FASE1: PLANIFICACIÓN,RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES
Presentado or: Karen Xiomara Rivera Chala Cód:1075228594 Edier Cedeño Cód: Miriam Cecilia Perdomo Cód: ilmer !r"i# Cód: $r%&o:100412'(1)2
Presentado a: Carlo* +ndre* $ome# ,-,!R
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIER!A Y A DIS!ANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS A"RICOLAS,PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIEN!E ECAPMA NEIVA #$1%
Con el desarrollo del presente trabajo, se busca que el estudiante a través de la investigación consulta del !aterial dispuesto en el entorno de conoci!iento, se apropie de los conceptos estudiados en la Unidad " deno!inada# $a Integración% aplic&ndolos en el an&lisis de cada uno de los ejercicios propuestos en la gu'a de actividades( )n este trabajo va!os a anali*ar co!prender teor'as !ate!&ticas b&sicas que sientan las bases cient'+icas, que son el soporte para la solución de diversos proble!as del !undo real cient'+ico, a que las te!&ticas conllevan al a que desarrolle co!petencias de orden superior co!o la co!paración, la clasi+icación, el an&lisis, la inducción, la deducción una de las !&s i!portantes la abstracción( e describir&n los conceptos, propiedades caracter'sticas de la +unda!entación de la integral de+inida, inde+inida de los teore!as +unda!entales del c&lculo integral en la solución de proble!as pr&cticos de nuestro ca!po de +or!ación(
( )n general, una ecuación di+erencial de pri!er orden adopta la +or!a dy =f ( x , y ) dx
$uego, la solución de una ecuación di+erencial de pri!er orden es una +unción derivable con derivada continua, que al ser sustituida en la ecuación la convierte en una identidad, o se cu!ple la igualdad( )n ese sentido, la +unción derivable que sirve co!o solución de la ecuación general# 2
d y dy + + 4 y −9 =−8 x 2 , es# 2 d x dx
-( /( C( D(
2
y =−8 x + x + 3 2 y =−2 x + x + 3 −4 y =2 x + x + 1 2 y =−4 x + x + 1
0ROC)DI1I)NTO# 2
d y dy + + 4 y −9 =−8 x 2 2 dx dx
Ec%ación di.erencial no homo/nea con coe.icien"e* con*"an"e*
de
*e/%ndo
2
d y dy + + 4 y =9 −8 x 2 2 d x dx y ' ' + y ' + 4 y −9 =−8 x
2
ol%ción /eneral &ara
a ( x ) y ' ' + b ( x ) y ' + c ( x ) y =g ( x ) 2
d y dy 3allar h re*olviendo 2 + + 4 y =0 d x dx 1 2
−( ) x c 1 cos ((
√ 15 ) x )+ c 2
2
sen ((
√ 15 ) x ) 2
y =e ¿ 2
e halla & 6%e *a"i*.a/a
d y dy + + 4 y =9 −8 x 2 2 d x dx
orden
lineal
2
y =−2 x + x + 3
Re*&%e*"a la −1 x
y = e
2
15 15 (c 1 cos ( √ x )+ c1 sin ( √ x ))−2 x 2+ x + 3 2
2
y ' ' + y ' + 4 y =0 y = e 2
d ( e) d ( e) + + 4 e =0 2 dx dx 2 2 yx ; e ( y + y + 4 )=0 ; y + y 40
y =
−1 i √ 15 ; y −1 i √ 15 − = + 2
2
2
2
a *ol%ción /eneral e* h&
(
−1 x ) 2
yh= e ( c 1 cos ( yp =aox
2
√ 15 ) x +c 2
2
sen (
√ 15 ) x ) 2
+ a 1 x + a 2 2
yp =−2 x + x + 3 −1 x
y = e
2
15 15 (c 1 cos ( √ x )+ c1 sin ( √ x ))−2 x 2+ x + 3 2
2
dy =g ( x ) h ( y ) , se pueden resolver a través de la dx técnica lla!ada separación de variables que consiste en separar las variables a a!bos lados de la igualdad, de tal !anera que aun lado se e2prese co!o una +unción que dependa sola!ente de 2 al otro lado sólo de , para luego integrar cada !ie!bro respecto de la variable correspondiente, es decir# $as ecuaciones di+erenciales de la +or!a#
∫ h (1 y ) dy =∫ g ( x ) dx 3(
-plicando
la
de+inición,
una
( y + 1 )− y e− x dy = 0 , con valor inicial dx 2
solución y ( 0 )=0
de
la
siguiente
ecuación
, se puede si!pli+icar co!o#
di+erencial#
e − ln √ y +1=1 x 2 e + ln √ y + 1=1 2 − x e + ln √ y + 1 =−1 − x 2 e − ln √ y + 1=1
-( /( C( D(
x
2
( y 2 + 1)= y e− x
dy , y =0 dx
( y 2 + 1) dx = y e− x d y , y ( 0)= 0 dx
=
− x
e
y 2
y + 1 y
x
e dx =
∫e
x
x
e= x
dy
2
y + 1
∫ y y+ 1 dy
dx =
1 2
dy
2
∫ duu : u = y +1, du=2 ydy , du2 = ydy 2
1 2
e = lnu + c 1 2
e − ln| y + 1|=c x
2
x
2
0
2
1 2
e − ln ( y + 1) = c 1 2
e − ln (0 + 1) =c 1− ln ( 1)
1 =c 2 x
1−0 =c : e
− ln √ ( y 2+ 1 )=1
4( $a solución general de una ecuación di+erencial ordinaria es una e2presión que proporciona todas las posibles soluciones de la !is!a( i la ecuación di+erencial es de pri!er orden, la solución general depende de una constante arbitraria( 0recisa!ente, dando valores a esa constante se van obteniendo las di+erentes soluciones, conocidas co!o soluciones particulares(
De acuerdo a la in+or!ación, la solución particular de la ecuación di+erencial#
dx =1 + x 2 dt
, si se
tiene que x ( 0 )=√ 3 , queda e2presada co!o#
( ) (+ ) (+ ) ()
-(
x ( t )= tan t −
π
/(
x ( t )= tan t
π
C(
x ( t )= tan t
π
D(
x ( t )= tan
3
4 3
π 3
e busca un !étodo para resolver la ecuación di+erencial, que +&cil!ente se observa que es separando las variables dx =1 + x 2 dt dx
(1 + x 2)
=dt
e integra a!bos lados de la ecuación dx
( 1+ x ) 2
=¿ ∫ dt
∫¿ e integra la variable independiente
dx
( 1+ x ) 2
=¿ arctan ( x )
∫¿ e integra la variable dependiente
∫ dt =t +c e resuelve el proble!a de valor inicial para encontrar el valor de c por ende la solución particular tan
−1
c=
( √ 3 )= 0 +c
π 3
( )
x = tan t +
π 3
5( De acuerdo al te2to, una ecuación di+erencial ordinaria de segundo orden lineal corresponde a
( )
2
-( /( C.
D.
( 1− y ) dy + 2 y = e xy dx 2 d y + y 2−1=0 2 dx 2 dy 2 d y x + y = sen ( x ) 2 dx dx 2 d y dy + x −7= e x 2 dx dx
Una ecuación di+erencial lineal tiene 3 caracter'sticas, la pri!era es que sus coe+icientes deben depender a lo su!o de la variable independiente, la segunda que sus derivadas la variable dependiente estén elevados a la " # co!probar si a es una )D lineal7NO, porque la pri!era derivada esta elevada al cuadrado 0aso 3 Co!probar si / es una )D lineal7No, porque la variable dependiente est& elevada al cuadrado 0aso 4( Co!probar si C es una )D lineal7 NO, porque el coe+iciente de la pri!era derivada de con respecto a 2 depende de la variable dependiente 89 0aso 5( Co!probar si D es una )D7lineal7I, porque todas sus derivadas no est&n elevadas, ade!&s los coe+icientes de la ecuación dependen a lo su!o de la variable independiente 6 :( -l resolver la ecuación di+erencial ;o!ogénea#
(
2
)
y y − dx = xdy , x
la solución general particular cuando y (1 )=1 , viene dada por# -(
C(
C ln | x|+ x x y = ln | x|+ C y=
y=
1 ln | x|+ x
(
2
)
y y − dy = xdy x 2
y dy y − = x x dx 2 y y − x x 2 yx − y dy = x x dx
D(
y=
x ln | x|+ 1
2
yx − y dy = x 2 dx x 2 yx y − 2 2 2 x x y y = − 2 2 x x x 2 y y = p x 2 y = p2 2 x y = px dy = p dx dy dp p dx = x + dx dx dx dy dp = x + p dx dx dp 2 x + p= p − p dx dp 2 x = p − p − p dx dp 2 x =− p dx 2 x dp =− p dx dx −1 dp = 2 x p
− p− dp =ln x + C 2
1
= ln x + C p x = ln x + C y x y = ln x + C
<( Una ecuación di+erencial de la +or!a M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy =0 , es e2acta si se tiene que# ∂ M ∂ N , es decir, sus derivadas parciales son iguales( = ∂y ∂x
De las siguientes ecuaciones di+erenciales, cu&les de ellas son e2actas#
"(
( x y +2 y −1 ) dx +( x y + x −1 ) dy = 0
3(
( 2 x y + 2 y −1 ) dx + ( 2 x
4(
( 3 x y + y −1 ) dx +( 2 x y + x − 4 ) dy =0
5(
( 4 x y −2 y +3 ) dx +( 6 x y −2 x + 5 ) dy =0
2
3
2
2
3
2
3
2
3
2
y −2 x −3 ) dy =0 2
3
3
2
2
olución# ea la variable dependiente( Dividir entre d2#
( 3 x y + y −1 ) dx +( 2 x y + x − 4 ) 2
2
3
d =0 dx
$a ecuación tiene la +or!a de una ecuación di+erencial e2acta# Tal que( Ψ x ( x , y )= M ( x , y ) =3 x 2 y 2+ y −1, Ψ y ( x , y )= N ( x , y )=2 x 3 y + x − 4 i las condiciones se cu!plen, entonces Ψ x +Ψ y ° y ' =
d Ψ ( x , y ) =0 dx
De!ostra!os que# φM ( x ,Y ) φN ( x , Y ) : Es e!dade!o " = φy φx
∫ 2 x y + x −4 dy ∫¿
Ndy =¿
3
¿− 4 y + xy + x 3 y 2+ C
)ncontrar # ( x , y ) : # ( x , y )=−4 y + xy + x3 y 2 +C 1 # ( x , y )=C 2
Ca!bia!os la constante 3
2
−4 y + xy + x y = C
1
Despeja!os =# y =
−√ 4 C 1 x 3+ 4 x 4 + x 2−8 x + 16 − x + 4 2 x
3
, y=
3 4 2 √ 4 C 1 x + 4 x + x − 8 x + 16 − x + 4
2 x
3
>( Cuando una ecuación di+erencial de la +or!a M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy =0 no es e2acta, ∂ M ∂ N $ , se puede convertir en una ecuación e2acta !ultiplic&ndola por un +actor ∂y ∂x apropiado % ( x , y ) , lla!ado +actor integrante, el cual se calcula si est& en +unción de y
porque
!ediante la +ór!ula# % ( y )=e∫
N x − M y dy M
De acuerdo al concepto, el +actor integrante la solución general de la ecuación di+erencial 2 2 xydx +( 3 x + 4 y −3 ) dy = 0 , est& dado por# -(
% ( y )= y
/(
% ( y )=
C( D(
2 x
2
2
2
y
3
4
2
4
3
+ y − y =C 2 x y + y −3 y =C y
3
2
3
2 xydx +( 3 x
+ 4 y −3 ) dy = 0
M =2 xy ⟹
∂ M =2 x ∂y
2
N =3 x + 4 y −3 ⟹
∂ M =6 x ∂x
∂ M ∂ M $ & noes exacta ∂y ∂y
e busca un +actor integrante( N x − M y M
=
6 x −2 x 2 = y 2 xy
∫ 12 dy 2 ln y 2 u ( y )=e =e =( e ln y ) = y 2
e !ultiplica por el +actor integrante a la ecuación di+erencial 3
2
2 x y dx +( 3 x y
M =2 x y
3
⟹
2
+ 4 y 3 −3 y 2) dy =0
∂ M = 6 x y 2 ∂y
2
2
3
N =3 x y + 4 y −3 y
2
⟹
∂ M = 6 x y 2 ∂x
∂ M ∂ M = &Esexac ∂y ∂y
Una de las aplicaciones de las ecuaciones di+erenciales ordinarias de pri!er orden es la solución de proble!as de te!peratura, en los que un objeto absorbe calor del !edio circundante( 0ara dic;os casos, se puede establecer la $e de en+ria!iento o calenta!iento de Ne@ton que dice# A$a te!peratura de un cuerpo se !odi+ica a una velocidad que es proporcional a la di+erencia de las te!peraturas entre el cuerpo el !edio e2terno, sie!pre que el !edio !antenga constante su te!peraturaB d = ( ( − a) dt )n ese sentido, dic;o +enó!eno se presenta +recuente!ente en la vida cotidiana se puede aplicar en el siguiente caso#
Una pequea l&!ina de !etal, cua te!peratura inicial es de 36 C, se introduce en un recipiente que contiene agua ;irviendo( Deter!inar el tie!po que dic;a l&!ina tardar& en alcan*ar los >E C, si se tiene que su te!peratura se incre!entó 4 C en un segundo, calcular cu&nto tardar& la !is!a l&!ina en elevar su te!peratura a F6 C(
"G e utili*a la le del en+ria!iento de Ne@ton 3G e separa las variables 4G e integra a los dos lados de la ecuación 5G e solucionan las integrales a los dos lados 6G e aplica el e2ponencial a los dos lado
d = ( ( − a ) dt d =(dt − a d = ( dt − a
∫
∫
ln | − a|= (t + C
e
:G e obtiene la ecuación de la te!peratura en +unción del tie!po sin conocer las constantes
(t
=C 1 e + a
ln| − a|
=e (t +C
G e encuentra el valor de la constante C 1
(t
=C 1 e + 100 0
25=C 1 e
+100 C 1 =−75
FG e encuentra el valor de la constante H
28=−75 e
(
( =−0.04
"EG e escribe la ecuación de la te!peratura en +unción del tie!po con todas las constantes conocidas ""G e encuentra el tie!po para el cual la te!peratura vale ' =80 C 0
+ 100 −0.04 t
( t )=−75 e
+ 100
− 0.04 t
80=−75 e
ln
t =
"3G e encuentra el tie!po para el cual la te!peratura vale =950 C
( )= −20 −75
−0.04
+ 100
33.04 s − 0.04 t
95 =−75 e
ln
t =
( )= −5 −75
−0.04
+ 100
67.70 s
e presenta un proble!a junto con su solución, de +or!a colaborativa deben evaluar anali*ar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso respuesta se encuentra de !anera correcta, deben reali*ar aportes en cuanto a procedi!iento +altante +ór!ulas utili*adas, resaltando en otro color los aportes e2tras a la solución( i el grupo considera que el proceso Jo respuesta se encuentra incorrecto, deben reali*ar la observación corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección aportes e2tras a la solución( ituación solución planteada#
)l +lujo sangu'neo conduce cierto !edica!ento ;acia el interior de un órgano de un ser ;u!ano a 3
una ra*ón de
c) 2 , se deter!ina que sale de él a la !is!a velocidad( )l órgano tiene un seg
volu!en l'quido de órgano es de
0,3
120 c)
g! 3
c)
3
( i la concentración del !edica!ento en la sangre que entra en el
, Kcu&l es la concentración del !edica!ento en el órgano en el instante t,
si inicial!ente la persona no ten'a ninguna !uestra que indicara que ;ab'a consu!ido el
!edica!ento previa!enteL, K)n qué tie!po, la concentración del !edica!ento en el órgano ser& de
0,2
g! c)
3
L
Co!o es un ejercicio de aplicación de ecuaciones di+erenciales sobre proble!as de !e*clas, la situación descrita est& asociada a la siguiente ecuación di+erencial lineal# x ( t ) dx + *2 =*1 C 1 que per!ite encontrar la le de variación de la cantidad de dt + 0 + ( *1− *2) t !edica!ento x ( t ) en un instante de tie!po t( $os datos proporcionados son# .olu!en inicial + =120 c) 3 Concentración del !edica!ento en la sangre que entra C 1 =0,3 g! / c) Ra*ón de entrada * =2 c) / seg 3 Ra*ón de salida * 2=2 c) / seg ra!os de !edica!ento en el instante t x ( t ) , donde x ( 0 )=0 Co!o se tiene la ecuación di+erencial que !odela la situación, se ree!pla*an los valores conocidos# 3
0
3
1
dt x +( 3 ) =2 ( 0,3 ) dx 120 + ( 2−2 ) t
dx x +( 2) =2 ( 0,3) dt 120 + ( 2−2 ) t
i!pli+icando se tiene# dt x − (2 ) =0,6 dx 120 t
dx x +( 2) = 0,6 dt 120
dx x = 0,6−2 dt 120
dx 72−2 x = dt 120 dt x 72− x = 0,6 + 2 = dx 120 120 t
dx x 72− 2 x = 0,6−2 = dt 120 120
e ;ace separación de variables# dx 72 −2 x
=
dt 120
Integrando se obtiene# dx ∫ 72−dt 2 x =∫ 120
dt =∫ ∫ 72dx 120 −2 x 1 dt = ∫ 72dx −2 x 120 ∫
t 1 ln |72−2 x|= + C 2 120
−1 2
ln|72 −2 x|=
ln |72−2 x|=
t
+C
120
2 t +C 120
ln|72−2 x|=
−2 t C + 120
-plicando propiedades de los logarit!os neperianos#
ln ¿ 72−2 x ∨¿=e
−2 t + C 120
¿
e
−2 t
72−2 x =C e 72−2 x =e
72−2 x =e
120
−2t +C
2 t 120
− 2t +C
− 2t
120
120
=C e
=C e
120
−2 t
−2 x =C e
120
−72
−2t
x =
C e 120 −72
−2 −2 t
-l despejar x resulta# x ( t )=72 +Ce 120 − 2t
x ( t )=36 + Ce 120
De acuerdo al valor inicial x ( 0 )=0 − 2 (0 )
0 =36 + C e
120
⇒
C =36
−2 ( 0 )
0 =36 +C e
120
⇒
C =−36
0 =36 + C e
0
0 =36 +C
C =−36
$uego, la ecuación que representa la concentración del !edica!ento en el órgano en el instante t, es# −2 t
x ( t )=72− 36 e 120
0ara deter!inar el tie!po en el cual la concentración del !edica!ento en el órgano ser& de 0,2
g! c)
3
, se utili*a la ecuación#
x ( t ) C ( t )= + ( t ) −2 t
36 −e 0,2= 120
120
0or lo tanto,
−2 t
36 −36 e 0,2= 120
120
i!pli+icando reaco!odando tér!inos# − 2t
72=36 −36 e
120
−2 t
24 = 36− 36 e −2t
e 120 =
120
12 36
e aplican logarit!os se obtiene# −120 ln )ntonces, t = 2
| |= | |= 12 36
−120 ln )ntonces, t = 2
| |
−2 t = ln 120
12 36
60,9167 segundos
12 36
65,9167 segundos
Minal!ente, el tie!po encontrado +ue apro2i!ada!ente de ",F" !in( Minal!ente, el tie!po encontrado +ue apro2i!ada!ente de ",EF !in(
e dejó en evidencia el co!pro!iso responsabilidad de cada uno de los participantes( e aplicaron los conoci!ientos adquiridos durante la teor'a de la unidad " estudios de series +unciones especiales# cap'tulo ", capitulo 3, capitulo4 del curso acadé!ico de ecuaciones di+erenciales( e cu!plió con los requeri!ientos establecidos en el agua del trabo
arc'a, -( 3E"5G( )cuaciones di+erenciales( $arousse rupo )ditorial 0atria( pp( 3::G( Recuperado de# ;ttp#JJbibliotecavirtual(unad(edu(co#3E<G( )cuaciones di+erenciales ordinarias# ejercicios proble!as resueltos( Delta 0ublicaciones( pp( ;ttp#JJbibliotecavirtual(unad(edu(co#3E<<:F34
6>3G(
Recuperado
de#
1esa, M( 3E"3G( )cuaciones di+erenciales ordinarias# una introducción( Colo!bia# )coe )diciones( pp( "64G( Recuperado de# ;ttp#JJbibliotecavirtual(unad(edu(co#3E<5E33 Caicedo, -(, arc'a, (, Ospina, $( 3E"EG( 1étodos para resolución de ecuaciones di+erenciales ordinarias( )diciones )li*co!( pp( FF6G( Recuperado de# ;ttp#JJbibliotecavirtual(unad(edu(co#3E<EF -!aa, ( 3E"6G( 1étodos de solución de ecuaciones di+erenciales de pri!er orden( Unad( S.ideos( Disponible en# ;ttp#JJ;dl(;andle(netJ"E6F:J<4>5
C1at!&ticas, 3E"6G( Di++erential )quations and Integration( ;ttp#JJ@@@(cH"3(orgJcalculusJDi++erential)quationsandIntegrationJ
SO.-( Disponible en#
C"3, 3E"5G( olving eparable MirstOrder Di++erential )quations( SO.-( Disponible en# ;ttp#JJ@@@(cH"3(orgJcalculusJolvingeparableMirstOrderDi++erential)quationsJ
