CONSOLIDADO TRABAJO COLABORATIVO FASE 3
ENGRITH MAYERLY RODRIGUEZ WILMER HERNANDEZ MAGDA ROCIO ZAMORA DIANA MARCELA GARZÓN
NESTOR JAVIER RODRIGUEZ Tutor
GRUPO:
100412_15
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ECUACIONES DIFERENCIALES JUNIO 2016
INTRODUCCION En este trabajo de equipo se ve la importancia de fundamentar el conocimiento y aprendizaje de la unidad 3, tiene que ver con el estudio de series y funciones especiales, tomamos como base la importancia como son las generalidades del estudio de Series, solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias y funciones especiales y también series matemáticas. Se plantea un problema y se busca la solución más apropiada en equipo tomando como base las ecuaciones diferenciales y los temas vistos en la unidad tres, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método de solución y la solución de la situación.
OBJETIVOS.
Reconocer la diferencia en la aplicación de las series de potencias en ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior Reconocer y aplicar funciones y series especiales Reconocer y aplicar los conocimientos basicos de la unidad tres.
ACTIVIDAD INDIVIDUAL Cada estudiante debe escoger del listado de ejercicios propuesto un ejercicio de la temática y desarrollarlo de forma individual. Garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros. Los ejercicios deben entregarse de manera individual por el entorno de evaluación y seguimiento, producto que no sea entregado por este entorno no será calificado. TEMÁTICA: ECUACIONES DIFERENCIALES Y SOLUCIÓN POR SERIES DE POTENCIAS
1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor: dy 1 = , y ( 0 )=0 dx x + y +1
y=a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 y = {a} rsub {1} + {2} rsub {a} 2x+3a {3x} ^ {2} +4a {4x} ^ {3} x+ y+ 1=( a 0+1 )+ ( a1 +1 ) x+ a2 x 2 +a 3 x 3 y =(x+y+1)=1 a1 +2 a2 x+3 a 3 x 2+ 4 a 4 x 3 a ¿ (¿ 0+1¿)+ ( a1 +1 ) x+ a2 x2 +a 3 x 3 ¿=1 ¿
( a 0+1 ) a 1+ ( a1 ( a1 +1 ) +2 a2 ( a 0+1 ) ) x a1 a2 +2 a 2(a1 +1+3 a3 ( a 0+ 1 )) x ¿
2
3
(4 a4 ( a 0+ 1 ) +3 a3 ( a1 +1 ) +2 a2 +a 1 a3 ) x
Tenemos las ecuaciones
( a 0+1 ) a 1=1 a1=
1 a 0+ 1
a1 ( a1 +1 ) +2 a2 ( a 0+1 ) =0 deducimos a2
a1 a2 +2 a2 ( a1 +1 ) +3 a3 ( a 0+ 1 )=0 deducimos a3 4 a4 ( a 0+ 1 ) +3 a3 ( a1 +1 ) +2 a2 a2 +a1 a3 =0 deducimos a 4
2. Determinar por el criterio del cociente el conjunto de convergencia de:
∞
(−2)n
∑ (n+1) (x −3)n
N =0
Aplicamos criterio del cociente, tomando la serie como una serie numérica lim
an+1 an
an =
(−2) ( x−3) (n+1)
n →∞
n
n
n+1
n+1
(−2) an +1= ( x−3) (n+1+1) n +1
n +1
(−2) an +1= (x−3) (n+2)
lim
¿
n+ 1
(−2) n+ 1 (x−3) (n +2) n →∞ = (−2)n (x−3)n (n+1)
lim n
¿
1
(−2) (−2) n 1 ( x−3 ) (x−3) n+2 n →∞ = n (−2) n ( x−3 ) (n +1)
lim
¿
1
(−2) 1 (x−3) n+2 n →∞ = 1 (n+ 1)
lim
¿
(−2)(x−3) n +2 n →∞ = 1 (n +1)
lim
¿
(−2 x+6) n +2 n →∞ = 1 (n +1)
lim
¿
(−2 x+6 )(n+1) n →∞ = (n +2)
Dividimos por n el numerador y el denominador lim
¿
lim
¿
(−2 x+6)(n+1) n n →∞ = n +2 n
(−2 x+6)(n+1) n n →∞ = 2 1+ n
lim
¿
(−2 x+6 ) n →∞ = 1+
2 n
1 n
lim n →∞ =
¿
(−2 x+6 )0 1+ 0
lim ¿ n →∞ =
0 1
lim ¿ n →∞ =0
Como ∞
0 ≤1 → ∑
N =0
1 n
tiende a 0 y
2 tiende a 0 entonces tenemos n
n
(−2) n (x−3) (n+1)
La serie es CONVERGENTE
3. Calcule el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia: ∞
( 100 )n ∑ n ! ( x+7)n n=0 Se usa el criterio de la razón para calcular el intervalo de convergencia, por lo cual se obtiene
[ ] a n+1 an
[
100 (n+1 ) ( x +7)(n+ 1) ( n+1 ) ! = 100 n (x +7)n n!
Se calcula el límite de
]
n→∞
([
])
100 (n+1 ) (x +7)(n +1) ( n+1 ) ! lim → ∞ :0 100 n n ( x +7) n!
Se simplifica
100( n+1) ( x+7)(n+1) ( n+ 1 ) ! 100( x +7) : n n+1 100 (x+7)n n! Luego de simplificar se calcula el límite del resultado
¿ lim → ∞
([
100( x +7) n+1
])
Y el resultado que se obtiene es
¿|100(x+ 7)| lim → ∞
(| |) 1 n+1
Luego se iguala a 0, es positivo cuando
l ℑ →∞
n→∞
(| |)
1 =0 n+ 1
Se aplica las propiedades para límites infinitos, se simplifica y el resultado es
¿|100(x+ 7)| 0=0 Los intervalos son
−∞< x < ∞ L<1 para cada x, por lo tanto
∞
( 100 )n ∑ n ! ( x+7)n n=0
Converge para todo x
4. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0 2� ′′ + �� ′ +� = 0
El método para resolver la ecuación diferencial se transforma a una ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes, mediante la sustitución. x = e^t ---> t = Lnx Además dy/dx = e^-t dy/dt; d²y/dt² = e^(-2t)(d²y/dt² - dy/dt) reemplazando en la ecuación diferencial e^(2t).e^(-2t)(d²y/dt² - dy/dt) + (e^t)(e^-t) dy/dt + y = 0 Simplificando d²y/dt² - dy/dt + dy/dt + y = 0 d²y/dt² + y = 0 , Ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes El polinomio característico es P(r) = r² + 1 = 0 => r1 = i ; r2 = -i Luego el sistema fundamental de soluciones es: cost, sent, y la solución general es: y = c1 cos t + c2 sen t ; donde t = Ln x y = c1 cos (Lnx) + c2 sen (Ln x)
5. Resolver por series la ecuación diferencial y '' + x 2 y =0
Nombre estudiante que realiza el ejercicio: PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA ''
2
RAZON O EXPLICACION Ecuación inicial
y + x y =0
∞
solución general
y ( x ) = ∑ an x n n=0
∞
y ' ( x ) =∑ (n)an x
derivando
n−1
n=1
∞
derivando
y ' ' ( x ) =∑ ( n ) (n−1)a n x n−2 n=2
∞
∞
n=2
n =0
en cada sumatoria sea constante por
∞
Para la primera sumatoria se hace la sustitución k =n−2
∑ ( n ) (n−1)an xn −2 + x 2 ∑ an xn =0
∞
¿ ∑ ( n ) (n−1)a n x n=2
n−2
+∑ a n x
2+n
=0
∞
n=2
k=0
∑ ( n ) (n−1) an xn −2 =∑ ( k +2 ) (k +1) a k+2 x k ∞
∞
n=0
k=2
∑ an x 2+ n=∑ a k−2 x k Por tanto la expresión queda como: ∞
∑ ( k +2 ) (k +1)ak+2 x +∑ ak −2 x k =0 k=0
xk :
n=0
∞
∞
Simplificando para que el término general
k
k=2
Para la segunda sumatoria se hace la sustitución n=k−2
∞
Agrupando las potencias semejantes
2 a1 +6 a3 x+ ∑ [ ( k +2 ) ( k +1 ) ak +2−a k−2 ] x =0 k
k=2
2 a2=0, → a2=0
Igualando a cero los coeficientes de la serie
6 a3 =0,→ a3 =0
Igualando a cero la relación de recurrencia
( k +2 ) ( k +1 ) ak +2−a k−2=0
ak +2=
1 a ( k +2 ) (k +1) k
Despejando el término ak +2 de la anterior igualdad
a2
0
a3
0
a4
¿
1 a ( 2+2 ) (2+1) 0
a5
¿
1 a ( 3+ 2 )( 3+1) 1
∞
y ( x)=∑ an x =a 0+ a1 x +a 2 x + a3 x + a4 x +a5 x + … n
2
3
4
5
n=0
∞
y ( x)=∑ an x n=a 0+ a1 x + ( 0 ) x 2+ ( 0 ) x 3 +( n=0
∞
y ( x)=∑ an x =a 0+ a1 x +( n=0
n
5 1 1 a0 ) x 4 +( a1 ) x +… 12 20
5 1 1 4 a0) x +( a1 )x +… 12 20
solución general
y (x)
1) Plantear con el grupo colaborativo una situación problema que pueda ser desarrollado a través de los métodos vistos, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método de solución y solución de la situación. PLANTEAMIENTO Un condensador que tiene una diferencia de potencial
V0
entre placas cuando se tiene
una línea conductora R, la carga acumulada viaja a través del condensador desde una placa hasta la otra, estableciendo una corriente de intensidad i. La tensión V en el condensador va disminuyendo gradualmente hasta llegar a cero; la corriente en el mismo tiempo en el circuito RC.
SOLUCIÓN
Por series de potencia asumiendo que R= 1MΩ y C = 1µF RI =V entonces I =−C
dv dt
V V donde =−CV R R
'
I =−C V ahora I =
Ahora '
1V +
V =0 1
V ' + V =0 ∞
V =∑ v n t
n
n=0
∞
V =∑ v 0 t 0 + v 1 t 1+ v 2 t 2 +v 3 t 3 … … … … … … … n=0
∞
V =∑ nv n t '
n=0
( (
∞
n−1
=v 1 +2 v 2 t +3 v 3 +… … …
)(
∞
)
∑ nv n t n−1 + ∑ v n tn =0 n=0
∞
n=0
∞
) (∑ )
∑ (n+1)v n+1 tn + n=0
n=0
v n t n =0
n+1 ¿v ¿ ¿+t n=0 ¿ ∞
∑¿ n=0
n+1 ¿v Donde ¿ n≥0 y¿ v (¿ ¿ 1+2 v 2 t +3 v 3 +… )+(v 0 t 0 + v 1 t 1+ v 2 t 2 + v3 t 3+ … .)=0 ¿
v 3v ¿ 2 ¿+(¿ 3+v 2 ¿ )t +… 2 v 2 + v1 ¿=0 (¿ ¿ 1+ v 0)+¿ ¿
v (¿ ¿ 1+v 0 )=0 ¿
( 2 v 2 +v 1 ) =0 3v (¿ ¿ 3+ v 2)=0 ¿ v v ¿ 1=v (¿ 0) ¿ 1+v (¿ 0 )=0 entoces¿ ¿ 2 v 2 +v 1=0→ v 2=
−v 1 −v 0 v 0 = = 2 2 2
−v 0 −v 2 −v 2 3 v 3 + v2 =0 → = = 0 3 3 2∗3
4 v 4 + v 3=0 → v 4 =
−v 3 = 4
5 v 5 +v 4=0 → 5 v 5= ∞
n
−(
−v 4 = 5 ∞
v0 ) v0 2∗3∗4 → v 4= 4 4∗2∗3
−(
v0 ) v0 2∗3∗4 → v5 = 5 5∗4∗2∗3
n
−1 −1 4 5 v =∑ ∗x → v 0=∑ ∗4 x n=0 n ! n=0 n !
v 0 =v 0 + (−v 0 ) x +
v 0 2 −v 0 3 x+ x +… 2 3∗2
( )
1 2 3 1−x + x 1 x + … 2 ( 3∗2 ) v 0=v 0 ¿
Al calentar un resorte, su “constante” decrece. Suponga que el resorte se calienta de modo que la “constante” en el instante t es k ( t )=6 – t [N/m] (véase la figura). Si el sistema masa-resorte sin forzamiento tiene masa m=2 [Kg] y una constante de b=1 x (0)=3 amortiguamiento [N-s/m] con condiciones iniciales [m] y x ’ (0)=0
[m/s]
Determinar la ecuación de desplazamiento
x (t)
mediante los primeros cuatro términos
no nulos de una serie de potencias en torno de t=0 .
x (t):
Posición del resorte
x ’ (t) : Velocidad del resorte
x ’ ’ (t) : Aceleración del resorte Se sabe que esta situación genera una ecuación diferencial de la forma: m x ' ' + b x ' +kx=0 2 x ' ' + x ' +( 6−t )x=0 Reemplazando los valores iníciales en la ecuación diferencial: 2 x ' ' +(0)+(6−0)(3)=0 2 x ' ' +18=0 Se obtiene que
x ' ' ( 0 )=−9
Derivando respecto a t la ecuación diferencial: 2 x ' '' + x '' + (−1 )( x ) +( 6−t )(x' )=0
' ''
''
2 x + x −x+(6−t) x '=0 Reemplazando los valores iníciales en la expresión anterior: 2 x ' '' −9−3+(6−0)(0)=0 ' ''
2 x −12=0 Se obtiene que
x ' ' ' ( 0 )=6
Derivando nuevamente respecto a t: (4)
(3)
(2)
2 x + x +(6−t) x =0 Reemplazando las condiciones iníciales en la expresión anterior: (4)
2 x +6+(6−0)(−9)=0 (4)
2 x +6−54=0 2 x (4) −48=0 Se obtiene que
x ( 4 ) ( 0 )=24
Entonces, usando la serie de Taylor para aproximar un polinomio de 4 términos de la forma: n
Pn (t)=∑ j=0
( j)
f (t 0) (t−t 0) j j! Donde t o=0
(0 )
Pn (t )=
'
''
'''
' '' '
f (t 0 ) f (t 0 ) f (t 0 ) f (t 0 ) f ( t0 ) (t −t 0 )0+ (t −t 0 )1+ (t −t 0)2 + ( t−t 0 )3+ ( t−t 0 )4 0! 1! 2! 3! 4!
Pn (t )=
( 3) (0) (−9) (12) (24) (t−0)0 + (t −0)1+ (t−0)2 + (t−0)3 + (t−0)4 1 1 2 12 24
9 2 3 4 P4 ( t )=3− t +t + t + … 2
2) De forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Enunciado y solución planteada: Enunciado Inicialmente un cultivo tiene un número ��de bacterias. En �=1 ℎ se determina que el número de bacterias es 43 ��. Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias (�) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se duplique el número de bacterias. Solución a evaluar: Planteando la ecuación diferencial sería: Primero se resuelve la ecuación diferencial Planteando la ecuación diferencial sería:
dP =kP dt dP + kP=0 dt Solucionamos por series: ∞
P=∑ C n t n n=0
∞
P'=∑ nCn t
n−1
n=1
Reemplazando ∞
∑ nC n t
n−1
n=1 ∞
∑ nC n t
∞
+k ∑ C n t n=0 n=0
n−1
n=1
∞
+ ∑ k C n t =0 n
n=0
Hacemos en la primera serie a=n−1 Y en la segunda a=n ∞
∞
a=0
a=0
∑ (a+1)C a +1 t a +∑ k C a t a=0 Agrupando en una sola serie: ∞
∑ [ (a+1)C a+ 1+ k C a ] ta =0 a=0
Hacemos el coeficiente de t (a+1)C a +1+ k Ca =0 Despejando (a+1)C a +1=−k C a C a+1=
−k Ca ( a+1)
a
igual a cero
Como ∞
P=∑ C n t
n
n=0
Tenemos que ∞
P=∑ C 0 n=0
∞
P=C 0 ∑ n =0
k nt n n!
( kt )n n!
P=C 0 ekt En t=0 se tiene que Po=C 0 e0 =C0 Por lo tanto P(t)=P 0 e kt En t=1 se tiene que 4 P o=P0 e k 3 4 k =e 3 k =ln
4 3
Por lo tanto: P(t)=P 0 e
4 ln t 3
Para determinar el tiempo en que se ha duplicado 2 P o=P0 e
4 ln t 3
Entonces: t=
ln
4 t=ln 2 3
ln 2 4 ln 3
t=2,41 h
CONCLUSIONES.
Con el desarrollo y aprendizaje de la unidad tres se reconoce la diferencia entre la aplicación de las series de potencias para ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior, también se relacionan las funciones y series especiales con las ecuaciones diferenciales para encontrar la solución eficaz.
