Algebra Lineal Fase 1 de Trabajo Colaborativo 1

ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONOMICAS Y DE NEGOCIOS – ECACEN –ADMINISTRACION DE EMPRESAS

ALGEBRA LINEAL PRIMERA FASE DE TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO POR: LUIS ISIDRO GAITA G AITAN N BERMUDEZ CODOGO: 79.839.348 GRUPO_ 100408_0

PRESENTA PRESEN TADO DO A: PEDRO JOSE CARRILLO TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA ! A DISTANCIA BOGOT" D.C. OCTUBRE DE #01$


INTRODUCCION

Este trabajo se realiza en base a los parámetros parámetros especificados en la guía, cuyo fin es evaluar el aprendizaje sobre los conceptos En esta unidad se desarrollarán las temáticas de Operaciones entre vectores, magnitud y ángulo; Operaciones sobre matrices, operaciones entre matrices y cálculo de determinantes de vectores y matr matric ices es present presentad ados os en la unidad unidad uno (1)

del del curso curso !e pretend pretende e "ue "ue el

estudiante reconozca algunos aspectos "ue son fundamentales para abordar el estudio de la #lgebra $ineal, por eso se representa a trav%s de ejercicios prácticos el afia afianz nzam amie ient nto o de dic& dic&os os conce concept ptos os En la unida unidad d uno uno (1) (1)

se e'pl e'plic ica a los los

m%todos m%todo s de solucin soluci n para estos sistem stemas as $as matrices matrice s constituyen constituye n un instrumento instru mento muy poderoso para tratar con los modelos lineales


OBJETIVO GENERAL

anejar de forma adecuada y eficaz cada uno de los conceptos de vectores y matrices, derivaciones y magnitud y ángulo, tales tales como* inversa, operaciones con matrices, determinantes, entre otros, a trav%s del desarrollo de una serie de ejercicios propuestos

OBJETIVOS ESPEC%FICOS

•

•

•

#fianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos ad"uiridos en la unidad 1 del programa de #lgebra $ineal vectores y matrices Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos "ue la componen +ealizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades


EJERCICIOS PROPUESTOS 1 n topgrafo tomo los siguientes datos del perfil de una monta-a*

.eterminar la altura de la monta-a (altura del pico /)

&'((')*+ ('*+ ' A Sen A 0

C SenC

C . Sen A a 0 SenC

a

0

1.2 km.Sen 54 °

Sen 84 °

a =1.30 k .m

&'((')*+ ('*+ , b c = SenB SenC


c . Sen B b0 SenC

b=

1.6 km.Sen 42 °

Sen 84 °

b =1,08, km

S-) 4# /

b 1,30 km

h =Sen 42 ° . 1.30 km h =0,87 km A = π r

2

+espuesta la altura de la monta-a del pico / es 0 /087 2

#. E)5-)6- (' ')65*  *-;) *- (+< <5-)6-< =-6+-<: a) v =( 7,2 ) b)

'>

v =( 5,−√ 8 )

llvll= √ ( 7 ) +( 2 ) 2

llvll = 49 + 4

llvll = √ 53 y x

−1 (¿) θ= tan ¿

2


2

x

−1 (¿) θ= tan ¿ θ=16 ° 2 ,> llvll= √ (5 ) +( √ 8 )

2

llvll = √ 25 +( √ 8 )

2

llvll = √ 25 + 8 llvll = √ 33

−√ 8 5 θ= tan −1 ¿

θ=−29,5 ⇒

W = 6,0,22

3. E)5-)6- 5) =-6+ v ?5- 6-)' (' ')65*  *-;) *'*'<:

|v|=6 ;θ = 2 π 3

x = cos θ X =6.cos

2 π 3

x =6 y =cos θ y =6. Sen y =0,22 ⇒

W =( 6 ; 0,22 )

2 π 3


4. A)'(- (' <5-)6- @'  +) ,'<- -) (+< -<5(6'*+< *- <5< ')@(<< *-6-)- ('< ++)-)6-< *-( =-6+  <5 ')65*  <5 *-;)

EJERCICIOS PROPUESTOS: .esarrolle los ejercicios y comparta la solucin en el foro de trabajo colaborativo us"ue siempre dar alternativas diferentes a las "ue ya dieron sus compa-eros en las soluciones "ue &ayan subido

⇒

W =−25,9

¿∨W  √ (−25 )+( 9 ) ⇒

⇒

¿∨W  √ 625 + 81


⇒

¿∨W  √ 706 ⇒

¿∨W  / #$$ y θ= tan −1 ( ) x θ= tan −1 (

9

−25

)

θ=−19,8

1. D'*+< (+< =-6+-< -<5(6'*+ '( +-': 1 a ¿ . (u +6 v )

u= 8 i + 4 j − 3 k

3

¿ 8 i+ 4 j−3 k +6. (2 i+ 7 j −3 k ) 1 3

¿

¿ 8 i+ 4 j−3 k +6. ( 2 i+ 7 j −3 k ) 1 3 1 3 1 3 1 3

(

¿

>

( 8 i + 4 j−3 k ) + 12 i + 42 j −18 k ¿ ( 8 i + 4 j−3 k + 12 i + 42 j −18 k ) (20 i + 46 j−21 k )

20 3

i+

46 3

j −7 k )

b ¿ . (2 u + v )∙ ( 4 u −v )

 v =2 i + 7 j −3 k *-6-)- -(


4 ( 8 i + 4 j − 3 k )−( 2 i + 7 j −3 k )=¿ 2 (8 i + 4 j −3 k + 2 i + 7 j −3 k ) ¿

¿

( 16 i+ 8 j −6 k )+ ( 2 i + 7 j −3 k ) (32 i + 16 j −12 k )−(2 i + 7 j −3 k ) ( 18 i+ 15 j −9 k ) ( 30 i+ 9 j −9 k )=¿

( 18 i) ( 30 i ) + ( 15 j) ( 9 j ) + (−9 k ) (−9 k ) ( 540 i +135 j + 81 k )=756

|+|

c ¿.

u v 2

3

(8 i+ 4 j−3 k ) ( 8 i+ 4 j −3 k ) + 3

4 i + 2 j −

(

14 3

i+

3

3 k 2 i

13 3

2

+

7 + j 23 3 3

5

)

j − k 2

#. S-') u=7 i + 3 jyv = 4 i− j E)5-)6- α 6'( ?5-: ∝

a ¿ .uyv

!ean ortogonales

2 ¿ u =7 i + 3 j v = 4 i −∝ j


entonce u e !er!en"icular a v

S: 5.= /0

( 7,3 ) . ( 4,− )=0 ∝

28−3 ∝= 0

−3 =−28 ∝

=

∝

b ¿ .uyv

−28 = =9.33 −3 ∝

!ean paralelos

(u=7 i +3 j )( v =4 i− j) ∝

Entonces u44v si* ¿

3j

− j ∝

#entonce=( 7 i ) (−∝ j )=( 4 i )( 3 j )

−7 =12 ∝

=

∝

12

−7

=−1.71

∝

3. C'(5(- $royv u <',-)*+ ?5-: 6

a ¿ .u = i + 3 j ;v =2 i − 2 j 7


¿ v ∨¿ . v a ¿ .$roy v u =

u. v

¿

2

¿¿ ¿ 2

−¿ ¿ ¿ . √ ¿ ¿ 6 ( + 3 i ) . (2 i −2 j )

2 i −2 j

7

$royv u=

¿

(

12 7

$royv u=

i−6 j ) . ( 2 i −2 j ) 4+ 4

(

24 i

$royv u=

7

+ 12 j ) 8

3

3

7

2

$royv u= i + j

C'(5(- (+< +<-)+< *-6+-< *-( =-6+ v =4 i +6 i−7 k


EJERCICIOS PROPUESTOS: .esarrolle los ejercicios y comparta la solucin en el foro de trabajo colaborativo us"ue siempre dar alternativas diferentes a las "ue ya dieron sus compa-eros en las soluciones "ue &ayan subido 1. C5@( -< (' *<6')' *-( =-6+ W *- (' <5-)6- @'

#. D-6-)- -( +*56+ 5 u % v <',-)*+ ?5- : a ¿ .u =5 i+ 3 j −8 k ; v =3 i −6 j−2 k i

j

k

5 3

3 −6

−8 −2 3 −6

−08 −2

i−

5 3

−8 −2

j +

5 3

3 k −6

(−54 i ) −( 14 j ) + ( 039 k )=( 01 )−54 i− 14 j −39 k ¿=¿ &e!ueta =54 i + 14 + 39 k

b ¿ .u = πi +

i π

j π

k π

1

1

−1

π 2

j + 3 πk ; v =i+ j −k


π 2 1

π 2

−π

3 −1

1

3 π j −1

j +

π

π / 2

1

1

k

π

¿ (−1 )−( 3 π )( 1 )−( π ) (−1 ) −(3 π )( 1 )+( π )(−1)( )( 1 ) 2

−1

( ) ( )=¿ π 2

1

( π )¿ −7 π 2

¿ 3 i ¿−(−4 π' )+¿

π 2

k ¿

−4 π' +¿ ¿ 7 ( − π 3 i)−¿ 2

EJERCICIOS PROPUESTOS: .esarrolle los ejercicios y comparta la solucin en el foro de trabajo colaborativo 1. L' @,' *- '(-)6+< NUTRINAT 6-)- 5)' +*5;) *'' '56+'6'*' *- #000 +5-< 1$000 '=-)'< -) ,+(<' 400 ?5-<((+<  9#00 (--< '++('6'*'<. S-H) +-+)-< -+);'< *-( *-'6'-)6+ *- -'*-+ ('< ')')'< )-6'< + '*' 5)*'* *-( +*56+ 5)' =- 5-<6'< -) -( -'*+ -< *- 40 + +56 380 + ,+(<' *- '=-)' #70 + ?5-<((+  3#0 + ,+(<' *- (-- '++('6'*'. a) E'prese la produccin diaria como un vector rengln 5roduccin diaria 6 0 78999 de yogures : 0 1999 de avenas < 0 =899 de "uesillos > 0 ?799 de lec&es ac&ocolatadas


5roduccin 0

(

x

y

(

)

25000 16000 4500 9200

>

b) E'prese las ganancias netas por cada producto como un vector columna @anancias x= y= z= w =

$

450

$

380

$

270

$

230

c) .etermine, desde la teoría del producto escalar, las ganancias netas "ue tendría la empresa en un día por la puesta en mercado de estos productos

( 2.500 ) ( 450 ) + 1.600 ( 380 ) +4.500 ( 270 ) + 9.200 ( 320 ) 1.125 .000 + 608.000 +1.121.5000 + 2.944 .000=5.982 .00


#. D'*' (' '6: A =

* 3 =* 3 +

4 0 0

3

(

4 0 −3

6 5 1

)

−1 3 7

* 1

4

−1

6 5 11 / 2

3 25 / 4

* 3 =4 * 3

4 0 0

6 5 22

−1 3 25

* 3 =* 32

4 0 0

6 5 0

22 6

* 1

−1 3 86 / 3

4 * 3 −3 * =0 0

6 5 0

−1 3 matri( trian+ular u!erior 86


a) E'prese la matriz como una matriz triangular superior, &aciendo uso Anicamente de operaciones elementales

( ) 2

4

0

B= 2

1

−3

1

1

3

B

b) /alcule

2

sabiendo "ue*

B X

¿

B −¿ B

B

( )( ) 2

B

3

2

¿

2

0

1

−3

2

1

2

4

3

3

1

2

0

1

−3

2

1

4

4

3

1

4

¿

( )+¿ ( ) +¿ ( ) ( )¿ +¿ ( )¿+ () ( ) +¿ ()

2 2

4 4

3 3

2

( )+¿

2 2 3 3

0 1

2

1

3

2

3 1

2

1

2 3

1 1

3 4

(1)¿

¿ 4 ( 1 / 2 ) +¿ 0 ( 1 )

2 ( 4 ) +¿

1 2

3 ( 1)¿ 1 ( 4 ) +¿ 1 ( 1 / 2 )¿+

( 1/ 2)

3 4

(1 )¿

2

3

4


¿ 2 3

( 0 ) +¿ 4 (−3 )+¿ 0 (3 / 4 ) 2 ( 0 ) +¿

4 9 4 3 2 3

1 2

3 ( 3 / 4 )¿ 1 ( 0 ) +¿ 1 (−3 )¿+

(−3 )

+¿ 8 +¿ 0 +¿ 1 −¿ 3 +¿ 2 +¿

8 3

3 4

+¿ 2+¿ 0

8 +¿ 4 +¿

1 4 1 2

−¿ 3 +¿

3 4

¿

0 −¿ 12+¿ 0 9 9 ¿ ¿ 0 −¿ 3 ¿ 3 0 −¿ 4 16 2

( ) 76

14

9 −2

3 21

3 41

4 21

12

4

−12

−15 = B 2 4 −39 16

3. &'((' A.B <

¿

3 4

(3 / 4 )¿


#0

1 4

#0

3 2

1 4

6 8

3 2

0

6 8

0

7 2 4

1 0 −4 7 2 4

1 0 −4

1 ( 7 ) +¿ 3 ( 3 )

1 ( 1 ) +¿ 3 ( 0 )

¿ #0 + 0 ( 4 ) 4 ( 7 ) +¿ 2 ( 2 )+¿ 8 ( 4 ) ¿ ¿

#0

#

1 +¿ 6 28

(

37 64

¿ +24 ¿ ¿ 4

−23 −28

1 +¿ 0 4

¿

¿ + 6 (−4 ) 4 ( 1 )+¿ 2 ( 0 ) +¿ 8 (−4 ) ¿ ¿

+ 24 ¿ 0

)

EJERCICIOS PROPUESTOS: .esarrolle los ejercicios y comparta la solucin en el foro de trabajo colaborativo

1 Encuentre la matriz inversa de A =

(

2 3

1 2

1 4

3 3

0 −1

−2 −4

)

2 −2 1 2

&aciendo uso del m%todo


de @auss2Bordan y luego por el m%todo de los .eterminantes +ecuerde "ue* 1 −1 t t A = . ( A"jA ) , donde | A| , es el determinante de # y ( A"jA ) es la | A| matriz transpuesta de la adjunta

( ( ( (

2 0

1 −7

−2

0 0

−5 −5

4 4

3 1

−2 5 /7

−5 −9

4 4

1 0 0 0

5

)(

2 1 −2 0 0 −2

1 0

)(

1 2

1 4

3 3

1 3

1 2

1 4

3 3

0 1

1 −3

0 0

0 0

−2 −4

0 1

1 0 5/ 7 0 0 −2

1 3

1 0

0 −1

−2 −4

)( )

2 1 −2 0 1 2

0 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

1 1

)( )

−2 2 −1 − 2 −0 1 −4 2

)

0 −1 / 7

1 3 /7

0 0

0 0

−2 −4

0 1

)

1 0

0 1

1 0

0 0

1 0

0 0

0 0

1 1


( ( ( ( ( (

1 0

3 1

1 /7 −5 / 7

0 0

0 0

−8 / 7 5/ 7 3 /7 25 / 7 −17 / 7 31 / 7

1 0

3 1

1 /7 −5 / 7

0 0

0 0

−8 / 7 5/ 7 1 25 / 7 −17 / 7 31 / 7

1 0

3 1

0 0

0 0

0 0

1 0

1 0

3 1

0 0

0 0

0 0

1 0

1 0

3 1

0 0

0 0

0 0

1 0

1 0

3 1

0 0

0 0

0 0

1 0

+esultado

−8 / 7 5 /7 25 / 3 31

)( )(

)( )(

0 0

7/3 0

−7 / 9 20 / 3 25 / 3 518 / 3

0 0

3/ 7 −1 / 7

1 0

−5 / 7 −9 / 7

0 0

−2 / 7 3/7 1 /7 −1 / 7

3/ 7 −1 / 7

7/3 0

−5 / 3 −9 / 7

3 /7 −1 / 7

−5 / 3 −9

0 1

)

−2 / 7 3/ 7 1/ 3 −1 / 7

−2 / 7 3 /7 1 /3 −1

0 0 0 7

0 0 0 1

)(

−7 / 9 −1 / 3 2 / 5 −4 / 3 20 / 3 5 /3 25 / 3 7 /3 −5 /3 1 17 / 74 8 / 37

)

)

−1 / 3 2 / 3 −1 / 3 5/ 6 2/ 3 −4 / 3 7/ 3 −5 / 3 1 / 3 119 / 3 −112/ 3 14 / 3

−7 / 9 −1 / 3 2 / 3 −1 / 3 20 / 3 5/ 3 −4 / 3 2 / 3 25 / 3 7 / 3 −5 / 3 1 /3 74 17 2 −16

)(

0 0

0 0 0 3

0 0

)

0 21

)

−1 /3 0 2 /3 0 1/ 3 0 1 / 37 3 / 74

)


A

−1

1

−1

A =

1

( )(

0

(

−1

0 0

0 101 / 666 0 3 / 22

0 0

0 0

1 0

0 1

31 / 74 17 / 74

278 / 333 −308 / 111

−385 / 111 8 / 37

−109 18 / 37 4 / 37 1 / 37

07 / 222 10 / 37 2 5/ 74 3 / 74

)

t

12 6

−20

10 −14

8 −2

15 10

A =

3 1

. ( A"jA )

| A|

62 39 17

1 0

36

7 −20

−25 3

)

( ) 15

12

−20

7

62 10

62 6

62 36

62 −20

62

62

62

62

39

10

8

−25

62 11

62 −14

62 2

62 3

62

62

62

62

.ecir si la siguiente matriz es invertible, justificando cada uno de los pasos y los conceptos para su determinacin

A =

(

5 3 10

−2 −1 −8

4 6 1

)


5ara calcular matriz invertible apuntemos la matriz A y tambi%n escribamos a su derec&a una matriz identidad*

A =

(

5 3 10

−2 −1 −8

4 6 1

)( ) 1 0 0

0 1 0

0 1 1

.ividamos 12%simo por 8

A =

(

51 3 10

−0.4 −1 −8

0.8 6 1

)(

0.2 0 0

0 1 0

0 0 1

)

.e 7; C filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por C; 19 ¿

(

51 3 0

−0.4

0.8 3.6 −7

0.2 −4

)(

0.2 −0.6 −2

0 1 0

0 0 1

)

.ividamos 72%simo por 97

¿

(

51 3 0

)(

−0.4

0.8 0.2 18 −3 −7 −2

0.2 −4

0 5 0

0 0 1

)

.e 1; C filas sustraigamos la 7 línea, multiplicada respectivamente por 29=; 2= ¿

(

1 3 0

0 1 1

8 18 65

)(

−1 −3 −14

2 5 20

0 0 1

)


.ividamos C2%simo por 8 ¿

(

1 3 0

0 1 1

8 18 1

)(

−1 −3 −14 / 65

2 5 4 / 13

0 0 1 / 65

)

.e 1; 7 filas sustraigamos la C línea, multiplicada respectivamente por D; 1D

( )( 1 0 0

0 1 0

0 0 1

47 / 65 57 / 65 −14 / 65

−6 /13 −8 / 65 −7 /13 −18 / 65 4 / 13 1 / 65

)

R-<5(6'*+:

(

47 / 65 57 / 65 −14 / 65

−6 / 13 −8 / 65 −7 / 13 −18 / 65 4 / 13 1 / 65

)

EJERCICIOS PROPUESTOS: .esarrolle los ejercicios y comparta la solucin en el foro de trabajo colaborativo 1 /alcule el determinante de la siguiente matriz, &aciendo uso del m%todo de menores y cofactores*


7 ome la siguiente matriz y resuelva los siguientes casos* A =

a) b) c) d) e)

( +2 )

−4 1 8

−4

(

8 7 −1

)

6 5 9

3 −2 10

Falle su determinante Gntercambie la fila 1 con la fila 7 y vuelva &allar el determinante Gntercambie la fila 1 con la fila C y vuelva &allar el determinante Gntercambie columnas segAn su criterio y &alle los determinantes !uba al foro sus conclusiones proponiendo una regla o reglas al respecto

1 8

1 9 1

1 9 1

1 1 −3

1 3 1 +0 1 −3 0

28

6 9 1

3 −4 8

8 3 1 −5 −4 −3 8 6 1 1

8 1 −3

6 1 1

8 1 −3

H9

3 −4 1

6 1 9

8 1 1


2=(−108 + 1+ 8−( 72− 4 −32 )−5 8 −09 −32+ 48 −(64 + 3 + 72 ))

2 (−99 −65 )−5 ( 7− ( 139 ))

−164 2 ( ¿−5 (−132) ) −328 + 660=332

1 ome la siguiente matriz y resuelva los siguientes casos* A =

(

8 7 −1

)

6 5 9

3 −2 10

8

=

| A|=340

6

3

7

5

-2

-1

9

10

7

5

-2

400 + 189 + 12 −(−15 −144 + 420 ) = 601−261


8

5

-2

8

6

3

1

9

10

8

5

3

12 + 189 + 400

/ | A|=420 −144 −15−¿

| A|=251−601 | A|−340

-1

9

10

7

5

-2

-1

9

10

7

5

-2

6

8

3

5

7

-2

9

-1

10

6

8

3

¿−15 + 420 −144 −( 400 + 12+ 189) 261−601 =340


5

7

-2

¿ 420 −15−144 −( 189 + 12 + 400 ) 261−601 =−340

/onclusiones el determínate cambia a negativo cuando se intercambia algAn para de filas o para de columnas en la matriz, manteniendo el mismo valor

CONCLUSIONES


# trav%s del desarrollo del presente trabajo colaborativo, se logr afianzar los conceptos referentes a vectores y matrices y sus respectivas derivaciones, tales como* las operaciones "ue se pueden llevar a cabo vectores, #ngulo de vectores determinantes de matrices e inversa de matrices, por otra tambi%n se vio la participacin del grupo en los aportes individuales

REFERENCIAS BIBLIOGR"FICAS


T-@6'< *- -<65*+: atrices
T-@6'< *- -<65*+: .eterminantes
Margas, Buan (7918) Operaciones entre vectores y ángulo PMideoQ niversidad Iacional #bierta y a .istancia +ecuperado de* &ttp*44&dl&andlenet4198?4J799

Algebra Lineal Fase 1 de Trabajo Colaborativo 1

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