Trabajo Colaborativo 100412 52 Fase 3

FASE 3: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

YEISON RAUL CAMARGO PEDRAZA Código: 1052388053 MONICA LIZETH CRISTANCHO ALVAREZ Código: 1.057.587.458 ADRIANA PAOLA SILVA VARGAS Código: 1.052.395.280 ROBINSON FABIAN TORRES Código: TOMAS SANTIAGO CASTILLO Código: 1052378219

TUTOR ADRIANA GRANADOS COMBA

CURSO: 100412_52

PROGRAMA INGENIERÍA INDUSTRIAL UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA SOGAMOSO OCTUBRE DE 2017

INTRODUCCION En el siguiente trabajo se busca abordar los diferentes temas correspondientes a las ecuaciones diferenciales de orden superior, identificando diferentes modelos matemáticos. A través de la solución de los ejercicios que se encuentran en este documento se busca que el estudiante asimile los conceptos y los aplique de forma asertiva. Para la construcción de este documento se tuvieron en cuenta los aportes realizados en el foro de trabajo colaborativo por los integrantes del grupo. Se resuelven 10 ejercicios propios de las ecuaciones diferencias y 2 ejercicios de aplicación de las mismas donde podemos identificar la utilidad de estas en nuestro futuro profesional y en el día a día.

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Aplicar lo conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales dirigidos a la construcción de un conocimiento de manera autónoma con el fin de dar solución a problemas relacionados con la ingeniería y situaciones cotidianas.

OBJETIVOS ESPECIFICOS -

Leer y analizar las diferentes referencias bibliográficas para así afianzar las bases que nos  permitan la solución exitosa de los diferentes ejercicios. - Identificar los diferentes métodos de solución de ecuaciones diferenciales. - Identificar los problemas o situaciones en los cuales se pueden aplicar las ecuaciones diferenciales.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD EJERCICIO 1 Yeison Raul Camargo

     

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma ´´+ 1( ) ´+ 2( ) = ( ) y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. ( )=0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial ´´−2 ´+3 =0 son:



A. B. C. D.

      ((√ √ 22  √ √ 3)2)32)) √ √   √ √     2  3  0        0   2  3     4  2  43  44  12  8  < 0   12 √   12  8 8  12 √ 8  12  42  √ 2   − (  )   cos ,   sin   (√  √ 2  √ 2)2)

Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da Soluciones iguales y reales cuya solución da Soluciones distintas y reales cuya solución da

La solución es la B:

Ya que es una ecuación diferencial de segundo orden, se expresa de la forma: Donde:

Estos valores de a y b nos dan: Por lo tanto:

Obtenemos:

Por lo tanto:

EJERCICIO 2 Robinson Fabian Torres

 

En general, para resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de -ésimo orden:

   ⋯             ⋯          ⋯     ⋯−    86´ 186 03  0  ´´4    3  5400 n

(n)

 +

n-1

(n-1)

 +

 +

2

 ´´ +

1

 ´ +

0

 = 0

Donde los coeficientes i, = 0, 1, 2,…,   son constantes reales y resolver una ecuación polinomial de - ésimo grado: n

n

 +

n-1

n-1

 +

 +

2

2 +

1

 +

0 =

≠ 0. Primero se debe

0

Esta ecuación puede presentar una solución general de acuerdo a sus raíces. Caso 1: Soluciones reales y distintas ( ). Para los casos 2 y 3, las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Cuando 1 es una raíz de multiplicidad  de una ecuación auxiliar de  -ésimo grado (es decir,  raíces son iguales a 1) y la solución general debe contener la combinación lineal  . Teniendo en cuenta lo anterior la ecuación diferencial de orden superior que tiene raíces como las descritas en el caso 1 es:

       

A) B) C) D)

Solución

La solución es la A, debido a que, A)

   6´  8  3  0

Solución

Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.

ᵌᵌ   6 ²²   8    3  0

Tienen la forma

Simplificamos:

+,+  =   ó    = ᵌᵌ   6 ²²   8  3  0 ᵌᵌ   6 ²²   8  3  0 ᵌ  8  3  0

Resolver:

ᵌ6  8  3  0   3,3,   −+√  −−√   −+√  −−√  −  —3 √ 132 132 ₃  ₃  −  ₂ −+√   ₃ −−√   ,y=

Encontrar solución para y= -3,y

,y=

= C₁

Para las raíces reales no repetidas y₁,y₂ ……,yn+

C₁e

La solución general de la ecuación es,

         −  −−√   −+√          ⋯−    6´  8  3  0

Por tanto según las indicaciones del ejercicio la ecuación diferencial que tiene soluciones de la forma d  es:

EJERCICIO 3 Adriana Paola Silva Vargas

Una ecuación diferencial no homogénea de orden superior es de la forma:

Cuya solución general se escribe como la suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular.

 yc  se

determina haciendo g(x)=0 para convertir la ecuación a una homogénea con coeficientes constantes. Esta es la llamada solución asociada  yc y se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es la llamada solución particular  yp.  yp. Dicha solución depende de la forma de la función g(x). De acuerdo a lo mencionado anteriormente la solución de ecuación diferencial no homogénea 4y’’+ 36y = csc3x es:

Solución

4   36  1  9    99    3 3    3  cos3, 3  3 3  3 3 3 33  33 1 3  3    34 csc3  1 1 3  3 csc3 4    3  1    121 cos3     cos3   3  3  121  cos 3  361 (3)l ( 3)ln |3|  3|

EJERCICIO 4 Tomas Santiago Castillo Gutiérrez

  

Una ecuación diferencial de segundo orden homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser reales repetidas y su solución general es de la forma . Teniendo en cuenta la información anterior la solución general de la ecuación diferencial corresponde a:

    ´  14´  49  0 A.     −    − B.           C.           D.     −    −

 Soluc  Solucii ón:

´   14´  49  0           14 14  49  0   7  0    7 7  7 7  0      7    :              EJERCICIO 5 Monica lizeth Cristancho alvarez

Una ecuación diferencial de orden superior es de la forma

−   ⋯       ´   ´    2 sin 3

   

 y puede ser solucionada por diferentes

métodos. La ecuación diferencial: , puede ser solucionada por los siguientes métodos y tiene como solución general: 1. Método de variables separables y método de ecuaciones exactas. 2. 3.

  −   √ √     √ √    cos 3   sin3                 cos 3    sin3

4. Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados.

  2/ sin√ 32  1/ cos√ 32   1673  3  736 cos3 cos3           ()   ()    0  ()    ( )       0      1  0      1  0   12  √ √23     12  √ √23     √   +   1  1    √   +  2   2     11  22  √   +  11  1   √   +  2   2      1  cos√ 32   2  sin√ 32    1co 33  2 sisin3   1 cos s    1cos 1cos33 2sin3  31 sin332cos3 332cos3      1cos3 2sin3  91 sin332cos3 332cos3   2sin 3    /  y

 n331sin33 32cos31cos  91cos392si   32cos 31cos 3 3 2si n 3  2sin 3 8132 8132  33  3182 3182 sin33  2si2 sin3 3 81 81 3232  0 31 16  82  216   73 cos3  73 sin3    736 coscos33  1673 sin33 1 cos√ 32   2  sin √ 32  .     √ 23     √ 23    736 cos 3   1673 sin3

Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados D.

.

EJERCICIO 6 Monica Lizeth Cristancho El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer

          (    , , )       ´   ´    ´      0    0                           0         0       00       orden establece que primero se encuentra la función complementaria después se calcula el wronskiano

 para poder encontrar ,

 y

 y

. Posteriormente se determina

,

, y poder hallar la solución particular mediante la integración de

, donde:

,

 y

,

                   2−  −    2−     2′             −        −  −   −  −   2      2   2   2  1    2       24−−  −   −2 4−  4   14 ∫2     24 ∫   14 ∫    2 2 1 2          4    4    4    4   42−−    12     12 ∫   12    4−    4   14 ∫   121          1   4         2  4  2  12   12  3        −          3

Una solución particular es

  y la solución general de la

ecuación diferencial es entonces ,

 y

. Con base en lo anterior, los valores para

 y la solución general de la ecuación

1.

,

 son respectivamente:

 y

2. 3. 4.

,

 y

SOLUCIÓN

Por lo cual se puede concluir que la respuesta es la A si 1 y 2 son correctas.

EJERCICIO 7 Tomas Santiago Castillo Gutierrez 7 Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un  punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial , , , la solución particular  y la solución al problema  corresponden a:

4 1 10 sin    0 ′  2  9cos  7sicnos 4 5coscos   9sin  7sincos 45sinsin       4  10 sin    0 ′  2       4  10 sin  1. 2. 3. 4.

Solucion particular

 y la solución al problema corresponden a: 1

Solucion de la ecuación homogénea

    0    1  0       0        ecuación característica

 luego

 y  y

Solución de la ecuación homogénea

ℎ− −              ℎ                

Por suma y resta de términos determinamos la solución

Tomando una solución

Derivando



    

                Sustituyendo en 1

2  2      4 10  10     2  2 2  2  4  10    4  2  10   55   0 2  0   0   4 5   ℎ       4 5   0 ′  2        4 5  5     4  5    9  0   9       45 5        45 5  2   4  5  2   7   9 cos   7 sin   4  5 cos  Igualando coeficientes Luego

Solucion general

EJERCICIO 8 Yeison Raul Camargo Pedraza

Una ecuación diferencial de n-ésimo orden se puede escribir como:

Donde como orden

   ⋯    −−  ⋯            ,       0,0,1,2, … ,       −−  ⋯   ,

. Cuando se cumple la ecuación anterior también se escribe , donde L denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo

La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas para determinar la forma de la solución particular . Ésta se deduce casi de manera automática una vez se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a . Por lo anterior de la ecuación diferencial , se puede afirmar que:

    3  8  4sinn   sin 

    3 3  1 1  3 3 0  cos    3 3   1  c3os0sin 

 es 1. El operador diferencial que anula a 2. La solución particular   que se propone debe ser  es 3. El operador diferencial que anula a 4. La solución particular  que se propone debe ser

La respuesta correcta es la D, 3 y 4 son correctas.

COMPROBACION

   3  8  4si4sinn    3  8  4sinn   3 3  0;0;   0;0;   3       3 3   1  3 3   1   3  0  3 3  1  33  0  3 3  1  0      /                   cos   sinn  ′  3      3 coscos   3      8  4sinn  3  8   3  0 5      4   83   65 coscos   25   

Solución:

Ecuación Auxiliar:

Simplificando:

      83   65 coscos   25   

EJERCICIO 9 Adriana Paola Silva Vargas

Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones debe ser iguales y reales m= m1 =m2 y su solución general .  La ecuación diferencial es de la forma tiene como PORQUE las soluciones de la ecuación auxiliar son solución general

  5

.

  115  225

   10  2525  0  

Solución

   10  25   10 2 25  5 5 5 5    5     

Los dos exponentes en la solución general son positivos por lo tanto la afirmación del enunciado es falsa.

Respuesta D EJERCICIO 10 Robinson Fabian Torres

´ ´ −         6    8  2 2  3  3         3   0    92si 2sin33  2si0 n3   2 2   9  22  0  2 23 Un operador anulador para la función   de la ecuación diferencial es , PORQUE .

´   6´  8   6´8 2  3∞−<  2
y

 2 2  9 2  0 D⁵+9D³+2D⁴+18D₂

D²(2X)=2D²X

(a)= 0

Aplicar las leyes de los exponentes.

223 3 ᵡ 0 23    ᵡ    ᵡ 3e²ᵡ(D+2)

(D²+9)(-2sin3x)=0 sin solución para x (D²+9)( -2sin(3x))=0

´  6´  8  22 3 3− 2 3    2 2   9   6  8

La respuesta es la A la afirmación y la razón son verdaderas y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación

PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Su en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30 m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350 N/m.

Solución: Condiciones iniciales

′  30 /   70    8   350 /      0   35070  0   5  0    5   ±√ 55   ∝      √  √ 5  √ 55 ;

;

;

Al ser un movimiento en caída libre la ecuación se puede definir con la siguiente ecuación:

La solución es:

Reemplazamos:

Evaluando las condiciones iniciales se tiene:

Para t=0

8  √  √ 50  √ 50   8 ′  √ 55√  √ 55 √   √ 55√  √ 55 30  √ √ 55√  √ 50  √ 55√  √ 50 50 30   √ 55

Derivando la solución general:

La solución final sería:

  √ 305   13,4   √  √ , ,√  √ 

SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura:

   y  la constante elástica es   2  . El movimiento es amortiguado (=1,2) y está siendo impulsado    por una fuerza periódica externa (    ), comenzando en =0. Dicha fuerza está definida como ()=5cos4. Para esta situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que Se suelta desde el reposo a  unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de

describe el movimiento.

En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:

∑   

De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior:

                           15   1,2   2  5 cos 4

Donde la aceleración y la velocidad están dadas por Transponiendo términos en la ecuación:

Y reemplazando los valores dados en esta se tiene:

 y

Equivalente a:

0  12 0  0   4   5  0   4  5  0    4  5  0   4  5  0    4 ± √42 ∗14∗1∗5 1 620   4±4 ± √ 21620   4±4 ±2√ 44 4±2 2    2±   2  ,   2     − cos    sin    c cos 4   sin 4    4sin4 4cos4    16 16 coscos 4  16si 6 sin 4

Se escribe la ecuación característica y se resuelve: Es lo mismo que decir: Ecuación característica:

Aplicando la formula cuadrática:

Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones: Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como:

Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma:

Sustituyendo en la ED:

  4   5  0 16 16 cos 4 1 16 sin 4 4 44sin4 4cos4  5cos cos 4   sin44  2525 cos 4 16 cos 4 1 16 sin4 1 16 sin4 1 16 cos 4 5 5 cos 4 5 5 sin4  25c25 cos 4 11 11ccos4 11  11 sin 4  1616 sin 4  16co 6 coss 4  2525 coscos 4 1116 1116 cos4  16 16 11  11 sin4  25cos4   11 116 1 16  16   25 1 16  1111  0 2 176 121  275 176 256  0 377  275    377275   1116   1116 275  377   437700    377275    437700   c cos 4   sin 4    275377 coscos 4  400377 sin47

Operando:

Reuniendo términos semejantes: Factorizando:

El sistema de ecuaciones resultante:

Para sustituir multiplicamos (1) por 11 y (2) por 16, así:

Dada la ecuación anterior podemos despejar:

Se cumple que:

Reescribiendo:

La solución sería:

       − cos    sin  275377 coscos 4  400377 sin4  0 0  −[ coscos0   sin0]]  275377 cos4 cos40  400377 sin440 [ coscos0   sin0]]  275377 cos4 cos40  400377 sin440  12   275377  12   237775  12   974527  0   2− cos  − sin  2− sin  − cos  1100  cos4 377 0  2 ∗     1600 0 377 2∗ 2 ∗ 927754    1600 0 366 1854 1600      754 1854 1600377 6730   754  377  377    − 927754 coscos   673377 sin 275377 coscos 4  400377 sin4

Haciendo

Derivando la expresión y haciendo

Por lo tanto, la ecuación de movimiento es:

CONCLUSIONES







Se debe analizar cada una de las ecuaciones diferenciales de orden superior para saber que método es el adecuado para su resolución. Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar a diversos problemas y situación, basta con conocer los métodos matemáticos para poder desarrollarlos. Aunque se hayan obtenido conocimientos es necesario practicar y revisar información  bibliográfica para el desarrollo de ecuaciones diferenciales. difer enciales.

BIBLIOGRAFIA García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67112). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 54-107). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Montoya, W. (2015). Criterios de Convergencia de Series Infinitas. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7220 Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales por variación de parámetros. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7213 Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales método coeficientes indeterminados. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7214 Alvarado, E. (2014). Operador anulador. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7215