UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA
TRABAJO PRÁCTICO: CÁLCULO DE LAS DIMENSIONES DE UN
TANQUE CILÍNDRICO DE CONCRETO MEDIANTE TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN ASIGNATURA: ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL CÓDIGO:
756
FECHA DE ENTREGA ENTREGA AL ESTUDIANTE:
Adjunto a la Primera Prueba Parcial FECHA DE DEVOLUCIÓN: DEVOLUCIÓN: Adjunto a la Prueba Integral NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ESTUDIANTE: DANIEL JESUS JESUS RONDON SALAZAR CÉDULA DE IDENTIDAD: 22.854.574 CENTRO LOCAL: ANZOÁTEGUI ANZOÁTEGUI CARRERA: 126 FIRMA DEL ESTUDIANTE: LAPSO: 2016/1
RESULT RESULTADOS DE CORRECCIÓN: OBJ. NO 0:NL
3 1:L Evaluador: Alejandra Lameda.
ÍNDICE Pag.
Introducción ……………………………………………………………………….
Desarrollo ………………………………………………………………………. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX.
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La capacidad del tanque El radio del tanque Altura del tanque Área de la tapa Área lateral Perímetro Materiales utilizados en la fabricación de tanques de agua. Presupuesto para la fabricación de un tanque cilíndrico a base de concreto de ø 4 m x H 3,6m; capacidad 45 000 litros. Comparación entre el costo de un tanque de polietileno y un tanque de concreto.
Conclusión…………………………………………………………………………
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Bibliografía…………………………………………………………………………
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INTRODUCCIÓN El Barrio Las Delicias, geográficamente, está ubicado en la zona sur de Puerto La Cruz, a la orilla de la cordillera montañosa de la costa, y está en las adyacencias de la Refinería Puerto la Cruz. Pertenece a la parroquia Po zuelo y está rodeado de las barriadas de Valle Verde, Chuparín Arriba, Montecristo y Las Charas. Su origen se remonta a partir de los años 50, cuando muchas familias, provenientes en su gran mayoría del estado Sucre, se asentaron en los terrenos de dicho sector, debido a la instalación de la Refinería. En la comunidad de las Delicias de Puerto la Cruz, específicame nte en la parte final de la calle 23 de julio, existen 15 familias que tienen dificultades para recibir agua potable mediante sistema de bombeos. En base a esta problemática y conforme con la tarea propuesta para aprobar el objetivo 3 de la asignatura Cálculo Integral 756, opto por calcular algunas variables que están presentes en la construcción de un tanque de agua cilíndrico. Existen muchas variables que deben determinarse, pero debido a la naturaleza de la asignatura Cálculo Integral 756, sólo se tomarán en cuenta aquellas variables que pueden ser halladas mediante las técnicas de integración de la integral definida. En este tipo de tanque se pueden considerar tres volúmenes: el volumen ocupado por el agua, el volumen ocupado por las paredes del tanque y el volumen ocupado por la tapa. Pero en esta asignación sólo se tomará en cuenta el volumen del agua cuando el tanque esté lleno, a este volumen se le llama capacidad. Por lo tanto, el volumen del tanque será su capacidad.
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DESARROLLO I. La capacidad de tanque.
En la comunidad existen 15 famiias afectadas, cada familia puede consumir racionadamente 2000 litros por semana. Por lo tanto, la capacidad mínima del tanque debe ser de 30000 litros, si se utiliza un factor de seguridad de 1,5, se obtiene 45 000 litros = 45 m 3. II. El radio del tanque.
El tanque abarcará un área cuadrada de 4 m x 4 m para su capacidad, por lo tanto el radio R= 2 m. III. Cálculo de la altura del tanque
Debido a que el tanque es cilíndrico, puede utilizarse el método de las capas (método aplicado para el cálculo de la capacidad), ya que un cilindro es un sólido de revolución.
Eje de rotación vertical
= ()
= =0 == = | = = es el radio del disco
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= = 452 ≈ 3,58 ≈3,6 Donde
IV. Cálculo del área de la tapa.
= ()
La forma geométrica de la tapa es circular, dicha área puede dividirse en cuatro partes iguales, sólo basta calcular el área de la región sombreada y multiplicarla por 4 para obtener el área total, por lo tanto se obtiene la siguiente fórmu la considerando que b = R y a = 0.
= −
Este tipo de Integral se resuelve utilizando la sustitución trigonométrica.
4
= √ − = cos = = = = = =0 donde
Habiendo hecho la sustitución trigonométrica y el cambio de los límites se obtiene:
⁄ 4 ⁄ = 4
= + ⁄ 2 1 2 2 = 2 [ 2 ] |⁄ = 2 2 = ≈12,56 ≈12,6
Donde
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V. Cálculo del área lateral
=2 ∫ () 1 ′() ′ ()= ∴ ()=0 () = =0 == Se obtiene la siguiente fórmula:
2 =2 ≈44,98 ≈45
VI. Cálculo del perímetro
í= 1 ′()
Sólo basta calcular el perímetro de un cuarto de círculo y multiplicarlo por 4. 6
() = − ′()= − √ − =0 =
Se obtiene la siguiente fórmula:
í=4 1 [− √ −] =4 1 − =4 − =4 √ − Se aplica la sustitución trigonométrica:
= √ −
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= cos = = = = = =0 donde
Sustituyendo se obtiene:
⁄ í=4 ⁄ =4 =4 |⁄
=42 =2 ≈12,56 ≈12,6
.
VII. Materiales utilizados en la fabricación de tanques de agua.
Generalmente los tanques de agua de gran capacidad se construyen a base de concreto, y los de pequeñas son prefabricados a base de polietileno. A continuación se presenta un presupuesto para la fabricación del tanque a base de concreto.
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VIII. Presupuesto para la fabricación de un tanque cilíndrico a base de concreto de ø 4 m x H 3,6m; capacidad 45 000 litros.
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Descripción
Cantidad
Precio Precio unitario unitario bs x cantidad bs Cabilla de 1/2 x 12 24 15000 360000 Cabilla de 3/8 x 12 12 12000 144000 Bloque de cemento 600 300 180000 3 Arena m 5 5000 25000 3 Piedra m 5 5000 25000 Saco de cemento 50 3000 150000 Alambre kg 12 3500 42000 Malla 1,2 m x 25 m 2 37000 74000 Madera m2 100 2000 200000 clavo 2 1/2 kg 10 2600 26000 Losacero 6 m x 1 m 4 70000 280000 Chícora 3 13500 40500 Martillo 3 4500 13500 Arco de segueta 2 3000 6000 Hoja de segueta 6 650 3900 Pico 3 13000 39000 Pala 3 14000 42000 Serrucho 2 3000 6000 Pintura 18 litros 1 37000 37000 Precio total de materiales bs 1693900 Otros gastos bs 1300000 Presupuesto bs
2993900
IX. Comparación entre el costo de un tanque de polietileno y un tanque de concreto.
El costo de un tanque cilíndrico de polietileno extra reforzado de capacidad 12 000 litros de ø 2,32 m x H 2,72 m tiene un costo alrededor de 2 400 000 bs, se requieren 4 tanques para satisfacer la capacidad deseada, por lo tanto se deben invertir 9 600 000 bs. 9
Comparando ambos precios se observa que es más económico fabricar un tanque de concreto con las dimensiones deseadas que adquirir 4 tanques cilíndricos de polietileno que no tienen las dimensiones deseadas.
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CONCLUSIÓN Por medio de la integral definida es posible calcular áreas. Aunque las áreas del tanque y el perímetro se pueden calcular fácilmente con los conocimientos de geometría, por medio de las técnicas de integral definida pueden calcularse esas variables y además de eso, se ha podido demostrar las fórmulas de las mismas.
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BIBLIOGRAFÍA
González Jesús S. (1984). Cálculo ΙΙ, 2da ed. Caracas: Universidad Nacional Abierta.
Larson, R., Hostetler, R., Edwards, B. (1999). Cálculo y Geometría Analítica. 6t a ed., México: McGRAW-Hill.
Orellana Chacín, Mauricio (1998). Matemática I, Módulo IV, décima reimpresión. Páginas 92 – 96. Caracas: Universidad Nacional Abierta.
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