muestra todas las fuerzas que act*an sobre el bastidor las cuales son ].

2"


)l %ercer %$o de problemas entra0a el mo!imiento relati!o entre las superficies en f

=

f c

contacto  en tal caso se aplicara el coeficiente de rozamiento cinético Ejemplo 5: )l poste uniforme tiene un peso de ? lb. X longitud de >@ pies. +etermine la distancia d m#-ima a la

que puede colocarse de la pared liza sin deslizarse. )l coeficiente de fricción est#tica entre el piso  el poste es us ?. + ) ∑ Fy = 0 N $ −30=0 N $ =30 lb F $ ¿ max= 0.3 × 30= 9 lb F $=¿

+¿ ∑ Fx =0 * ¿ N + −9 =0

+ ∑ M $ =0 30 ( 13 × cos θ ) −9 ( 26 × sin θ ) = 0

θ=59.04 # =26 × cos59.04 =13.4 ,t

Ejemplo 6: Tn disco de A Zg descansa sobre una superficie inclinada para la cual us 

?.>. determine la fuerza !ertical m#-ima 6 que puede ser aplicada al eslabón AB sin que el disco se deslice en C

2#


p

200 mm

300 mm

P

600 mm

B

C

30º

)cuación de equilibrio en +CL 4=6 + ∑ M+ =0 P× 600− $y× 900 = 0

)cuación de equilibrio en +CL 4>6 + ) ∑ Fy = 0 N- × sin 60− F- × sin 30− 0.6667 × P −343.35 =0

+ ∑ Mo =0 F- × 200 −0.6667 × P × 200 =0

+e 4=6  4>6 se obtiene1 /  =D>N



Nc  @?@.@?N

Ejemplo 7: La !iga AB tiene masa  espesor insignificante  esta sometida a una carga

triangular distribuida .esta soportada en un e-tremo por un pasador  el otro por un poste con masa de 50 Kg.  espesor insignificante .determine la fuerza / m'nima 3$


necesaria para mo!er el poste .los coeficiente de fricción est#tica en K  en C son u B=0.4 y u C =0.2 respecti!amente. $olución de +CL = se tiene1 + ∑ M$ =0 4

−800 × + N + × 2 =0 3

N + =533.3 N

+CL > se tiene1 + ∑ MC =0 −4 × P× 3

0.3

+ F+ × 0.7 =0

+¿ ∑ Fx =0 * ¿ 4 5

× P− F+ −0.2 × NC =0

+ ) ∑ Fx =0 3 5

× P + N - −533.3 −50 × 9.81 =0

P=355 N N C =811.10 N F+=121.6 N F+max =213.3 n

Ejemplo : La ca"a uniforme mostrada en la figura tiene una masa de >?Zg, si una

fuerza /  D?N se aplica la ca"a determine si esta permanece en equilibrio. )l coeficiente de fricción est#tica 5 ?.

31


Solución

+iagrama de cuerpo libre como se muestra en figura, la fuerza normal resultante Nc debe actuar a una distancia - de la l'nea central de ca"a para contrarrestar el efecto de !olteo causado por /. &a  incógnitas F, Nc, - que pueden ser determinadas estrictamente por las  ecuaciones de equilibrio.

la la

+¿ ∑ Fx =0 * ¿ 80 × cos 30 N − F =0

+ ) ∑ Fy = 0 −80 × sin 30 N + N - −196.2 N =0

(

80 × sin 30 N × 0.4

)−80 × cos 30 N × 0.2+ N C × x =0

+espe"ando1 F =69.3 N N - =236 N x =−9.08 mm

Como - es negati!o ello indica que la fuerza act*a ligeramente &acia la izquierda de la l'nea central de la ca"a. )"emplo _1 La !iga a"ustada a la posición &orizontal por medio de una cu0a localizada en su soporte derec&o. $i el coeficiente de fricción est#tica entre la cu0a  las dos superficies de contacto es 5  ?.>A, determine la fuerza &orizontal / requerida para empu"ar la cu0a &acia delante. Ignorar el peso  el tama0o de la cu0a  el espesor de la !iga. 32


Solución:

)cuaciones de equilibrio  fricción1 $i la cu0a esta a punto de mo!erse &acia la derec&a, entonces el deslizamiento tendr# que ocurrir en ambas superficies de contacto. /or lo tanto, F K  5sNK  ?.>AN 3  FC  5$Nc  ?.>ANC .+el +.C.L1 + ∑ M $ =0 N + × 8−300 × 2 =0 N + =75 kN

+.C.L + ) ∑ Fy = 0 & N C × sin70 °− 0.25 × N C × sin 20° −75= 0 N C =87.8 kN

+ ∑ Fx =0 P−0.25 × 75 −0.25 × 87.8 × cos 20 ° −87.7 × cos 70 ° = 0 P=69.4 kN

Ejemplo 1!: +etermine el peso m#s grande de la cu0a que puede colocarse entre el

cilindro de D EN  la pared sin perturbar el equilibrio. )l coeficiente de fricción est#tica en 3  C es 5s  ?.A,  en K, 5 s  ?.@.

33


$olución1 + ∑ Fx =0 N + × cos30 ° − F + × cos 60 ° − N C =0 … … … … … ( 1 )

+ ) ∑ Fy = 0 N + × cos30 ° + F + × sin60 ° + F C −W =0 … … … … … (2 )❑

∑ Fy =0

)+

N $ − N + × sin 30 ° − F + × sin 60 ° − 8=0 … … … … … (3 )

+ ∑ Fx =0 & F $ + F + × cos60 − N + × cos 30=0 + ∑ M =0 0

F $ × 0.5− F + × 0.5=0 … … … … … ( 3 )

34

Trabajo de Friccion

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