FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO
Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano
Trabajo colaborativo Mensajes ocultos
Presentado por: Rojas Molina Luis Carlos – Código: Código: Sierra Barragán Judith Daniela – Código: Código: 1821981888 Suarez Granados Ana Belén – Código: Código:
Sub-grupo 44
Presentado a: Montealegre Joselín
Álgebra lineal Grupo 1
Campus virtual Ingeniería Industrial Septiembre de 2018 1
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TABLA DE CONTENIDO 1.
ACTIVIDAD N° 1
.....................................................................................................................3
2.
ACTIVIDAD N° 2
.....................................................................................................................6
3.
BIBLIOGRAFÍA
......................................................................................................................12
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1. ACTIVIDAD N° 1 Consultar el sistema de Hill para encriptar y des encriptar mensajes. Luego, describa el proceso (paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo
10 41
“_” representa el espacio entre las palabras).
A B C D E F G H I J K 0
1
2
3
4
5
6
7
L
M
N
Ñ
O
P
Q
R
S
T
U
V
W X
Y
_
.
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Desarrollo: Paso 1. Condición m=n Se debe verificar si la matriz clave cumple con la condición m=n, es decir validar que tenga el mismo número de filas y el mismo número de columnas lo cual es correcto ya que es una matriz 2x2.
Paso 2. Determinante
10 41
Para que la matriz sea invertible debemos validar que el determinante sea diferente a cero A≠0
Se plasma la matriz clave y se realiza una multiplicación en sentido diagonal. det A ≠ 0
Z
10 41
= (1×1) - (0×(-4))=1
Se multiplica la primera diagonal y se le resta la segunda diagonal para hallar la determinante, obtenemos un resultado de 1 y así podemos decir que la matriz es invertible ya que la determinante es diferente de cero. Cumpliendo las dos condiciones anteriores procedemos a desarrollar el sistema hill.
3
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Paso 3. Encriptar - Formar la matriz La palabra a encriptar es: DEDICACION, debemos asignar un número a cada una de las letras en el mismo orden de acuerdo con el recuadro del enunciado.
D
E
D
I
C
A
C
I
O
N
3
4
3
8
2
0
2
8
15
13
Luego, se deben organizar en una matriz formando columnas de dos filas agrupadas en orden
34 38 20 28 11 53
Paso 4. Encriptar – multiplicación de matrices. Se debe multiplicar la matriz clave por la matriz resultante del paso anterior
10 41 34 38 20 28 11 53 ×
La multiplicación de sebe realizar de la siguiente forma: cada uno de los números de las filas de la matriz clave deben multiplicar a cada uno de los números de las columnas de la matriz resultante respectivamente como se evidencia en el ejemplo, así:
Resultados primera fila (1 x 3) – (-4 x 4) = -13 (1 x 3) – (-47 x 8) = - 29 (1 x 2) – (-4 x 0) = 2 (1 x 2) – (-4 x 8) = - 30 4
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(1 x 15) – (-4 x 13) = - 37 Resultados segunda fila (0 x 3) – (1 x 4) = 4 (0 x 3) – (1 x 8) = 8 (0 x 2) – (1 x 0) = 0 (0 x 2) – (1 x 8) = 8 (0 x 15) – (1 x 13) = 13 Ahora, con los resultados procedemos a conformar la matriz que nos indica el mensaje encriptado (Npomuceno, 2016)
134 298 20 308 3713
Paso 5. Encriptar – Palabra encriptada Para descubrir cuál es la palabra encriptada vamos a trabajar módulo 29 utilizando una fórmula en Excel, de la siguiente forma para los valores que nos resulten en negativo o superiores a 29 (Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano, 2018): = residuo (-13;29) = 16 = residuo (-29;29) = 0 = residuo (-30;29) = 28 = residuo (-37;29) = 21 Procedemos a reemplazar los valores que correspondan
14 6 80 20 2 88 2131
Finalmente, la palabra cifrada es: PEAICA.IUN.
P
E
A
I
C
A
5
.
I
U
N
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16
4
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0
8
2
0
28
8
21
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2. ACTIVIDAD N° 2
45 23 12 211
Suponga que se intercepta el mensaje HTQÑULUYXHBZPHXOTJHTQBADWIGPZH Junto con este mensaje encriptado, solo se logró obtener la matriz clave
La misión del grupo es: 1. Descifrar tal mensaje. 2. Detallar organizadamente todos los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje.
Paso 1. Condición m=n Se debe verificar si la matriz clave cumple con la condición m=n, es decir validar que tenga el mismo número de filas y el mismo número de columnas lo cual es correcto ya que es una matriz 3x3. A=
Paso 2. Determinante
45 23 12 211
para que la matriz sea invertible debemos validar que el determinante sea diferente a cero A≠0
Se plasma la matriz clave y se repiten las primeras dos columnas nuevamente para multiplicar en diagonal, de la siguiente forma det A ≠ 0
45 23 12 45 23 12 ∶∶ 45 23 2 1 1 2 1 1∶ 2 1 =
6
=
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4 x 3 x 1 = 12 2x2x2=8
2x3x1=6 12 + 8 + 5 = 25
1x2x4=8
1x5x1=5
6 + 8 + 10 = 24
1 x 5 x 2 = 10
det A = 25 – 24 = 1
Obtenemos un resultado de 1 y así podemos decir que la matriz es invertible ya que la determinante es diferente de cero. Cumpliendo las dos condiciones anteriores procedemos a desarrollar el sistema hill.
Paso 3. Descifrar – Invertir la matriz clave Antes de proceder con el desarrollo del descifrado, tomamos la matriz clave suministrada en el enunciado del ejercicio y la invertimos. En este caso utilizaremos el método de Gauss. (Vadenumeros, 2018)
45 23 12 45 23 12 ∶∶ 10 01 00 2 1 1 2 1 1∶ 0 0 1 15 3 2 ∶∶ 0 10 00 2 1 1∶ 0 0 1 10 ∶∶ − 01 00 2 1 1 ∶ 0 0 1 =
F2
F3
F1
F2 – 5 × F1
F3 – 2 × F1
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10 ∶∶ − 01 00 − (0 0 ∶ 0 1) 10 1 ∶∶ − 02 00 − (0 0 ∶ 0 1) 10 1 ∶∶ − 02 00 0 0 1 ∶ 1 0 2 10 1 0 ∶∶ 1 20 30 0 0 1 ∶ 1 0 2 10 1 00 ∶∶ 1 20 3− 0 0 1 ∶ 1 0 2 10 01 00 ∶∶ 11 12 31 0 0 1 ∶ 1 0 2
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F2
F3
F2
F2 - × F3
F1
F1 - × F3
F1
F1 - × F2
Obtenemos como resultado nuestra matriz A-1 (inversa) es:
8
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-1
A =
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11 12 31 1 0 2
Paso 4. Descifrar – Corroborar matriz inversa Para corroborar que el procedimiento se encuentre bien realizado, multiplicamos A-1 × A.
11 12 31 45 23 12 1 0 2 2 1 1 ×
La multiplicación de sebe realizar de la siguiente forma: cada uno de los números de las filas de la primera matriz deben multiplicar a cada uno de los números de las columnas de la segunda matriz respectivamente, como se evidenció en el paso 4 de la actividad N° 1. 4 + (-5) + 2 = 1
2 + (-3) + 1 = 0
1 + (-2) + 1 = 0
-4 + 10 + (-6) = 0
-2 + 6 + (-3) = 1
-1 + 4 + (-3) = 0
-4 + 0 + 4 = 0
-2 + 0 + 2 = 0
-1 + 0 + 2 = 1
La matriz resultante nos indica que el desarrollo se encuentra bien realizado y podemos proceder a realizar el descifrado.
10 01 00 001 Paso 5. Descifrar – multiplicar matrices Se debe multiplicar la matriz inversa por la matriz obtenida de acuerdo a la asignación de valores que se da a la palabra encriptada que se suministra en el enunciado de la actividad. La asignación de valores se realiza de la misma forma que es paso 3 de la actividad N° 1, la única diferencia es que se debe formar una matriz de tres filas ya que la matriz clave es de tres filas y tres columnas. 9
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H
T
Q
Ñ
U
L
U
Y
X
H B
7
20 17 14 21 11 21 25 24 7
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Z
P
H
1 26 16 7
X
O
T
J H
24 15 20 9
T
Q
B A D W I G
7 20 17 1
0
3
23 8
6
P
×
7+(-20)-17=4 -7+40+(-33)=0
14+(-21)+11=4 -14+42+(-33)=-5
21+(-25)+24=20 -21+50+(-72)=-43
7+(-1)+26=32 -7+2+(-78)=-83
16+(-7)+24=33 -16+14+(-72)=-74
-7+0+34=27
-14+0+22=8
-21+0+48=27
-7+0+52=45
-16+0+48=32
1+(-0)+3=4 -1+0+(-9)=-10 -1+0+6=5
23+(-8)+6=21 -23+16+(-18)=-25 -23+0+12=-11
16+(-26)+7=-3 -16+52+(15)=-15 -16+0+14=-2
7+(-20)+17=4 -7+40+(-51)=-18 -7+0+34=27
40 54 4320 8332 7433 24 184 104 2521 113 27 8 27 45 32 3 27 5 5 2 Paso 6. Descifrar – trabajar en módulo 29 Para descubrir cuál es la palabra vamos a trabajar módulo 29 utilizando una fórmula en Excel, de la siguiente forma para los valores que nos resulten en negativo o superiores a 29: 10
H
16 26 7
270 2114 2521 71 167 1520 207 10 238 1626 17 11 24 26 24 9 17 3 6 7 11 12 31 270 2114 2521 71 167 1520 207 10 238 1626 1 0 2 17 11 24 26 24 9 17 3 6 7 15+(-20)+9=4 -15+40+(-27)=-2 -15+0+18=3
Z
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= residuo (-18;29) = 11 = residuo (-5;29) = 24 = residuo (-43;29) = 15 = residuo (32;29) = 3 = residuo (-83;29) = 4 = residuo (45;29) = 16 = residuo (33;29) = 4 = residuo (-74;29) = 13 = residuo (32;29) = 3 = residuo (-2;29) = 27 = residuo (-18;29) = 11 = residuo (-10;29) = 19 = residuo (-25;29) = 4 = residuo (-11;29) = 18 = residuo (-3;29) = 26 = residuo (-2;29) = 27 Procedemos a reemplazar los valores que correspondan E
L
_
E
X
I
T
O
_
D E
4 11 27 4 24 8 20 15 27 3
P
E
N D E
4 16 4 13
3
_
4 27
D E 3
L
_
E
F
U
E
R
Z
O
_
4 11 27 4 19 5 21 4 18 26 15 27
Y concluimos que la palabra es EL ÉXITO DEPENDE DEL ESFUERZO
11
S
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3. BIBLIOGRAFÍA Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano. (2018). Google drive. Recuperado el 09 de 2018, de https://drive.google.com/file/d/1rHtDB93xBcygnathYiNjmhlI0IYnaxv/view Npomuceno, S. (05 de junio de 2016). Youtube. Recuperado el septiembre de 2018, de https://www.youtube.com/watch?v=f_MjzKVM728 Vadenumeros. (2018). vadenumeros.es. Obtenido de https://www.vadenumeros.es/segundo/matriz-inversa-ecuaciones.htm
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