Trabajo colaborativo 1 álgebra lineal

1

TRABAJO COLABORATIVO 1 ALGEBRA LINEAL

YOLEIDIS ARENGAS

100408_289 FERNANDO MUÑOZ

1081699780 IVAN ALEJADRO MERCADO

XXXXXX DIEGO ARMANDO CARDENAS ALEGRIA

1083873773 YERMAN AUGUSTO HERNANDEZ

Tutor 100408_57

Grupo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD INGENIERIA DE SISTEMAS

Pitalito, 10 de mayo de 2016

2

CONTENIDO

Contenido……………………………………………………2

ntrodu!!i"n………………………………………………####3

$%&eti'o(……………………………………………………4 )e(arrollo de la *!ti'idad…………………………………+

Con!lu(ione(………………………………………………34

i%lio-ra./a……………………………………………######3+

2

CONTENIDO

Contenido……………………………………………………2

ntrodu!!i"n………………………………………………####3

$%&eti'o(……………………………………………………4 )e(arrollo de la *!ti'idad…………………………………+

Con!lu(ione(………………………………………………34

i%lio-ra./a……………………………………………######3+

3

INTRODUCCION

(te tra%a&o tiene !omo .inalidad re(ol'er e&er!i!io( de la primera unidad, para a.ianar lo( !ono!imiento( aduirido( y !rear un !ampo de parti!ipa!i"n !on lo( !ompaero( del -rupo !ola%orati'o# Como %ien (e a%/a nom%rado en el proto!olo del !ur(o, !on e(te tra%a&o (e %u(!a la intera!!i"n de todo( lo( inte-rante( del -rupo y 'er lo( di.erente( punto( de 'i(ta, tanto el al!an!e de entendimiento y metodolo-/a para .iniuitar el tra%a&o !on 5ito y el lle'ar a !a%o el !ur(o (ati(.a!toriamente# o( %ueno( re(ultado( (e o%tienen !on el tra%a&o euipo y en e(te taller (e 'e re.le&ado#

4

OBJETIVOS

1# )e(arro )e(arrollar llar pro%lema( pro%lema( identi. identi.i!an i!ando do la( determin determinante ante( ( de una matri, (u in'er(a in'er(a y *n-ulo entre 'e!tore( 2# ntender ntender la unidad unidad 1 del del !ur(o, lle'ando lle'ando a !a%o la pra!ti!a pra!ti!a !on e&er!i!io(# e&er!i!io(# 3# o!ia o!iali liar ar y !on! !on!ep eptua tuali liar ar idea( idea( y (olu! (olu!ion ione( e(,, para para a(/ entre entre todo todo el -rupo -rupo !ola%orati'o e(!o-er y or-aniar una (ola idea 4# o-r o-rar ar ue ue el apre aprend ndi ia& a&e e (ea (ea !ola !ola%o %ora rati ti' 'o y (e de(a de(arr rrol olle len n di.e di.ere rent nte( e( metodolo-/a( de e(tudio

5

SEMANA 1 VECTORES

1# e!tura realiada# 2# n e&emplo !laro de de(plaamiento de 'e!tore( en lo( !uale( (e 'e rela!ionada .uertemente una ma-nitud e( el de(plaamiento ue e&er!e un !uerpo en a!!i"n de una .uera ./(i!a o me!:ni!a, el tren ue parte de ondre( a!ia n-laterra o el !orredor ue (e de(plaa de(de la l/nea de partida a(ta lle-ar a la meta# )e(plaamiento de un punto * al # 3# n!uentre la ma-nitud y dire!!i"n de lo( 'e!tore(;

‖v‖= √ ( 4 + 4 ) =√ 32 =4 √ 2 2

Para ' < =4,4>

2

y 4 tanθ = = =1 x 4

( 1 )=¿ π = 45o 4

−1

θ = tan ¿

Para ' < =?1#?

√ 3

>

tanθ =

‖v‖= √ (−1 +(−√ 3 ) ) =2 2

2

y − √ 3 = = √ 3 x − 1

( √ 3 )=¿ π =60o 3

−1

θ = tan ¿

n!uentre un 'e!tor ' ue ten-a la ma-nitud y dire!!i"n dada( π o θ= =30

‖v‖=3

6

cosθ =

vx |v|

vx =3∗cos ( 30 ) =3∗0.87=2.61 o

6

senθ =

vy |v|

vy =3∗ sen ( 30 )=3∗0.5 =1.50 o

v = ⟨ 2.61 , 1.50 ⟩

ean P<=!,d> y @<=!Aa , dA%> mue(tre ue la ma-nitud de

PQ =√ ( a + b

⃗

2

2

)

⃗

PQ= ( c + a , d + b ) − ( c ,d ) PQ =( a , b ) 2 2 ‖ ⃗ PQ‖= √ ( a + b )

SEMANA 2 VECTORES EJERCICIOS PROPUESTOS: )e(arrolle lo( e&er!i!io( y !omparta la (olu!i"n en el .oro de tra%a&o !ola%orati'o

1# )ado( lo( 'e!tore(  < 3 B +  A 3 y  < B2 A 9  B  ¿ d etermine el re(ultado al operar; a># 3 B + %># = B >  =+ A > 3

>#

5

u− v

olu!i"n a> )ado( lo( 'alore(  < 3 B +  A 3 y  < B2 A 9  D  3 B + 3=3i D +&A3E>?+=?2iA9&?E> @uito el par5nte(i( multipli!ado el 3 y el + por lo ue e(t: adentro# 9i D1+&A9E?=?10iA4+&?+E> 9iD1+&A9EA10i?4+&A+E *(o!io lo( t5rmino( i-uale( 19i?60&A14E %> =u?'>=+uA'> F=3i?+&A3E> ?=2iA9&?E> H I+=3i?+&A3E> A=?21A9&?E>J

7

@uintamo( par5nte(i( realiando la multipli!a!i"n I3i?+&A3EA2i?9&?E H I1+i?2+&A1+E?2iA9&?E e a(o!ian lo( t5rmino( i-uale( dentro de !ada !or!ete I+i?14&A4E H I13i?16&A14E ue-o multipli!o I+i?14&A4E H I13i?16&A14E < =+> =13> A =?14> =?16> A=4> =14> =u#'> =+uA'> <6+A224A+6 =u#'># =+uA'> <34+ 3

!#

5 3 5

3 5

3 5

3 5

u− v

u=[

3 5

( 3− 5 + 3 ) ]

9

15

5

5

u=[ −

u− v =[

u− v =

9

19 5

u− v =

3 5 3 5

15

2

5

−12 ¿ + 5

5

( + )+ ( − − ) +( + )]

2

3

9

+ ]

5

−12 +

9

9 5

1

14 5

( )

2

14 5

( ) +¿

u− v =

19

2

5

361 25

+ 144 +

196 25

u− v =¿ 12.894

2. ean  < 3 A 4    <  B 2  n!uentre  tal ue; >#    ean orto-onale(#

8

>#    ean paralelo(# !># l :n-ulo entre    (ea 2 

u= (3, −4 ) v =( a ,− 2) u1 u 2

v1 v2

a#  y ' (ean orto-onale(# on 1 (i u # '<0 , enton!e( u# '<0 =3,?4> # =KA2> <0 3KA8 <0 K<

(

−8 3

)

− 2 =0

?8A8<0 0<0

%#  y ' ean paralelo(# u2 u1

=

u2 u1

− 4 −2 = ∞

3

?4

−6 K < −4 3

K<

2

3n

!# l *n-ulo entre u y ' (ea

cos ( u , v )=

2n 3

=−0,5

2

u∗v =3 a −8

9

2

3

+¿ 4 2=√ 16 + 4= √ 25 |u|=2 √ ¿ 2

−¿ ¿ ¿ 2 a +¿ |u|= 2 √ ¿

2 √ a +4

¿ u∨¿∨ v ∨¿ u∗v cos = ¿

cos =

3 x −8

√ 25∗√ a

2

+4

=−0,5

❑

a +4

√ 25∗√ ¿ ¿

−0,5 ¿ 2 3 a− 8 ¿ =¿ ¿¿

¿ 9 a2− 48 a + 64 =[ ( 0,25 ) ( 25 ) ( a 2+ 4 ) ] ¿ 9 a2− 48 a + 64 =6,25 ( a2 + 4 ) ¿ 9 a2− 48 a + 64 =6,25 a 2+ 25 ¿ 9 a2− 6,25 a2−48 a + 64 −25= 0 ¿ 2,75 a2− 48 a + 89 =0 3# Cal!ule   (a%iendo ue; >#  < 2 A L  <  B 2  >#  <  B L  <  A L    reale( y po(iti'o(, !on  M  >#  < 2 B 3  A 4  < B2 B 3  A +E

a#  < 2 A L  <  B 2 

10

u= (2,1 ) . ( 1, − 2) u . v =( 2,1 ) . (1,. −2 )=2 −2=0

|¿ v |∨¿ 2

❑

proy v =

u . v ᷿<'

¿

❑

proy v v = 0

%#

u= αi−bj;v =i + j ; a y b reales y positivos , con a menor que b #

u= ( a ,−b ) v =( 1,1) u . v =( a , b ) . ( 1,1 )=a −b

¿|v|¿ 2

2

2

< 1 + 1 =2

|¿ v |∨¿ v 2

proyv u=

proyv u=

u− v

¿ a −b

proyv u=(

2

(1,1 )

a−b a −b , ) 2

2

C#  < 2 B 3  A 4  < B2 B 3  A +E <=2,3,4>

N<=?2,?3,+>

( 2,−3,4 ) . (−2,−3,5 ) =−4 + 9 +20=25 u.v¿

−3 ¿ 2+ 5 2= 9 + 9 + 25= 38 −2 ¿2 +¿ ¿|v|¿2=¿

11

proyv u=

¿

25 38

¿(

u.v

|¿ v|¿ 2

v

( 2, −3,5)

−50 −75 −125 ,

38

,

38

38

)

−25 −75 −125 19

,

38

,

38

proyv u =¿

4# n tri:n-ulo tiene !omo '5rti!e( a =1,3>, =4, B2> =B3,6># )i%u&e en un plano !arte(iano la (itua!i"n y en!uentre el !o(eno de !ada uno de (u( :n-ulo(#

5 3 2 1 0

-

-

-

-2

0

-1 -

-

||w||∨|v|∨¿ ||u||∨|v|∨¿ cos ° = w¿. v ||u||∨|w|∨¿ cos ° = u¿. v cos °

u . w

¿

Oalla u, ' y  u=  − !=( 1,3 )−( 4, −2 )=(−3,6 )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

12

" = !− # = ( 4,−2 ) −(−3,6 )=( 7,−8 ) $ = # −  =(−3,6 )− (1, )=(−4,3 )

Oallar tam%i5n % u . w = (− 3,5 ) . = (− 4,3 )= 12+ 15 = 27

||u||=√ (−3 ) + 5 = √ 9 + 25=√ 34 2

2

||u||=√ (−4 ) + 3 = √ 16 + 9=5 2

2

% u . v =(−3,5 ) . ( 7,−8 )=−21−40 =−61

||u||= √ 34 −8 (¿¿ 2 )=¿ √ 49 + 64 =√ 113 2 7 +¿ ||u||=√ ¿ % w . v = (− 4,3 ) . ( 7,− 8 )=− 28− 24 =− 52

||u||=5||u||= √ 113

R!"#$%$!&' ( #$ )&*!+#$

||u||∨|w|∨¿ ° =¿

u.w

¿ cos ¿

cos ° =

27 5 √ 3 4

||u||∨|v|∨¿ ° =¿

w . u

¿ cos ¿

2

13

cos ° =

−52

√ 113

||u||∨|v|∨¿ ° =¿

u.v

¿

cos ¿ cos ° =

−61

√ 3 4 √ 113

5. D,*!-( # "*&+/,& /*+% +   '$-(& 3+ ;

>#  < 10 A 7  B 3 L  < B3 A 4  B 3

a#

%>#  <  A  A  L  <  A  D E

u=10 i + 7 j −3 & v =−3 i + 4 j −3 & u= (10,7, −3 ) v =(−3,4, −3 )

|

i

j

⃗u x ⃗v = 10

−3

7 4

&

|

−3 =[ ( 7.−3 ) ] i −{ ( 10.−3 )− (−3. −3 } + { ( 10.4 ) −( 7.−3 ) } & −3

¿ (−21 + 12 ) i −(−30 −9 ) ¿− 9 i + 39 j + 61 &

¿(−9,39,61 )

%#  <  A  A  L  <  A  D E u= ( a , b , c ) v =( a , b , c )

−bc −bc 9 i − ac −acj +( ab− ab )

|

i ⃗u x ⃗v = a a

|

j & b c =¿ b −c

14

¿ (−2 bc ) i − (−2 ac ) j + o& ¿ (−2 bc ) i −(−2 ac ) j + o& u . v =(−2 bc , 2 a c , o )

SEMANA  MATRICES

1# n .a%ri!ante de &oyer/a tiene pedido( para do( anillo(, tre( pare( de arete(, !in!o .i(tole( y un !ollar# l .a%ri!ante e(tima ue reuiere 1 ora de tra%a&o el ela%orar un anilloL 1 ora y media el a!er un par de arete(L media ora el a!er un .i(tol, y 2 ora(, la ela%ora!i"n de un !ollar# a> pre(e la( "rdene( de tra%a&o o pedido( !omo un 'e!tor ren-l"n# %> pre(e lo( tiempo( de ela%ora!i"n de lo( di'er(o( produ!to( !omo un 'e!tor !olumna# !> tili!e el produ!to e(!alar para determinar el nQmero total de ora( ue (e reuerir:n para (urtir lo( pedido(# a# Pedido < =2, 3, +, 1>

(1) %# Tiempo< ( 1.5 )

( 0.5 )

( 2) !#

P .' = ( 2 ) ( 1 )+ ( 3 ) ( 1.5 )+ ( 5 ) ( 0.5 ) + ( 1 ) ( 2 )= 2 + 4,5 + 2,5 + 2= 11 (s

2. )ada la matri  < =1 B2 4 2 0 3 1 1 +> a> pre(e la matri !omo una matri trian-ular (uperior, a!iendo u(o Qni!amente de opera!ione( elementale(# %> Cal!ule  2 B 3  (a%iendo ue  < =1+ B+ 2 2 0 0 1 6 +>

15

−2

4

#ada la matriz " = 2

0

3

1

1

5

1

a. !presa la matriz como una matriz triangula r superior haciendo uso unicamente de operacione s elementale s. 1

−2

2

0

3 multiplica mos la fila 1 por 2 y la restamos a la fila 2

1

1

5

4

F2 - 2 * f1 ⇒ f2

f3 - 1* f1 ⇒ f3

f3 -

3 4

* f 2 ⇒ f 3

1

−2

4

0

4

−5

1

1

5

1

−2

4

0

4

−5

0

3

1

1

−2

4

0

4

−5

0

0

19 4

multiplica mos la fila 1 por 1 y la restamos a la fila 3

multiplica mos la fila 3 por

3 4

y la restamos a la fila 3

16

17

. alcule

 15 − 5  " 2 − 3 B saiendo )ue ' =  2 0 1 $ 

2 



0  5  

,allamos " 2

 1 − 2  2 0 1 1 

2

  3  5 * d * a   4

 1  = 5  5 * a * d + 3 

2

20 * a * d − 2 

−1

15 * a * d + & 



5 * a * d − 2

25 * a 2 * d 2

 

y tamien 3'

 15 − 5  3 2 0 1 $ 

2 

 0  = 5  

45

− 15

$

$

0

0

3

1&

15

+uego "(2 - 3'

 1 − 2  2 0 1 1 

2

 15 − 5   3  − 3 2 0  5    1 $ 4 

2 



0  5  

#e lo cual otenemos

 1  5   5 * a * d + 3 

20 * a * d − 2  45

2

−1 5 * a * d − 2

 15 * a * d + &  − 25 * a 2 * d 2  

− 15

$

$

0

0

3

1&

15

con lo )ue se otiene 20 * a * d - 132

20 * a * d + 45

15 * a * d - &

15 * a * d + 12

25 * a 2 * d 2 + 1 25 * a 2 * d 2 + 1

500 * a 3 * d 3 - 50 * a 2 * d 2 + 190 * a * d - 1& 3%5 * a 3 * d 3 + 200 * a 2 * d 2

+ 145 * a * d + 52 $25 * a 3 * d 3 + 350 * a 2 * d 2 + 35 * a * d + 10

con lo )ue decimos )ue 20 * a * d - 132 "(2 - 3' = 15 * a * d - & 25 * a 2 * d 2

+1

20 * a * d + 45

500 * a 3 * d 3 - 50 * a 2 * d 2 + 190 * a * d - 1&

15 * a * d + 12

3%5 * a 3 * d 3 + 200 * a 2 * d 2 + 145 * a * d + 52

25 * a 2 * d 2 + 1

$25 * a 3 * d 3 + 350 * a 2 * d 2

+ 35 * a * d + 10

18

SEMANA 4 MATRICES

1# n!uentre la matri in'er(a de

 =

(

1

1

1

1

1

2

−1

1

−1

2

1

1

3

3

2

2

)

19

Oa!iendo u(o del m5todo de Gau(( Rord:n y lue-o por el m5todo de la( determinante(# METODO GAUS JORDAN

[ * la .ila 2 re(tarle la 1

[

1

1

1

0

1

−2

1 1

−1

2 3

3

1 1 0 2

]

* la .ila 3 re(tarle 1 .ila( 1

[

1

1

1

0

1

−2

0 1

−2 3

1 1

−1

1 3

2

]


[

1

1

1

0

1

−2

0 0

−2 2

1 2

1 1

−1 1

]

* la .ila 3 re(tarle ?2 .ila( 2

[

1

1

1

0

1

0 0

0 2

−2 −3 2

1 1 1 1

]


1

1

1

1

2

−1

1 1

−1

2 3

3

1 2 0 2

]

20

[

1

1

1

0

1

0 0

0 0

−2 −3 6

1 1 1 −1

]

*la .ila 4 re(tarle ?2 .ila( 3

[

1

1

1

0

1

0 0

0 0

−2 −3 0

1 1 1 1

]


[

1

1

1

0

1

0 0

0 0

−2 −3 0

1 1 0 1

]


[

1

1

1

0

1

0 0

0 0

−2 −3 0

1 0 0 1

]


[

1

1

1

0

1

0 0

0 0

−2 −3 0

0 0 0 1

]

* la .ila 2 re(tarle 2S3 .ila( 3

21

[

1

1

1

0

0

1

0

0

0 0

0 0

−3

0 1

0

]

* la .ila 1 re(tarle ?1S3 .ila( 3

[

1

1

0

0

0

1

0

0

0 0

0 0

−3

0 1

0

]


[

1

0

0

0

0

1

0

0

0 0

0 0

−3

0 1

0

]

(!alo la( parte( para o%tener la identidad atri;

[ ] 1

0

0

0

0

1

0

0

0 0

0 0

1 0

0 1

METODO DETERMINANTES:

[

1

1

1

1

2

−1

1 1

−1

2 3

3

1 2 1 2

]

Cal!ulo la determinante de la matri de 4X4 C*C$ *X*U

22

#o)actor = (−1 ) ∧ ( 1 + 1 )∗ determinantede la matri*menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 1 )=1

limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el !o.a!tor

M$,*-%

[

( 1 ) ( 1) ( 1 ) ( 1) (1) 2 −1 2 (1 ) −1 2 1 3 2 (1) 3

]

C$#/+#& #$ !$,*-%  #$ ,*!-($(,  

C*C$ *X*U #o)actor = (−1 ) ∧ ( 1 + 1 )∗ determinantede la matri*menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 1 )=1

limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el !o.a!tor M$,*-%

[

( 2) (− 1) ( 2 ) (− 1) 2 1 (3) 3 2

]

C$#/+#$ #$ !$,*-%  #$ ,  22

23

M$,*-%

[ ] 2 3

1 2

C$#/+#& 22:

2.2−3.1 = 1

C*C$ *X*U #o)actor = (−1 ) ∧ ( 1 + 2 )∗determinantede lamatri* menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 +2 )=1 limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el !o.a!tor M$,*-%

[

( 2 ) (−1) ( 2 ) −1 ( 2) ( 1 ) ( 3) 2 3

]

C$#/+#& # ,  #$ !$,*-%  22: M$,*-%

[− ] 1 3

1 2

C$#/+#& 22:

−1.2 −3.1=5

24

#o)actor = (−1 ) ∧ ( 1 + 3 )∗determinante delamatri* menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 3 ) =1 limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el !o.a!tor M$,*-%

[

( 2 ) (−1) ( 2 ) −1 2 ( 1 ) 3 3 (2)

]

C$#/+#& # ,*!-($(,  #$ !$,*-%  22: M$,*-%

[− ] 1 3

2 3

C$#/+#& 22:

−1.3 −3.2= 9

Cal!ulamo( .inale( de e(ta parte# Terminando lo( !:l!ulo( auiliare( para la matri de 33, (umo lo( !o.a!tore( de la matri#

atri

[

2

−1

2

−1

2 3

1 2

3

] =Vila 1, !olumna 1<2 por el det de la (u%matri

25

!orre(pondiente<+> 2 A =Vila 1, !olumna 2 ?+ A =Vila 1, !olumna 3<2 por el det de la (u%matri !orre(pondiente ?18 l det de la matri de 33 < ?21

#o)actor =(−1 ) ∧ ( 1 + 2 )∗determinante de lamatri* menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 2 )=−1 limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el Co.a!tor

atri;

[

(1 ) 1 1 1

( 1 ) ( 1 ) ( 1) ( 2 ) −1 2 (−1 ) 2 1 3 2 (3 )

]

C$#/+#& #$ !$,*-%  #$ ,*!-($(,  

C*C$ *X*U #o)actor =(−1 ) ∧ ( 1 + 1 )∗determinantede la matri* menor

26

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 1 )= 1


[

( 1 ) (−1 ) ( 2) (1 ) 2 1 3 2 (1 )

]

C$#/+#$ # ,  #$ !$,*-%  22 M$,*-%

[ ] 2 3

1 2

C$#/+#& 22:

2.2−3.1 = 1

#o)actor = (−1 ) ∧ ( 1 + 2 )∗determinantede lamatri* menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 +2 )=−1 limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el !o.a!tor M$,*-%

[

( 1 ) (−1 ) ( 2 ) 1 (2 ) 1 (3 ) 2 1

]

C$#/+#& # ,  #$ !$,*-%  22:

27

M$,*-%

[ ] 1 1

1 2

C$#/+#& 22:

1.2−1.1=1



[

( 1 ) (−1 ) ( 2 ) 1 2 (1 ) (2 ) 1 3

]

C$#/+#& # ,*!-($(,  #$ !$,*-%  22: M$,*-%

[ ] 1 1

2 3

C$#/+#& 22:

1.3−3.2 =1

Cal!ulamo( .inale( de e(ta parte# Terminando lo( !:l!ulo( auiliare( para la matri de 33, (umo

28

lo( !o.a!tore( de la matri#

atri

[

1

−1

2

1 1

2 3

1 2

] =Vila 1, !olumna 1<1 por el det de la (u%matri !orre(pondiente<1> 1 A =Vila 1, !olumna 2 1 A =Vila 1, !olumna 3<2 por el det de la (u%matri !orre(pondiente 2 l det de la matri de 33 < 4

#o)actor = (−1 ) ∧ ( 1 + 3 )∗determinante de lamatri* menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 3 ) =1 limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el Co.a!tor

29

atri

[

( 1 ) ( 1) ( 1) ( 1 ) 1 2 (− 1 ) 2 1 −1 (2) 1 1 3 (3) 2

]

C$#/+#& #$ !$,*-%  #$ ,*!-($(,  


(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 1 )= 1


[

]

(1 ) (2 ) (2 ) ( 1 ) −1 1 (1 ) 3 2

C$#/+#$ # ,  #$ !$,*-%  22 M$,*-%

[ ] −1 3

1 2

C$#/+#& 22:

30

−1.2 −3.1=−5 #o)actor =(−1 ) ∧ ( 1 + 2 )∗determinante de lamatri* menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 2 )=−1 limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el !o.a!tor M$,*-%

[

(1 )

( 2 ) (2 ) (−1 ) 1 (3 ) 2

1 1

]

C$#/+#& # ,  #$ !$,*-%  22: M$,*-%

[ ] 1 1

1 2

C$#/+#& 22:

1.2−1.1=1

#o)actor =(−1 ) ∧ ( 1 + 3 )∗determinante delamatri* menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 3 ) = 1 limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el !o.a!tor M$,*-%

[

(1 ) (2) (2 ) 1 −1 ( 1 ) 1 3 (2 )

]

C$#/+#& # ,*!-($(,  #$ !$,*-%  22:

31

M$,*-%

[ ] 1 1

−1 3

C$#/+#& 22:

1.3−1. − 1= 4


atri

[

1

2

2

1 1

−1

1 2

3

] =Vila 1, !olumna 1<1 por el det de la (u%matri !orre(pondiente ?+ A =Vila 1, !olumna 2 ?2 A =Vila 1, !olumna 3<2 por el det de la (u%matri !orre(pondiente<4>

32

8 l det de la matri de 33 < 1

#o)actor =(−1 ) ∧ ( 1 + 4 )∗determinante de lamatri* menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 4 )=−1 limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el Co.a!tor

atri

[

( 1 ) (1) ( 1 ) (1) −1 2 1 2 1 −1 2 ( 1 ) 1 3 3 (2 )

]

C$#/+#& #$ !$,*-%  #$ ,*!-($(,  


(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 + 1 )= 1


[

( 1 ) ( 2 ) (−1) ( 1 ) −1 2 3 3 (1 )

]

33

C$#/+#$ # ,  #$ !$,*-%  22 M$,*-%

[

−1

2 3

3

] C$#/+#& 22:

−1.3 −3.2=−9 #o)actor = (−1 ) ∧ ( 1 + 2 )∗determinantede lamatri* menor

(−1 ) ∧ ( i + j ) =−1 ∧ ( 1 +2 )=−1 limino lo( !a(illero( mo(trado( entre par5nte(i( para !al!ular el !o.a!tor M$,*-%

[

]

(1 )

( 2 ) (−1 ) (−1 ) 2 3 (3 )

1 1

C$#/+#& # ,  #$ !$,*-%  22: M$,*-%

[ ] 1 1

2 3

C$#/+#& 22:

1.3−1.2 =1

34



[

]

( 1 ) ( 2) (−1 ) 1 −1 ( 2 ) 1 3 (3 )

C$#/+#& # ,*!-($(,  #$ !$,*-%  22: M$,*-%

[ −] 1 1

1 3

C$#/+#& 22:

1.3−1. − 1= 4


atri

[

1

2

−1

1 1

−1

2 2

3

] =Vila 1, !olumna 1<1 por el det de la (u%matri

35

!orre(pondiente ?9 A =Vila 1, !olumna 2 ?2 A =Vila 1, !olumna 3 ?4 l det de la matri de 33 < ?1+ C:l!ulo( .inale( de e(ta parte; Terminando lo( !:l!ulo( auiliare( para la matri de 44, (umo lo( !o.a!tore( de la matri atri

[

1

1

1

1

2

−1

1 1

−1

2 3

3

1 2 1 2

]

=Vila 1, !olumna 1<1 por el det de la (u%matri !orre(pondiente ?21 A =Vila 1, !olumna 2 ?4 A =Vila 1, !olumna 3 1

36

A =Vila 1, !olumna 4 1+ l det de la matri de 44 < ?9

37

2. ,alle la matriz escalonada de la matriz

 2 − 1  " =  −1 0  19 % 

 1 − 1  2  1 0 −  19 %  

4 



1

3  

2

5  multiplica mos por

 2   5  multiplica 3   

la fila 1

4 



5  y luego determine si es una matriz inertile 3  

 1 − 1  2  1 0 −   19 %  

mos por 1f1 + f2 y por - 19f1 + f3

 1 −1 2    2   1 − 0 %  multiplica   2  33   0 2 − 35     1 −1 2    2    0 1 14  multiplica  0 33 − 35     2  sta matriz si es inertile

 2 −1  " =  −1 0  19 % 

mos po - 2f2

mos por

- 33 2

  5  3    2 

 1 −1 2    2    0 −1 %    2  33  0 35 −    2 

 1 − 1 2    2    0 1 14   0 33 − 35     2 

f3

 1 − 1  2  0 1  0 0  

   14  19$    2

38

SEMANA 5 DETERMINANTES 1. Cal!ule el det, a!iendo u(o del m5todo de menore( y !o.a!tore(;

|

1

−1

2

0

0

3

1

4

0

0

2

−1

5

0

0

0 0

0 0

0

2

3

, A6

0

−1

|

4

39

1

[

1

4

0

0

−1

5

0

0

0

0

0

2

3

−1

0

4

] [ 1

3

4

0

0

2 0

5

0

0

0

0

2

3

−1

0

4

] [ 2

3

1

0

2 0

−1

0

0

0

0

0

2

0 3

−1

4

][ ] 0

3

1

2 0

−1 0

0

3

0

0

0

4

[ ] 3

1

4

2 0 0

−1

0

5

0

0

0

0

2

−1

0

6

{ [ ] [ ] [ ] [ ]} { [ ] [ ] [ ] [ ]} { [ ] [ ] [ ] [ ]} 5

0

1. 1 0 0

2 −1

5

0

3 0 0

0

−1

3 4

0

2. 3 0 0

0

0 0

2 −1

−4

3 4

0

2 −1

−1

−4

2

0

0 0

2 −1

0

2 −1

−1

3 4

0

3 4

0

+0

3 4

2

0

0 0

2 −1

5

0

0 0

0 0

3 4

+0

2

5

0

0 0

0 0

3 4

2

−1

0 0

0 0

0

3 4

−1

+0

0

0 0

0 0

2 1

5

0 0

−0

+¿

0

0 0

0

3 4

5

−0

2

−0

−1

2 −1

+¿

2

−1

0 0

0 0

0

2 −1

6

{ | | | | | | [ | | | | | |]} 5

2 −1

3 4

−0

0 0

3 +0 0 4 0

2 −4 −1

−1

2 −1

3 −0 0 4 0

3 +0 0 4 0

2 −1



{ [ | | | | | |] [ | | | | | |]} 3 5

2 −1

3 4

−0

0 0

3 +0 0 4 0

2 −1

−4

2

2 −1

3 4

−0

0 0

3 +0 0 4 0

2 −1

{ [ | | | | | |] [ | | | | | |]}

2. 3

−1

2 −1

3 −0 0 4 0

3 +0 0 4 0

2 −1

−1

2

2 −1

3 −0 0 4 0

3 +0 0 4 0

2 −1

4

5

0

0

0

40

¿ {5 ( 8 + 3 ) − 4 [− ( 8 + 3 ) ] }+ {3 [ 5 ( 8 + 3 ) ] − 4 [ ( 8 + 3 ) ] }+ 2 {3 [ 3 [ −( 8 + 3 ) ] − [ 2 ( 8 + 3 ) ]] } ¿ { 5 ( 11)− 4 [ −11 ] }+

[

3 5 ( 11 )

]− 4 [ 11] +2 { 3 (−11 )−2 ( 11) }

¿ { 55− 44 }+ {3 ( 55 ) −44 } + 2 {−33 −22 } ¿ 99 + {165 −44 }+ 2 {−55 } ¿ 99 + 121−110

¿ 220−110 ¿ 110 +et =110

2. D +( !"#& ( # 3+ !+',* 3+. E( (*$#; (& ' /-*,& 3+: det ( a + b ) =det ( a )+ det ( b )

E!"#&:  =

[ ] [ ] 1 4

2 3 != 5 1

[ ]

1 4  + ! = 3 3

3 8

det  =( 5− 4 ) det ! =[ 9− 1 ] det (  + ! )=(12 −9 ) det  =1 det ! = 8 det (  + ! )=3 det  + !det  + det ! 3  1+8

39

. C&('-* # ,*-<(+#&  #$ )-+*$

41

a# (ando tri-onometr/a elemental, demue(tre ue;

{

c#os + a#os# =b c cos  +a cos != c a cos ! + b cos # =a

para c =c #os + a#os!

e trata la altura

( =#+del trian-ulo +#  !+# setiene

+ =b#os +# = a#os!

! = + + +! ! =#

# =b#os + a#os!

Wo (e !umple la propiedad para el tri:n-ulo *C#

para b= c#os + a#os#

42

e trata la altura

( =!+ deltrian-ulo +! #+!

e tiene + =c#os#+ = a#os# # =b # = + + #+ # =c #os + a#os#

b =##os + a#os#

Wo !umple !on la e!ua!i"n dada Para a

Para

a =a#os! + b#os# (e trata la altura

+ del trian-ulo#+  !+

e tiene # ! =b#os# !+ = c #os! entonces #! =#+ + !+ #! =b#os# + c#os!#! =a

a =b#os# + c #os!

Wo !umple !on la e!ua!i"n dada a demo(trar# %# i el (i(tema de la parte =a> (e !on(idera !omo un (i(tema de tre( e!ua!ione( en la( 3 in!"-nita( #os,#os!,#os#, prue%e ue el determinante del (i(tema no e( !ero#

|

|

c #os 0 a#os# c #os a#os! 0 0 a #os! b#os#

a,b,c0

Por (er medida( de lon-itud, enton!e(

43

|

¿ c#os a#os!

0

| |

a#os! b#os#

−0 c#os

0

|

0

b#os#

|

0

a#os!

¿ c#os ( ab#os!#os# −0 ) + a#os# ( ac#os #os!− 0 )

¿ abc. #os#os!#os# + a2 c#os#os!#os#

¿ ac#os#os!#os# ( c + a ) !# (e la re-la de Cramer para re(ol'er el (i(tema para Co(C#

|

|

c #os 0 a#os# / = c #os a#os! 0 a#os! b #os# 0

¿ ( abc#os#os!#os# + a2 #os#os!#os# + 0 )−( a3 #os!#os# + 0 + 0 ) / =ac#os#os!#os# ( c + a )

|

b /#os = c a

a #os! a#os! 0

|

a#os# 0

b#os#

¿ ( ab2 #os!#os# + a2 c#os!#os# + 0 )−( a3 #os!#os# + 0 + 0 ) ¿ ab2 #os!#os# + a2 c#os!#os# −a3 #os!#os#

|

c #os / = c #os 0

|

b a#os! c a#os! a 0

a ¿(¿¿ 2 c #os#os!+ abc #os#os!+ 0 )−(0 + ac2 #os#os! + 0)

¿

¿ a2 c#os#os! + abc#os#os! − ac2 #os#os! #os# =

/#os# /

|

+ a#os# c #os a#os!

44

a c #os#os!+ abc#os#os! − ac #os#os! #os# = 2 abc#os#os!#os# + a #os#os!#os# 2

2

#os#os! ( a + bc − c ) #os# =a ac#os#os!#os# ( c + a ) 2

2

a + bc − c #os# = #os# ( c + a ) 2

a + bc − c cos # = c+ a 2

−2

# =cos

(

a + bc −c c +a

[ ( −1

# = cos

2

a + bc −c c+ a

)

2

)]

2

a,b,c0

CONCLUSIONES

45

)e a!uerdo al tra%a&o de(arrollado podemo( !on!luir ue (e-Qn lo( e&er!i!io( de(arrollado( emo( aprendido ue la matri in'er(a (olo (e puede allar (i el re(ultado de determinante( e( de.erente a !ero, ei(ten do( .orma( de a!er !on'er(ione(, de .orma polar y re!tan-ular, a(/ !omo tam%i5n ue -au(( Rord:n e( uno de lo( mayore( eponente( del al-e%ra lineal# n .in lo aprendido en e(te tra%a&o no( permitir: !ontinuar !on nue(tro y e(tudio y apli!arlo a !ada uno de nue(tro( !ampo( de a!!i"n interdi(!iplinar (i a(/ no lo( permite dada la( !ir!un(tan!ia( de nue(tro tra%a&o#

BIBLIOGRA=IA

>,,":??'.'#-'>$*.(,?$#*$#-($#?*/-/-&'*'+#,&'!,&& $+''&*$(

Trabajo colaborativo 1 álgebra lineal

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