Unidad 3 Fase 5 Ecuaciones Diferenciales Diseño Resolver Problemas y Ejercicios por Medio de Series y Funciones Especiales
Presentado por: Diego Fernando Bermúdez Medina: 1062083900 Alberto Córdoba Pérez: 10293258 Sthevan Kamilo Naranjo López: 1085265857 Sulma Lizeth Tosne: Grupo: 39
Presentado a: Ángelo Albano Reyes
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Escuela de Ciencias Básica Tecnología e Ingeniería CEAD Popayán Cauca Agosto 08 2017
INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se realiza el componente práctico de la unidad tres en el modo colaborativo del módulo ecuaciones diferenciales, en donde se abordaran temas claves para la resolución de ecuaciones diferenciales, en donde se aborda los conocimientos adquiridos desde la definición y clasificación de series matemáticas, las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales, mediante series matemáticas, hasta el estudio de propiedades y convergencia de series de potencia, teniendo como complemento las series de Taylor y Maclaurin como apoyo a la solución de ecuaciones diferenciales lineales de orden dos o superior. Con lo anterior se busca afianzar el conocimiento, proponiendo una serie de ejercicios acordes a las temáticas de la unidad de estudio, los cuales se resolvieron utilizando los planteamientos expuestos, teniendo en cuenta referencias bibliográficas y videografías con las que se basó el trabajo. Con esto se pretende alcanzar el reconocimiento, definición y aplicación de los temas expuestos hacia la resolución de ecuaciones diferenciales.
OBJETIVOS
Por medio de la realización de la actividad colaborativa se pretende que cada estudiante aporte y afiance sus conocimientos con respecto a la temática. Aplicar los conocimientos adquiridos y ponerlos en práctica mediante la aplicación en los ejercicios planteados. Socializar la elección de los dos ejercicios que cada estudiante tomo, para presentarlos en el trabajo consolidado Realizar la socialización de los ejercicios por cada uno de los estudiantes, para que entre todos los integrantes del grupo colaborativo, se puedan verificar y compartir la resolución de los ejercicios. Consolidar el documento final con los ejercicios que se alcanzaron a socializar y revisar.
PRIMERA ACTIVIDAD INDIVIDUAL FASE 5 APORTE: DIEGO BERMÚDEZ A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros. Responda las preguntas 1 y 2 con base a la siguiente información.
Pregunta # 1. Un método alternativo para hallar soluciones con series de
̈ ̇ 0
potencias de ecuaciones diferenciales como: , alrededor de un punto ordinario x = 0 es el método de la serie de Taylor Este método usa los valores de las derivadas evaluadas en el punto ordinario, los cuales se obtienen de la ecuación diferencial por diferenciación sucesiva. Cuando se encuentran las derivadas, usamos luego la expansión en serie de Taylor .
⃛ ̈ ̇ 2! 3! ⋯
Dando la solución requerida. Considerando lo anterior, la solución para la ecuación es:
̇ 1 + + A. 1 ! ! ⋯ − − B. 1 ! ! ⋯ + + C. 1 ! ! ⋯ − − D. 1 ! ! ⋯
Solución. Hallamos las derivadas de la ecuación
̇ 1 ´´1´ ´´´´´
Evaluamos las derivadas en
, para 0
Siendo.
´ 1011 ´´ 1´112 ´´´ ´´ 2 Remplazamos en la ecuación y obtenemos:
´´´ ´´ 2! 3! ⋯ 20 2 0 10 2! 3! ⋯ 1 +! +! ⋯ Rta. Pregunta # 2: Al emplear el método de series de potencia, la solución del problema de valor inicial de la ecuación dada
3,̇ 0 0
̈ 2̇ 8 0; 0
Es: A. B. C. D.
312 4 312 4 312 3 312 3 Solución.
̈ 2̇ 80 Condiciones iniciales 0 3, ̇ 0 0 2 y 8 ambas analíticas en 0 con ∞ Por tanto existe solución , analítica en 0 validad para todo .
Sustituyendo.
=
=
=
− ´´ 1−
=
=
=
1− 2 8 0
2 8 0 4 Coeficiente de x 6 2 8 0 Coeficiente de 21+ 2 8 0 − Luego + ++ − De donde − − ≥ 2 ̇ 0 0 es decir tal que 3 y 0 La solución tal que 0 3, Termino independiente
Por lo tanto la secuencia quedaría
3 0 12 ⋯ 0 412 4 0 ⋯ 0 Por lo tanto la respuesta correcta es: B:
312 4
APORTE: ALBERTO CÓRDOBA PÉREZ Pregunta # 3: Utilizando el método de series de potencia, la solución para la ecuación de segundo orden
0 es:
∑=1 ... ∑= − ... + − B. ∑ =1 ... ∑= ...+ 1 ∑ C. ∑ = ... = ... + D. ∑ =1 ... ∑= ... +
A.
Respuesta: Consideremos la solución
y = ⁿ Se deriva:
y = ⁿ⁻¹ y =1 ⁿ⁻² Sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene que:
− − =1 ⁿ = ⁿ = ⁿ 0 − = 1 ⁿ = ⁿ= ⁿ 0 Realizamos:
2 0 2
Se sustituye:
=1
=21 + ᴷ= ᴷ = ᴷ 0
21 ⁰=21+ ᴷ = ᴷ = ᴷ 0 Se obtiene entonces:
2 =21+ ᴷ= ᴷ = ᴷ 0 2 =[21+ ᴷ ᴷ ᴷ] 0 2 =[21+ ] ᴷ 0 Luego:
2 0 → 2 12 21+ 0 → + 21 1 1,2,3,4…. + 2 1 Se escoge 1 0 de este modo se encuentran las demás + 2 1 0, 18 , 0, 2407 , 0 Al presente escogemos 0 1 13 , 18 , 151 , 481 , 1051 , Por consiguiente, la respuesta sería: A.
∑=1 ... ∑= − ... +
̈ − 0 , 0 ̇0 1 teniendo en
Pregunta # 4: La solución de la ecuación: cuenta la condición iniciales x=0 y utilizando las series de Maclaurin es:
1 ! ! ⋯ B. 1 ! ! ⋯ C. 1 ! ! ⋯ D. 1 ! ! ⋯
A.
Respuesta:
̈ − 0
Se considera la solución:
= ⁿ Se deriva:
ⁿ⁻¹ = =1 ⁿ⁻² Luego se sustituye en la ecuación diferencial obteniendo que:
− − =1 ⁿ ᵡ= ⁿ 0 Formamos:
2 0 2
1
Sustituimos:
=21+ ᴷ⁻ᵡ = ᴷ 0 Obteniendo:
=[21+ ᴷ−ᵡ ᴷ] 0
=[21+ −ᵡ] ᴷ 0 De:
21+ −ᵡ 0 −ᵡ + 21 −ᵡ ⁿ = ! ′00⁻ᵡ1 ′′0 1 ′′′ 0 0 ⁽⁴⁾⁽⁵⁾00 01 Por consiguiente, la solución es: 1 ! ! ⋯ A.
APORTE: STHEVAN KAMILO NARANJO
̈ ̇ 0,
si se desea saber el Pregunta # 5: Para la ecuación diferencial comportamiento de la solución en el infinito, se realiza un cambio de variables así: . Teniendo en cuenta el concepto anterior los puntos e n el infinito para la ecuación diferencial de Euler,
→ ∞ ⇒ → 0 ̈ ̇ 0, son: A. B. C. D.
X en el infinito es un punto singular regular con exponente 1 y 2 X en el infinito es un punto singular irregular con exponente 1 y 2 X en el infinito es un punto singular regular con exponente 2 y 4 X en el infinito es un punto singular irregular con exponente 2 y 4
Solución: Según la ecuación diferencial de Euler tenemos:
,
0
Como primer paso se busca la solución general en el intervalo de 0 < x < ∞ Para el intervalo -∞ < x < 0 las soluciones se dan t = -x en la ecuación diferencial, para lo cual tenemos.
− 1− Remplazando y resolviendo la ecuación quedaría así: ∗− ∗1 − 1 (1) Para lo cual la solución general es
1 2
Conociendo este resultado se puede decir que X en el infinito es un punto singular regular con exponente 1 y 2.
de⁄Taylor que aproxima la solución en torno de x =0 del problema: ̈ 3̇ , 0 10, ̇ 0 5 con valores Pregunta # 6 polinomio 0
iniciales es:
105 … B. 510 … C. 55 … D. 105 … A.
SOLUCION: Resolviendo la ecuación tenemos
y ′′ 3y ∗y
Con y0 10 y′0 5 y 3y 0 ∗ y0 15 y 3 3y 0 ∗ y0 45 y 4 3y 3 0 7 3 y0 ′′ 135 Tomando el polinomio de Taylor
∗00
=
!
Remplazando tenemos
0 0 P4x 10 5x y´0 ∗x y´´0 ∗ 3! 4! 15 45 135 respuesta
Px 10 5x 2! 3! 4! ∗ 15 45 15 Px 10 5x 2 2 8 ∗ APORTE: SULMA LIZETH TOSNE
Pregunta # 7. Se dice que x = a es un punto ordinario de la Ecuación Diferencial. y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = 0, si P (x) y Q(x) son analíticas en x = a, es decir, si P (x) y Q(x) se pueden expandir en serie de potencias de x − a con un radio de convergencia positivo. Si u n
punto no es ordinario se dice que es singular. Teniendo en cuenta el concepto anterior, los puntos ordinarios y singulares de la ecuación diferencial son:
4̈ 2̇ 30
1. 2. 3. 4.
±2 Puntos Singulares ≠ ±2 Puntos Ordinarios ±4 Puntos Ordinarios ≠ ±4 Puntos Singulares
Rta. Luego
4 0 ±2 ≠ ±2
Pregunta # 8: Los puntos singulares de la ecuación diferencial: son:
1̇ 2 0 1. 1 2. 2 3. 1 4. 2 Hallamos:
Factorizando:
Simplificando:
1 2 2 2 21 1 22 1 1 2 1 1
Son los puntos donde p(x) y Q(x) no son analíticos: t=2 y t=1
2̈
Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema: Si tenemos en cuenta que la carga Q en el capacitor de un circuito RLC queda descrita por: , donde L es la Inductancia, R
̈ ̇
la resistencia, C la capacitancia y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos que el resistor se calienta de modo que
1 Ω. 0,1 ℎ, 2 , 0,0 10 ̇0 0
Determine al menos los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en serie de potencias en torno a para la carga del capacitor.
0
Solución
´´´ 1
Remplazamos los valores e igualamos a cero
1 ´´ 10´ 1 0 10 10 Considerando
´ ´− ´1− = = = Sustituimos multiplicándola por 10 1−10−5 0 =
=
=
Se concluye
2, 1, 2, 1 Sustituimos
=
=
21+ 101+ 5 0 =
[21+ 101+ 5] 0 = 21+ 101+ 5 Despejando
+ 5 + [101 21 + 5 + 10 2 0,1,2,3… 325 … 1 0 52 253 425 24 12
Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Enunciado y solución planteada: Enunciado y solución planteada: Se resalta en amarillo las posibles diferencias encontradas con el procedimiento y solución que se presenta en la guía de actividades.
SOLUCION SEGÚN GUIA DE ACTIVIDADES La solución de la Ecuación Diferencial con coeficientes no polinomiales , Esta dada así:
̈ 0
Usando la serie de Maclaurin para suposición usual
, junto con la
COMPLEMENTO y/o CORRECION La solución de la Ecuación Diferencial con coeficientes no polinomiales , Esta dada así:
̈ 0
Usando la serie de Maclaurin para suposición usual
, junto con la
∑= ∑= Tenemos que. Primera derivada. − ̈ 1 1 ⋯ 2! 4! 6! = ´ − =
= 1− ̈ ∑ Segunda derivada ! ! ! ⋯∑= − ̈ 2 612 20 ⋯ ´´1 = 3! 5! 7! ⋯ Sustituimos y tenemos que ⋯ ̈ 2 612 20 ⋯ ̈ 1 − ⋯ = 3! ⋯ ⋯ 3! 5! 7! = 5! ⋯7! ⋯ ̈ 2 6 12 ̈ 2 6 12 20 20 3! 3! 3! 5! ⋯ ⋯ 3! 5! 7! 3! 5! 5! 7! 5! 7! ⋯ 9 ⋯ 0 Forma correcta:
= 1− ̈ ∑ ! ! ! ⋯∑= 20 ⋯ ̈ 2 612 3! 5! 7! ⋯ ⋯ ̈ 2 612 20 ⋯ ⋯ 3! ⋯ 5! ⋯7! ⋯ ̈ 2 6 12 20 3! 3! 3! 5! 3! 5! 5! 7! 5! 7! 7!9 7! ⋯ 0 ̈ 2 6 12 12 20 12 ⋯ 0 Se tiene que 2 0 6 0 Forma correcta:
12 0 20 0 Escriba aquí la ecuación. Resolviendo tenemos: 12 , 16 , 121 , 301 0, 16 , 121 , 1201 Agrupando los términos llegamos a la solución general , donde 1 ⋯ ⋯
Segunda derivada
´´1 − = Sustituimos y tenemos que
̈ 1 − = 3! 5! 7! ⋯ = 20 ̈ 2 612 ⋯ 3! 5! 7! ⋯ ⋯ ̈ 2 6 12 20 ⋯ 0 Se tiene que:
2 0 6 0
12 0 20 0 Resolviendo tenemos:
12 , 16 , 121 , 201 Agrupando los términos llegamos a la solución general , donde
⋯ ⋯
Debido a lo anterior se concluye que la ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas ecuaciones convergen para
|| < ∞
12 0 20 0 Escriba aquí la ecuación. Resolviendo tenemos: 12 , 16 , 121 , 301 0, 16 , 121 , 1201 Agrupando los términos llegamos a la solución general , donde 1 ⋯ ⋯
12 0 20 0 Resolviendo tenemos:
12 , 16 , 121 , 201 Agrupando los términos llegamos a la solución general , donde
⋯ ⋯
Debido a lo anterior se concluye que la ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas ecuaciones convergen para
|| < ∞
CONCLUSIONES
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 113154). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 193-217). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Alvarado, E. (2014). Solución de ecuaciones diferenciales por el método de Series de potencia. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7213
